第 9章 正弦稳态 电路的 分析
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
重点：
1,阻抗和导纳；
4,串、并联谐振的概念；
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗 正弦稳态情况下
I?
ZU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
zφZI
UZ ||
定义阻抗
iuz
单位,?I
UZ? 阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ
LjXLjI
UZ
CjXCjI
UZ
1
I?
RU?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
2,RLC串联电路由 KVL,.,,,,,,1jj I
CILIRUUUU CLR
IXXjRICLjR CL )]([)]1([ IjXR?)
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
zZjXRCjLjRI
UZ?
1?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模；?z — 阻抗角。
转换关系,
a r c t g
| | 22
R
X
φ
XRZ
z
或 R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形 |Z|
R
X?
z
iuz
I
U
Z
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠?z为复数，故称复阻抗
（ 2）?L > 1/?C,X>0,? z>0,电路为感性，电压领先电流；
相量图,选电流为参考向量，
三角形 UR,UX,U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
z UX 22
XR UUU
0?i?
,I j?L’
,U
XU
,
R
+
-
+ -+ -
RU
,等效电路
L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，电压落后电流；
L=1/?C,X=0,? z=0,电路为电阻性，电压与电流同相。
CU?
I?RU?
LU?U?
z
UX 22 XR UUU
,I
,U XU,
'j
1
C?
R
+
-
+
-
+ -
RU
,
等效电路
CU?
I?UUR
LU?
,I
,U R
+
-
+
-RU
,等效电路例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60s i n (25
4
f
tu
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为：
V?605U
CLRZ
1jj
Ωjjj 5.56103.01032 34 L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64C?
5.265.5615 jj Ω o4.6354.33
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
A4.31 4 9.0
4.6354.33
605 o
o
o
Z
UI
则 A ω o )4.3(s i n2149.0 ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
-3.4°
相量图
V 4.3235.24.3149.015 oo IRU R
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ILU L
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
IU C
V o )4.3s i n (22 3 5.2 tωu R
V o )6.86s i n (242.8 tωu L
V o )4.93s i n (295.3 tωu C
注
3,导纳 正弦稳态情况下
I?
YU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
yφYU
IY ||
定义导纳
uiy
单位,SUIY? 导纳模导纳角
ZYYZ
1,1
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY 1?
LjBLjU
IY /1?
C
jB
Cj
U
I
Y
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路由 KCL：
CLR IIII
i
L CRu
iL iC+
-
iL
j1j UCU
L
UG
)j1j( UCLG )j([ UBBG CL )j( UBG
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
yYjBGLjCjGU
IY?
1?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模；?y— 导纳角。
转换关系：
a r c t g
| |
22
G
B
φ
BGY
y
或 G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形 |Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠?y 数，故称复导纳；
（ 2）?C > 1/?L,B>0,?y>0,电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI,
CI
,
I
y
LI
,
0u
分析 R,L,C 并联电路得出：
三角形 IR,IB,I 称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
IB
C<1/?L,B<0,?y<0,电路为感性，电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI,
LI
,
I?
y
CI
,
等效电路
,I
,U
BI
,
'j
1
C?
RI
,
R
+
-
C=1/?L,B=0,? y =0，电路为电阻性,电流与电压同相
U?
IIG,
CI
,
等效电路
,I
j?L’,U
BI
,
RI
,
R
+
-
LI
,
等效电路
,I
,U
RI
,
R
+
-
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
yφYBGY ||j
BGXR XRXRZY jjj11 22
2222,XR XBXR RG zy φ φZY,||
1||
注
G jBYZ R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有：
yz
zy
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
,
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,||j
2222
22G jBY Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为：
02.501.786050 jjXRZ L
601006.010 36LX L? 0.06mH
50?
L’R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1'
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii分压公式
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I?
1,阻抗的串联
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii
2,导纳的并联
Y1+ Y2 Yn
－U
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
例 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
1 0 010110 35LX L?
1 0 0101.010 11 65CX C?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。
解 1 等效阻抗为：
75.45.5
48
1.5325
63
)43(5
)43(5
63
0
j
j
j
j
j
jZ
3?
3?
－ j6?
j4?5?
解 2 用相量图求解，取电流 2为参考相量：
U?
