2.1航天器轨道的基本定律
2.2二体轨道力学和运动方程
2.3航天器轨道的几何特性
2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.4航天器的轨道描述
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄
园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来
告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱
的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的
头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘ 伊
萨克和汉纳 ·牛顿之子伊萨克 ’ 。虽然没有什么贤人哲
士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界
的思想和习惯。,
牛顿
2.1 航天器轨道的基本定律
如果说 1642年的圣诞节迎来了理性的时代,那么完
全是由于有两个人为大约 50年后 牛顿 最伟大的发现奠定
了基础。一个是 第谷 ·布拉赫,他几十年如一日,极为细
致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是
约翰 ·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭
示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用
肩膀托起牛顿的, 巨人, 。
第谷．布拉赫 约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律
1．第一定律 ——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的
一个焦点上。
因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离
太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，
如图 2,1所示。
2．第二定律 ——面积律
由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的
面积。
在图所示中,S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到
t1,t2,t3,t4,t5,t6,时刻的位置。如果从 S1到 S2的时间间
隔和 S3到 S4, S5到 S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面
积 S1OS2,S3OS4,S5OS6也都相等，可表示为
dA/dt=常量
开普勒第二定律
开普勒第二定律
式中,dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫
做 面积速度 。
为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的
路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行
的路程 S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规
律，叫做 面积速度守恒 。
3．第三定律 ——周期律
行星绕太阳公转的周期 T的平方与椭圆轨道的长半径 a
的立方成正比。即
a3/T2=K
它说明, 行星椭圆轨道的长半径越大, 周期就越长, 而
且周期仅取决于长半径 。
图 2,3 开普勒第三定律
图 2,3表示 3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都
相等，周期也就相同 。
2.1.2 牛顿定律
第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运
动的状态, 除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状
态 。
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比, 且与作
用力的方向相同 。
第三运动定律 对每一个作用, 总存在一个大小相等的
反作用 。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
2g
G M m
rr
rF ?? rr
式中,Fg为由于质量引起的作用在质量 m上的力矢量；
r为从到 m的距离矢量。万有引力常数 G的值为
G =6,670× 10-13 N·cm2／ g2。
2.2 二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题
为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，
在该坐标系内,n个质量的位置分别为,此系
统如图 2.4所示。 12
,,,nr r rL
由牛顿万有引力定律得出,作用在 上的力
为
(2.5)
式中
(2.6)
作用在第 i个物体上的所有引力的矢量和 为
(2.7)
nm im gnF
r
3 ()
in
g n n i
ni
G m m
rFr??
r r
ni i nr r r??
r r r
gF
r
1
()
n
j
g i ji
j ji
ji
mGm
rFr?
?
?? ?
r r
图 2.4中所示的其他外力, 包括阻力, 推力, 太阳辐
射压力, 由于非球形造成的摄动力等 。 作用在第 i个物体
上的合力称为, 其表达式为
(2.8)
(2.9)
现在应用牛顿第二运动定律
(2.10)
Fr其他
Fv总
gF F F??
v v v
总 其他
F F F F F? ? ? ? ? Lv v v v v其他 阻力 推力 太阳压力 干扰
()iid mdt vF?
rr
总
把对时间的导数展开, 得到
(2.11)
如前所述, 物体可能不断排出某些质量以产生推力 。 在
这种情况下, 式 (2.11)中的第二项就不等于零 。 某些与
相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化 。 式
(2.11)各项除以, 就得出第 i个物体的一般运动方
程为
(2.12)
ii
ii
d d mm
d t d t
v vF??r rr
总
im
im
i
ii
ii
m
mm
Frr?? &
r
&& &总
im
方程式 (2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程, 这种
形式的微分方程是很难求解的 。 假定第 i个物体的质量保
持不变 （ 即无动力飞行, =0）, 同时还假定阻力和其
他外力也不存在 。 这样, 惟一存在的力为引力, 于是方
程式 (2.12)简化成
(2.13)
im&
3
1
()
n
j
i ji
j ji
ji
m
G
r
rr
?
?
?? ?&&
不失一般性, 假定 为一个绕地球运行的航天器, 为地
球, 而余下的 可以是月球, 太阳和其他行
星 。 于是对 i=1的情况, 写出方程式 (2.13)的具体形式,
得到
(2.14)
对 i=2的情况, 方程式 (2.13)变成
(2.15)
2m 1m
34,,nm m mL
113
2 1
()
n
j
j
j j
mG
rrr??? ?
&&
223
1 2
2
()
n
j
j
j j
j
m
G
r
rr
?
?
?? ?&&
根据式 (2.6),有 (2.16)
于是有 (2.17)
将式 (2,14)和 (2,15)代人式 (2,17)得到
(2.18)
因为, 所以
(2.19)
2 1 1 2r r r??
r r r
2 1 1 2r r r??
r r r&& && &&
2 1 2 133
2112
2
( ) ( )jjjj
nn
jj
j
GGmmrrr r r
??
?
????
r r r&&
12 21rr??
12
2 1 2 13 3 3
2 1 2 1
21
3
) ( ) ( )(
j
jj
n jj
j
G m m Gm
r r r
rrrr
?
?? ? ? ??
rr
&&
为了进一步简化这一方程, 需要确定摄动影响与航
天器和地球间的引力相比有多大 。 表 2,1 列出了一个高
度为 370 km的航天器的各相对加速度 (不是摄动加速度 )，
同时还列出了地球的非球形 (偏状 )造成的影响, 以供比
较 。
分析表 2,1中的数据容易
看出，围绕地球运行的航天器
受到地球的引力占有主导地位，
因此进一步简化运动方程式
(2,19)，简化 N体问题是可能
和合理的。
表 2.1
首先, 作两个简化假设：
(1)物体为球对称的, 这样就可以把物体看作质量集
中在其中心 。
(2)除了沿两物体中心连线作用的引力外, 没有其他
外力和内力作用 。
其次, 确定一个惯性坐标系 (无加速度的和无转动的
坐标系 )以便测量物体的运动状态 。 牛顿描述惯性坐标系
时说：此坐标系固定在绝对空间内,, 按其本质来说,
它与外界无任何关系, 永远保持那样并且不动, 。
2.2.2 二体问题和运动方程
考虑质量分别为 M和 m的两个物体构成的系统，如图
2,5所示。设 为惯性坐标系,OXYZ为原点在
质量为 M的物体质心上的不转动的，且与 平行
的坐标系。物体 M和 m在坐标系内的位置矢量分别为
和,并定义
现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，
' ' ' 'O X Y Z
' ' ' 'O X Y Z
Mr
mr
mMr r r??
' ' ' 'O X Y Z
得到
即
得
（ 2.20）
2mm
G M m
rr
rr ??&&
2MM
G M m
rr
rr ?&&
3m
GM
rrr??&& 3M Gmrrr?&&
3
()
mM
G M m
rr r r r? ? ? ?
?
方程式 (2,20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。
考虑到实际情况有
为了方便和具有一般性, 称 M为中心引力体, 定义引力参
数 。 于是式 (2,20)变为
(2,21)
此即为二体运动方程 。 对不同的中心引力体, 的值不
同 。 对于地球, ； 对于太阳,
()G M m G M??
3 0rrr
? ??&&
?
3 3 23, 9 8 6 0 1 2 1 0 /k m s? ??
GM? ?
1 1 3 21, 3 2 7 1 5 4 1 0 /k m s? ??
2.2.3 轨道运动常数
1．机械能守恒
用 与式 (2,21)作点乘, 且,,得到
因为由矢量运算法则, 故
并且注意到
和
r& vr?& vr?& &
33 0rrr r r r v v r r
??? ? ? ? ? ? ? ?& && & & &
a a a a???rr& &
3 0vv rrr
???&&
2
()2dv vvdt ? & 2()d rdt r r???? &
故
更具一般性地, 上式可以写为
式中, c为任意常数 。 由此, 下式定义的量必为常数：
称为比机械能。
2
( ) 02dvd t r???
