系统仿真技术
第 7章 间断特性的仿真建模
剡昌锋 刘军
兰州理工大学机电工程学院
7.1 间断特性仿真的特点
? 讨论一般间断特性仿真建模问题。若微分方
程 中右端函数 不连续，一般可用
以下形式来描述,
? (7.1)
? 右端函数的连续性对保证仿真精度是十分重
要的 。
? (,)y f y t? f y t(,)
0ty
0ty
0ty
tyf
tyf
tyf
dt
dy
m
2
1
m
2
1
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
),(
),(
),(
??
间断特性仿真的特点（续）
? 单步法要求 在一个步长内右端函数连续, K
阶多步法则要求在 K步内右端函数连续,离
散相似法则要求有更规则的形式（如可用 传
递函数描述 等）。
? 为了使仿真结果达到一定精度，采用变步长
方法。然而，采用变步长方法也会遇到困难。
间断特性仿真的特点（续）
? 若函数的形式如图 7.1所示。设当前的
仿真时刻为,仿真步长为 。下一
步，首先按 计算，这时，可能跨过间
断点,显然，计算误差超过要求，为
此，减少步长,即从 退回到,
这时，只有当 时误差才可能达到
要求。然而此时，由于 处于连续，
步长小，误差也很小，又进入放大步长
状态，结果又跨过点 。这样，在间断
点，步长的调整要反复多次，才能找到
间断点，从而计算量大大增加。
? 因而,如何快速地搜索出间断点,以便
能快速地越过间断点是这类系统仿真中
需要解决的突出问题。
t k
t
*
t
k ? 1
t
k ?1
f y t(,)
图 7.1 间 断 点 变 步 长 仿 真
kt hk
hk
t*
kt tk?1 tk?11()
t tk? ?11( ) *
f y t(,)
t*
7.2 条件函数零点搜索法
? 若能事先确定 满足条件函数的点，即满
足 的,然后就可以恰当地选择步长。
条件函数可分为两大类,
? 1） 条件函数仅与时间有关,即
? 仿真推进比较简单：事先确定满足条件函数
的时间点值，仿真钟推进时，每一步均与间
断点时间值进行比较，使当前步不跨过间断
点。
f y t(,)
? i y t(,) ? 0 t*
? ?i y t t(,) ( )? ? 0
条件函数零点搜索法 (续）
? 2) 条件函数不仅与时间有关，而且与系统变量的值
有关
? 条件函数的零点无法事先求出，而必须在每一步仿
真计算时进行判断（搜索）。主要困难,仿真步长
选择多大为宜以免跨过间断点。
? 若从 出发，当前 已经得到，仿真钟按步长往
前推进到,得到系统变量预报值，可以得
到, 。用这些值构造一
个插值函数,用它来取代原来的条件函数。此
时的条件函数仅与时间有关，因而易于求得它的根 -
---间断点时间的值,设为 。调整步长，
从 出发，按步长 推进到,这样就不
会跨过间断点。
tk yk
t t hk k k? ? ?1
? ?k k k k k ky t y t(,),(,)? ? ?1 1 1? (,),? (,)? ?k k k k k ky t y t? ? ?1 1 1
?()t
t t tk k k? ? ?1* ?
(,)t yk k h tk k? ?1 ? tk?1*
条件函数零点搜索法 (续）
? 方法关键：找到 合适的插值函数 。比较普遍
使用的插值函数 ----Hermiter内插公式,
（ 7.2）
? 其中 。
? 注意：由于 均是基于预报值 计算出
来的，而 是基于 连续导出的，因而难
免会有误差，甚至有可能产生失误。但是，
只要 不是特别大，这种方法仍然是可用的。
要求：必须将间断点的条件转化为显式条件
函数。
? ? ? ?
? ? ? ? 0),(),()1()1(
),(23),()1(2)1(3)(
1
)1(
11
3232
1
)1(
11
3232
???????
??????
???
???
kkkkkkkk
kkkkkk
tyaahtyaah
tyaatyaat
??
???
