第 二 讲用 Mathematica进行函数的计算和解微积分用 Mathematica进行函数的运算
Mathematica的特殊函数
Mathematica的内部函数
四则运算与运算次序
自定义函数四则运算与运算次序
在 Mathematica中的四则运算
和,+
减：－
积,* 或 空格
商,/
乘方,^
运算次序与一般规则一致
先乘方，后乘除，最后加减。
要改变次序用,( )”
如,(2+3-4)*5/6
四则运算与运算次序
近似运算命令,N[ ]”
为了保持精度
如果要得到更多位数的近似值，可以加上参数位数
常用的数学常数有
Pi
E
Infinity
如,N[(2+3-4)*5/6]
前一次运算输出的结果用,%”表示如,N[%]
如,N[Pi,100]
算术运算
N-----近似计算命令
%-----前一次输出的结果
%%-----倒数第二次输出的结果
%n-----倒数第 n次输出的结果
N[x,n]-----求数 x精确到 n位的近似值自定义函数,f[x_]:=Sin[x]+5x+3Clear[f,x]
f[x_]:=x^2+4x-2
四则运算与运算次序
Mathematica中变量使用的若干规则
Mathematica中的变量名用字母和数字表示，其第一个字母用小写，如 data1,list2等；
变量的赋值用,=”表示，如 data1=25；
如果变量赋了值，在以后的表达式中就一直以该值出现，这一点很关键，需注意。
清除原有变量的值可用（原来的定义取消）,
Clear[变量 1,变量 2]
变量名 =.
如,x=Pi/3;
y=Sin[x]//N
t=x^2+1
自定义函数
初等函数的定义
分段函数的定义
用 If和 which命令可以定义分段函数。
如,定义函数：
如 f[x_]:=x^3+Exp[x]
f[3]
注意,自变量后面一定要加下划线
12
1)( 2
xx
xxxf
命令,f[x_]:=If [ x<=1,x^2,2-x ]
或,f[x_]:=which [ x<=1,x^2,x>1,2-x ]
用 Mathematica解微积分
求不定积分和定积分
求导数和求微分
求极限
求多元函数的偏导数和全微分求极限
Mathematica中对应的求极限 Limit[ ]
如,求下列极限,
基本格式,Limit[f[x],x->x0]
Limit[f[x],x->Infinity]
3050
3020
0
2
0
s i nt a n
l i m)4(
)12(
)23()302(
l i m)3(
s i n
2
l i m)2(lnl i m)1(
x
xx
x
xx
xx
xee
xx
xx
xx
xx
命令,Limit[x^2*Log[x],x->0]
Limit[(E^x-E^(-x)-2x)/(x-Sin[x]),x->0]
Limit[((2x-30)^20*(3x+2)^30)/(2x+1)^50,x->Infinity]
Limit[Tan[x]-Sin[x]/x^3,x->0]
求极限
注意点
当左、右极限不相同时要指明方向
在无穷振荡点处极限不存在，但可以给出范围如,求下列极限,
0elim)2(elim)1( x1x1 0x0x
命令,Limit[E^(-1/x),x->0,Direction->+1]
Limit[E^(-1/x),x->0,Direction->-1]
命令,Limit[Sin(1/x),x->0]
求导数和求微分
求一元函数导数和微分相应命令
D[f[x],x] 求导数如,求下列函数导数,
n
n xnxfxxxf )1(!2
1)()2(3co s2s i n)()1( 2
命令,(1) D[Sin[2x]*Cos[3x],x]
(2) n=4;
f[x_,n_]:=(x^2-1)^n/2^n/n!
D[f[x,n],{x,n}];
Expand[%]
求导数和求微分
求高阶导数
D[f[x],{x,n}] 求高阶导数如,求函数 的二阶导数,xy arctan?
命令,f[x_]:=ArcTan[x];
D[f[x],{x,2}]
求微分
Dt[f[x]] 求微分如,求函数 的二阶导数,xey x sin?