2
( ) 02dv cd t r?? ? ?
2
( ) =2v c r?? ? ? ? 常数
?
于是, 可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时, 卫
星的比机械能 (即单位质量的动能和单位质量的势能
之和 )既不增加, 也不减少, 而是保持常值 。 的表达式
为
(2,23)2
2
v
r
?? ??
?
?
2．角动量守恒
用 叉乘式 (2,21),得到
因为 总是成立, 故上式左边第二项为零, 得
注意到 所以有
或
矢量 必定为一运动常数, 简记为, 称作比角动
量 。 至此已经证明了航天器的比角动量 沿着其轨道为
一常数, 的表达式为
r
3 0rr r r r
?? ? ? ?&&
0aa??
0rr??&&
()ddt r r r r r r?? ? ? ?& & & &&
( ) 0ddt rr ?? & ( ) 0ddt rv ??
rv? h
h
h
(2,24)
因为 为 和 的矢量叉积, 因此, 它必定与包含
和 的平面正交 。 但 为一恒定矢量, 所以 和 必定
总在同一平面内 。 由此可以证明航天器的运动必定限制
于一个在空间固定的平面内, 称为 轨道平面 。 轨道平面
具有定向性 。
h r v??
h
h
r v r
v r v
2.3.1 轨道的几何方程
将方程式 (2,21)两边同时与 h叉乘，有
(2,26)
考虑到 h守恒和矢量运算规则
及,所以
2.3 航天器轨道的几何特性
33rrr h r h h r
??? ? ? ? ? ?&&
( ) ( ) ( )a b c b a c a b c? ? ? ? ? ?
rrrr?? &&
()ddt r h r h r h r h?? ? ? ? ? ?&& && & &&
于是, 可以将式 (2,26)改写为
两边积分得
这里 B是积分常矢量 。 用 r点乘该式就得到标量方程
( ) ( )ddd t d t rrrh ???&
r
rr h B? ???&
r
rr r h r r B? ?? ? ? ? ?&
显然, 轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方
程, 中心引力体质心即为极坐标的原点, 位于一焦点上,
极角 v为 r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间
的夹角, 常数 p称为, 半正焦弦,, 常数 e称为, 偏心
率,, 它确定了方程式 (2,28)表示的圆锥曲线的类型,
如图 2,7所示 。
(1)圆锥曲线族 (圆, 椭圆, 抛物线, 双曲线 )为二体问
题中的航天器惟一可能的运动轨道 。
(2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点 。
(3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时, 其比机械能 (单
位质量的动能和势能之和 )保持不变 。
(4)航天器绕中心引力体运动, 当 r和 v沿轨道变化时,
比角动量 h保持不变 。
(5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内 。
至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：
航天器的轨道
第一宇宙速度 第二宇宙速度
V1
V1 V2
2.3.2 轨道的几何性质
1．圆锥曲线轨道的几何参数
圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线 4种类型
的轨道。图 2,8给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几
何参数和关系。
图 2,8 圆锥曲线共同的几何参数
除了抛物线之外, 所有的圆锥曲线均有偏心率
(2·29)
和
(2·30)
ce
a?
2(1 )p a e??
2,轨道的近拱点和远拱点
轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为
近拱点，离主焦点远的称为远拱点。
主焦点至近拱点或远拱点 (若存在的话 )的距离，只
须在极坐标圆锥曲线的一般方程式 (2,28)中以 v=0o或
v=180o代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有
近拱点
远拱点
将式 (2,30)代人上两式即得
m a x 1 c os 180 ppr r re?? ? o @近拱m in 1 c o s 0 ppr re? o @近拱
m in 1 c os 0 p
prr
e? ? o @
m a x 1 c os 0 a
prr
e? ? o @
(2.31)
(2.32)
另外, 在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点 (若存
在 )处, 总有 所以作为方程式 (2,25)的一个特殊
情况, 可以写出
(2.33)
式中,,分别为两个拱点的速度
rv?
(1 )1p pr a ee? ? ??
(1 )1a pr a ee? ? ??
p p a ah r v r v??
pv av
p p a avvvv??
3,轨道形状与比机械能
对近拱点写出航天器的能量方程式 (2,23),并将
式 (2,33)代人其中, 得
根据方程式 (2,30)和 有
因此
由此得 (2·34)
22
222
pp
vh
r r r
??? ? ? ? ?
2 /ph ??
22(1 )h a e???
2
22
( 1 )
2 ( 1 ) ( 1 )
ae
a e a e
??? ???
??
2 a
?? ??
对所有圆锥曲线轨道均成立的这个简单的关系式表
明, 轨道的长半轴 a仅与航天器的比机械能 有关 。 进一
步说, 仅与轨道上任一点的 r和 v有关, 即
圆和椭圆轨道,a>O,航天器的比机械能 <O；
抛物线轨道,a=∞, 航天器的比机械能 =O；
双曲线轨道,a<O,航天器的比机械能 >0。
因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器
处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。
?
?
?
?
?
进一步地，由于 以及式 (2.30)和 (2.34)成
立，因此对任何圆锥曲线轨道均有
(2,35)
可见,h单独决定了 p，而 单独决定了 a，它们共同决定
了 e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到
且对于一般航天器而言,r>O,v>O，所以航迹角
(0≤ ≤180 o)的取值决定了 h的符号。
当 ≠ 90o时，即 h≠O 时，
若 <O，则 e<1，为椭圆和圆轨道；
若 =O，则 e=1，为抛物线轨道；
若 >0，则 e>1，为双曲线轨道。
2 /ph ??
2
2
21 he ?
???
?
cosh rv ??
?
?
?
?
?
?
当 =90o，即 h=O时，无论 取值如何,e=1。此时，
航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前
位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。
? ?
2.3.3 椭圆轨道
太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天
器的轨道都是封闭曲线 ——椭圆 。 首先考察一下仅对椭
圆轨道适用的几何特性, 然后再推导航天器沿椭圆轨道
运动的周期和速度 。
图 2.9显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出
的方法, 以及椭圆轨道参数之间的关系 。
观察可知, 椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满
足
并且椭圆轨道近拱点半径 和远拱点半径 与椭圆的
几何参数之间有如下关系：
(2,36)
(2,37)
可得
(2,38)
若将椭圆的短半轴记作 b,则有
(2,39)
2r r a???
pr ar
2apr r a??
2apr r c??
ap
ap
rrce
a r r
???
?
2 2 2a b c??
接着考察椭圆轨道周期 。
由图 2.10可以看到, 航天器速度的水平分量为,
也可以写成, 根据方程式 (2,25),可将航天器的比角
动量表示为
即 (2.40)
由初等微积分知道, 矢径转过一角度 时, 所扫过
的面积微元 dA可由下式给出 (见图 2,11)
(2.41)
osvc ?
rv&
2rd
h dt??
2dt dA
h?
d?
21
2dA r d??
于是, 可以将式 (2,41)改写为
(2.42)
对于任何给定的轨道, h为一常数, 所以式
(2,42)证明了开普勒第二定律：, 相等的时间
间隔内矢径扫过的面积相等 。,
2dt dA
h?
在一个轨道周期内, 矢径扫过整个椭圆 。 对式 (2,42)在
一个周期内进行积分得出
(2·43)
这里 为整个椭圆的面积, T为周期 。 由式 (2,39)、
(2·29)和 (2·30)得到
且, 所以
(2·44)
由此可见, 椭圆轨道的周期仅与长半轴的大小有关 。 式
(2,44)也附带证明了开普勒第三定律：, 周期的平方与
椭圆轨道长半轴的立方成正比, 。
2 abT
h
??
ab?