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
2I?1I
I?
2U?
1U?
＋ ＋＋
－ －
－
2I?
I?
2U?
1U? U?
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
实数?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR?
3211
oU
U
9,3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或元件约束关系电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
UYI
IZU
U
I
或元件约束关系正弦电路相量分析可见,二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦电流电路的相量模型,便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法,把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型,不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后,可将所有网络定理和方法都应用于交流,直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1:
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j 1
Lj?
画出电路的相量模型
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
求,各支路电流。
已知：
解
1 5 71022 jLjRZ
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI
3.526.03.5299.166 01001
A
j
I
C
jR
CjI
20181.03.526.0
7.175.1049
47.318
1
1
1
1
2
AI
C
jR
RI
7057.03.526.0
7.175.1049
1000
1 1
1
1
3
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 2,
解
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR 3221121 )()(
0)()( 33112431 IRILjRILjRRR
01)1( 42312332 ICjIRIRICjRR
SII4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU1
011)111( 3
3
1
2
2
321
nnn URURURRLjR
Snnn IUCjURUCjRR
12
3
3
43
1)11(
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
求：
已知：
ΩΩ
Ω
方法一：电源变换
15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解例 3,Z
2
SI? Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ?
Z2
Z1Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
231
31S
//
)//(
45301515
)1515(4
jj
jj
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A o9.8113.1
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
ZZIU S
Zeq
Z
0
U
I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 231
ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
jZZ
U
I
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 j UIIIU o
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
I
50?50?
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
I
100?
＋ _
解
045230
1
60
jU o
求短路电流：
SCI?
006.01 0 060SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230
SC
eq I
UZ
例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U
+
-
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI
32
3
S
'
2 ZZ
ZII
oo
o
o
30503050
305004
A3031.2350 30200 o
o
32
S"
2 ZZ
UI
oo
"
2
'
22
1 3 51 5 5.13031.2
III
A135155.1350 45100 o
o
A9.1523.1 o
:)( )2( SS 开路单独作用 IU
'2I?"
V45100,oSU?已知
,3050
,3050
A,04
o
3
o
31
o
S
Ω
Ω
Z
ZZ
I?
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
|Z1|1?|Z3|3 = |Z2|2?|Zx|x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
1 +?3 =?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 7
解
I
1?I
1?Iβ
Z
Z1
+
_S?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出转转
Z
IZUUI SS
)10005050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 0104 1 0 ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压
I
U
I?
已知,U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
1U?
LU?
2RU?
2U?q
2
U?
q
c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 RUI
LR UUUUUU 121
1.1 1 54 2 3 7.0c o s
9.641 8 02q
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ q
方法二、
q 1158004.55 021 UUU
q? c o s1 1 5c o s804.55
q? s i n1 1 5s i n80?
093.64
4 2 4.0c o s
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
其余步骤同解法一。
U?用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0时,?ab 如何变化?U
解 1U?
CU?
CI?
CU
CI;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR?
当 R2=0,q?180?；
当 R2,q?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
q abU
q?
abU
a
bb
3I?
例 10 图示电路，
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _1?I jXC
3
I
2
I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321
VUUUUU CCCR 1501052001
2752 22 22 LRRCLRC UUUUUUU
5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu已知：
应用三要素法：
0)0()0( LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI
22 )(
RL
用相量法求正弦稳态解
tLLLL eiiiti 0)()0()()(
t
imimL eItIti
c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
t
imimL eItIti
c o s)c o s ()(
)c o s ()(2 imLi tIti，＝当
t
i
0
直接进入稳定状态
t
mmLi eItIti
)c o s ()(0,＝当出现瞬时电流大于稳态电流现象
t
mmLi eItIti
)c o s ()(0,＝当
t
i
0
9.5 正弦稳态电路的功率无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
无源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
p有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
t
i
0
u
p
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp
UIcos? 恒定 分量。
UIcos (2? t －?)
为正弦分量。
t
0
第二种分解方法：
tUItφUItp 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
UIcos? (1-cos2? t)
为不可逆分量。
UIsin? sin2? t为可逆分量。
能量在电源和一端口之间 来回交换 。
2.平均功率 (average power)P
T tpTP 0 d1
=?u-?i,功率因数角 。 对无源网络,为其等效阻抗的阻抗角 。
cos?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
T ttUIUIT 0 d)]2c o s (c o s[1
φUI c o s? φUIP c o s?
