系统仿真技术
第 4章 频域仿真建模方法学
剡昌锋 刘军
兰州理工大学机电工程学院
频域仿真建模方法学
? 频域仿真建模方法：面向 S域的传递函数
G(s)，根据相似原理，得到与它相匹配的 Z
域传递函数 G(z)。
?,匹配”：包括动态性能 ----G(s)的零点、
极点要与相应 G(z)的零、极点匹配
? 稳态性能 ----对于同一个输入函数，终值相
同
4.1 替换法
? 已知,这是一个超越函数，不能直
接用它来替换。
? 4.1.1、欧拉替换
? 微分方程：,根据欧拉积分公式,
? 所以可得
? 即
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x
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欧拉替换法（续）
? 因为 故有,即
? 欧拉替换：简单，但是稳定性差，并不实
用。下面分析其稳定性,
? 设 有
? 则
? 对于 Z平面上的单位圆，有,故
? 也就是,
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欧拉替换法（续）
? Z平面上的单位圆按该替换式反映射到 S平
面上，将是一个以（－ 1/T,0）为圆心，
以 1/T为半径的圆。
? 一个原来稳定的系统 G(s)，通过替换得到
的仿真模型 G(z)却可能是不稳定的。
S域到 Z域的映射关系
4.1.2 双线性替换
? 观察梯形积分公式,
? 可得,
? 即,称为双线性替换公式
? 也可写成为,
? 即,
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双线性替换（续）
? 若,则 ；若,则 ＝ 1,
? 而若 >0，则 >1。
? 这就是说,Z平面上的单位圆，映射到 S平面上
将是整个左半平面，其逆也真。
? 即如果原来 G(s)稳定，那么 G(z)也是稳定的。
0?? 1?z 0?? z
? z
线性化替换的映射关系
双线性替换（续）
? 程序替换算法
? 设线性系统的传递函数为
? （ 1）
? 在双线性替换下得到的 Z传递函数为,
? （ 2）
? 由 ai,bi(i=0,1,…, n) 确定 di,ei (i=0，
1,…, n)
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双线性替换（续）
? 直接将双线性替换公式代入 G(s)，可得,
? 将其分子、分母同乘以,可得,
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双线性替换（续）
? 将, 写成向量形式,? ?zA ? ?zB
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双线性替换（续）
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双线性替换（续）
? 由于,, …, 均为 n
阶多项式，可得到,
? 矩阵 为（ n+1） × (n+1)阶,
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双线性替换（续）
? 第一列诸元素为 1，第一行诸元素为 展
开式的各系数，阶次 n确定后，这些元素均
为已知；
? 可以证明，其余 n× n个元素可由下式求得,
? i,j =1,2,…, n
? 从而可得,
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双线性替换（续）
? 这样就得到了 分子分母的各系数的表达式,
? 其中
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4.2 根匹配法
? 假定被仿真的连续系统的传递函数如下式,
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?,根匹配法”：由 的转换关系，在 Z平面
上一一对应地确定出零、极点的位置，然后根
据其它特点 (比如，终值点 )来确定 Kz
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根匹配法（续）
? 只要原系统是稳定的，则不论 T取多大，都能保证
仿真模型也是稳定的。
? 根匹配法的一般步骤如下,
? (1)由 计算出 。
? (2)把 S平面上的零极点映射到 Z平面上，即,
? (3)初步构造一个具有上述零极点的
? (4)确定 Z平面上的附加零点。因为 m≤n，故在 S平
面上有 n－ m个零点在负无穷远处，不妨假设均在
－ ∞处，由此可见，在 Z平面上尚有 n－ m个零点在
处,即尚有 n－ m个零点在 Z平面的原点。
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根匹配法（续）
? (5)在典型输入下，根据终值定理求出连续系统
? 的终值及离散系统 G（ Z）的终值。
? (6)根据终值相等的原则确定。
? 例,
? （ 1）,故,,, n=2，
m=1
? （ 2）,,
? (3)
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根匹配法（续）
? （ 4）附加一个零点，为简单起见，令,
即零点配在 Z平面的原点。故,
? （ 5）加斜坡函数 u(t)=t,具有非零且有限的
稳态值,
? 由 可得,
? （ 6）故,
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根匹配法（续）
? G（ S） 与零点配在原点,G（ Z〕 在相位上领前较大
? 零点配置在 z=-1处，即在 的分子上乘上,
此时相位有一些滞后,
? 为了使相位既不领先也不滞后，可以将一个附加零点
设置在 (0，－ 1)之间，即在 的分子上乘上,
其中 为 (0,1)之间的一个数，即,
? 现在有两个待定常数,与,它可以通过频率特性
来确定。
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4.3 频域离散相似法
4.3.1 频域离散相似法基本原理
(1)
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( a
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( b )
图 4, 3 频域离散相似法
G h ( s ) G( s ) G( s )
G( z)
? ?)()()( sGsGZzG h?