2 2 2 2( 1 )b a c a e a p? ? ? ? ?
hp??
3 / 22Ta?
??
当航天器在椭圆轨道上距中心引力体距离为 r时, 其
速度大小 v可由能量式 (2·23)和 (2,34)求出, 即
可得 (2,45)
速度方向沿椭圆该点切线方向, 并与航天器运动方向一
致 。
2
2
v
r
?? ??
2a
???
112 ( )
2v ra???
2.3.4 圆轨道
圆是椭圆的特殊情况, 所以刚才推导出的用于椭圆
轨道的全部公式, 包括周期和速度的公式都能用于圆轨
道 。 当然, 圆轨道的长半轴 就是半径, 即,
代入式 (2,44)就得圆轨道周期为
(2,46)
航天器在圆周轨道上运行所必须具备的速度叫做圆
周速度 。 当然, 航天器必须在所需的高度以水平方向发
射, 才能实现圆形轨道 。 这时所说的圆周速度, 意味着
同时具有正确的大小和方向 。 在半径为 的圆轨道上运
行所需的速度大小 由式 (2,45)得到 ( )：
csr csra?
3 / 22
cs csTr
?
??
csr
csr r a??
(2,47)
可以看到, 圆轨道的半径越大, 航天器保持
在轨道上运行所需的速度就越小 。 对于低高度的
地球轨道, 圆周速度约为 7 900 m／ s；而月球在
其轨道上绕地球运行, 其圆周速度仅需约 900 m
／ s。 航天器在圆轨道上的速度恒定不变 。
cs
cs
v r??
2.3.5 抛物线轨道
虽然某些彗星的轨道近似于抛物线, 但在自然界中抛
物线轨道是较为罕见的 。 抛物线轨道引起人们的兴趣,
是因为它处在闭合轨道与非闭合轨道的分界状态 。 物体
以抛物线轨道运行, 那么它将一去不复返地飞向无穷远
处 。 当抛物线逐渐延伸时, 其上下两支将越来越趋于平
行, 而且由于 e=1,所以由式 (2,31)可得近拱点距离为
当然, 抛物线轨道不存在远拱点, 它可以看作是一个
,无限长的椭圆, 。
2p
pr ?
虽然, 从理论上说, 太阳或行星的引力场延伸以至
无穷远, 但其强度却随距离的增加迅速地减少, 所以只
须有限的动能就可克服引力的作用, 使物体飞向无穷远
而不再回来 。 能实现这一目的的最小速度称为逃逸速度 。
在任一方向上, 给航天器以逃逸速度, 则它将沿着抛物
线形的逃逸轨道运动 。 从理论上讲, 当它与中心引力体
间的距离接近无穷大时, 它的速度将接近于零 。 对逃逸
轨道上不同的两点写出其能量方程, 即可推导出所需的
逃逸速度 。
首先, 在离中心距离为 r的某点写出能量方程, 该点的
,当地逃逸速度, 为 ；然后对无穷远点写出能量方程,
无穷远点的速度 为零 。 由于能量不变, 所以得到
由此得
(2,48)
escv
v?
2 2
022e s cv vrr??? ?
?
? ? ? ? ?
2
escv r
??
若航天器在无穷远点的速度为零,则其比机械能
必定为零 。 又因为, 所以逃逸轨道的长半轴
a“必须是无穷大, 这证实了逃逸轨道确实是抛物线 。
正如预期的那样, 离中心引力体越远 (r越大 )则为了
逃逸出剩余引力场所需的速度就越小 。 地球表面的逃逸
速度为 1l 200 m／ s,而地面上空 3 400 km处的逃逸速
度仅需 7 900 m／ s。
?
2a
?? ??
2.3.6 双曲线轨道
撞击地球的流星和从地球上发射的星际探测器, 它们
相对于地球, 都是按双曲线轨道飞行的 。 如果要航天器
在脱离了地球引力场后, 还剩余一些速度, 则它们必须
按双曲线轨道飞行 。
双曲线的两臂渐近于两条交叉的直线 (渐近线 )。 若
把左边的焦点 F看作主焦点 (中心引力体质心位于此点 )，
那么只有左边的一支才是可能的轨道 。 反之, 若航天器
和位于 F的天体间有排斥力 (例如带有同种电荷的两个粒
子间的力 ),则右边的一支代表了运行轨道 。 参数, b和 c
都标在图 2,12上 。 显然, 对双曲线有
(2,49)2 2 2c a b??
若两渐近线间的夹角标为, 则它表示了航天器与
行星相遇时, 其轨道应拐过的角度 。 拐角 与双曲线的
几何参数的关系为
(2,50)
显然, 双曲线的偏心率越大, 拐角 越小 。
?
?
1si n
2
a
ce
? ??
?
因为比机械能沿轨道保持不变, 所以令熄火点处和无穷
远处的比机械能相等, 即
(2,51)
就可以得出
(2,52)
可见, 若 为零, 如同在抛物线轨道的情况, 熄火点速
度 可就变为逃逸速度 。
2 2
22
bo
bo
v v
rr
??? ?
?
? ? ? ?
2 2 2 22
b o b o e s c
bo
v v v vr ?? ? ? ? ?
bov
v?
2.4.1 坐标系
描述轨道的第一步是找到合适的参考坐标系 。 选取
的坐标系不同, 则描述轨道的形式和复杂程度就有所不
同, 直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易 。
2.4 航天器的轨道描述
1,日心黄道坐标系
正如该坐标系的名字所述,坐标系的原点在日心,
- 平面 (或称基准平面 )与黄道面一致 。 黄道面是地球
绕太阳运行的平面 。 黄道面与地球赤道面的交线, 如图
2,14所示, 确定为 轴的方向 。 在春季的第一天 (春分
点 ),日心和地心连线的指向为轴 的正向, 此方向称为
春分点方向, 天文学家以符号 表示, 因为它总是指向自
羊座方向 。 大家都知道, 好多个世纪以来, 地球在缓慢地
晃动, 地球旋转轴的方向也有缓慢的漂移 。 这种现象称为
进动, 它导致地球赤道平面和黄道平面交线的缓慢漂移 。
因此, 日心黄道坐标系实际上并不是一个惯性参考系 。 若
需要特别精确时, 就需要注明所用的 坐标系是根
据哪一特定年份 (或称, 历元, )的春分点方向建立的 。
s s s sO X Y Z
sO
sX
sX
sX
s s s sO X Y Z
2,地心赤道坐标系
地心赤道坐标系的原点在地心, 基准面是赤道平
面, 正 轴指向春分点, 轴指向北极 。 在看图 2,15时,
应记住坐标系 不是固定在地球上并跟随地球
转动的, 地心赤道坐标系相对于恒星才是不转动的 (除了
春分点的进动外 ),是地球相对于该坐标系旋转 。 I,J，
K分别是沿, 和 轴的单位矢量 。
c c c cO X Y Z
eO
eX eZ
c c c cO X Y Z
eZeX eY
3．赤经赤纬坐标系
与地心赤道坐标系密切相关的一个坐标系是赤经赤纬坐
标系 。 它的基准平面是天赤道面, 即地球赤道平面无限
延伸到一个假想的半径为无穷大的天球上所形成的平面 。
天体在天球上的投影位置用叫做赤经和赤纬的两个角来
描述 。 如图 2,16所示, 赤经是从天赤道面内由春分点开
始向东量度, 赤纬是从天赤道面向北量至视线 。
4．近焦点坐标系
描述航天器运动最方便的坐标系之一是近焦点坐标
系 。 该坐标系的基准面是航天器的轨道平面, 坐标轴
为, 和 。 轴指向近拱点, 在轨道面内按运动
方向从 轴转过 就是 ； 轴沿 方向, 它们构
成右手系的近焦点坐标系 。, 和 三轴方向的单位矢
量分别为, 和 (见图 2,17)。
O X Y Z? ? ? ?