一般地,有 0cos1
X>0,? >0,感性,X<0,? <0,容性，
cos? =0.5 (感性 ),则? =60o (电压领先电流 60o)。
cos? 1,纯电阻0,纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率,亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率,它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cos? 有关,这是交流和直流的很大区别,主要由于电压,电流存在相位差 。
例
4,视在功率 S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
单位,var (乏 )。
Q>0,表示网络吸收无功功率；
Q<0,表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L,C的性质决定的
)( VA,d e f 伏安单位UIS?
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
S
P
Q 功率三角形
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
i
u L
+
-
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI=I2XL
i
u C
+
-
PC=UIcos? =UIcos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI= － I2XC
任意阻抗的功率计算：
u
i
Z
+
-
PZ =UIcos? =I2|Z|cos? =I2R
QZ =UIsin? =I2|Z|sin? =I2X
＝ I2(XL＋ XC)=QL＋ QC
吸收无功为负吸收无功为正
0
0
2
2
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS 222222
S
P
Q?Z
R
X相似三角形
(发出无功 )
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
t
i
0 uL
当 L发出功率时,C刚好吸收功率,则与外电路交换功率为 pL+pC。 因此,
L,C的无功具有互相补偿的作用 。
t
i
0
uC
pL
pC
电压、电流的有功分量和无功分量,(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
I IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
I
U
BI
GI
G B
+
_
GI
I
BI
U
I
U
RU
XU
IUUIQ Xs i n
的无功分量为称的有功分量为称
UU
UU
X
R
BUIφUIQ s i n
的无功分量为称的有功分量为称
II
II
B
G
IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
IUUIQ Xs i n
BUIφUIQ s i n
IUUUIQPS XR 2222
IUIIUQPS BG 2222
S
P
Q?Z
R
X
相似三角形
I
IG
IB?U
UR
UX
反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
WTfWLIω
ILωLIXIQ LL
π
无功的物理意义,
例交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈电压线圈单相功率表原理：
电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻
R(R>>?L)后,加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为 i2?u/R。
)c o s (2 ),c o s (2 21 tRURuiφtIii设
PKUIKIRUKM 'c o s'c o s则指针偏转角度 (由 M 确定 )与 P 成正比,由偏转角 (校准后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下,电流 i从电流线圈
,*” 号端流入,电压 u正端接电压线圈,*” 号端,
此时 P表示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P 的量程 = U 的量程? I 的量程?cos? (表的 )
测量时,P,U,I 均不能超量程。
例 三表法测线圈参数。 已知 f=50Hz,且测得 U=50V
,I=1A,P=30W。
解
R
L
+
_
U?
I
ZV
A W
*
* 方法一
VAUIS 50150
v a r40
3050 2222
PSQ
301302IPR 401402IQX L
HXL L 1 2 7.01 0 040
Ω30130 222 IPRRIP方法二
Ω50150|| IUZ 又 22 )(|| LRZ
H127.03144030501||1 2222 314RZL?
方法三 c o s?UIP? 6.0
150
30c o s?
UI
P?
Ω50150|| IUZ
300,650c o sZ?R
Ω408.050s i n||LZX
已知：电动机 PD=1000W，
U=220,f =50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D φU
PI
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例解
oDD 8.36,0,8 (c o s φφ 感性）?
o02 2 0U?设
08.2jj0220,8.3668.5
oo
D CII C?
oD 3.1673.433.1j54.4 CIII
96.0)]3.16(0c o s [c o s ooφ
6,功率因数提高设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?S
75kVA
负载 cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
(2) 当输出相同的有功功率时,线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
i+
-
u Z U
I?
1
I?
2
c o s?UIP? c o sI
解决办法,（ 1） 高压传输
（ 2） 改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
U
分析
CI?
U?
LI?
1
I?
2
L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。
但电路的功率因数提高了。
特点：
并联电容的确定：
21 s i ns i n III LC
补偿容量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
CI?
U?
LI?
1
I?
