第五章 航天器的被动姿态控制系统
5.1 自旋卫星的稳定性和章动性
5.2 自旋卫星的章动阻尼
5.3 双自旋卫星稳定系统
5.4 重力梯度稳定系统
5.5 重力梯度稳定卫星的天平动阻尼
自旋稳定的原理：利用航天器绕自旋轴旋转所获得的陀
螺定轴性, 使航天器的自旋轴方向在惯性空间定向 。
主要优点：简单 。
抗干扰 。
因为当自旋航天器受到恒定干扰
力矩作用时, 其自旋轴是以速度漂移,
而不是以加速度漂移 。 自旋稳定能使航天器发动机的推力偏
心影响减至最小 。
5.1 自旋卫星的稳定性和章动性
点击观看虚拟现实演示
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5.1.1 自旋卫星的稳定性
令坐标系 是卫星的主轴本体坐标系, 从而卫星
的主惯量分别为,, ；惯量积为零 。 那么卫星姿态
自由转动 ( )的欧拉动力学方程即可由式 (3.33)
(3.33)
Oxyz
xI yI zI
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5.1.1 自旋卫星的稳定性
令坐标系 是卫星的主轴本体坐标系, 从而卫星
的主惯量分别为,, ；惯量积为零 。 那么卫星姿态
自由转动 ( )的欧拉动力学方程即可由式 (3.33)得
(5.1)
Oxyz
xI yI zI
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式中,,,是卫星对空间的瞬时转速 在本体坐标
系 各轴上的分量 。 要分析自旋体自由运动的性质,
必 须 从 欧 拉 动 力 学 方 程 式 (5.1) 中 解 出 星 体 角 速
率,,。
不失一般性, 假设卫星绕 轴自旋, 且
(1)星体相对于自旋轴是轴对称的, 即 ;
(2), 。
x? y? z? ω
x? y? z
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Ox
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为此，式 (5.1)可以进行简化，得出
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
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将式 (5.2b)和 (5.2c)相互替代, 则上式化为
= 常数 (5.3a)
(5.3b)
(5.3c)
式中
(5.4)
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y
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显然, 要使卫星绕自旋轴 旋转稳定, 必须使, 始
终为微量, 满足条件,, 即动力学方程式
(5,3)的, 解必须是李雅普诺夫意义下稳定的 。 其
充要条件是
由式 (5,4)分析得满足的条件是：
(a) 且, 即星体绕最大主惯量轴旋转；
(b) 且, 即星体绕最小主惯量轴旋转 。
当条件 (a)或 (b)成立时, 和 将在有限值内振
荡；反之, 和 将发散, 并导致自旋轴翻滚 。
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yx II ? zx II ?
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Ox
由上述简单分析得知, 自旋轴为最大惯量轴 (a)和最
小惯量轴 (b)都是稳定的, 星体保持自旋稳定的结构形状
如图 5.2所示 。
1958年美国发射第一颗人造地球卫星, 探险者 — 1
号, (Explorer— I),它是一个长圆柱体, 带有四根横
向伸出的挠性鞭状天线 (见图 5.3)。 本来要使卫星绕其
最小惯量轴自旋稳定, 但运行一个轨道周期之后, 卫星
便显示出半角为 1 rad的进动运动 。 在几天之内, 卫星
获得了另一种本质上稳定的运动 — 绕其最大惯量轴旋转 。
“探险者 -51号”
但是在这次飞行前, 人们没有怀疑过绕最小惯量轴
旋转的稳定性 。 从此例可以看出 实践出真知 的道理 。
点击观看虚拟现实演示
上面分析过, 一个绝对刚体无论绕最大惯量轴或者
绕最小惯量轴的旋转都是稳定的, 但是由于鞭状天线的
弯曲提供了一种通过结构阻尼耗散能量的机构, 所以
,探险者一 1号, 并不是刚体 。 因为损失了机械能, 动量
矩守恒原理迫使卫星绕着一根与旋转对称轴倾斜的轴进
动, 进动和弯曲运动的动力学耦合能使能量耗散过程继
续下去, 直到获得最小能量动力学状态, 绕最大惯量轴
旋转 。
综上所述, 假设对称自旋卫星近似于刚体,不受外力
矩作用, 定义自旋轴惯量 与横向轴惯量 之比为
惯量比, 即
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t
x
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I
I
I
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则自旋卫星的稳定准则就可以总结如下：
若, 卫星是短粗的, 短粗卫星自旋运动稳定 。
若, 卫星是细长的, 细长卫星自旋运动不稳
定 。
注意，在工程上为了确保稳定性，应设计至少
1??
1??
05.1??
5.1.2 自旋卫星的章动性
为了便于分析, 仍考虑航天器是相对于自旋轴 对
称的星体的情况, 即 。 此时, 线性化
的欧拉动力学方程式 (5,1)可写为
= 常数 （ 5.5a）
(5.5b)
(5.5c)
式中
(5.6)
Ox
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0xx???
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0x
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I
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从方程组式 (5.5)可以看出, 对称自旋卫星的自旋
运动是独立的, 它和横向运动之间没有耦合作用 。 设横
向运动的初始状态分别为,,,,
求解方程组式 (5.5)得
(5.7)
(5.8)
从上两式可以看出对称自旋卫星姿态运动的特点是在本
体坐标系中, 横向角速度分量, 周期性地变化,
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周期为, 幅值取决于它们的初始值, 而自旋转速
始终为常值 。
用 乘方程式 (5.5b),用 乘方程式 (5.5c),将
两结果相加得
这表明 为常数, 为此定义合成角速率
常值 (5.9)
于是, 在本体坐标系中, 星体的转速矢量 可以表达为
(5.10)
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txzyx ω ωikjiω ????? ???
式中, 是, 的合成角速度矢量 。
由于它们处在和自旋轴垂直的平面内, 因此称之为横向
角速度 。 由于 和 周期性变化, 所以在本体坐标系
Oyz平面内, 绕 Ox轴以速率 旋转, 而幅值 恒定 。
由此可见, 星体的瞬时转速 绕自旋轴 Ox 作圆锥运动,
如图 5.4所示 。
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点
击
观
看
虚
拟
现
实
演
示
考虑到在无外力矩作用下, 航天器动量矩 H守恒, 即
在空间中固定不变, 以此为基准便可以进一步讨论自旋
卫星的运动规律 。
由式 (3,22)和 (3,32)知, H在本体坐标系中可表
示为
(5.11)
从上式看出, H由横向和轴向两部分组成 。 由于 绕 Ox
轴旋转, 因此 Ox也必然作圆锥运动, 才可能使得它们的
合矢量 H在空间定向 。 从式 (5.10)中解出代人式 (5.11)
得
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x x y y z z
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（ 5.12）
这里 为 的模, ( )即为 方向的单位矢量 。
从式 (5,12)可以得出两条重要的结论 。
(1)航天器动量矩 H,瞬时转速 和自旋轴 Ox 3个
矢量必定在同一平面内 。
(2) 在空间的运动由两种圆锥运动合成, 一是绕
自旋轴 Ox(即 方向 )的圆锥运动, 如式 (5.12)右边第二
项所示, 其转速速率为 ；二是绕动量矩 H的圆锥运动,
如式 (5.12)右边第一项所示, 其转速速率为 。
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我们称自旋卫星瞬时转速 的这两种圆锥运动为
章动 。 其中 绕自旋轴的圆锥运动称为本体章动, 所形
成的轨迹圆锥称为本体锥, 称为本体章动速率；
绕 的圆锥运动称为空间章动, 所形成的圆锥称为空间
锥, 则称为空间章动速率 。
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Hr
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显然, 由于 H固定不变, 空间锥在空间也是固定的 。
整个自旋卫星的姿态运动可以综合描述为：星体绕自旋
轴旋转, 同时本体锥在空间锥上滚动 。 两锥切线方向即
为 方向, 如图 5,5所示 。
由于本体锥在空间锥上滚动, 所以星体自旋轴 Ox也绕 H作
圆锥运动, 且其速率就是, 如图 5,6所示 。
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点
击
观
看
虚
拟
现
实
演
示
自旋轴 Ox与动量矩 H之间的夹角 称为章动角 。 由
式 (5,11)中包含的矢量间的几何关系, 特别是,
容易得出
(5,13)
或
(5,14)
可见, 对于轴对称自旋卫星, 由于 恒定, 所以章动角
也是常值, 且 O≤ <90° 。
类似地, 还可以通过式 (5.10)和图 5.4描述的几何关
系确定 与自旋轴 Ox之间的夹角 为
(5,15)
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代人式 (5,13)得 与 之间的关系式
(5.16)
此外, 将式 (5,14)代入 还可得
(5,17)
再从式 (5,6)中解出 代人式 (5,17)便得到了本体章
动速率与空间章动速率之间的关系,即
(5,18)
利用式 (5,6),(5,16),(5,18),可以讨论自旋卫
星不同惯量情况下的章动运动 。
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情况 1：, 即星体为扁粗形, 自旋轴为最大
惯量轴, 如图 5,2(a)所示 。
(1), 与 同号, 这表明 绕自旋轴本体
锥旋转的方向和自旋方向同向；
(2) 与 同号, 这表明本体锥与空间锥旋转的方
向相同；
(3), H 在 与 Ox 之间, 空间锥在本体锥
之内 。
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情况 2：, 即星体为细长形, 自旋轴为最小惯量轴,
如图 5,2(b)所示 。
(1), 与 异号, 这表明 绕自旋轴的本
体锥旋转方向和自旋方向相反；