Y? Z?
h
I? J? K?
90o
X? X?
X? Y? Z?
X? Y? Z?
2,4,2 经典轨道要素
基于以上定义的坐标系就可以描述航天器的轨道 。
航天器运行轨道的形状和其在间的位置, 可以通过 6个参
量来表示, 简称轨道要素或轨道根数 。 这些参量是相互
独立的, 而且通常具有十分明确的物理意义 。 下面就椭
圆轨道进行介绍 。
1,椭圆轨道要素
轨道六要素是描述和确定航天器轨道特征的量 (见图
2,18)。
(1)轨道倾角 i：航天器运行轨道所在的面叫轨道面,
这个平面通过地心, 它与地球赤道平面的夹角称为轨道
倾角 。
(2)升交点赤径,从春分点方向轴量起的升交点的
经度, 顺地球自转方向为正 。 0≤ ≤ 2 。
(3)近地点角距,投影在天球上的椭圆轨道近地点
与升交点对地心所张的角度, 从升交点顺航天器运行方
向量到近地点 。
(4)椭圆轨道的长半轴 。
(5)椭圆偏心率 e：, 其中 b是椭圆的短半
轴 。
(6)航天器过近地点的时刻 。
?
?
??
a
22 /e a b a??
pt
2,轨道参数的实际意义
(1)确定航天器轨道平面在空间的方位：由轨道倾角 i和升交点
赤经 确定。
当轨道倾角 时, 称为赤道轨道；当 时, 称为极轨道；
当 <i< 时, 航天器运行方向与地球自转方向相同, 称为顺
行轨道；当 <i< 时, 航天器运行方向与地球自转方向相
反, 称为逆行轨道；当 时, 航天器成为与地球自转方向
相反的赤道航天器 (见图 2,19)。
(2)确定椭圆长轴在轨道平面上的指向：由近地点角距 确定 。
(3)确定椭圆轨道的形状和大小：由长半轴 和偏心率 e确定 。
(4)确定航天器在轨道上的位置：由航天器过近地点时刻 把
时间和空间 (航天器在轨道上的位置 )联系起来 。
?
90i ? o0i? o
0o 90o
90o 180o
180i ? o
?
a
pt
2.4.3 星下点轨迹
轨道上的卫星 (S)与地心的连线 (径向直线 )在地面上
有一交点 ( ),这是卫星在地面的投影点, 称为星下点 。
随着卫星的运行, 星下点也在地面上连点成线, 这条线
称为卫星的星下点轨迹, 它反映了卫星相对于地球表面
的运动情况 。 若不考虑地球自转, 星下点轨迹是轨道面
与地球表面相交形成的大圆 。
卫星是在地球引力的作用下运动的, 其轨道平面经
过地球中心 。 同时, 卫星在运动过程中的比角动量不赤
随时间变化, 比角动量的方向指向轨道平面的法线方向,
因此, 轨道平面在空间的方位也不变, 这叫做轨道平面
的定向性 (见图 2,21,图 2,22)。
S?
由于轨道平面的定向性, 尽管地球自转, 轨道面却
不受地球自转的牵连, 因此, 地球自转和轨道面的定向
性两者的综合结果, 使星下点轨迹扩展到地面上更多的
区域 。 运行一周的卫星, 由于地球自转, 星下点向西移
动了一定经度 。 运行周期为 120 min的卫星, 经过 24 h，
将再次飞经一天前所经过的地点上空 。
2.4.4 几种典型轨道
1,地球同步轨道
地球同步轨道是指航天器绕地球运行的周期与地球自转
周期相同的轨道, 即航天器的轨道周期等于一个恒星日
(23 h 56 min 4,1 s)。 采用地球同步轨道的卫星, 称
为地球同步卫星, 也称 24 h同步卫星 。
地球自转周期近似为 24 h,若为圆轨道, 由式 (2,46)
可计算出：
轨道半径 r=6,63R,R——地球半径；
轨道高度 h=r-R=5,63R=35 810 km。
2,地球静止轨道
地球静止轨道是指轨道倾角的地球同步轨道 。 在这条轨
道上, 使航天器运行方向和
地球自转方向一致, 从地面上看, 航天器相对于地球是
静止的, 好像在天空的某个地方不动似的 。 采用静止轨
道的卫星, 称为静止卫星或定点卫星 。 因此, 静止轨道
特性体现如下：
(1)轨道倾角的赤道轨道；
(2)偏心率 e=0的圆形轨道；
(3)轨道高度 h≈ 36 000 km的高轨道；
(4)周期 T=23 h 56 min 4,1 s；
(5)环绕速度可 v=3,075 km／ s。
3,地球回归轨道
回归轨道是指星下点轨迹出现周期性重复的轨道 。
重复出现的周期称为回归周期 。 设地球自转角速度为,
航天器轨道面转动角速度为, 轨道周期为 T,那么回归
轨道就有下式成立：
(2,53)
式中, K和 N均为正态整数且不可简约, N为自然数, NT就
为回归周期 。 K称为回归天数, 即航天器旋转 K天才能实
现星下点轨迹的重复 。 K=l的回归轨道可称为一天回归轨
道 。
地球同步轨道和静止轨道可视为 K=1,N=1的回归轨道。
e?
?&
( ) 2eN T K??? ? ?&
4,太阳同步轨道
太阳同步轨道是指航天器轨道面转动角速度白与地球公转角
速度相同的轨道, 即航天器轨道面转动方向和周期与地球公
转的方向和周期相同 。 采用太阳同步轨道的卫星, 称为太阳
同步卫星 。
地球绕太阳一周为一恒星年, 平均每天约转过 。
另一方面, 地球扁率摄动引起轨道面的进动 。 对于逆行轨道,
轨道面转动的方向与地球公转的方向相同, 如果适当选择轨
道参数, 可使航天器轨道面在一恒星年内转动一周, 这样,
地球公转时, 轨道面与地日连线夹角 (光照角 )保持不变, 如
图 2,25所示的光照角为 。 太阳同步轨道的数学定义如
下：
(2,56)
式中, 为一恒星年 (约 365,24 d)。
2d
dt Y ?
??? ? ?&
37.5o
0.9856o
Y?