2
代入得将 c o s,c o s
12 U
PIU PI L
)tgtg( 212 UPCUI C
)tgtg( 212 UPC
并联电容也可以用功率三角形确定：
1?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
CL
从功率这个角度来看,
并联电容后,电源向负载输送的有功 UIL cos?1=UI cos?2
不变,但是电源向负载输送的无功 UIsin?2<UILsin?1减少了,
减少的这部分无功就由电容,产生,来补偿,使感性负载吸收的无功不变,而功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o11 13.53 6.0c o s φφ
例解
o22 84.25 9.0c o s φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
AU PII L 8.756.02 2 0 1010c o s
3
1
未并电容时：
并联电容后,A
U
PI 5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s φφ解 o
11 84.25 9.0c o s φφ
F 103 )8,1 91tg5,8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
AI 8.4795.02 2 0 1010
3
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
（ 2） 能否用串联电容的方法来提高功率因数 cos
思考题
（ 1）是否并联电容越大，功率因数越高？
9.6 复功率
1,复功率功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
VA * 单位IUS
U?
I?
负载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
j X IRIj X ) I(RZIIIZIUS 2222**
复功率也可表示为：
)(*o r *2***
YUYUUYUUIUS
（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下,任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 。 即
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
2.结论
0)j(
11
b
k
k
b
k
kk SQP
.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
21
SSS
UUU
（ 1） 是复数,而不是相量,它不对应任意正弦量；S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起它的实部是平均功率，虚部是 无功功率，模是视在功率；
S
电路如图，求各支路的复功率。
V )1.37(236 010 oo ZU?
例 +
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
解一 )15j5//()2510( jZ
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo发S
VA 1920j768)2510 1(236 *2*121 jYUS 吸
VA 3345j1113 *222 YUS 吸发吸吸 SSS 21
A)3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1I?解二
A5.3494.14
o
12 III S
VA 1923j769)25j10(77.8 21211 ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o*11
SIZIS发
9.7 最大功率传输
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率负载有源网络等效电路讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得最大值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
ZL= Zi*RL= RiX
L =-Xi 最佳匹配
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
iiiL
L
ZXRRdRdP 22 0 获得最大功率条件：令模匹配电路如图，求（ 1） RL=5?时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
例解
551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s WRIP LL 4589.0 22
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s
C
CjRY
L
1 ( 3 )
2
2
2
L
)(1)(1
1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Y
Z
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
当获最大功率 1 10 FCR L?
AI 110 010
o
WRIP i 5512m a x
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率,例
I?
4∠ 90o A
ZL
－ j30?
30?-j30?
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
解 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 jjU S?
4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x有
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
重点：
1,阻抗和导纳；
4,串、并联谐振的概念；
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗 正弦稳态情况下
I?
ZU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
zφZI
UZ ||
定义阻抗
iuz
单位,?I
UZ? 阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ
LjXLjI
UZ
CjXCjI
UZ
1
I?
RU?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
2,RLC串联电路由 KVL,.,,,,,,1jj I
CILIRUUUU CLR
IXXjRICLjR CL )]([)]1([ IjXR?)
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
zZjXRCjLjRI
UZ?
1?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模；?z — 阻抗角。
转换关系,
a r c t g
| | 22
R
X
φ
XRZ
z
或 R=|Z|cos?z
X=|Z|sin?z
阻抗三角形 |Z|
R
X?
z
iuz
I
U
Z
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠?z为复数，故称复阻抗
（ 2）?L > 1/?C,X>0,? z>0,电路为感性，电压领先电流；
相量图,选电流为参考向量，
三角形 UR,UX,U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
z UX 22
XR UUU
0?i?
,I j?L’
,U
XU
,
R
+
-
+ -+ -
RU
,等效电路
L<1/?C,X<0,?z <0,电路为容性，电压落后电流；
L=1/?C,X=0,? z=0,电路为电阻性，电压与电流同相。
CU?
I?RU?
LU?U?
z
UX 22 XR UUU
,I
,U XU,
'j
1
C?
R
+
-
+
-
+ -
RU
,
等效电路
CU?
I?UUR
LU?
,I
,U R
+
-
+
-RU
,等效电路例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60s i n (25
4
f
tu
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为：
V?605U
CLRZ
1jj
Ωjjj 5.56103.01032 34 L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64C?
