第十二章 随机变量的产生
12.1 随机数发生器
如何根据确定的分布类型及其参数产生随机变量
? 定义,产生 [0,1]区间上均匀分布的随机变量,亦称为
随机数发生器。
? 说明,
1）随机数发生器不是在概率论意义下的真正的随机数,
而只能称为伪随机数，因为无论哪一种随机数发生器都
采用递推算法 ；
2） 如果算法选择得合适,由这种算法得到的数据统计检
验能具有较好的统计特性 (如均匀性,独立性等 ),则将这种
伪随机数用于仿真仍然是可行的。
12.1 随机数发生器
1,线性同余发生器
)) ( m o d( 1 mCaZZ ii ?? ?
Lehmer1951年提出,
数。
显然,
10 ??? mZ i
12.1 随机数发生器
Z Z Zi i? ? ??5 3 16 71 0( ) ( m o d )
12.1 随机数发生器
循环一次称为发生器的一个周期,记为 。 P
P m?如果 则称该发生器具有满周期。
个整数正好出现一次,从而 保证了均匀性 ;
12.1 随机数发生器
如何选择
m a C,,,就能保证线性同余发生器具有满周期呢?
不了,因而不可能得到满周期。是否存在一个大缺口亦难以
确定。
12.1 随机数发生器
周
也很长。两个经过检验的,性能较好的 PMMLCG,
12.1 随机数发生器
2,组合发生器
将两个独立的线性同余发生器组合起来,即 用一个发生器 控
制 另一个发生器 产生的随机数,因而称为组合发生器。
12.1 随机数发生器
12.2 随机数发生器的测试
随机数发生器是伪随机数发生器,在使用之前必须进行检验
12.2 随机数发生器的测试
12.2 随机数发生器的测试
因为相关系数为 0是两个随机变量相互独立的必要条件,其值
大小可以评价相关程度。
独立性检验,计算相邻一定间隔的随机数之间的相关系数,
然后判断其相关程度。
12.2 随机数发生器的测试
12.2 随机数发生器的测试
标准正态分布 N(0,1);
12.3 随机变量产生的原理
仿真对产生随机变量的方法的要求,
? 准确性, 即由这种方法产生的随机变量应准确地具有所
要求的分布 ;
? 快速性, 离散事件仿真一次运行往往需要产生几万甚至
几十万个随机变量。
介绍四类最常用的产生随机变量的方法,
反变换法；
组合法；
卷积法；
舍选法。
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
图 12.1 连续分布函数的反变换法原理
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
图 12.2 离散分布的反变换法
（ 2）离散随机变量的反变换法,
12.3 随机变量产生的原理
0 1? ?p x i( )
i
n
ip x
?
? ?
1
1( )，且 。
12.3 随机变量产生的原理
2 组合法
12.3 随机变量产生的原理
（当一个分布函数可以表示成若干个其它分布函数之和,
而这些分布函数较原来的分布函数更易于取样时,则宜采用
组合法。）
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
分析,
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
3 卷积法
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
4 舍选法
直接法,直接面向分布函数，以反变换法为基础。
舍选法,当反变换法难于使用时 (例如随机变量的分布函数
不存在封闭形式 )。
若独立地产生两个 [0,1]区间内均匀分布的随机变量 u u1 2,
12.3 随机变量产生的原理
舍选法的解释,
在 1× C这块矩形面积上任投一点
11,pp
的纵坐标为 Cu
1
,横坐标为
u2,若该点位于 f x( ) 曲线下面,则
认为抽样成功。
下的面积可视为在（ 0,1）
区间对
)x(f
)x(f 的积分，若 x取值仅在
（ 0,1）区间，则该积分值可视为
分布函数值，在该区间的成功,抽
样可视为对 )x(f
生的随机变量。
12.3 随机变量产生的原理
一般情形,
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
12.5 典型随机变量的产生
1 连续随机变量的产生
1),正态分布,
(分布函数没有直接的封闭形式 )
⑴ 转换法,若将其转换到极坐标系,则可以得到其封闭形式，
再采用反变换法。
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
⑵ 采用反变换法,
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
1
10
00
)(
1
x
b
e
x
b
x
x
xr
x
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
11
10
)(
x
b
e
x
b
x
xR
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
其它
?
?