(2) 与 异号，这表明本体锥与空间锥旋转的
方向相反；
(3), 在 H 和 Ox 之间, 空间锥在本体锥
之外 。
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总之, 从本节的讨论可以看出, 只要横轴存在初始
角速度 和 或角加速度 和, 即使
外力矩不再存在, 卫星将始终存在不衰减的横向角速度
( 即 和 ) 。 由式 (5.13) 和 (5.15) 显
见,,, 章动就存在, 从而影响自旋卫星的
定向性 。 由此可以知道, 消除章动是设计自旋稳定卫星
最基本的任务 。
本节是以自旋轴为 Ox 为例进行讨论的, 若自旋轴
为 Oy或 Oz, 结论不会改变 。
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以上分析是假设卫星
本体轴与主惯量轴完全重
合的情况 。 若卫星本体轴
与主惯量轴不重合时 (实际
上是存在的 ),还要产生 自
旋轴摇摆运动, 为此自旋
卫星设计和星体总装时还要求把自旋轴摇摆消除或者降
低到允许水平以下 。
5.2 自旋卫星的章动阻尼
章动存在将使自旋轴产生圆锥运动，这样星体上各
种探测器就不能平稳地扫描。消除章动，使自旋轴、转
速 和 动量矩三者重合，就成为自旋卫星控制的重
要任务。
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章动阻尼按是否使用星上能源分为被动章动阻尼和
主动章动阻尼两种形式。
被动章动阻尼 通过被动章动阻尼器来吸收衰减章动能量 ;
主动章动阻尼 则是在星上设置控制系统。
5.2.1 被动章动阻尼器
在被动章动阻尼器内装有阻尼块, 此阻尼块与航天
器壳体之间是悬浮的或者是弹性联接的 。 当航天器自旋
轴作圆锥运动时, 航天器内各点的离心力不断地变化,
阻尼块将在阻尼器内部产生相对运动 。
被动章动阻尼器的工作原理就是利用阻尼块的相对
运动耗散星体章动的动能, 起到阻尼航天器的横向角速
度, 达到消除章动角的目的 。
航天器上采用的被动章动阻尼器的种类很多, 各种
阻尼器的主要区别在于：
阻尼块的形式,有固体 (球状, 块状 )或液体等；
阻尼块支撑的形式,有轴承, 悬挂或封闭容器；
阻尼的方式：有利用黏性气体内部摩擦, 黏性液体内部
摩擦, 机械摩擦, 或磁一涡流等；
恢复力的方式,有利用离心力或机械弹簧等 。
下面介绍两种典型的被动章动阻尼器 。
1,管中球阻尼器
阻尼器由一对圆弧形弯管组成, 弯管装在星体的子
午面内, 称为 子午面阻尼器 (见图 5.7)；或装在平行于
赤道面的平面内, 称为 赤道面阻尼器 。
弯管的凹面朝着自旋轴, 并且圆弧的等分线垂直于
自旋轴并和自旋轴相交 。 管内有一球, 作为阻尼块, 球
的直径略小于管子的内径 。 当星体只有自旋时, 球停留
在管子的对称中心；
当星体有章动时, 球将被迫来回滚动 。 阻尼是黏性
液体或气体阻尼 。 利用阻尼力所做的功来耗散章动的功
能, 使章动角逐渐衰减 。 管中球阻尼器主要缺点是有剩
余章动角, 这是滚动摩擦造成的 。
管中球阻尼器
接着, 从能量的角度来分析管中球阻尼器对章动的
阻尼作用 。 自旋卫星的转动动能可写为
(5,19)
利用式 (5,13),(5,14)和 (5,15)所包含的几何关系
得
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对式 (5,19)进行变换得
故得
(5,20)
对上式求导, 则得到自旋卫星转动能量耗散速率
(5,21)
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显然, 若, 即当 时, 必有, 这
样章动角 将减小, 直到章动消失 ( = 0° ),对应
最小能量状态 。 这也正是对称自旋卫星绕最大惯量轴旋
转时, 被动章动阻尼能消除章动的根据 。 反之, 当
时, 必有, 则章动角 将不断增大, 直到物体绕
其横轴旋转 (平旋, = 90° ),这也对应于最小能量状
态 。 同时, 这也正是当卫星存在非刚性能量耗散时, 绕
最小惯量轴的旋转不稳定的理论根据, 而且也说明当自
旋卫星绕最小惯量轴旋转时, 被动章动阻尼不可能消除
章动 。 于是, 此处仅针对 的情况分析管中球阻尼
器对章动的阻尼效果 。
如图 5,7所示, Ox为自旋轴 。 当星体章动时, 小球
在管内发生移动, 则小球对卫星所做的微功为
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?
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(5,22)
其中阻尼力的幅值为
(5,23)
式中, 为阻尼系数； 为小球相对于其平衡位置的微位
移； 为小球的瞬时速度 。
将式 (5,22)写成
(5,24)
积分便可得小球每一个往返周期中的平均做功为
(5,25)
式中, T为阻尼器运动的周期 。
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每一周期中的平均做功量等于动能改变量, 即 。
因此由式 (5·21)得
当 时 (5,26)
为了从方程式 (5,26)中解得 角与时间的函数关系,
必须先求得式 (5,25)中 的显式表达式 。 为解得,
需要不同程度地简化假设条件 。 但是, 一般来说, 对式
(5,25)积分以后, 常可表达为
(5,27)
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式中, 是系统参数的函数 。 此时,
式 (5,26)变为
(5,28)
或
(5,29)
而式 (5,29)可写成
(5,30)
式中, 系统的阻尼时间常数 r为
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方程式 (5,30)的解具有如下形式：
式中, 为初始章动角 。
如果由于自旋卫星内部的能量耗散而不是外力矩使
章动完全消除, 即, 则由于动量矩守恒, 卫星的
自旋角速度将增加 。 设卫星初始自旋角速度为, 初始
横向角速度为, 则初始动量矩的大小 H可表示为
当章动消除后, 自旋角速度为, 而, 所以
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故得
这表明由于章动阻尼, 卫星的自旋角速度将增大 。
2,液体环阻尼器
液体环阻尼器有二种, 环面垂直于自旋轴或平行于
自旋轴, 前者用于早期高速自旋的卫星上 。 由于一系列
的因素, 自旋速率不宜过高, 因此采用环面平行于自旋
轴的阻尼器, 提高阻尼效率 。 环的形状有圆形, 方形或 U
字形, 环内充满或只充部分黏性液体 。 星体章动时, 液
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液体在环内周期性地来回流动, 利用液体内部的黏滞剪
切力矩来耗散章动能量 。 图 5,8所示是一种圆环形阻尼
器, 内径为 2a的圆管被弯成圆环形, 管内全部充满液体,
环的半径为 R,R>>a。
(1)阻尼器单位质量产生阻尼效果大；
(2)剩余章动角小；
(3)星体转速变化和星体内部质量与温度的变化对阻
尼效果影响小；
(4)阻尼器要便于安装, 而且希望对安装的部位和安
装精度没有严格的要求；
(5)具有线性阻尼特性 。
一种阻尼器不可能都具备上述的所有性能, 要根据星体的具
体情况, 如惯量, 自旋转速, 要求阻尼的时间, 剩余章动角以及飞
行程序等综合因素来设计阻尼器以实现这些性能 。
3．被动章动阻尼器小结
设计一个被动章动阻尼器应满足下列要求：
5.2.2 主动章动阻尼
主动章动阻尼是一个闭环控制系统, 它包括姿态测
量章动敏感器和改变航天器动量矩的执行机构 。 章动敏
感器一般可以采用速率陀螺, 加速度计, 太阳敏感器,
红外地平仪和磁强计等, 然后进行信息处理, 提供有关
章动角的信息 。 一般采用喷气执行机构, 控制系统可以
是星上闭环控制或者通过地面站遥控 。
美国应用技术卫星 ATS一 4和 ATS一 5在过渡轨道是
自旋稳定的 。 这两颗卫星是细长形的, 在自旋状态下,
当发生章动时, 这章动是不收敛 (不稳定 )的, 为此必
须加主动章动阻尼系统 。
美国应用技术卫星
国际通信卫星 Ⅳ 号和 Ⅵ 号也采用主动章动控制, 主
动章动控制系统在星体安装位置见图 5,9。 一般采用互
为独立的双套系统, 即两个加速度计, 两个喷管 。 其目
的一方面是互为备份, 另一方面是加强主动章动控制效
果 。 这种主动章动控制系统保证任何时间章动角不大于
0,5° 。
国际通信卫星 v号
点击观看虚拟现实演示
卫星与通信视频资料
自旋稳定虽然简单, 但是不能使天线对地定向, 为
此发展了双自旋卫星 。
这种卫星具有自旋和消旋两部分 。 这两部分总动量
矩不为零 (若为零则称为零动量双自旋卫星 ),在消旋部
分带有指向地球的稳定平台 (例如天线装置 )。
双自旋卫星结构原理见图 5.10。 双自旋卫星既能保
持自旋稳定的优点, 又能容许用一个定向的平台来设置
科学仪器和天线等 。
5.3 双自旋卫星稳定系统
5.3.1 双自旋卫星的动力学与章动运动
研究如图 5.11所示的双自旋卫星 。 首先如图示定义
卫星本体坐标系, 并假设：
(1)自旋轴为, 平台和自旋体相对于 的惯量
分别为 和, ；
(2)卫星相对于自旋轴 对称, 即 ；
(3)自旋体的自旋角速率 满足,,。
和 分别为平台的三轴角速度分量 。
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Ox Ox
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点击观看虚拟现实演示
在无外力矩作用的情况下，双自旋卫星的自由运动
欧拉动力学方程参照式 (3.29)得
(5.31a)
(5.31b)
(5.31c)
式中
(5.32)
将式 (5,32)代人式 (5,31),并假设即认为自旋体恒速
自旋, 则可使方程线性化 。 最后得到
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0y z x x zh h h??? ? ?&
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(5.33a)
(5.33b)
(5.33c)
式中
(5.34)
式 (5.33a)表明 为常数 。
方程式 (5.33)的解为
(5,35)
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(5,36)
式中,, 和, 分别是, 和,
的初值, 而 则代表平台横向速率 的角频率, 即
平台章动频率 。 的幅值为
(5,37)
且仍有
(5,38)
即双自旋卫星的横向速率也为恒值 。
双自旋卫星在无外力矩作用时, 其动量矩 H在空间恒定不
变, 其幅值是
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(5,39)
与单自旋卫星章动运动分析过程相类似，双自旋卫星的
章动角 即为
(5,40)
若平台为消旋平台, 则 。
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5,3,2 双自旋卫星的稳定性
对于图 5.11所示的双自旋理想刚体系统, 其动能
为
(5,41)
在无能量耗散时,,, 均为常值, 也就是 为
常值 。 但是当系统存在能量耗散时, 动能不再是常数,
而是时间的减函数 。 因此
kE
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x?