5.265.5615 jj Ω o4.6354.33
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
A4.31 4 9.0
4.6354.33
605 o
o
o
Z
UI
则 A ω o )4.3(s i n2149.0 ti
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
-3.4°
相量图
V 4.3235.24.3149.015 oo IRU R
V 4.8642.84.3149.0905.56j ooo ILU L
V 4.9395.34.3149.0905.26C1j ooo
IU C
V o )4.3s i n (22 3 5.2 tωu R
V o )6.86s i n (242.8 tωu L
V o )4.93s i n (295.3 tωu C
注
3,导纳 正弦稳态情况下
I?
YU?
+
-
无源线性
I?
U?
+
-
yφYU
IY ||
定义导纳
uiy
单位,SUIY? 导纳模导纳角
ZYYZ
1,1
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY 1?
LjBLjU
IY /1?
C
jB
Cj
U
I
Y
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路由 KCL：
CLR IIII
i
L CRu
iL iC+
-
iL
j1j UCU
L
UG
)j1j( UCLG )j([ UBBG CL )j( UBG
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
yYjBGLjCjGU
IY?
1?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模；?y— 导纳角。
转换关系：
a r c t g
| |
22
G
B
φ
BGY
y
或 G=|Y|cos? y
B=|Y|sin? y
导纳三角形 |Y|
G
B
y
uiy
U
I
Y
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠?y 数，故称复导纳；
（ 2）?C > 1/?L,B>0,?y>0,电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI,
CI
,
I
y
LI
,
0u
分析 R,L,C 并联电路得出：
三角形 IR,IB,I 称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
IB
C<1/?L,B<0,?y<0,电路为感性，电流落后电压；
2222 )(
CLGBG IIIIII
U?
GI,
LI
,
I?
y
CI
,
等效电路
,I
,U
BI
,
'j
1
C?
RI
,
R
+
-
C=1/?L,B=0,? y =0，电路为电阻性,电流与电压同相
U?
IIG,
CI
,
等效电路
,I
j?L’,U
BI
,
RI
,
R
+
-
LI
,
等效电路
,I
,U
RI
,
R
+
-
5,复阻抗和复导纳的等效互换
||j zφZXRZ
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
yφYBGY ||j
BGXR XRXRZY jjj11 22
2222,XR XBXR RG zy φ φZY,||
1||
注
G jBYZ R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有：
yz
zy
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
,
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,||j
2222
22G jBY Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在?＝ 106rad/s时的等效并联电路。
解 RL串联电路的阻抗为：
02.501.786050 jjXRZ L
601006.010 36LX L? 0.06mH
50?
L’R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1'
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii分压公式
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I?
1,阻抗的串联
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii
2,导纳的并联
Y1+ Y2 Yn
－U
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
例 求图示电路的等效阻抗,?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
1 0 010110 35LX L?
1 0 0101.010 11 65CX C?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示电路对外呈现感性还是容性？ 。
解 1 等效阻抗为：
75.45.5
48
1.5325
63
)43(5
)43(5
63
0
j
j
j
j
j
jZ
3?
3?
－ j6?
j4?5?
解 2 用相量图求解，取电流 2为参考相量：
U?
3?
3?
－ j6?
j4?
5?
2I?1I
I?
2U?
1U?
＋ ＋＋
－ －
－
2I?
I?
2U?
1U? U?
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//jXC
21
21
ZZ
ZUU
o
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
实数?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR?
3211
oU
U
9,3 正弦稳态电路的分析电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或元件约束关系电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
UYI
IZU
U
I
或元件约束关系正弦电路相量分析可见,二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦电流电路的相量模型,便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法,把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型,不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后,可将所有网络定理和方法都应用于交流,直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1:
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j 1
Lj?