命令,f[x_]:=E^x*Sin[x]
Dt[f[x]]
求多元函数的偏导数和全微分
求偏导数
D[f[x,y],x] 对 x的一阶偏导数
D[f[x,y],y] 对 y的一阶偏导数
D[f[x,y],{x,2}] 对 x的二阶偏导数
D[f[x,y],{y,2}] 对 y的二阶偏导数
D[f[x,y],x,y] 先对 x后对 y的二阶混合偏导数如,已知,求其一阶与二阶偏导数,32),( yyxyxf
命令,f[x_,y_]=x^2*y+y^3
……
.,,,,2
22
2
2
y
f
yx
f
x
f
y
f
x
f
求多元函数的偏导数和全微分
求全微分和全导数
Dt[f[x,y]]
Dt[f[x,y[x]],x]
如,已知,求它的全微分和全导数,22),( yxyxf
命令,f[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2]
Dt[f[x,y]]
Dt[f[x,y[x]],x]
求不定积分和定积分如,求下列积分,
dxxdx
xx
x
dx
x
dxx n
)s i n ( l n)4(
)3)(2(
)3(
1
1
)2()1(
2
命令,Integrate[x^n,x] Integrate[1/(x^2-1),x]
Integrate[x/(x-2)/(x+3),x] Integrate[Sin[Log[x]],x]
命令格式
Integrate[f[x],x]
Integrate[f[x],{x,a,b}]
NInegrateD[f[x],{x,a,b}] 给出近似的结果。
求不定积分和定积分如,求下列积分,
202 )c o s ( s i n)2()1( dxxdxxba
命令,Integrate[x^2,{x,a,b}]
Integrate[Cos[Sin[x]],{x,0,2Pi}]
如,求下列积分,?1
0 ))s in (s in ( dxx
命令,Integrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]
NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]
注意,Integrate有时不能给出结果，用 NIntegrate可得到近似的数值结果 。
求重积分如,
Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,x}]
命令格式
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]
注意,积分次序为先对变量 y进行积分
Mathematica的特殊函数
Mathematica的内部函数
四则运算与运算次序
自定义函数四则运算与运算次序
在 Mathematica中的四则运算
和,+
减：－
积,* 或 空格
商,/
乘方,^
运算次序与一般规则一致
先乘方，后乘除，最后加减。
要改变次序用,( )”
如,(2+3-4)*5/6
四则运算与运算次序
近似运算命令,N[ ]”
为了保持精度
如果要得到更多位数的近似值，可以加上参数位数
常用的数学常数有
Pi
E
Infinity
如,N[(2+3-4)*5/6]
前一次运算输出的结果用,%”表示如,N[%]
如,N[Pi,100]
算术运算
N-----近似计算命令
%-----前一次输出的结果
%%-----倒数第二次输出的结果
%n-----倒数第 n次输出的结果
N[x,n]-----求数 x精确到 n位的近似值自定义函数,f[x_]:=Sin[x]+5x+3Clear[f,x]
f[x_]:=x^2+4x-2
四则运算与运算次序
Mathematica中变量使用的若干规则
Mathematica中的变量名用字母和数字表示，其第一个字母用小写，如 data1,list2等；
变量的赋值用,=”表示，如 data1=25；
如果变量赋了值，在以后的表达式中就一直以该值出现，这一点很关键，需注意。
清除原有变量的值可用（原来的定义取消）,
Clear[变量 1,变量 2]
变量名 =.