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kE
(5,42)
式中, 和 分别是平台和自旋体的能量耗散率 。 这
些能量耗散可能来自于平台和自旋体的结构阻尼, 挠性
振动, 液体阻尼或晃动等许多情况 。
当外力矩为零时, 系统的动量矩守恒, 即 。
所以由式 (5,39)得
也就是
(5, 43)
由于式 (5,42)和 (5,43)必须同时成立, 因此联立这两
个方程得
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(5,44)
式中
针对式 (5,44),在一般情况下总可以如下取方程的解：
代人式 (5,43)得双自旋卫星的章动动能的变化率为
(5,45)
式中
(5,46)
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为双自旋结构整体章动频率 。 式 (5,45)表明 。 当
(5,47)
时,, 由式 (5,40)知章动角 减小 。
当卫星带有一个基本上消旋的平台时, 等于轨道
角速度, 或者 很小可以忽略 。 这时平台的章动频率
近似为
而自旋体的章动频率近似为
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代入式 (5,47),稳定性判据变为
(5,48)
分析式 (5,48)可以知道, 对于自旋惯量矩
的双自旋卫星, 式 (5,48)的稳定性判据总能被满足 (因
为按定义, 和 总为负 )。 这意味着系统自旋是稳定
的, 要阻尼章动, 阻尼器可以配置在平台和自旋体的任
一方上 。 因此说 代表着双自旋卫星有利的惯量
配置 。
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另一方面, 对于惯量配置不利的双自旋卫星,
,由于自旋体上能量耗散, 为负, 故 为
正 。 此时要使卫星自旋稳定, 必须具有更大的
负量, 这可以在消旋部分配置一个大型能量耗散器 (阻尼
器 )去克服在自旋体部分的不稳定因素 。 所以在这种情况
下, 阻尼器必须配置在消旋部分 。
对于双自旋卫星而言, 若惯量比 定义为
(5,49)
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那么双自旋卫星的稳定性可以总结如下：
假设自旋部分和消旋部分都近似于刚体, 均相对于
自旋轴对称, 消旋体绕自旋轴角速度为零, 则：
(1)由于星体内可动部件的影响, 惯量比 大于
1(短粗 )的双自旋卫星的自旋运动是稳定的 。
(2)惯量比 小于 1(细长 )的双自旋卫星, 只要消旋
部分的可动部件引起的能量耗散足够快, 其运动也是稳
定的 。
(3)短粗双自旋卫星的惯量比 设计准则与自旋卫
星相同 。
(4)细长双自旋卫星, 为保证稳定, 须在消旋部分安
装被动章动阻尼器, 或者在星上设置主动章动控制系统 。
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?
?
5.3.3 双自旋卫星的消旋控制系统
消旋控制系统是双自旋卫星的关键部分, 连接消旋平
台和自旋体两部分 。
消旋控制系统的主要任务是：
① 保证星上通信天线始终精确指向地心而不随星体转
动, 以实现通信 。
② 为射频信号提供一个机械转动环节, 使射频信号能
通过它而进入天线 。
图 5.12表示一个典型消旋控制系统的原理框图 。
这个系统主要由三大部分组成：消旋组合件或称为轴承
和能源传输机构, 消旋控制电子设备和姿态敏感器 (如红
外地平仪和太阳敏感器 )。
在引力场中, 任何形状的物体, 由于体内各质点所
受的引力不同, 对其质心产生的引力梯度矩也将随其质
量分布的几何尺度及其在引力场中的角位置等的不同而
不同 。 应该指出, 引力梯度矩的
值是很小的, 对于一般的工程来
说, 可以认为重心重合于质心,
引力梯度矩等于零 。 但是对轨道
上的航天器来说, 外力矩接近于
零, 且运行时间又很长, 因此引力梯度矩的影响是不能
忽略的 。
5.4 重力梯度稳定系统
重力梯度被动稳定就是航天器利用地球或其他天体的
引力场, 在不依赖飞轮, 推力器和伺服系统等主动控制
部件的情况下, 获得对地球或其他天体姿态定向的一种
稳定方式 。 它的主要 优点 是 长寿命, 功耗需求低 ；
缺点 则是 制力矩小, 需要天平动
阻尼, 且指向精度低,
例如各轴精度在 1° ～ 10° 左右 。
5.4.1 重力梯度稳定原理
利用航天器各部分质量在重力场中具有不同的重力，
以及在轨道运动中产生不同的离心力，重力和离心力的
合力产生一个恢复力矩，即重力梯度力矩。这个恢复力
矩虽然很小，但是它能起稳定作用，使航天器的某根体
坐标轴指向地球。
用哑铃式结构来说明航天器在轨道上由于重力和离心
力作用所产生的恢复力矩是最直观而又最简便的方法 。
抽象的哑铃式结构具有以下特点：
(1)哑铃两端质量和相等；
(2)哑铃两端距中心的臂长和相等, ；
(3)哑铃臂无质量 (也可理解为已等效至两端 )。
1,俯仰通道
图 5.13表示了哑铃式卫星在轨道平面内，即俯仰通
道，偏离当地垂线时的情况，为俯仰角。
在轨道平面（俯仰）的重力和离心力
哑铃两端质量和所产生的净力矩为
(5.50)
(5.51)
式中, 和分别为两哑铃端质量 和 到地心的距离 。
质量和的离心力和对卫星质量中心产生的力矩可表示为
(5.52)
根据上式, 这说明在俯仰平面内, 质量 和 的离心力所
产生的力矩相互抵消, 恢复力矩仅由质量和在重力场中所
受重力而产生 。
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m 'm
2,滚动通道
图 5.14表示在轨道法平面 (即滚动平面 )内哑铃式卫
星偏离铅垂线的情况,为滚动角。
在轨道法平面（滚动）的重力和离心力
在轨道法平面所受净重力矩可以表示为
(5.53)
由离心力所产生的净恢复力矩为
(5.54)
显然在滚动平面内，恢复力矩不仅取决于重力而且
还取决于离心力。这两种力产生的力矩方向相同，所以
它比在俯仰平面的恢复力矩要大。
g g g g gM F L F L? ???
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3,偏航通道
图 5.15表示偏航平面内哑铃式卫星偏离速度方向的
情况 。 其中图 (a)和 (b)所示分别为在轨道平面内, 水平
平面内的投影 。
质量 和 所产生的重力矩相互抵消。
质量 和 的离心力和 。 所产生的力矩在数量上
相等, 而且方向相同, 即
(5,55)
式中,为哑铃在轨道平面内投影对地心张角的一半，
如图 5,15(a)所示。
为偏航角,
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m 'm
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5.4.2 重力梯度力矩
假设航天器绕地球运行的某时刻到地心的距离为 Ro，
地心为, 航天器质心为 O,质量为年 。 首先建立质
心轨道坐标系 和航天器本体坐标系 。 于
是质心 O到地心 的矢径即可在两个坐标系中表示为
(5,56)
式中,,, 为在本体坐标系中的投影 。
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0 0 0Ox y z Oxyz
eO
00 x y zR R i R i R j R k? ? ? ? ?