频域离散相似法 (续）
? 离散相似方法：物理意义明确，程序简单，
计算量小，是一种恒稳的计算方法。如何
保证离散模型达到规定精度要求是这类方
法的基本问题。
4.3.2 信号重构器的频谱特性分析
? 香农采样定理,
? 1）零阶信号重构器, 它是将离散信号在两个采
样点之间保持不变,
? （ 2）
? 与理想的信号重构器相比,
? 在幅频上略有误差，而相
? 频上则略有所延迟，大约
? 比 延迟 T/2。
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图 4,9 零阶信号重构器的频谱特性
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信号重构器的频谱特性分析（续）
2）一阶信号重构器
（ 3）
传递函数为,
(4)
幅频有误差，相频也有延迟。这种信号重构器只
能无失真地恢复斜坡信号。
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信号重构器的频谱特性分析（续）
图 4, 1 0 ( b ) 一阶信号重构器频率特性
信号重构器的频谱特性分析（续）
3）三角信号重构器
（ 5）
传递函数为,
（ 6）
? 三角形信号重构器高频部分失真很小，且
无相位滞后
? 要求在计算的时已知，有时这是不可能的
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信号重构器的频谱特性分析（续）
信号重构器的频谱特性分析（续）
? 滞后一拍的三角形信号重构器
? （ 7）
? 传递函数为,
? （ 8）
? 高频部分失真很小，且相位滞后一拍
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信号重构器的频谱特性分析（续）
图 4.15 滞后一拍的三角信
号重构器
都不是理想的低通滤波器，
即幅度随频率提高而减少，
截止频率是 n个，即除了允
许主要频率分量通过外，还
允许高频分量通过，被重构
的信号会失真。
零阶信号重构器简单且容易
实现具有较小相位滞后。
4.3.3 可调整积分法
? 实际信号往往具有较宽的频谱，采样频率
难以完全满足采样定理的要求
? 实际信号重构器不可能无失真地重构信号，
因此必然引入仿真误差
? 采用校正措施，在模型中加入一个补偿器，
适当调整其相位、幅度
4.3.3.1连续补偿
? 连续型补偿器可以采用如下型式,
? 称为幅度补偿因子，用来进行幅度上的补偿,
? 称为相位补偿因子。
?
u
T
y
图 4,16 连续型补偿
G (s)G h (s) G 补 (s)
TsesG ???)（
补
?
?
常用的三种连续型补偿器的形式
4.3.3.2 离散补偿
? 在信号重构器前加一个离散型补偿器 。
? 用于实际的采样控制系统中，因为重构器
前的采样开关是实际的，譬如说是计算机，
这样补偿器往往就放在计算机里，在逻辑
上相当于放在重构器的前面。
u T yT
图 4,17 离散型补偿
G ( s)G h ( s)G 补 ( z)
? 例：零阶信号重构器，连续型补偿器,
注意：反馈回路延迟了一拍。
Tse??