画出电路的相量模型
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
求,各支路电流。
已知：
解
1 5 71022 jLjRZ
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI
3.526.03.5299.166 01001
A
j
I
C
jR
CjI
20181.03.526.0
7.175.1049
47.318
1
1
1
1
2
AI
C
jR
RI
7057.03.526.0
7.175.1049
1000
1 1
1
1
3
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 2,
解
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR 3221121 )()(
0)()( 33112431 IRILjRILjRRR
01)1( 42312332 ICjIRIRICjRR
SII4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU1
011)111( 3
3
1
2
2
321
nnn URURURRLjR
Snnn IUCjURUCjRR
12
3
3
43
1)11(
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
求：
已知：
ΩΩ
Ω
方法一：电源变换
15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解例 3,Z
2
SI? Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ?
Z2
Z1Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
231
31S
//
)//(
45301515
)1515(4
jj
jj
o
o
3 6,9-5
455,6 5 7
A o9.8113.1
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
ZZIU S
Zeq
Z
0
U
I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 231
ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
jZZ
U
I
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 j UIIIU o
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
I
50?50?
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
I
100?
＋ _
解
045230
1
60
jU o
求短路电流：
SCI?
006.01 0 060SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230
SC
eq I
UZ
例 5 用叠加定理计算电流 2 I?
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
U
+
-
解,)( )1( SS 短路单独作用 UI
32
3
S
'
2 ZZ
ZII
oo
o
o
30503050
305004
A3031.2350 30200 o
o
32
S"
2 ZZ
UI
oo
"
2
'
22
1 3 51 5 5.13031.2
III
A135155.1350 45100 o
o
A9.1523.1 o
:)( )2( SS 开路单独作用 IU
'2I?"
V45100,oSU?已知
,3050
,3050
A,04
o
3
o
31
o
S
Ω
Ω
Z
ZZ
I?
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件,Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
|Z1|1?|Z3|3 = |Z2|2?|Zx|x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
1 +?3 =?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ
11111S )1( IZIβZIZIZU
例 7
解
I
1?I
1?Iβ
Z
Z1
+
_S?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出转转
Z
IZUUI SS
)10005050(j10410)1( 1
1
S ββZZβ
I
U
41 0104 1 0 ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压
I
U
I?
已知,U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
1U?
LU?
2RU?
2U?q
2
U?
q
c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 RUI
LR UUUUUU 121
1.1 1 54 2 3 7.0c o s
9.641 8 02q
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ q
方法二、
q 1158004.55 021 UUU
q? c o s1 1 5c o s804.55
q? s i n1 1 5s i n80?
093.64
4 2 4.0c o s
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
I
其余步骤同解法一。
U?用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0时,?ab 如何变化?U
解 1U?
CU?
CI?
CU
CI;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR?
当 R2=0,q?180?；
当 R2,q?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
q abU
q?
abU
a
bb
3I?
例 10 图示电路，
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _1?I jXC
3
I
2
I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321
VUUUUU CCCR 1501052001
2752 22 22 LRRCLRC UUUUUUU
5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu已知：
应用三要素法：
0)0()0( LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI
22 )(
RL
用相量法求正弦稳态解
tLLLL eiiiti 0)()0()()(
t
imimL eItIti
c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
t
imimL eItIti
c o s)c o s ()(
)c o s ()(2 imLi tIti，＝当
t
i
0
直接进入稳定状态
t
mmLi eItIti
)c o s ()(0,＝当出现瞬时电流大于稳态电流现象
t
mmLi eItIti
)c o s ()(0,＝当
t
i
0
9.5 正弦稳态电路的功率无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
无源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
p有时为正,有时为负；
p>0,电路吸收功率；
p<0,电路发出功率；
t
i
0
u
p
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp
UIcos? 恒定 分量。
UIcos (2? t －?)
为正弦分量。
t
0
第二种分解方法：
tUItφUItp 2s i ns i n)2c o s1(c o s)(
UIcos? (1-cos2? t)
为不可逆分量。
UIsin? sin2? t为可逆分量。
能量在电源和一端口之间 来回交换 。
2.平均功率 (average power)P
T tpTP 0 d1
=?u-?i,功率因数角 。 对无源网络,为其等效阻抗的阻抗角 。
cos?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
T ttUIUIT 0 d)]2c o s (c o s[1
φUI c o s? φUIP c o s?