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xR yR zR
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根据 与 之间的坐标变换关系得
(5.57a)
(5.57b)
(5.57c)
令 表示航天器质心 到任一质量元 dm的矢径,
即
(5.58)
于是从地球中心到该质量元的矢径 (见图 5.16)就为
(5.59)
0 0 0Ox y z Oxyz
0 s inxRR ??
0 s in c o syRR ????
0 c o s c o szRR ????
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x i y j z k? ? ? ? vvvv ?? vl
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O
重力场作用到质量元上的重力为
(5.60)
式中,； 。 这里 G为万有引力常数, 为
地球质量 。
这个力产生的绕航天器质心的力矩即为
(5.61)
3g
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因为
所以
将上式展开并去掉高阶项, 即得到
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00
1 1 31 R
r R R
??? ???
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v v
代入方程式 (5,61)中, 有
(5,62)
将上式积分, 就得到整个航天器受到的重力梯度力矩为
(5,63)
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00
31
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v
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应用式 (5.56)～ (5.58),再进行相应的矢量运算, 最终
得到航天器重力梯度力矩的标量形式, 即 在坐标系
上的投影为
(5.64a)
(5.64b)
(5.64c)
gM
v
Oxyz
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? ?503g z z x x yRM I I R R???
将式 （ 5.57） 代入则得
(5.65a)
(5.65b)
(5.65c)
式中,,, 分别为航天器的三轴惯量, 它们是
若本体坐标系 各轴取为航天器的主惯量
轴，那么惯量积,, 均为零。
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xI yI zI
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Oxyz
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若航天器的轨道角速度某时刻为, 则容易证明此时
轨道角动量满足下面关系：
也就是
将此式代入式 (5.65)就可以得到重力梯度力矩的
另一表达形式, 即
(5.66a)
(5.66b)
(5.66c)
0?
2 000 RR ???
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当星体的姿态是对地定向,, 和 均为小角度
时,,,则上面各式中略去高阶微量可进一步
简化为
(5.67a)
(5.67b)
(5.67c)
引力 (含重力 )梯度力矩具有如下性质：
(1)引力梯度力矩随高度的增加而减小。
(2)引力梯度力矩与航天器的质量分布有关。
(3)引力梯度力矩与航天器的角位置有关。
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5.4.3 稳定性分析
已知航天器的姿态动力学方程由式 (3,38)描述, 即
(3,38)
将在小角度条件下重力梯度力矩式 (5,67)分别代人式
(3,38)并化简得
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(5,68a)
(5,68b)
(5,68c)
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当偏航和滚动通道为弱耦合时，上式可近似为
(5,69a)
(5,69b)
(5,69c)
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由这一组二阶微分方程组知道，要使得系统稳定，必须
有
(5,70a)
(5,70b)
(5,70c)
同时成立 。 其条件即为
(5,71)
y x zI I I??
进一步分析运动方程组 (5,69)发现, 航天器在重
力梯度力矩的作用下, 其各通道的姿态运动均是在平衡
(稳定 )姿态周围无阻尼振荡, 称之为天平动 。 天平动的
自然频率由式 (5,70)容易得到, 分别为
(5.72)
相应的天平动周期即为
(5.73)
式中,为航天器的轨道周期。
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特殊地，对于某些航天器，若其结构设计使得各主
惯量轴惯量满足，则天平动频率就相应为
在设计重力梯度稳定航天器时应解决三个问题：
(1)增大起稳定作用的恢复力矩和限制扰动力矩。
(2)捕获重力场。
(3)阻尼天平动。
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天平动阻尼是重力梯度稳定卫星必须具备的, 而阻
尼方式的不同也正是各种重力梯度稳定卫星的主要区别
之所在 。 目前, 天平动的阻尼方式大致分为三种 。
(1)被动阻尼
(2)半被动阻尼
(3)主动阻尼
5.5 重力梯度稳定卫星的天平动阻尼
图 5.17所示的是一个磁黏性流体阻尼器，属于球型
被动阻尼器。
另一种球型被动阻尼器是涡流阻尼器，如图 5.18所示。
图 5.19给出了另一种天平动阻尼。这种时间滞后阻
尼方法是由安装在航天器上的 3个正交电磁铁线圈产生的
磁偶极子与地磁场相互作用来完成的。
重力梯度力矩的大小与航天器惯量分布有关 。 而重
力梯度伸展杆 (也简称 重力梯度杆 )就是为重力梯度稳定
航天器提供要求的结构形状和惯量分布, 以产生较大的
稳定力矩 。
重力梯度伸展杆在发射前收卷储存在伸杆机构里,
入轨后由伸杆机构把它伸展出来 。 可作为这种伸展杆的
形式很多, 有像钢卷尺那样的卷伸式, 像望远镜那样的
折叠式, 带节的桁架式和多层拉杆式等 。
5.6 重力梯度稳定系统的伸展杆
卷伸式伸展杆如图 5.20所示。
点击观看虚拟现实演示
图 5.21给出了一种采用铰连和框架型组合结构设计
的可伸缩的套筒式伸展杆。这种设计具有更强的抗扭转
和弯曲能力，同时也可增强承载能力。
点击观看虚拟现实演示
图 5.22所示为一种电机伸杆机构。
从理论上讲, 重力梯度稳定方式可以实现航天器的
三轴稳定, 重力梯度稳定方式仅适合于俯仰和滚动两轴
稳定, 指向精度为 1° ～ 10° 。 图 5.23显示了英国萨瑞大
学研制的一个典型的两轴哑铃式重力梯度稳定卫星 UOSAT
的外形结构 。
UO-14
航天器的被动姿态稳定
除了自旋稳定和重力梯度稳定
最常见的形式外, 还有一些其
他的被动稳定系统以及由它们
派生出来的系统, 在航天器姿
态控制中起到不同的作用 。
5.7 其他被动姿态稳定系统
5.7.1 被动稳定系统
1,磁稳定系统
所有磁稳定航天器都是根据磁力矩 M = P× B(P为星
上磁矩,B为地磁场强度 )的原理实现稳定的。
磁稳定系统
2．太阳辐射压力稳定和气动稳定系统
太阳辐射压力稳定使航天器对太阳定向, 而气动稳
定可使航天器沿轨道速度方向定向, 其定向精度中等 。
虽然气动稳定方式很早就有了, 但一直没有得到广泛的
实际应用 。
3,组合被动稳定系统
把上述稳定方式适当地组合起来，构成组合被动稳
定系统，例如组合采用磁稳定和重力梯度稳定，但一般
是在特殊情况下才采用。
5.7.2 半被动稳定系统
半被动稳定系统需要消耗少量星上的功率 。 为此,
航天器需要有存储或积累起来的能源, 其他方面与被动
系统完全一样 。 半被动稳定系统有许多种形式, 以下仅
列出以重力梯度稳定为主的三种半被动稳定系统的具体
形式 。
(1)重力梯度加惯性轮
(2)重力梯度加控制力矩陀螺
(3)重力梯度加增强式磁阻尼
5.1 自旋卫星的稳定性和章动性
5.2 自旋卫星的章动阻尼
5.3 双自旋卫星稳定系统
5.4 重力梯度稳定系统
5.5 重力梯度稳定卫星的天平动阻尼
自旋稳定的原理：利用航天器绕自旋轴旋转所获得的陀
螺定轴性, 使航天器的自旋轴方向在惯性空间定向 。
主要优点：简单 。
抗干扰 。
因为当自旋航天器受到恒定干扰
力矩作用时, 其自旋轴是以速度漂移,
而不是以加速度漂移 。 自旋稳定能使航天器发动机的推力偏
心影响减至最小 。
5.1 自旋卫星的稳定性和章动性
点击观看虚拟现实演示
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5.1.1 自旋卫星的稳定性
令坐标系 是卫星的主轴本体坐标系, 从而卫星
的主惯量分别为,, ；惯量积为零 。 那么卫星姿态
自由转动 ( )的欧拉动力学方程即可由式 (3.33)
(3.33)
Oxyz
xI yI zI
0?M
5.1.1 自旋卫星的稳定性
令坐标系 是卫星的主轴本体坐标系, 从而卫星
的主惯量分别为,, ；惯量积为零 。 那么卫星姿态
自由转动 ( )的欧拉动力学方程即可由式 (3.33)得
(5.1)
Oxyz
xI yI zI
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式中,,,是卫星对空间的瞬时转速 在本体坐标
系 各轴上的分量 。 要分析自旋体自由运动的性质,
必 须 从 欧 拉 动 力 学 方 程 式 (5.1) 中 解 出 星 体 角 速
率,,。
不失一般性, 假设卫星绕 轴自旋, 且
(1)星体相对于自旋轴是轴对称的, 即 ;
(2), 。
x? y? z? ω
x? y? z
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Ox
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Oxyz
为此，式 (5.1)可以进行简化，得出
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
0?dtdI xx ?
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? ? yxyxzz IIdtdI ??? ??