??
a t t hk k? ?( ) /
? ?k k? ?1 1,? yk?11( )
yk?11( ) f y t(,)
hk
7.3 平均值法
? 条件函数零点搜索法, 以搜索零点的计算
为代价 ----应用于高精度仿真 。
? 平均值法：一种精度适中、计算速度较快
的间断点仿真建模方法 。
? 7.3.1基本思想
? 设间断特性满足如下关系,
? （ 7.3）
? 其中 中包含间断点,为作用函数,
为被仿真的系统变量。
),( uyfdtdy ?
f y u(,) u
y
平均值法（续）
? 设在第 步到第 步作用函数 u存在间断
点，则由（ 7.3）式,
? （ 7.4）
? 平均值法：在区间, 常数，即,
? （ 7.5）
k ?1k
??
?
??
???
??
?
?
11
=
1
1
k
k
k
k
u
u
u
u k
dt
duk
h)k(
khkk
du
)u,y(g
)u,y(f
ydu
)u,y(f
y
dt)u,y(fyy
? ?kh k h,( )? 1 du dt =
h
u
h
uuuyg kk1k ???? ?),(
平均值法（续）
? 从而 （ 7.6）
? 其中,
? 称为 的平均函数，则
? （ 7.7）
y y h u f y u duk k
k u
u
k
k
? ? ? ?
??
1
1 1
? (,)
? ?? 1 ),(1),( kkuu
k
kka ve duuyfuuuf ??
),( uyf
y y h f u uk k a v e k k? ? ? ?1 (,)?
7.3.2 典型间断特性的平均函数
? (1)继电特性
? 典型的继电特性可
令,
可以得到,
? （ 7.8）
0
－ 1
1
图 7.2 典型继电特性
f y u(,)
uf y u u u(,) ? (u ? 0)
f u u
u
f y u du
u
u
u
du
u
u
u
du
u
u
u u u
u
a v e k k
k
u
u
k
u
u
k
u
u u
k
u
u u
k k k
k
k
k
k
k
k
k k
k
k k
(,) (,)
( )
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
1 1
1 1
1 1
继电特性（续）
? 一般情形继电特性,
? 可以用 代替典型继电特性表达式中的,
即
? 这样,可得到,
u0
-1
1
f y u(,)
u u s? u
f y u u u u u u us s s(,) ( ) / )? ? ? ? (
k
skksk
uu
us
k
uu
u
s
s
k
u
u
s
s
k
kka v e
u
uuuuu
uu
u
du
uu
uu
u
uu
uu
u
uuf
kk
k
kk
k
k
k
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
=
1
=
1
=
1
),(
1
(2)失灵区特性
? 典型的失灵区特性,
f y u u u u u u u u us s s s(,) ( ) / ( ) /? ? ? ? ? ? ? ?2 2
0
图 7.4 典型失灵区特性
f y u(,)
45?
us
?us
45?
失灵区特性
? ?
? ? ? ?? ?
??
?
?
? ? ( 7, 1 3 ) )()()(+
)()(+
)()()(
)()(
4
1
=
)()()()(
2
1
=
2/)(2/)(
1
=),(
22
22
2
2
1
2
2
1
skskskkskk
skskk
skskskkskk
skskk
k
uu
ussssss
k
uu
u ssss
k
kka v e
uuuuuuuuuu
uuuuu
uuuuuuuuuu
uuuuu
u
uuuuuuuuuuuu
u
duuuuuuuuu
u
uuf
kk
k
kk
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???????
????
????????
????
?????????
???????
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
可以求得,
(3)带失灵区的继电特性
? 间断特性既具有失灵区的特点，也具有继电
特性的特点，其函数描述式如下,
? 因此
f y u u u
u u
u u
u u
s
s
s
s
(,) ? ?
?
? ?
?
1
2
1
2
f y u(,)
?us
us－ 1
1
图 7.5 带失灵区的继电特性 ?
?
skksk
skksk
k
uu
u
k
kka v e
uuuuu
uuuuu
u
duuyf
u
uuf
kk
k
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
=
),(
1
=),(
(4)饱和非线性特性
? 函数描述,
f y u u u u us s(,) ? ? ? ?2
0
图 7.6 典型饱和非线性特性
f y u(,)
us
?us
us
?us
u
饱和非线性特性
? 平均函数,
? ?
?
f u u
u
f y u du
u
u u u u u u u u
u
u u u u u u u u u u
u u u u u u u u u u
av e k k
k
u
u u
k
s s s s u
u u
k
k k s k k s k s k s
k k s k k s k s k
k
k k
k
k k
(,) (,)
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
1
1
4
1
4
=
= -
- ?
s
)