)u(b
ln
b
u)bu(
)u(Rx
/
1
11
1
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
2 离散随机变量的产生
(最基本方法是反变换法 )
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
算法如下,
12.5 典型随机变量的产生
12.1 随机数发生器
如何根据确定的分布类型及其参数产生随机变量
? 定义,产生 [0,1]区间上均匀分布的随机变量,亦称为
随机数发生器。
? 说明,
1）随机数发生器不是在概率论意义下的真正的随机数,
而只能称为伪随机数，因为无论哪一种随机数发生器都
采用递推算法 ；
2） 如果算法选择得合适,由这种算法得到的数据统计检
验能具有较好的统计特性 (如均匀性,独立性等 ),则将这种
伪随机数用于仿真仍然是可行的。
12.1 随机数发生器
1,线性同余发生器
)) ( m o d( 1 mCaZZ ii ?? ?
Lehmer1951年提出,
数。
显然,
10 ??? mZ i
12.1 随机数发生器
Z Z Zi i? ? ??5 3 16 71 0( ) ( m o d )
12.1 随机数发生器
循环一次称为发生器的一个周期,记为 。 P
P m?如果 则称该发生器具有满周期。
个整数正好出现一次,从而 保证了均匀性 ;
12.1 随机数发生器
如何选择
m a C,,,就能保证线性同余发生器具有满周期呢?
不了,因而不可能得到满周期。是否存在一个大缺口亦难以
确定。
12.1 随机数发生器
周
也很长。两个经过检验的,性能较好的 PMMLCG,
12.1 随机数发生器
2,组合发生器
将两个独立的线性同余发生器组合起来,即 用一个发生器 控
制 另一个发生器 产生的随机数,因而称为组合发生器。
12.1 随机数发生器
12.2 随机数发生器的测试
随机数发生器是伪随机数发生器,在使用之前必须进行检验
12.2 随机数发生器的测试
12.2 随机数发生器的测试
因为相关系数为 0是两个随机变量相互独立的必要条件,其值
大小可以评价相关程度。
独立性检验,计算相邻一定间隔的随机数之间的相关系数,
然后判断其相关程度。
12.2 随机数发生器的测试
12.2 随机数发生器的测试
标准正态分布 N(0,1);
12.3 随机变量产生的原理
仿真对产生随机变量的方法的要求,
? 准确性, 即由这种方法产生的随机变量应准确地具有所
要求的分布 ;
? 快速性, 离散事件仿真一次运行往往需要产生几万甚至
几十万个随机变量。
介绍四类最常用的产生随机变量的方法,
反变换法；
组合法；
卷积法；
舍选法。
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
图 12.1 连续分布函数的反变换法原理
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
图 12.2 离散分布的反变换法
（ 2）离散随机变量的反变换法,
12.3 随机变量产生的原理
0 1? ?p x i( )
i
n
ip x
?
? ?
1
1( )，且 。
12.3 随机变量产生的原理
2 组合法
12.3 随机变量产生的原理
（当一个分布函数可以表示成若干个其它分布函数之和,
而这些分布函数较原来的分布函数更易于取样时,则宜采用
组合法。）
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
分析,
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
3 卷积法
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
4 舍选法
直接法,直接面向分布函数，以反变换法为基础。
舍选法,当反变换法难于使用时 (例如随机变量的分布函数
不存在封闭形式 )。
若独立地产生两个 [0,1]区间内均匀分布的随机变量 u u1 2,
12.3 随机变量产生的原理
舍选法的解释,
在 1× C这块矩形面积上任投一点
11,pp
的纵坐标为 Cu
1
,横坐标为
u2,若该点位于 f x( ) 曲线下面,则
认为抽样成功。
下的面积可视为在（ 0,1）
区间对
)x(f
)x(f 的积分，若 x取值仅在
（ 0,1）区间，则该积分值可视为
分布函数值，在该区间的成功,抽
样可视为对 )x(f
生的随机变量。
12.3 随机变量产生的原理
一般情形,
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
12.3 随机变量产生的原理
12.5 典型随机变量的产生
1 连续随机变量的产生
1),正态分布,
(分布函数没有直接的封闭形式 )
⑴ 转换法,若将其转换到极坐标系,则可以得到其封闭形式，
再采用反变换法。
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
⑵ 采用反变换法,
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
?
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其它
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ln
b
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)u(Rx
/
1
11
1
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
2 离散随机变量的产生
(最基本方法是反变换法 )
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
12.5 典型随机变量的产生
算法如下,
12.5 典型随机变量的产生