将式 (5.2b)和 (5.2c)相互替代, 则上式化为
= 常数 (5.3a)
(5.3b)
(5.3c)
式中
(5.4)
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022
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yx
y
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II
I
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显然, 要使卫星绕自旋轴 旋转稳定, 必须使, 始
终为微量, 满足条件,, 即动力学方程式
(5,3)的, 解必须是李雅普诺夫意义下稳定的 。 其
充要条件是
由式 (5,4)分析得满足的条件是：
(a) 且, 即星体绕最大主惯量轴旋转；
(b) 且, 即星体绕最小主惯量轴旋转 。
当条件 (a)或 (b)成立时, 和 将在有限值内振
荡；反之, 和 将发散, 并导致自旋轴翻滚 。
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yx II ? zx II ?
y? z?
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z?y?
y? z?
z?y?
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Ox
由上述简单分析得知, 自旋轴为最大惯量轴 (a)和最
小惯量轴 (b)都是稳定的, 星体保持自旋稳定的结构形状
如图 5.2所示 。
1958年美国发射第一颗人造地球卫星, 探险者 — 1
号, (Explorer— I),它是一个长圆柱体, 带有四根横
向伸出的挠性鞭状天线 (见图 5.3)。 本来要使卫星绕其
最小惯量轴自旋稳定, 但运行一个轨道周期之后, 卫星
便显示出半角为 1 rad的进动运动 。 在几天之内, 卫星
获得了另一种本质上稳定的运动 — 绕其最大惯量轴旋转 。
“探险者 -51号”
但是在这次飞行前, 人们没有怀疑过绕最小惯量轴
旋转的稳定性 。 从此例可以看出 实践出真知 的道理 。
点击观看虚拟现实演示
上面分析过, 一个绝对刚体无论绕最大惯量轴或者
绕最小惯量轴的旋转都是稳定的, 但是由于鞭状天线的
弯曲提供了一种通过结构阻尼耗散能量的机构, 所以
,探险者一 1号, 并不是刚体 。 因为损失了机械能, 动量
矩守恒原理迫使卫星绕着一根与旋转对称轴倾斜的轴进
动, 进动和弯曲运动的动力学耦合能使能量耗散过程继
续下去, 直到获得最小能量动力学状态, 绕最大惯量轴
旋转 。
综上所述, 假设对称自旋卫星近似于刚体,不受外力
矩作用, 定义自旋轴惯量 与横向轴惯量 之比为
惯量比, 即
xI zy II ?
?
t
x
z
x
y
x
I
I
I
I
I
I ????
则自旋卫星的稳定准则就可以总结如下：
若, 卫星是短粗的, 短粗卫星自旋运动稳定 。
若, 卫星是细长的, 细长卫星自旋运动不稳
定 。
注意，在工程上为了确保稳定性，应设计至少
1??
1??
05.1??
5.1.2 自旋卫星的章动性
为了便于分析, 仍考虑航天器是相对于自旋轴 对
称的星体的情况, 即 。 此时, 线性化
的欧拉动力学方程式 (5,1)可写为
= 常数 （ 5.5a）
(5.5b)
(5.5c)
式中
(5.6)
Ox
xtzy IIII ???
0xx???
0?? zydtd ?? ?
0?? yzdtd ?? ?
0x
t
tx
I
II ????
从方程组式 (5.5)可以看出, 对称自旋卫星的自旋
运动是独立的, 它和横向运动之间没有耦合作用 。 设横
向运动的初始状态分别为,,,,
求解方程组式 (5.5)得
(5.7)
(5.8)
从上两式可以看出对称自旋卫星姿态运动的特点是在本
体坐标系中, 横向角速度分量, 周期性地变化,
? ?0y? ? ?0z? ? ?0y?? ? ?0z??
0xx ?? ?
? ? ? ? tt yyy ??? s in0c o s0 ??? ???
? ? ? ? tt zzz ??? s in0c o s0 ??? ???
y? z?
周期为, 幅值取决于它们的初始值, 而自旋转速
始终为常值 。
用 乘方程式 (5.5b),用 乘方程式 (5.5c),将
两结果相加得
这表明 为常数, 为此定义合成角速率
常值 (5.9)
于是, 在本体坐标系中, 星体的转速矢量 可以表达为
(5.10)
?
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x?
y? z?
? ? 021 22 ???? zyzzyy dtddtddtd ??????
22 zy ?? ?
? ? ??? 2122 zyt ???
ω
txzyx ω ωikjiω ????? ???
式中, 是, 的合成角速度矢量 。
由于它们处在和自旋轴垂直的平面内, 因此称之为横向
角速度 。 由于 和 周期性变化, 所以在本体坐标系
Oyz平面内, 绕 Ox轴以速率 旋转, 而幅值 恒定 。
由此可见, 星体的瞬时转速 绕自旋轴 Ox 作圆锥运动,
如图 5.4所示 。
kjω zyt ?? ?? y z?
y? z?
t? ?
ω
t?
点
击
观
看
虚
拟
现
实
演
示
考虑到在无外力矩作用下, 航天器动量矩 H守恒, 即
在空间中固定不变, 以此为基准便可以进一步讨论自旋
卫星的运动规律 。
由式 (3,22)和 (3,32)知, H在本体坐标系中可表
示为
(5.11)
从上式看出, H由横向和轴向两部分组成 。 由于 绕 Ox
轴旋转, 因此 Ox也必然作圆锥运动, 才可能使得它们的
合矢量 H在空间定向 。 从式 (5.10)中解出代人式 (5.11)
得
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x x y y z z
x x t t
H h h h
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II
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? ? ? ?
? ? ?
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i j k
i j k
i ω
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（ 5.12）
这里 为 的模, ( )即为 方向的单位矢量 。
从式 (5,12)可以得出两条重要的结论 。
(1)航天器动量矩 H,瞬时转速 和自旋轴 Ox 3个
矢量必定在同一平面内 。
(2) 在空间的运动由两种圆锥运动合成, 一是绕
自旋轴 Ox(即 方向 )的圆锥运动, 如式 (5.12)右边第二
项所示, 其转速速率为 ；二是绕动量矩 H的圆锥运动,
如式 (5.12)右边第一项所示, 其转速速率为 。
HHr
1 xt
x
t t t
II HHH
I I I H??
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ii
rrr
ω
ω
i
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H Hr Hr
我们称自旋卫星瞬时转速 的这两种圆锥运动为
章动 。 其中 绕自旋轴的圆锥运动称为本体章动, 所形
成的轨迹圆锥称为本体锥, 称为本体章动速率；
绕 的圆锥运动称为空间章动, 所形成的圆锥称为空间
锥, 则称为空间章动速率 。
?r
?
r?
?r
Hr
?r
显然, 由于 H固定不变, 空间锥在空间也是固定的 。
整个自旋卫星的姿态运动可以综合描述为：星体绕自旋
轴旋转, 同时本体锥在空间锥上滚动 。 两锥切线方向即
为 方向, 如图 5,5所示 。
由于本体锥在空间锥上滚动, 所以星体自旋轴 Ox也绕 H作
圆锥运动, 且其速率就是, 如图 5,6所示 。
r?
?r
点
击
观
看
虚
拟
现
实
演
示
自旋轴 Ox与动量矩 H之间的夹角 称为章动角 。 由
式 (5,11)中包含的矢量间的几何关系, 特别是,
容易得出
(5,13)
或
(5,14)
可见, 对于轴对称自旋卫星, 由于 恒定, 所以章动角
也是常值, 且 O≤ <90° 。
类似地, 还可以通过式 (5.10)和图 5.4描述的几何关
系确定 与自旋轴 Ox之间的夹角 为
(5,15)
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H
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代人式 (5,13)得 与 之间的关系式
(5.16)
此外, 将式 (5,14)代入 还可得
(5,17)
再从式 (5,6)中解出 代人式 (5,17)便得到了本体章
动速率与空间章动速率之间的关系,即
(5,18)
利用式 (5,6),(5,16),(5,18),可以讨论自旋卫
星不同惯量情况下的章动运动 。
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情况 1：, 即星体为扁粗形, 自旋轴为最大
惯量轴, 如图 5,2(a)所示 。
(1), 与 同号, 这表明 绕自旋轴本体
锥旋转的方向和自旋方向同向；
(2) 与 同号, 这表明本体锥与空间锥旋转的方
向相同；
(3), H 在 与 Ox 之间, 空间锥在本体锥
之内 。
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0?? x? ω
? r?
??? ω
情况 2：, 即星体为细长形, 自旋轴为最小惯量轴,
如图 5,2(b)所示 。
(1), 与 异号, 这表明 绕自旋轴的本
体锥旋转方向和自旋方向相反；
(2) 与 异号，这表明本体锥与空间锥旋转的
方向相反；
(3), 在 H 和 Ox 之间, 空间锥在本体锥
之外 。
xtII?