以上讨论的航天器运行轨道, 是一种理想情况, 它
与实际情况有差别 。 这是因为,① 地球并非理想的圆球
体； ② 没有考虑大气阻力对航天器运动的影响； ③ 没有
考虑其他天体对航天器的作用； ④ 没有考虑地球周围的
磁场等因素 。 这些因素, 使得航天器在实际上并不沿开
普勒轨道运动, 航天器轨道参数每时每刻都在变化, 从
而偏离由开普勒定律所确定的轨道, 这种偏离现象称为
摄动 。 为了使问题简化, 可把开普勒轨道作为卫星和其
他航天器的近似轨道, 这种根据理想情况得到的开普勒
轨道, 又叫做 无摄动轨道 。 研究摄动, 就是研究天体包
括人造天体的无摄动轨道在各种摄动因素影响下的变化
规律 。
2.5 航天器的轨道摄动
卫星和其他航天器的实际运动轨道就叫做 受摄开普勒轨道 。
1,地球扁率摄动
2,大气阻力摄动
3．月球和太阳引力摄动
4．辐射压摄动
5,电磁效应摄动
6．其他摄动
总之, 实际航天器的运动并不是简单的二体运动问题,
有许多非理想的因素都会使航天器的运动轨道发生摄动 。 尽
管摄动力较小, 但它们对于航天器轨道的长期影响是十分显
著的, 直接关系到航天器使命的完成 。
2.2二体轨道力学和运动方程
2.3航天器轨道的几何特性
2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.4航天器的轨道描述
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄
园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来
告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱
的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的
头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘ 伊
萨克和汉纳 ·牛顿之子伊萨克 ’ 。虽然没有什么贤人哲
士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界
的思想和习惯。,
牛顿
2.1 航天器轨道的基本定律
如果说 1642年的圣诞节迎来了理性的时代,那么完
全是由于有两个人为大约 50年后 牛顿 最伟大的发现奠定
了基础。一个是 第谷 ·布拉赫,他几十年如一日,极为细
致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是
约翰 ·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭
示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用
肩膀托起牛顿的, 巨人, 。
第谷．布拉赫 约翰．开普勒
2.1.1 开普勒定律
1．第一定律 ——椭圆律
每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的
一个焦点上。
因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离
太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，
如图 2,1所示。
2．第二定律 ——面积律
由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的
面积。
在图所示中,S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到
t1,t2,t3,t4,t5,t6,时刻的位置。如果从 S1到 S2的时间间
隔和 S3到 S4, S5到 S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面
积 S1OS2,S3OS4,S5OS6也都相等，可表示为
dA/dt=常量
开普勒第二定律
开普勒第二定律
式中,dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫
做 面积速度 。
为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的
路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行
的路程 S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规
律，叫做 面积速度守恒 。
3．第三定律 ——周期律
行星绕太阳公转的周期 T的平方与椭圆轨道的长半径 a
的立方成正比。即
a3/T2=K
它说明, 行星椭圆轨道的长半径越大, 周期就越长, 而
且周期仅取决于长半径 。
图 2,3 开普勒第三定律
图 2,3表示 3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都
相等，周期也就相同 。
2.1.2 牛顿定律
第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运
动的状态, 除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状
态 。
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比, 且与作
用力的方向相同 。
第三运动定律 对每一个作用, 总存在一个大小相等的
反作用 。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
2g
G M m
rr
rF ?? rr
式中,Fg为由于质量引起的作用在质量 m上的力矢量；
r为从到 m的距离矢量。万有引力常数 G的值为
G =6,670× 10-13 N·cm2／ g2。
2.2 二体轨道力学和运动方程
2.2.1 N体问题
为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，
在该坐标系内,n个质量的位置分别为,此系
统如图 2.4所示。 12
,,,nr r rL
由牛顿万有引力定律得出,作用在 上的力
为
(2.5)
式中
(2.6)
作用在第 i个物体上的所有引力的矢量和 为
(2.7)
nm im gnF
r
3 ()
in
g n n i
ni
G m m
rFr??
r r
ni i nr r r??
r r r
gF
r
1
()
n
j
g i ji
j ji
ji
mGm
rFr?
?
?? ?
r r
图 2.4中所示的其他外力, 包括阻力, 推力, 太阳辐
射压力, 由于非球形造成的摄动力等 。 作用在第 i个物体
上的合力称为, 其表达式为
(2.8)
(2.9)
现在应用牛顿第二运动定律
(2.10)
Fr其他
Fv总
gF F F??
v v v
总 其他
F F F F F? ? ? ? ? Lv v v v v其他 阻力 推力 太阳压力 干扰
()iid mdt vF?
rr
总
把对时间的导数展开, 得到
(2.11)
如前所述, 物体可能不断排出某些质量以产生推力 。 在
这种情况下, 式 (2.11)中的第二项就不等于零 。 某些与
相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化 。 式
(2.11)各项除以, 就得出第 i个物体的一般运动方
程为
(2.12)
ii
ii
d d mm
d t d t
v vF??r rr
总
im
im
i
ii
ii
m
mm
Frr?? &
r
&& &总
im
方程式 (2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程, 这种
形式的微分方程是很难求解的 。 假定第 i个物体的质量保
持不变 （ 即无动力飞行, =0）, 同时还假定阻力和其
他外力也不存在 。 这样, 惟一存在的力为引力, 于是方
程式 (2.12)简化成
(2.13)
im&
3
1
()
n
j
i ji
j ji
ji
m
G
r
rr
?
?
?? ?&&
不失一般性, 假定 为一个绕地球运行的航天器, 为地
球, 而余下的 可以是月球, 太阳和其他行
星 。 于是对 i=1的情况, 写出方程式 (2.13)的具体形式,
得到
(2.14)
对 i=2的情况, 方程式 (2.13)变成
(2.15)
2m 1m
34,,nm m mL
113
2 1
()
n
j
j
j j
mG
rrr??? ?
&&
223
1 2
2
()
n
j
j
j j
j
m
G
r
rr
?
?
?? ?&&
根据式 (2.6),有 (2.16)
于是有 (2.17)
将式 (2,14)和 (2,15)代人式 (2,17)得到
(2.18)
因为, 所以
(2.19)
2 1 1 2r r r??
r r r
2 1 1 2r r r??
r r r&& && &&
2 1 2 133
2112
2
( ) ( )jjjj
nn
jj
j
GGmmrrr r r
??
?
????
r r r&&
12 21rr??
12
2 1 2 13 3 3
2 1 2 1
21
3
) ( ) ( )(
j
jj
n jj
j
G m m Gm
r r r
rrrr
?
?? ? ? ??
rr
&&
为了进一步简化这一方程, 需要确定摄动影响与航
天器和地球间的引力相比有多大 。 表 2,1 列出了一个高
度为 370 km的航天器的各相对加速度 (不是摄动加速度 )，
同时还列出了地球的非球形 (偏状 )造成的影响, 以供比
较 。
分析表 2,1中的数据容易
看出，围绕地球运行的航天器
受到地球的引力占有主导地位，
因此进一步简化运动方程式
(2,19)，简化 N体问题是可能
和合理的。
表 2.1
首先, 作两个简化假设：
(1)物体为球对称的, 这样就可以把物体看作质量集
中在其中心 。
(2)除了沿两物体中心连线作用的引力外, 没有其他
外力和内力作用 。
其次, 确定一个惯性坐标系 (无加速度的和无转动的
坐标系 )以便测量物体的运动状态 。 牛顿描述惯性坐标系
时说：此坐标系固定在绝对空间内,, 按其本质来说,
它与外界无任何关系, 永远保持那样并且不动, 。
2.2.2 二体问题和运动方程
考虑质量分别为 M和 m的两个物体构成的系统，如图
2,5所示。设 为惯性坐标系,OXYZ为原点在
质量为 M的物体质心上的不转动的，且与 平行
的坐标系。物体 M和 m在坐标系内的位置矢量分别为
和,并定义
现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，
' ' ' 'O X Y Z
' ' ' 'O X Y Z
Mr
mr
mMr r r??
' ' ' 'O X Y Z
得到
即
得
（ 2.20）
2mm
G M m
rr
rr ??&&
2MM
G M m
rr
rr ?&&
3m
GM
rrr??&& 3M Gmrrr?&&
3
()
mM
G M m
rr r r r? ? ? ?
?
方程式 (2,20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。
考虑到实际情况有
为了方便和具有一般性, 称 M为中心引力体, 定义引力参
数 。 于是式 (2,20)变为
(2,21)
此即为二体运动方程 。 对不同的中心引力体, 的值不
同 。 对于地球, ； 对于太阳,
()G M m G M??
3 0rrr
? ??&&
?
3 3 23, 9 8 6 0 1 2 1 0 /k m s? ??
GM? ?
1 1 3 21, 3 2 7 1 5 4 1 0 /k m s? ??
2.2.3 轨道运动常数
1．机械能守恒
用 与式 (2,21)作点乘, 且,,得到
因为由矢量运算法则, 故
并且注意到
和
r& vr?& vr?& &
33 0rrr r r r v v r r
??? ? ? ? ? ? ? ?& && & & &
a a a a???rr& &
3 0vv rrr
???&&
2
()2dv vvdt ? & 2()d rdt r r???? &
故
更具一般性地, 上式可以写为
式中, c为任意常数 。 由此, 下式定义的量必为常数：
称为比机械能。
2
( ) 02dvd t r???