K
u
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-
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图 4.18(a)补偿器参数选择
S
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? 原系统模型为,
? 选择单零点补偿方式
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Sx
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? 则,
? 可得,
? 为了使 (b)与 (a)等价，首先系统阶次要相同，选
与 使 Z平面上的两个 Z极点变成一个,
? 可选择 有,
? 此时它只有一个极点,
? 为使它与 相匹配，即要求,
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? 由此可得：,将 及
? 代入,
? 确定 ?,? 后，应按照根匹配法的要求，对整个
系统的稳态增益系数进行调整，即选择一作用
函数，使离散系统与原连续系统具有相同的有
限但不为零的稳态值。
? 原系统为,0”型，可选单位阶跃作用函数，其
稳态增益为,
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KT
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KT
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? 则离散化后的系统稳态增益为,
? 其中 称为稳态增益调整因子。本系统恰好为 1。
它所对应的差分方程为,
? 显然，选择不同的 和 可以得到不同精度的差
分模型，这种方法也称“可调整积分法”。
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第 4章 频域仿真建模方法学
剡昌锋 刘军
兰州理工大学机电工程学院
频域仿真建模方法学
? 频域仿真建模方法：面向 S域的传递函数
G(s)，根据相似原理，得到与它相匹配的 Z
域传递函数 G(z)。
?,匹配”：包括动态性能 ----G(s)的零点、
极点要与相应 G(z)的零、极点匹配
? 稳态性能 ----对于同一个输入函数，终值相
同
4.1 替换法
? 已知,这是一个超越函数，不能直
接用它来替换。
? 4.1.1、欧拉替换
? 微分方程：,根据欧拉积分公式,
? 所以可得
? 即
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欧拉替换法（续）
? 因为 故有,即
? 欧拉替换：简单，但是稳定性差，并不实
用。下面分析其稳定性,
? 设 有
? 则
? 对于 Z平面上的单位圆，有,故
? 也就是,
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欧拉替换法（续）
? Z平面上的单位圆按该替换式反映射到 S平
面上，将是一个以（－ 1/T,0）为圆心，
以 1/T为半径的圆。
? 一个原来稳定的系统 G(s)，通过替换得到
的仿真模型 G(z)却可能是不稳定的。
S域到 Z域的映射关系
4.1.2 双线性替换
? 观察梯形积分公式,
? 可得,
? 即,称为双线性替换公式
? 也可写成为,
? 即,
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? 而若 >0，则 >1。
? 这就是说,Z平面上的单位圆，映射到 S平面上
将是整个左半平面，其逆也真。
? 即如果原来 G(s)稳定，那么 G(z)也是稳定的。
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线性化替换的映射关系
双线性替换（续）
? 程序替换算法
? 设线性系统的传递函数为
? （ 1）
? 在双线性替换下得到的 Z传递函数为,
? （ 2）
? 由 ai,bi(i=0,1,…, n) 确定 di,ei (i=0，
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? 直接将双线性替换公式代入 G(s)，可得,
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12
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12
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1
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T
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T
a
zG
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2
1
2
111
2
1
2
1
1
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1
1
10
0
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? ?zB
zA
双线性替换（续）
? 将, 写成向量形式,? ?zA ? ?zB
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T
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双线性替换（续）
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n
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T
T
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0
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n
n
n
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zz
z
1
11
1
1
?
双线性替换（续）
? 由于,, …, 均为 n
阶多项式，可得到,
? 矩阵 为（ n+1） × (n+1)阶,
? ?nz 1? ? ? ? ?11 1 ?? zz n ? ?nz 1
? ?
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11
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00100
1
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z
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xxx
xxx
xxx
xxx
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zz
zz
z
n
n
nnnn
inii
n
n
n
iin
n
n
? ?ijx
双线性替换（续）
? 第一列诸元素为 1，第一行诸元素为 展
开式的各系数，阶次 n确定后，这些元素均
为已知；
? 可以证明，其余 n× n个元素可由下式求得,
? i,j =1,2,…, n
? 从而可得,
? ?nz 1?
1,11,,1,???? ??? jijijiji xxxx
? ? ? ?011 aaaazA nn ??? ? ?ijn xTTd ia g ?????? )2( 2 1 ? ? ?Tnn zzz 11 ??
? ? ? ?011 bbbbzB nn ??? ? ?
ij
n x
TTd ia g ??
??
?
? )2( 2 1 ? ? ?Tnn zzz 11 ??
双线性替换（续）
? 这样就得到了 分子分母的各系数的表达式,
? 其中
? ?zG0
? ? ? ? Haaaaddd nnn ?? ? 01110 ??
? ? ? ? Hbbbbeee nnn ?? ? 01110 ??
? ?ijn xTTd ia gH ?
?
??
?
?? )2( 2 1 ?
4.2 根匹配法
? 假定被仿真的连续系统的传递函数如下式,
? (n≥m)
?,根匹配法”：由 的转换关系，在 Z平面
上一一对应地确定出零、极点的位置，然后根
据其它特点 (比如，终值点 )来确定 Kz
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?
n
m
pspsps
qsqsqsKsG
???
????
?
?