0?? x? ω
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??? ω
总之, 从本节的讨论可以看出, 只要横轴存在初始
角速度 和 或角加速度 和, 即使
外力矩不再存在, 卫星将始终存在不衰减的横向角速度
( 即 和 ) 。 由式 (5.13) 和 (5.15) 显
见,,, 章动就存在, 从而影响自旋卫星的
定向性 。 由此可以知道, 消除章动是设计自旋稳定卫星
最基本的任务 。
本节是以自旋轴为 Ox 为例进行讨论的, 若自旋轴
为 Oy或 Oz, 结论不会改变 。
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以上分析是假设卫星
本体轴与主惯量轴完全重
合的情况 。 若卫星本体轴
与主惯量轴不重合时 (实际
上是存在的 ),还要产生 自
旋轴摇摆运动, 为此自旋
卫星设计和星体总装时还要求把自旋轴摇摆消除或者降
低到允许水平以下 。
5.2 自旋卫星的章动阻尼
章动存在将使自旋轴产生圆锥运动，这样星体上各
种探测器就不能平稳地扫描。消除章动，使自旋轴、转
速 和 动量矩三者重合，就成为自旋卫星控制的重
要任务。
?v Hv
章动阻尼按是否使用星上能源分为被动章动阻尼和
主动章动阻尼两种形式。
被动章动阻尼 通过被动章动阻尼器来吸收衰减章动能量 ;
主动章动阻尼 则是在星上设置控制系统。
5.2.1 被动章动阻尼器
在被动章动阻尼器内装有阻尼块, 此阻尼块与航天
器壳体之间是悬浮的或者是弹性联接的 。 当航天器自旋
轴作圆锥运动时, 航天器内各点的离心力不断地变化,
阻尼块将在阻尼器内部产生相对运动 。
被动章动阻尼器的工作原理就是利用阻尼块的相对
运动耗散星体章动的动能, 起到阻尼航天器的横向角速
度, 达到消除章动角的目的 。
航天器上采用的被动章动阻尼器的种类很多, 各种
阻尼器的主要区别在于：
阻尼块的形式,有固体 (球状, 块状 )或液体等；
阻尼块支撑的形式,有轴承, 悬挂或封闭容器；
阻尼的方式：有利用黏性气体内部摩擦, 黏性液体内部
摩擦, 机械摩擦, 或磁一涡流等；
恢复力的方式,有利用离心力或机械弹簧等 。
下面介绍两种典型的被动章动阻尼器 。
1,管中球阻尼器
阻尼器由一对圆弧形弯管组成, 弯管装在星体的子
午面内, 称为 子午面阻尼器 (见图 5.7)；或装在平行于
赤道面的平面内, 称为 赤道面阻尼器 。
弯管的凹面朝着自旋轴, 并且圆弧的等分线垂直于
自旋轴并和自旋轴相交 。 管内有一球, 作为阻尼块, 球
的直径略小于管子的内径 。 当星体只有自旋时, 球停留
在管子的对称中心；
当星体有章动时, 球将被迫来回滚动 。 阻尼是黏性
液体或气体阻尼 。 利用阻尼力所做的功来耗散章动的功
能, 使章动角逐渐衰减 。 管中球阻尼器主要缺点是有剩
余章动角, 这是滚动摩擦造成的 。
管中球阻尼器
接着, 从能量的角度来分析管中球阻尼器对章动的
阻尼作用 。 自旋卫星的转动动能可写为
(5,19)
利用式 (5,13),(5,14)和 (5,15)所包含的几何关系
得
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对式 (5,19)进行变换得
故得
(5,20)
对上式求导, 则得到自旋卫星转动能量耗散速率
(5,21)
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显然, 若, 即当 时, 必有, 这
样章动角 将减小, 直到章动消失 ( = 0° ),对应
最小能量状态 。 这也正是对称自旋卫星绕最大惯量轴旋
转时, 被动章动阻尼能消除章动的根据 。 反之, 当
时, 必有, 则章动角 将不断增大, 直到物体绕
其横轴旋转 (平旋, = 90° ),这也对应于最小能量状
态 。 同时, 这也正是当卫星存在非刚性能量耗散时, 绕
最小惯量轴的旋转不稳定的理论根据, 而且也说明当自
旋卫星绕最小惯量轴旋转时, 被动章动阻尼不可能消除
章动 。 于是, 此处仅针对 的情况分析管中球阻尼
器对章动的阻尼效果 。
如图 5,7所示, Ox为自旋轴 。 当星体章动时, 小球
在管内发生移动, 则小球对卫星所做的微功为
0kE ?& x tII? 0??&
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x tII?
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?
x tII?
(5,22)
其中阻尼力的幅值为
(5,23)
式中, 为阻尼系数； 为小球相对于其平衡位置的微位
移； 为小球的瞬时速度 。
将式 (5,22)写成
(5,24)
积分便可得小球每一个往返周期中的平均做功为
(5,25)
式中, T为阻尼器运动的周期 。
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k dx
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每一周期中的平均做功量等于动能改变量, 即 。
因此由式 (5·21)得
当 时 (5,26)
为了从方程式 (5,26)中解得 角与时间的函数关系,
必须先求得式 (5,25)中 的显式表达式 。 为解得,
需要不同程度地简化假设条件 。 但是, 一般来说, 对式
(5,25)积分以后, 常可表达为
(5,27)
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式中, 是系统参数的函数 。 此时,
式 (5,26)变为
(5,28)
或
(5,29)
而式 (5,29)可写成
(5,30)
式中, 系统的阻尼时间常数 r为
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方程式 (5,30)的解具有如下形式：
式中, 为初始章动角 。
如果由于自旋卫星内部的能量耗散而不是外力矩使
章动完全消除, 即, 则由于动量矩守恒, 卫星的
自旋角速度将增加 。 设卫星初始自旋角速度为, 初始
横向角速度为, 则初始动量矩的大小 H可表示为
当章动消除后, 自旋角速度为, 而, 所以
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故得
这表明由于章动阻尼, 卫星的自旋角速度将增大 。
2,液体环阻尼器
液体环阻尼器有二种, 环面垂直于自旋轴或平行于
自旋轴, 前者用于早期高速自旋的卫星上 。 由于一系列
的因素, 自旋速率不宜过高, 因此采用环面平行于自旋
轴的阻尼器, 提高阻尼效率 。 环的形状有圆形, 方形或 U
字形, 环内充满或只充部分黏性液体 。 星体章动时, 液
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液体在环内周期性地来回流动, 利用液体内部的黏滞剪
切力矩来耗散章动能量 。 图 5,8所示是一种圆环形阻尼
器, 内径为 2a的圆管被弯成圆环形, 管内全部充满液体,
环的半径为 R,R>>a。
(1)阻尼器单位质量产生阻尼效果大；
(2)剩余章动角小；
(3)星体转速变化和星体内部质量与温度的变化对阻
尼效果影响小；
(4)阻尼器要便于安装, 而且希望对安装的部位和安
装精度没有严格的要求；
(5)具有线性阻尼特性 。
一种阻尼器不可能都具备上述的所有性能, 要根据星体的具
体情况, 如惯量, 自旋转速, 要求阻尼的时间, 剩余章动角以及飞
行程序等综合因素来设计阻尼器以实现这些性能 。
3．被动章动阻尼器小结
设计一个被动章动阻尼器应满足下列要求：
5.2.2 主动章动阻尼
主动章动阻尼是一个闭环控制系统, 它包括姿态测
量章动敏感器和改变航天器动量矩的执行机构 。 章动敏
感器一般可以采用速率陀螺, 加速度计, 太阳敏感器,
红外地平仪和磁强计等, 然后进行信息处理, 提供有关
章动角的信息 。 一般采用喷气执行机构, 控制系统可以
是星上闭环控制或者通过地面站遥控 。
美国应用技术卫星 ATS一 4和 ATS一 5在过渡轨道是
自旋稳定的 。 这两颗卫星是细长形的, 在自旋状态下,
当发生章动时, 这章动是不收敛 (不稳定 )的, 为此必
须加主动章动阻尼系统 。
美国应用技术卫星
国际通信卫星 Ⅳ 号和 Ⅵ 号也采用主动章动控制, 主
动章动控制系统在星体安装位置见图 5,9。 一般采用互
为独立的双套系统, 即两个加速度计, 两个喷管 。 其目
的一方面是互为备份, 另一方面是加强主动章动控制效
果 。 这种主动章动控制系统保证任何时间章动角不大于
0,5° 。
国际通信卫星 v号
点击观看虚拟现实演示
卫星与通信视频资料
自旋稳定虽然简单, 但是不能使天线对地定向, 为
此发展了双自旋卫星 。
这种卫星具有自旋和消旋两部分 。 这两部分总动量
矩不为零 (若为零则称为零动量双自旋卫星 ),在消旋部
分带有指向地球的稳定平台 (例如天线装置 )。
双自旋卫星结构原理见图 5.10。 双自旋卫星既能保
持自旋稳定的优点, 又能容许用一个定向的平台来设置
科学仪器和天线等 。
5.3 双自旋卫星稳定系统
5.3.1 双自旋卫星的动力学与章动运动
研究如图 5.11所示的双自旋卫星 。 首先如图示定义
卫星本体坐标系, 并假设：
(1)自旋轴为, 平台和自旋体相对于 的惯量
分别为 和, ；
(2)卫星相对于自旋轴 对称, 即 ；
(3)自旋体的自旋角速率 满足,,。
和 分别为平台的三轴角速度分量 。
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Ox Ox
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Ox y z tI I I??