2
( ) 02dv cd t r?? ? ?
2
( ) =2v c r?? ? ? ? 常数
?
于是, 可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时, 卫
星的比机械能 (即单位质量的动能和单位质量的势能
之和 )既不增加, 也不减少, 而是保持常值 。 的表达式
为
(2,23)2
2
v
r
?? ??
?
?
2．角动量守恒
用 叉乘式 (2,21),得到
因为 总是成立, 故上式左边第二项为零, 得
注意到 所以有
或
矢量 必定为一运动常数, 简记为, 称作比角动
量 。 至此已经证明了航天器的比角动量 沿着其轨道为
一常数, 的表达式为
r
3 0rr r r r
?? ? ? ?&&
0aa??
0rr??&&
()ddt r r r r r r?? ? ? ?& & & &&
( ) 0ddt rr ?? & ( ) 0ddt rv ??
rv? h
h
h
(2,24)
因为 为 和 的矢量叉积, 因此, 它必定与包含
和 的平面正交 。 但 为一恒定矢量, 所以 和 必定
总在同一平面内 。 由此可以证明航天器的运动必定限制
于一个在空间固定的平面内, 称为 轨道平面 。 轨道平面
具有定向性 。
h r v??
h
h
r v r
v r v
2.3.1 轨道的几何方程
将方程式 (2,21)两边同时与 h叉乘，有
(2,26)
考虑到 h守恒和矢量运算规则
及,所以
2.3 航天器轨道的几何特性
33rrr h r h h r
??? ? ? ? ? ?&&
( ) ( ) ( )a b c b a c a b c? ? ? ? ? ?
rrrr?? &&
()ddt r h r h r h r h?? ? ? ? ? ?&& && & &&
于是, 可以将式 (2,26)改写为
两边积分得
这里 B是积分常矢量 。 用 r点乘该式就得到标量方程
( ) ( )ddd t d t rrrh ???&
r
rr h B? ???&
r
rr r h r r B? ?? ? ? ? ?&
显然, 轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方
程, 中心引力体质心即为极坐标的原点, 位于一焦点上,
极角 v为 r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间
的夹角, 常数 p称为, 半正焦弦,, 常数 e称为, 偏心
率,, 它确定了方程式 (2,28)表示的圆锥曲线的类型,
如图 2,7所示 。
(1)圆锥曲线族 (圆, 椭圆, 抛物线, 双曲线 )为二体问
题中的航天器惟一可能的运动轨道 。
(2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点 。
(3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时, 其比机械能 (单
位质量的动能和势能之和 )保持不变 。
(4)航天器绕中心引力体运动, 当 r和 v沿轨道变化时,
比角动量 h保持不变 。
(5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内 。
至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：
航天器的轨道
第一宇宙速度 第二宇宙速度
V1
V1 V2
2.3.2 轨道的几何性质
1．圆锥曲线轨道的几何参数
圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线 4种类型
的轨道。图 2,8给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几
何参数和关系。
图 2,8 圆锥曲线共同的几何参数
除了抛物线之外, 所有的圆锥曲线均有偏心率
(2·29)
和
(2·30)
ce
a?
2(1 )p a e??
2,轨道的近拱点和远拱点
轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为
近拱点，离主焦点远的称为远拱点。
主焦点至近拱点或远拱点 (若存在的话 )的距离，只
须在极坐标圆锥曲线的一般方程式 (2,28)中以 v=0o或
v=180o代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有
近拱点
远拱点
将式 (2,30)代人上两式即得
m a x 1 c os 180 ppr r re?? ? o @近拱m in 1 c o s 0 ppr re? o @近拱
m in 1 c os 0 p
prr
e? ? o @
m a x 1 c os 0 a
prr
e? ? o @
(2.31)
(2.32)
另外, 在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点 (若存
在 )处, 总有 所以作为方程式 (2,25)的一个特殊
情况, 可以写出
(2.33)
式中,,分别为两个拱点的速度
rv?
(1 )1p pr a ee? ? ??
(1 )1a pr a ee? ? ??
p p a ah r v r v??
pv av
p p a avvvv??
3,轨道形状与比机械能
对近拱点写出航天器的能量方程式 (2,23),并将
式 (2,33)代人其中, 得
根据方程式 (2,30)和 有
因此
由此得 (2·34)
22
222
pp
vh
r r r
??? ? ? ? ?
2 /ph ??
22(1 )h a e???
2
22
( 1 )
2 ( 1 ) ( 1 )
ae
a e a e
??? ???
??
2 a
?? ??
对所有圆锥曲线轨道均成立的这个简单的关系式表
明, 轨道的长半轴 a仅与航天器的比机械能 有关 。 进一
步说, 仅与轨道上任一点的 r和 v有关, 即
圆和椭圆轨道,a>O,航天器的比机械能 <O；
抛物线轨道,a=∞, 航天器的比机械能 =O；
双曲线轨道,a<O,航天器的比机械能 >0。
因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器
处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。
?
?
?
?
?
进一步地，由于 以及式 (2.30)和 (2.34)成
立，因此对任何圆锥曲线轨道均有
(2,35)
可见,h单独决定了 p，而 单独决定了 a，它们共同决定
了 e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到
且对于一般航天器而言,r>O,v>O，所以航迹角
(0≤ ≤180 o)的取值决定了 h的符号。
当 ≠ 90o时，即 h≠O 时，
若 <O，则 e<1，为椭圆和圆轨道；
若 =O，则 e=1，为抛物线轨道；
若 >0，则 e>1，为双曲线轨道。
2 /ph ??
2
2
21 he ?
???
?
cosh rv ??
?
?
?
?
?
?
当 =90o，即 h=O时，无论 取值如何,e=1。此时，
航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前
位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。
? ?
2.3.3 椭圆轨道
太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天
器的轨道都是封闭曲线 ——椭圆 。 首先考察一下仅对椭
圆轨道适用的几何特性, 然后再推导航天器沿椭圆轨道
运动的周期和速度 。
图 2.9显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出
的方法, 以及椭圆轨道参数之间的关系 。
观察可知, 椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满
足
并且椭圆轨道近拱点半径 和远拱点半径 与椭圆的
几何参数之间有如下关系：
(2,36)
(2,37)
可得
(2,38)
若将椭圆的短半轴记作 b,则有
(2,39)
2r r a???
pr ar
2apr r a??
2apr r c??
ap
ap
rrce
a r r
???
?
2 2 2a b c??
接着考察椭圆轨道周期 。
由图 2.10可以看到, 航天器速度的水平分量为,
也可以写成, 根据方程式 (2,25),可将航天器的比角
动量表示为
即 (2.40)
由初等微积分知道, 矢径转过一角度 时, 所扫过
的面积微元 dA可由下式给出 (见图 2,11)
(2.41)
osvc ?
rv&
2rd
h dt??
2dt dA
h?
d?
21
2dA r d??
于是, 可以将式 (2,41)改写为
(2.42)
对于任何给定的轨道, h为一常数, 所以式
(2,42)证明了开普勒第二定律：, 相等的时间
间隔内矢径扫过的面积相等 。,
2dt dA
h?
在一个轨道周期内, 矢径扫过整个椭圆 。 对式 (2,42)在
一个周期内进行积分得出
(2·43)
这里 为整个椭圆的面积, T为周期 。 由式 (2,39)、
(2·29)和 (2·30)得到
且, 所以
(2·44)
由此可见, 椭圆轨道的周期仅与长半轴的大小有关 。 式
(2,44)也附带证明了开普勒第三定律：, 周期的平方与
椭圆轨道长半轴的立方成正比, 。
2 abT
h
??
ab?