21
21
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2
'
1
''
2
'
1
n
mz
pzpzpz
qzqzqzKzG
???
????
?
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根匹配法（续）
? 只要原系统是稳定的，则不论 T取多大，都能保证
仿真模型也是稳定的。
? 根匹配法的一般步骤如下,
? (1)由 计算出 。
? (2)把 S平面上的零极点映射到 Z平面上，即,
? (3)初步构造一个具有上述零极点的
? (4)确定 Z平面上的附加零点。因为 m≤n，故在 S平
面上有 n－ m个零点在负无穷远处，不妨假设均在
－ ∞处，由此可见，在 Z平面上尚有 n－ m个零点在
处,即尚有 n－ m个零点在 Z平面的原点。
??sG,,,,1 mqqK ?
npp,,1 ?
Tpi iep ?' Tqi ieq ?'
? ?zG
0???Te
根匹配法（续）
? (5)在典型输入下，根据终值定理求出连续系统
? 的终值及离散系统 G（ Z）的终值。
? (6)根据终值相等的原则确定。
? 例,
? （ 1）,故,,, n=2，
m=1
? （ 2）,,
? (3)
??sG
? ? 122 ??? ss ssG
? ? ? ?21?? s ssG 1
1 ??p 01 ?q12 ??p
Tep ??'1 Tep ??'2 1' ?q
? ? ? ?? ?21Tz ez zKzG ?? ??
根匹配法（续）
? （ 4）附加一个零点，为简单起见，令,
即零点配在 Z平面的原点。故,
? （ 5）加斜坡函数 u(t)=t,具有非零且有限的
稳态值,
? 由 可得,
? （ 6）故,
??sG
0q2 ?'
2)(
)1()(
Tz ez
zzkzG
??
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? ? ? ? ? ?? ?sUssGy s 0lim??? ? ? 111lim 220 ??????? ?? ? ss sss
? ?zG
? ? ? ? ? ??????? ??? ? zUzGzzy z 11lim 2221 )1()1()( )1(1lim TzzTz e TKz Tez zzKzz ???????? ?? ??? ?
T
e1K 2T
z
)( ??
根匹配法（续）
? G（ S） 与零点配在原点,G（ Z〕 在相位上领前较大
? 零点配置在 z=-1处，即在 的分子上乘上,
此时相位有一些滞后,
? 为了使相位既不领先也不滞后，可以将一个附加零点
设置在 (0，－ 1)之间，即在 的分子上乘上,
其中 为 (0,1)之间的一个数，即,
? 现在有两个待定常数,与,它可以通过频率特性
来确定。
? ?zG ? ? mnz ??1
? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? 222 111 TzTz ez zKez zzKzG ?? ? ??? ??? ? ?TeK
T
z 2
1 2???
??zG
mnz ??? )( ?
? ? ? ?? ?? ?21 Tz ez zzKzG ?? ??? ?
zK ?
4.3 频域离散相似法
4.3.1 频域离散相似法基本原理
(1)
u( t ) y( t )
( a
)
u ( t )
T
T
? ?tu
?
? ?tu
~
? ?tu
?
? ?tu
?
? ?ty
?~
? ?ty
~
( b )
图 4, 3 频域离散相似法
G h ( s ) G( s ) G( s )
G( z)
? ?)()()( sGsGZzG h?
频域离散相似法 (续）
? 离散相似方法：物理意义明确，程序简单，
计算量小，是一种恒稳的计算方法。如何
保证离散模型达到规定精度要求是这类方
法的基本问题。
4.3.2 信号重构器的频谱特性分析
? 香农采样定理,
? 1）零阶信号重构器, 它是将离散信号在两个采
样点之间保持不变,
? （ 2）
? 与理想的信号重构器相比,
? 在幅频上略有误差，而相
? 频上则略有所延迟，大约
? 比 延迟 T/2。
ms ?? ?2/
? ? ? ?? ?
s
etgLsG
TktkTkTftf
Ts
hh
h
??
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????
1
)1( )()(
图 4,9 零阶信号重构器的频谱特性
??tf
??tf
信号重构器的频谱特性分析（续）
2）一阶信号重构器
（ 3）
传递函数为,
(4)
幅频有误差，相频也有延迟。这种信号重构器只
能无失真地恢复斜坡信号。
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?TktkT
kTt
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?????
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21
1 ??