如,x=Pi/3;
y=Sin[x]//N
t=x^2+1
自定义函数
初等函数的定义
分段函数的定义
用 If和 which命令可以定义分段函数。
如,定义函数：
如 f[x_]:=x^3+Exp[x]
f[3]
注意,自变量后面一定要加下划线
12
1)( 2
xx
xxxf
命令,f[x_]:=If [ x<=1,x^2,2-x ]
或,f[x_]:=which [ x<=1,x^2,x>1,2-x ]
用 Mathematica解微积分
求不定积分和定积分
求导数和求微分
求极限
求多元函数的偏导数和全微分求极限
Mathematica中对应的求极限 Limit[ ]
如,求下列极限,
基本格式,Limit[f[x],x->x0]
Limit[f[x],x->Infinity]
3050
3020
0
2
0
s i nt a n
l i m)4(
)12(
)23()302(
l i m)3(
s i n
2
l i m)2(lnl i m)1(
x
xx
x
xx
xx
xee
xx
xx
xx
xx
命令,Limit[x^2*Log[x],x->0]
Limit[(E^x-E^(-x)-2x)/(x-Sin[x]),x->0]
Limit[((2x-30)^20*(3x+2)^30)/(2x+1)^50,x->Infinity]
Limit[Tan[x]-Sin[x]/x^3,x->0]
求极限
注意点
当左、右极限不相同时要指明方向
在无穷振荡点处极限不存在，但可以给出范围如,求下列极限,
0elim)2(elim)1( x1x1 0x0x
命令,Limit[E^(-1/x),x->0,Direction->+1]
Limit[E^(-1/x),x->0,Direction->-1]
命令,Limit[Sin(1/x),x->0]
求导数和求微分
求一元函数导数和微分相应命令
D[f[x],x] 求导数如,求下列函数导数,
n
n xnxfxxxf )1(!2
1)()2(3co s2s i n)()1( 2
命令,(1) D[Sin[2x]*Cos[3x],x]
(2) n=4;
f[x_,n_]:=(x^2-1)^n/2^n/n!
D[f[x,n],{x,n}];
Expand[%]
求导数和求微分
求高阶导数
D[f[x],{x,n}] 求高阶导数如,求函数 的二阶导数,xy arctan?
命令,f[x_]:=ArcTan[x];
D[f[x],{x,2}]
求微分
Dt[f[x]] 求微分如,求函数 的二阶导数,xey x sin?
命令,f[x_]:=E^x*Sin[x]
Dt[f[x]]
求多元函数的偏导数和全微分
求偏导数
D[f[x,y],x] 对 x的一阶偏导数
D[f[x,y],y] 对 y的一阶偏导数
D[f[x,y],{x,2}] 对 x的二阶偏导数
D[f[x,y],{y,2}] 对 y的二阶偏导数
D[f[x,y],x,y] 先对 x后对 y的二阶混合偏导数如,已知,求其一阶与二阶偏导数,32),( yyxyxf
命令,f[x_,y_]=x^2*y+y^3
……
.,,,,2
22
2
2
y
f
yx
f
x
f
y
f
x
f
求多元函数的偏导数和全微分
求全微分和全导数
Dt[f[x,y]]
Dt[f[x,y[x]],x]
如,已知,求它的全微分和全导数,22),( yxyxf
命令,f[x_,y_]=Sqrt[x^2+y^2]
Dt[f[x,y]]
Dt[f[x,y[x]],x]
求不定积分和定积分如,求下列积分,
dxxdx
xx
x
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x
dxx n
)s i n ( l n)4(
)3)(2(
)3(
1
1
)2()1(
2
命令,Integrate[x^n,x] Integrate[1/(x^2-1),x]
Integrate[x/(x-2)/(x+3),x] Integrate[Sin[Log[x]],x]
命令格式
Integrate[f[x],x]
Integrate[f[x],{x,a,b}]
NInegrateD[f[x],{x,a,b}] 给出近似的结果。
求不定积分和定积分如,求下列积分,
202 )c o s ( s i n)2()1( dxxdxxba
命令,Integrate[x^2,{x,a,b}]
Integrate[Cos[Sin[x]],{x,0,2Pi}]
如,求下列积分,?1
0 ))s in (s in ( dxx
命令,Integrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]
NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]
注意,Integrate有时不能给出结果，用 NIntegrate可得到近似的数值结果 。
求重积分如,
Integrate[x^2+y^2,{x,0,a},{y,0,x}]
命令格式
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]
注意,积分次序为先对变量 y进行积分