2 2 2 2( 1 )b a c a e a p? ? ? ? ?
hp??
3 / 22Ta?
??
当航天器在椭圆轨道上距中心引力体距离为 r时, 其
速度大小 v可由能量式 (2·23)和 (2,34)求出, 即
可得 (2,45)
速度方向沿椭圆该点切线方向, 并与航天器运动方向一
致 。
2
2
v
r
?? ??
2a
???
112 ( )
2v ra???
2.3.4 圆轨道
圆是椭圆的特殊情况, 所以刚才推导出的用于椭圆
轨道的全部公式, 包括周期和速度的公式都能用于圆轨
道 。 当然, 圆轨道的长半轴 就是半径, 即,
代入式 (2,44)就得圆轨道周期为
(2,46)
航天器在圆周轨道上运行所必须具备的速度叫做圆
周速度 。 当然, 航天器必须在所需的高度以水平方向发
射, 才能实现圆形轨道 。 这时所说的圆周速度, 意味着
同时具有正确的大小和方向 。 在半径为 的圆轨道上运
行所需的速度大小 由式 (2,45)得到 ( )：
csr csra?
3 / 22
cs csTr
?
??
csr
csr r a??
(2,47)
可以看到, 圆轨道的半径越大, 航天器保持
在轨道上运行所需的速度就越小 。 对于低高度的
地球轨道, 圆周速度约为 7 900 m／ s；而月球在
其轨道上绕地球运行, 其圆周速度仅需约 900 m
／ s。 航天器在圆轨道上的速度恒定不变 。
cs
cs
v r??
2.3.5 抛物线轨道
虽然某些彗星的轨道近似于抛物线, 但在自然界中抛
物线轨道是较为罕见的 。 抛物线轨道引起人们的兴趣,
是因为它处在闭合轨道与非闭合轨道的分界状态 。 物体
以抛物线轨道运行, 那么它将一去不复返地飞向无穷远
处 。 当抛物线逐渐延伸时, 其上下两支将越来越趋于平
行, 而且由于 e=1,所以由式 (2,31)可得近拱点距离为
当然, 抛物线轨道不存在远拱点, 它可以看作是一个
,无限长的椭圆, 。
2p
pr ?
虽然, 从理论上说, 太阳或行星的引力场延伸以至
无穷远, 但其强度却随距离的增加迅速地减少, 所以只
须有限的动能就可克服引力的作用, 使物体飞向无穷远
而不再回来 。 能实现这一目的的最小速度称为逃逸速度 。
在任一方向上, 给航天器以逃逸速度, 则它将沿着抛物
线形的逃逸轨道运动 。 从理论上讲, 当它与中心引力体
间的距离接近无穷大时, 它的速度将接近于零 。 对逃逸
轨道上不同的两点写出其能量方程, 即可推导出所需的
逃逸速度 。
首先, 在离中心距离为 r的某点写出能量方程, 该点的
,当地逃逸速度, 为 ；然后对无穷远点写出能量方程,
无穷远点的速度 为零 。 由于能量不变, 所以得到
由此得
(2,48)
escv
v?
2 2
022e s cv vrr??? ?
?
? ? ? ? ?
2
escv r
??
若航天器在无穷远点的速度为零,则其比机械能
必定为零 。 又因为, 所以逃逸轨道的长半轴
a“必须是无穷大, 这证实了逃逸轨道确实是抛物线 。
正如预期的那样, 离中心引力体越远 (r越大 )则为了
逃逸出剩余引力场所需的速度就越小 。 地球表面的逃逸
速度为 1l 200 m／ s,而地面上空 3 400 km处的逃逸速
度仅需 7 900 m／ s。
?
2a
?? ??
2.3.6 双曲线轨道
撞击地球的流星和从地球上发射的星际探测器, 它们
相对于地球, 都是按双曲线轨道飞行的 。 如果要航天器
在脱离了地球引力场后, 还剩余一些速度, 则它们必须
按双曲线轨道飞行 。
双曲线的两臂渐近于两条交叉的直线 (渐近线 )。 若
把左边的焦点 F看作主焦点 (中心引力体质心位于此点 )，
那么只有左边的一支才是可能的轨道 。 反之, 若航天器
和位于 F的天体间有排斥力 (例如带有同种电荷的两个粒
子间的力 ),则右边的一支代表了运行轨道 。 参数, b和 c
都标在图 2,12上 。 显然, 对双曲线有
(2,49)2 2 2c a b??
若两渐近线间的夹角标为, 则它表示了航天器与
行星相遇时, 其轨道应拐过的角度 。 拐角 与双曲线的
几何参数的关系为
(2,50)
显然, 双曲线的偏心率越大, 拐角 越小 。
?
?
1si n
2
a
ce
? ??
?
因为比机械能沿轨道保持不变, 所以令熄火点处和无穷
远处的比机械能相等, 即
(2,51)
就可以得出
(2,52)
可见, 若 为零, 如同在抛物线轨道的情况, 熄火点速
度 可就变为逃逸速度 。
2 2
22
bo
bo
v v
rr
??? ?
?
? ? ? ?
2 2 2 22
b o b o e s c
bo
v v v vr ?? ? ? ? ?
bov
v?
2.4.1 坐标系
描述轨道的第一步是找到合适的参考坐标系 。 选取
的坐标系不同, 则描述轨道的形式和复杂程度就有所不
同, 直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易 。
2.4 航天器的轨道描述
1,日心黄道坐标系
正如该坐标系的名字所述,坐标系的原点在日心,
- 平面 (或称基准平面 )与黄道面一致 。 黄道面是地球
绕太阳运行的平面 。 黄道面与地球赤道面的交线, 如图
2,14所示, 确定为 轴的方向 。 在春季的第一天 (春分
点 ),日心和地心连线的指向为轴 的正向, 此方向称为
春分点方向, 天文学家以符号 表示, 因为它总是指向自
羊座方向 。 大家都知道, 好多个世纪以来, 地球在缓慢地
晃动, 地球旋转轴的方向也有缓慢的漂移 。 这种现象称为
进动, 它导致地球赤道平面和黄道平面交线的缓慢漂移 。
因此, 日心黄道坐标系实际上并不是一个惯性参考系 。 若
需要特别精确时, 就需要注明所用的 坐标系是根
据哪一特定年份 (或称, 历元, )的春分点方向建立的 。
s s s sO X Y Z
sO
sX
sX
sX
s s s sO X Y Z
2,地心赤道坐标系
地心赤道坐标系的原点在地心, 基准面是赤道平
面, 正 轴指向春分点, 轴指向北极 。 在看图 2,15时,
应记住坐标系 不是固定在地球上并跟随地球
转动的, 地心赤道坐标系相对于恒星才是不转动的 (除了
春分点的进动外 ),是地球相对于该坐标系旋转 。 I,J，
K分别是沿, 和 轴的单位矢量 。
c c c cO X Y Z
eO
eX eZ
c c c cO X Y Z
eZeX eY
3．赤经赤纬坐标系
与地心赤道坐标系密切相关的一个坐标系是赤经赤纬坐
标系 。 它的基准平面是天赤道面, 即地球赤道平面无限
延伸到一个假想的半径为无穷大的天球上所形成的平面 。
天体在天球上的投影位置用叫做赤经和赤纬的两个角来
描述 。 如图 2,16所示, 赤经是从天赤道面内由春分点开
始向东量度, 赤纬是从天赤道面向北量至视线 。
4．近焦点坐标系
描述航天器运动最方便的坐标系之一是近焦点坐标
系 。 该坐标系的基准面是航天器的轨道平面, 坐标轴
为, 和 。 轴指向近拱点, 在轨道面内按运动
方向从 轴转过 就是 ； 轴沿 方向, 它们构
成右手系的近焦点坐标系 。, 和 三轴方向的单位矢
量分别为, 和 (见图 2,17)。
O X Y Z? ? ? ?