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点击观看虚拟现实演示
在无外力矩作用的情况下，双自旋卫星的自由运动
欧拉动力学方程参照式 (3.29)得
(5.31a)
(5.31b)
(5.31c)
式中
(5.32)
将式 (5,32)代人式 (5,31),并假设即认为自旋体恒速
自旋, 则可使方程线性化 。 最后得到
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0y z x x zh h h??? ? ?&
0z x y y xh h h??? ? ?&
12x r x rh I I?? ? ?y t yhI?? z t zhI??
(5.33a)
(5.33b)
(5.33c)
式中
(5.34)
式 (5.33a)表明 为常数 。
方程式 (5.33)的解为
(5,35)
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(5,36)
式中,, 和, 分别是, 和,
的初值, 而 则代表平台横向速率 的角频率, 即
平台章动频率 。 的幅值为
(5,37)
且仍有
(5,38)
即双自旋卫星的横向速率也为恒值 。
双自旋卫星在无外力矩作用时, 其动量矩 H在空间恒定不
变, 其幅值是
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(5,39)
与单自旋卫星章动运动分析过程相类似，双自旋卫星的
章动角 即为
(5,40)
若平台为消旋平台, 则 。
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5,3,2 双自旋卫星的稳定性
对于图 5.11所示的双自旋理想刚体系统, 其动能
为
(5,41)
在无能量耗散时,,, 均为常值, 也就是 为
常值 。 但是当系统存在能量耗散时, 动能不再是常数,
而是时间的减函数 。 因此
kE
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x?
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(5,42)
式中, 和 分别是平台和自旋体的能量耗散率 。 这
些能量耗散可能来自于平台和自旋体的结构阻尼, 挠性
振动, 液体阻尼或晃动等许多情况 。
当外力矩为零时, 系统的动量矩守恒, 即 。
所以由式 (5,39)得
也就是
(5, 43)
由于式 (5,42)和 (5,43)必须同时成立, 因此联立这两
个方程得
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(5,44)
式中
针对式 (5,44),在一般情况下总可以如下取方程的解：
代人式 (5,43)得双自旋卫星的章动动能的变化率为
(5,45)
式中
(5,46)
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为双自旋结构整体章动频率 。 式 (5,45)表明 。 当
(5,47)
时,, 由式 (5,40)知章动角 减小 。
当卫星带有一个基本上消旋的平台时, 等于轨道
角速度, 或者 很小可以忽略 。 这时平台的章动频率
近似为
而自旋体的章动频率近似为
12
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代入式 (5,47),稳定性判据变为
(5,48)
分析式 (5,48)可以知道, 对于自旋惯量矩
的双自旋卫星, 式 (5,48)的稳定性判据总能被满足 (因
为按定义, 和 总为负 )。 这意味着系统自旋是稳定
的, 要阻尼章动, 阻尼器可以配置在平台和自旋体的任
一方上 。 因此说 代表着双自旋卫星有利的惯量
配置 。
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2rtII?
另一方面, 对于惯量配置不利的双自旋卫星,
,由于自旋体上能量耗散, 为负, 故 为
正 。 此时要使卫星自旋稳定, 必须具有更大的
负量, 这可以在消旋部分配置一个大型能量耗散器 (阻尼
器 )去克服在自旋体部分的不稳定因素 。 所以在这种情况
下, 阻尼器必须配置在消旋部分 。
对于双自旋卫星而言, 若惯量比 定义为
(5,49)
?
2r
t
I
I? ?
2rtII?
2kE& ? ?22/1k r tE I I ?
&
? ?12k r tE I I&
那么双自旋卫星的稳定性可以总结如下：
假设自旋部分和消旋部分都近似于刚体, 均相对于
自旋轴对称, 消旋体绕自旋轴角速度为零, 则：
(1)由于星体内可动部件的影响, 惯量比 大于
1(短粗 )的双自旋卫星的自旋运动是稳定的 。
(2)惯量比 小于 1(细长 )的双自旋卫星, 只要消旋
部分的可动部件引起的能量耗散足够快, 其运动也是稳
定的 。
(3)短粗双自旋卫星的惯量比 设计准则与自旋卫
星相同 。
(4)细长双自旋卫星, 为保证稳定, 须在消旋部分安
装被动章动阻尼器, 或者在星上设置主动章动控制系统 。
?
?
?
5.3.3 双自旋卫星的消旋控制系统
消旋控制系统是双自旋卫星的关键部分, 连接消旋平
台和自旋体两部分 。
消旋控制系统的主要任务是：
① 保证星上通信天线始终精确指向地心而不随星体转
动, 以实现通信 。
② 为射频信号提供一个机械转动环节, 使射频信号能
通过它而进入天线 。
图 5.12表示一个典型消旋控制系统的原理框图 。
这个系统主要由三大部分组成：消旋组合件或称为轴承
和能源传输机构, 消旋控制电子设备和姿态敏感器 (如红
外地平仪和太阳敏感器 )。
在引力场中, 任何形状的物体, 由于体内各质点所
受的引力不同, 对其质心产生的引力梯度矩也将随其质
量分布的几何尺度及其在引力场中的角位置等的不同而
不同 。 应该指出, 引力梯度矩的
值是很小的, 对于一般的工程来
说, 可以认为重心重合于质心,
引力梯度矩等于零 。 但是对轨道
上的航天器来说, 外力矩接近于
零, 且运行时间又很长, 因此引力梯度矩的影响是不能
忽略的 。
5.4 重力梯度稳定系统
重力梯度被动稳定就是航天器利用地球或其他天体的
引力场, 在不依赖飞轮, 推力器和伺服系统等主动控制
部件的情况下, 获得对地球或其他天体姿态定向的一种
稳定方式 。 它的主要 优点 是 长寿命, 功耗需求低 ；
缺点 则是 制力矩小, 需要天平动
阻尼, 且指向精度低,
例如各轴精度在 1° ～ 10° 左右 。
5.4.1 重力梯度稳定原理
利用航天器各部分质量在重力场中具有不同的重力，
以及在轨道运动中产生不同的离心力，重力和离心力的
合力产生一个恢复力矩，即重力梯度力矩。这个恢复力
矩虽然很小，但是它能起稳定作用，使航天器的某根体
坐标轴指向地球。
用哑铃式结构来说明航天器在轨道上由于重力和离心
力作用所产生的恢复力矩是最直观而又最简便的方法 。
抽象的哑铃式结构具有以下特点：
(1)哑铃两端质量和相等；
(2)哑铃两端距中心的臂长和相等, ；
(3)哑铃臂无质量 (也可理解为已等效至两端 )。
1,俯仰通道
图 5.13表示了哑铃式卫星在轨道平面内，即俯仰通
道，偏离当地垂线时的情况，为俯仰角。
在轨道平面（俯仰）的重力和离心力
哑铃两端质量和所产生的净力矩为
(5.50)
(5.51)
式中, 和分别为两哑铃端质量 和 到地心的距离 。
质量和的离心力和对卫星质量中心产生的力矩可表示为
(5.52)
根据上式, 这说明在俯仰平面内, 质量 和 的离心力所
产生的力矩相互抵消, 恢复力矩仅由质量和在重力场中所
受重力而产生 。
g g gM F L F L? ???
R L R L???
20cM m R L?? 20cM m R L?? ? ? ??
R 'R m 'm
m 'm
2,滚动通道
图 5.14表示在轨道法平面 (即滚动平面 )内哑铃式卫
星偏离铅垂线的情况,为滚动角。
在轨道法平面（滚动）的重力和离心力
在轨道法平面所受净重力矩可以表示为
(5.53)
由离心力所产生的净恢复力矩为
(5.54)
显然在滚动平面内，恢复力矩不仅取决于重力而且
还取决于离心力。这两种力产生的力矩方向相同，所以
它比在俯仰平面的恢复力矩要大。
g g g g gM F L F L? ???
()c c c c c c c cM F L F L F F L? ? ?? ? ? ?
3,偏航通道
图 5.15表示偏航平面内哑铃式卫星偏离速度方向的
情况 。 其中图 (a)和 (b)所示分别为在轨道平面内, 水平
平面内的投影 。
质量 和 所产生的重力矩相互抵消。
质量 和 的离心力和 。 所产生的力矩在数量上
相等, 而且方向相同, 即
(5,55)
式中,为哑铃在轨道平面内投影对地心张角的一半，
如图 5,15(a)所示。
为偏航角,
s in s in 2 s inc c c cM L F L F L F? ? ???? ? ?
?
? s inLl ??
m
m 'm
'm
5.4.2 重力梯度力矩
假设航天器绕地球运行的某时刻到地心的距离为 Ro，
地心为, 航天器质心为 O,质量为年 。 首先建立质
心轨道坐标系 和航天器本体坐标系 。 于
是质心 O到地心 的矢径即可在两个坐标系中表示为
(5,56)
式中,,, 为在本体坐标系中的投影 。
eO
0 0 0Ox y z Oxyz
eO
00 x y zR R i R i R j R k? ? ? ? ?
vv v v v
xR yR zR
m
根据 与 之间的坐标变换关系得
(5.57a)
(5.57b)
(5.57c)
令 表示航天器质心 到任一质量元 dm的矢径,
即
(5.58)
于是从地球中心到该质量元的矢径 (见图 5.16)就为
(5.59)
0 0 0Ox y z Oxyz
0 s inxRR ??