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Ts
eTsTtgLsG Ts
hh
信号重构器的频谱特性分析（续）
图 4, 1 0 ( b ) 一阶信号重构器频率特性
信号重构器的频谱特性分析（续）
3）三角信号重构器
（ 5）
传递函数为,
（ 6）
? 三角形信号重构器高频部分失真很小，且
无相位滞后
? 要求在计算的时已知，有时这是不可能的
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?TktkT
T
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2
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???
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Ts
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T
e sTTs
信号重构器的频谱特性分析（续）
信号重构器的频谱特性分析（续）
? 滞后一拍的三角形信号重构器
? （ 7）
? 传递函数为,
? （ 8）
? 高频部分失真很小，且相位滞后一拍
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?T1ktkT
kTt
T
T1kfkTfT1kftf
h
???
??????
? ?
2
2
1
???
?
???
? ?? ?
Ts
esG sT
h
信号重构器的频谱特性分析（续）
图 4.15 滞后一拍的三角信
号重构器
都不是理想的低通滤波器，
即幅度随频率提高而减少，
截止频率是 n个，即除了允
许主要频率分量通过外，还
允许高频分量通过，被重构
的信号会失真。
零阶信号重构器简单且容易
实现具有较小相位滞后。
4.3.3 可调整积分法
? 实际信号往往具有较宽的频谱，采样频率
难以完全满足采样定理的要求
? 实际信号重构器不可能无失真地重构信号，
因此必然引入仿真误差
? 采用校正措施，在模型中加入一个补偿器，
适当调整其相位、幅度
4.3.3.1连续补偿
? 连续型补偿器可以采用如下型式,
? 称为幅度补偿因子，用来进行幅度上的补偿,
? 称为相位补偿因子。
?
u
T
y
图 4,16 连续型补偿
G (s)G h (s) G 补 (s)
TsesG ???)（
补
?
?
常用的三种连续型补偿器的形式
4.3.3.2 离散补偿
? 在信号重构器前加一个离散型补偿器 。
? 用于实际的采样控制系统中，因为重构器
前的采样开关是实际的，譬如说是计算机，
这样补偿器往往就放在计算机里，在逻辑
上相当于放在重构器的前面。
u T yT
图 4,17 离散型补偿
G ( s)G h ( s)G 补 ( z)
? 例：零阶信号重构器，连续型补偿器,
注意：反馈回路延迟了一拍。
Tse??
K
u
+
-
x
图 4.18(a)补偿器参数选择
S
1
? 原系统模型为,
? 选择单零点补偿方式
?
? ?
? ? KSSu
Sx
??
1
? ?TSe TS ??? ? ?? 1
? 则,
? 可得,
? 为了使 (b)与 (a)等价，首先系统阶次要相同，选
与 使 Z平面上的两个 Z极点变成一个,
? 可选择 有,
? 此时它只有一个极点,
? 为使它与 相匹配，即要求,
? ?
? ?
? ?? ?
? ? ? ?????
???
????
???
11
1
2 TKzKTz
zTz
zu
zx
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1
)1(1)1(1
)(
)(
?
??????
?
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z
TT
s
Ts
s
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ze
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?
?
1??
? ?
? ? ? ?1??? TKz
Tz
zU
zX
?
?
TKZ ??? 1极点
KS ??极点
TKeZ KT ???? ? 1极点
? 由此可得：,将 及
? 代入,
? 确定 ?,? 后，应按照根匹配法的要求，对整个
系统的稳态增益系数进行调整，即选择一作用
函数，使离散系统与原连续系统具有相同的有
限但不为零的稳态值。
? 原系统为,0”型，可选单位阶跃作用函数，其
稳态增益为,
KT
e KT??? 1? 1??
KT
e KT??? 1?
? ?
? ?
? ?
? ?KT
KT
ezK
ez
zU
zX
?
?
?
?? 1
? 则离散化后的系统稳态增益为,
? 其中 称为稳态增益调整因子。本系统恰好为 1。
它所对应的差分方程为,
? 显然，选择不同的 和 可以得到不同精度的差
分模型，这种方法也称“可调整积分法”。
?
kksss sx
111
0
lim ?? ?
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Kkzez
e
Kz
zx
zKT
KT
z
1)1(111lim
1
?????? ?
?
??
kz
? ? ? ? ? ? ? ?1111 ????? ?? kueKkxekx KTKT
?