Y? Z?
h
I? J? K?
90o
X? X?
X? Y? Z?
X? Y? Z?
2,4,2 经典轨道要素
基于以上定义的坐标系就可以描述航天器的轨道 。
航天器运行轨道的形状和其在间的位置, 可以通过 6个参
量来表示, 简称轨道要素或轨道根数 。 这些参量是相互
独立的, 而且通常具有十分明确的物理意义 。 下面就椭
圆轨道进行介绍 。
1,椭圆轨道要素
轨道六要素是描述和确定航天器轨道特征的量 (见图
2,18)。
(1)轨道倾角 i：航天器运行轨道所在的面叫轨道面,
这个平面通过地心, 它与地球赤道平面的夹角称为轨道
倾角 。
(2)升交点赤径,从春分点方向轴量起的升交点的
经度, 顺地球自转方向为正 。 0≤ ≤ 2 。
(3)近地点角距,投影在天球上的椭圆轨道近地点
与升交点对地心所张的角度, 从升交点顺航天器运行方
向量到近地点 。
(4)椭圆轨道的长半轴 。
(5)椭圆偏心率 e：, 其中 b是椭圆的短半
轴 。
(6)航天器过近地点的时刻 。
?
?
??
a
22 /e a b a??
pt
2,轨道参数的实际意义
(1)确定航天器轨道平面在空间的方位：由轨道倾角 i和升交点
赤经 确定。
当轨道倾角 时, 称为赤道轨道；当 时, 称为极轨道；
当 <i< 时, 航天器运行方向与地球自转方向相同, 称为顺
行轨道；当 <i< 时, 航天器运行方向与地球自转方向相
反, 称为逆行轨道；当 时, 航天器成为与地球自转方向
相反的赤道航天器 (见图 2,19)。
(2)确定椭圆长轴在轨道平面上的指向：由近地点角距 确定 。
(3)确定椭圆轨道的形状和大小：由长半轴 和偏心率 e确定 。
(4)确定航天器在轨道上的位置：由航天器过近地点时刻 把
时间和空间 (航天器在轨道上的位置 )联系起来 。
?
90i ? o0i? o
0o 90o
90o 180o
180i ? o
?
a
pt
2.4.3 星下点轨迹
轨道上的卫星 (S)与地心的连线 (径向直线 )在地面上
有一交点 ( ),这是卫星在地面的投影点, 称为星下点 。
随着卫星的运行, 星下点也在地面上连点成线, 这条线
称为卫星的星下点轨迹, 它反映了卫星相对于地球表面
的运动情况 。 若不考虑地球自转, 星下点轨迹是轨道面
与地球表面相交形成的大圆 。
卫星是在地球引力的作用下运动的, 其轨道平面经
过地球中心 。 同时, 卫星在运动过程中的比角动量不赤
随时间变化, 比角动量的方向指向轨道平面的法线方向,
因此, 轨道平面在空间的方位也不变, 这叫做轨道平面
的定向性 (见图 2,21,图 2,22)。
S?
由于轨道平面的定向性, 尽管地球自转, 轨道面却
不受地球自转的牵连, 因此, 地球自转和轨道面的定向
性两者的综合结果, 使星下点轨迹扩展到地面上更多的
区域 。 运行一周的卫星, 由于地球自转, 星下点向西移
动了一定经度 。 运行周期为 120 min的卫星, 经过 24 h，
将再次飞经一天前所经过的地点上空 。
2.4.4 几种典型轨道
1,地球同步轨道
地球同步轨道是指航天器绕地球运行的周期与地球自转
周期相同的轨道, 即航天器的轨道周期等于一个恒星日
(23 h 56 min 4,1 s)。 采用地球同步轨道的卫星, 称
为地球同步卫星, 也称 24 h同步卫星 。
地球自转周期近似为 24 h,若为圆轨道, 由式 (2,46)
可计算出：
轨道半径 r=6,63R,R——地球半径；
轨道高度 h=r-R=5,63R=35 810 km。
2,地球静止轨道
地球静止轨道是指轨道倾角的地球同步轨道 。 在这条轨
道上, 使航天器运行方向和
地球自转方向一致, 从地面上看, 航天器相对于地球是
静止的, 好像在天空的某个地方不动似的 。 采用静止轨
道的卫星, 称为静止卫星或定点卫星 。 因此, 静止轨道
特性体现如下：
(1)轨道倾角的赤道轨道；
(2)偏心率 e=0的圆形轨道；
(3)轨道高度 h≈ 36 000 km的高轨道；
(4)周期 T=23 h 56 min 4,1 s；
(5)环绕速度可 v=3,075 km／ s。
3,地球回归轨道
回归轨道是指星下点轨迹出现周期性重复的轨道 。
重复出现的周期称为回归周期 。 设地球自转角速度为,
航天器轨道面转动角速度为, 轨道周期为 T,那么回归
轨道就有下式成立：
(2,53)
式中, K和 N均为正态整数且不可简约, N为自然数, NT就
为回归周期 。 K称为回归天数, 即航天器旋转 K天才能实
现星下点轨迹的重复 。 K=l的回归轨道可称为一天回归轨
道 。
地球同步轨道和静止轨道可视为 K=1,N=1的回归轨道。
e?
?&
( ) 2eN T K??? ? ?&
4,太阳同步轨道
太阳同步轨道是指航天器轨道面转动角速度白与地球公转角
速度相同的轨道, 即航天器轨道面转动方向和周期与地球公
转的方向和周期相同 。 采用太阳同步轨道的卫星, 称为太阳
同步卫星 。
地球绕太阳一周为一恒星年, 平均每天约转过 。
另一方面, 地球扁率摄动引起轨道面的进动 。 对于逆行轨道,
轨道面转动的方向与地球公转的方向相同, 如果适当选择轨
道参数, 可使航天器轨道面在一恒星年内转动一周, 这样,
地球公转时, 轨道面与地日连线夹角 (光照角 )保持不变, 如
图 2,25所示的光照角为 。 太阳同步轨道的数学定义如
下：
(2,56)
式中, 为一恒星年 (约 365,24 d)。
2d
dt Y ?
??? ? ?&
37.5o
0.9856o
Y?
以上讨论的航天器运行轨道, 是一种理想情况, 它
与实际情况有差别 。 这是因为,① 地球并非理想的圆球
体； ② 没有考虑大气阻力对航天器运动的影响； ③ 没有
考虑其他天体对航天器的作用； ④ 没有考虑地球周围的
磁场等因素 。 这些因素, 使得航天器在实际上并不沿开
普勒轨道运动, 航天器轨道参数每时每刻都在变化, 从
而偏离由开普勒定律所确定的轨道, 这种偏离现象称为
摄动 。 为了使问题简化, 可把开普勒轨道作为卫星和其
他航天器的近似轨道, 这种根据理想情况得到的开普勒
轨道, 又叫做 无摄动轨道 。 研究摄动, 就是研究天体包
括人造天体的无摄动轨道在各种摄动因素影响下的变化
规律 。
2.5 航天器的轨道摄动
卫星和其他航天器的实际运动轨道就叫做 受摄开普勒轨道 。
1,地球扁率摄动
2,大气阻力摄动
3．月球和太阳引力摄动
4．辐射压摄动
5,电磁效应摄动
6．其他摄动
总之, 实际航天器的运动并不是简单的二体运动问题,
有许多非理想的因素都会使航天器的运动轨道发生摄动 。 尽
管摄动力较小, 但它们对于航天器轨道的长期影响是十分显
著的, 直接关系到航天器使命的完成 。