0 s in c o syRR ????
0 c o s c o szRR ????
?v
x i y j z k? ? ? ? vvvv ?? vl
rv
rR ???v vv
O
重力场作用到质量元上的重力为
(5.60)
式中,； 。 这里 G为万有引力常数, 为
地球质量 。
这个力产生的绕航天器质心的力矩即为
(5.61)
3g
dmd F r
r
?? ? ? v
eGM? ? rr? v eM
? ?3 3 3gg d m d m d md M d F r R Rr r r? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?v v v vv v v v vv
因为
所以
将上式展开并去掉高阶项, 即得到
? ? ? ?
2
22
0 2
00
21 Rr r r R R R
RR
??? ???? ???? ? ? ? ? ? ? ?
??
????
v vvv
vvvv l
3
2 2
3 3 2
0 0 0
1 1 2
1
R
r R R R
?
?
???? ?
??? ? ???
????
v v
l
3 3 2
00
1 1 31 R
r R R
??? ???
??
??
v v
代入方程式 (5,61)中, 有
(5,62)
将上式积分, 就得到整个航天器受到的重力梯度力矩为
(5,63)
32
00
31
g
d m Rd M R
RR
?? ??? ?? ? ? ?
??
??
v vvv
v
? ? ? ?53g mM R R d mR ? ??? ? ??v v vvv
应用式 (5.56)～ (5.58),再进行相应的矢量运算, 最终
得到航天器重力梯度力矩的标量形式, 即 在坐标系
上的投影为
(5.64a)
(5.64b)
(5.64c)
gM
v
Oxyz
? ?503g x z y y zRM I I R R???
? ?503g y x z x zRM I I R R???
? ?503g z z x x yRM I I R R???
将式 （ 5.57） 代入则得
(5.65a)
(5.65b)
(5.65c)
式中,,, 分别为航天器的三轴惯量, 它们是
若本体坐标系 各轴取为航天器的主惯量
轴，那么惯量积,, 均为零。
? ?303 22 s i n 2 c o sg x z yRM I I? ????
? ?3032 s in 2 c o sg y z xRM I I? ????
? ?3032 s i n 2 s i ng z x yRM I I? ????
xI yI zI
? ?22mx yzI d m??? ? ?22my xzI d m??? ? ?22mz xyI d m???
Oxyz
xyI yzI xzI
若航天器的轨道角速度某时刻为, 则容易证明此时
轨道角动量满足下面关系：
也就是
将此式代入式 (5.65)就可以得到重力梯度力矩的
另一表达形式, 即
(5.66a)
(5.66b)
(5.66c)
0?
2 000 RR ???
0 3
0R
?? ?
? ?20 232 s i n 2 c o sg x z yM I I? ????
? ?2032 s in 2 c o sg y z xM I I? ????
? ?2032 s i n 2 s i ng z x yM I I? ????
当星体的姿态是对地定向,, 和 均为小角度
时,,,则上面各式中略去高阶微量可进一步
简化为
(5.67a)
(5.67b)
(5.67c)
引力 (含重力 )梯度力矩具有如下性质：
(1)引力梯度力矩随高度的增加而减小。
(2)引力梯度力矩与航天器的质量分布有关。
(3)引力梯度力矩与航天器的角位置有关。
? ? ?
? ? 1???
? ?203g x z yM I I??? ?
? ?203g y z xM I I??? ?
0gzM ?
5.4.3 稳定性分析
已知航天器的姿态动力学方程由式 (3,38)描述, 即
(3,38)
将在小角度条件下重力梯度力矩式 (5,67)分别代人式
(3,38)并化简得
? ? ? ?
? ? ? ?
2
00
2
00
x y z x y z x
yy
z y z x y x z
I I I I I I M
IM
I I I I I I M
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
&& &
&&
&& &
(5,68a)
(5,68b)
(5,68c)
? ? ? ? 200 0x y z x y zI I I I I I? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?&& &
? ?2030y x zI I I? ? ?? ? ?&&
? ? ? ? 200 0z y z x y xI I I I I I? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?&& &
当偏航和滚动通道为弱耦合时，上式可近似为
(5,69a)
(5,69b)
(5,69c)
? ? 2030y x zI I I? ? ?? ? ?&&
? ? 2040x y zI I I? ? ?? ? ?&&
? ? 20 0z y xI I I? ? ?? ? ?&&
由这一组二阶微分方程组知道，要使得系统稳定，必须
有
(5,70a)
(5,70b)
(5,70c)
同时成立 。 其条件即为
(5,71)
y x zI I I??
进一步分析运动方程组 (5,69)发现, 航天器在重
力梯度力矩的作用下, 其各通道的姿态运动均是在平衡
(稳定 )姿态周围无阻尼振荡, 称之为天平动 。 天平动的
自然频率由式 (5,70)容易得到, 分别为
(5.72)
相应的天平动周期即为
(5.73)
式中,为航天器的轨道周期。
? ?
0
32 yz
x
x
II
I?
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0
3 xz
y
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II? ? ? ?0 3
y
y
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II? ? 0
z
z
yx
ITT
II? ?
002/T ???
特殊地，对于某些航天器，若其结构设计使得各主
惯量轴惯量满足，则天平动频率就相应为
在设计重力梯度稳定航天器时应解决三个问题：
(1)增大起稳定作用的恢复力矩和限制扰动力矩。
(2)捕获重力场。
(3)阻尼天平动。
02x ???
? ?
0
3 xz
y
y
II
I?
???
0z ???
天平动阻尼是重力梯度稳定卫星必须具备的, 而阻
尼方式的不同也正是各种重力梯度稳定卫星的主要区别
之所在 。 目前, 天平动的阻尼方式大致分为三种 。
(1)被动阻尼
(2)半被动阻尼
(3)主动阻尼
5.5 重力梯度稳定卫星的天平动阻尼
图 5.17所示的是一个磁黏性流体阻尼器，属于球型
被动阻尼器。
另一种球型被动阻尼器是涡流阻尼器，如图 5.18所示。
图 5.19给出了另一种天平动阻尼。这种时间滞后阻
尼方法是由安装在航天器上的 3个正交电磁铁线圈产生的
磁偶极子与地磁场相互作用来完成的。
重力梯度力矩的大小与航天器惯量分布有关 。 而重
力梯度伸展杆 (也简称 重力梯度杆 )就是为重力梯度稳定
航天器提供要求的结构形状和惯量分布, 以产生较大的
稳定力矩 。
重力梯度伸展杆在发射前收卷储存在伸杆机构里,
入轨后由伸杆机构把它伸展出来 。 可作为这种伸展杆的
形式很多, 有像钢卷尺那样的卷伸式, 像望远镜那样的
折叠式, 带节的桁架式和多层拉杆式等 。
5.6 重力梯度稳定系统的伸展杆
卷伸式伸展杆如图 5.20所示。
点击观看虚拟现实演示
图 5.21给出了一种采用铰连和框架型组合结构设计
的可伸缩的套筒式伸展杆。这种设计具有更强的抗扭转
和弯曲能力，同时也可增强承载能力。
点击观看虚拟现实演示
图 5.22所示为一种电机伸杆机构。
从理论上讲, 重力梯度稳定方式可以实现航天器的
三轴稳定, 重力梯度稳定方式仅适合于俯仰和滚动两轴
稳定, 指向精度为 1° ～ 10° 。 图 5.23显示了英国萨瑞大
学研制的一个典型的两轴哑铃式重力梯度稳定卫星 UOSAT
的外形结构 。
UO-14
航天器的被动姿态稳定
除了自旋稳定和重力梯度稳定
最常见的形式外, 还有一些其
他的被动稳定系统以及由它们
派生出来的系统, 在航天器姿
态控制中起到不同的作用 。
5.7 其他被动姿态稳定系统
5.7.1 被动稳定系统
1,磁稳定系统
所有磁稳定航天器都是根据磁力矩 M = P× B(P为星
上磁矩,B为地磁场强度 )的原理实现稳定的。
磁稳定系统
2．太阳辐射压力稳定和气动稳定系统
太阳辐射压力稳定使航天器对太阳定向, 而气动稳
定可使航天器沿轨道速度方向定向, 其定向精度中等 。
虽然气动稳定方式很早就有了, 但一直没有得到广泛的
实际应用 。
3,组合被动稳定系统
把上述稳定方式适当地组合起来，构成组合被动稳
定系统，例如组合采用磁稳定和重力梯度稳定，但一般
是在特殊情况下才采用。
5.7.2 半被动稳定系统
半被动稳定系统需要消耗少量星上的功率 。 为此,
航天器需要有存储或积累起来的能源, 其他方面与被动
系统完全一样 。 半被动稳定系统有许多种形式, 以下仅
列出以重力梯度稳定为主的三种半被动稳定系统的具体
形式 。
(1)重力梯度加惯性轮
(2)重力梯度加控制力矩陀螺
(3)重力梯度加增强式磁阻尼