一般地,有 0cos1
X>0,? >0,感性,X<0,? <0,容性，
cos? =0.5 (感性 ),则? =60o (电压领先电流 60o)。
cos? 1,纯电阻0,纯电抗平均功率实际上是电阻消耗的功率,亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率,它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cos? 有关,这是交流和直流的很大区别,主要由于电压,电流存在相位差 。
例
4,视在功率 S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
单位,var (乏 )。
Q>0,表示网络吸收无功功率；
Q<0,表示网络发出无功功率。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L,C的性质决定的
)( VA,d e f 伏安单位UIS?
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率,P=UIcos? 单位,W
无功功率,Q=UIsin? 单位,var
视在功率,S=UI 单位,VA
22 QPS
S
P
Q 功率三角形
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
i
u L
+
-
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI=I2XL
i
u C
+
-
PC=UIcos? =UIcos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI= － I2XC
任意阻抗的功率计算：
u
i
Z
+
-
PZ =UIcos? =I2|Z|cos? =I2R
QZ =UIsin? =I2|Z|sin? =I2X
＝ I2(XL＋ XC)=QL＋ QC
吸收无功为负吸收无功为正
0
0
2
2
CC
LL
XIQ
XIQ
ZIXRIQPS 222222
S
P
Q?Z
R
X相似三角形
(发出无功 )
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
t
i
0 uL
当 L发出功率时,C刚好吸收功率,则与外电路交换功率为 pL+pC。 因此,
L,C的无功具有互相补偿的作用 。
t
i
0
uC
pL
pC
电压、电流的有功分量和无功分量,(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
I IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
I
U
BI
GI
G B
+
_
GI
I
BI
U
I
U
RU
XU
IUUIQ Xs i n
的无功分量为称的有功分量为称
UU
UU
X
R
BUIφUIQ s i n
的无功分量为称的有功分量为称
II
II
B
G
IUUIP Rc o s
GUIφUIP c o s
IUUIQ Xs i n
BUIφUIQ s i n
IUUUIQPS XR 2222
IUIIUQPS BG 2222
S
P
Q?Z
R
X
相似三角形
I
IG
IB?U
UR
UX
反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
WTfWLIω
ILωLIXIQ LL
π
无功的物理意义,
例交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈电压线圈单相功率表原理：
电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻
R(R>>?L)后,加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为 i2?u/R。
)c o s (2 ),c o s (2 21 tRURuiφtIii设
PKUIKIRUKM 'c o s'c o s则指针偏转角度 (由 M 确定 )与 P 成正比,由偏转角 (校准后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下,电流 i从电流线圈
,*” 号端流入,电压 u正端接电压线圈,*” 号端,
此时 P表示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P 的量程 = U 的量程? I 的量程?cos? (表的 )
测量时,P,U,I 均不能超量程。
例 三表法测线圈参数。 已知 f=50Hz,且测得 U=50V
,I=1A,P=30W。
解
R
L
+
_
U?
I
ZV
A W
*
* 方法一
VAUIS 50150
v a r40
3050 2222
PSQ
301302IPR 401402IQX L
HXL L 1 2 7.01 0 040
Ω30130 222 IPRRIP方法二
Ω50150|| IUZ 又 22 )(|| LRZ
H127.03144030501||1 2222 314RZL?
方法三 c o s?UIP? 6.0
150
30c o s?
UI
P?
Ω50150|| IUZ
300,650c o sZ?R
Ω408.050s i n||LZX
已知：电动机 PD=1000W，
U=220,f =50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D φU
PI
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例解
oDD 8.36,0,8 (c o s φφ 感性）?
o02 2 0U?设
08.2jj0220,8.3668.5
oo
D CII C?
oD 3.1673.433.1j54.4 CIII
96.0)]3.16(0c o s [c o s ooφ
6,功率因数提高设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?S
75kVA
负载 cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率容量还有；
功率因数低带来的问题：
(2) 当输出相同的有功功率时,线路上电流大,
I=P/(Ucos?),线路压降损耗大 。
i+
-
u Z U
I?
1
I?
2
c o s?UIP? c o sI
解决办法,（ 1） 高压传输
（ 2） 改进自身设备
（ 3）并联电容，提高功率因数 。
U
分析
CI?
U?
LI?
1
I?
2
L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。
但电路的功率因数提高了。
特点：
并联电容的确定：
21 s i ns i n III LC
补偿容量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
CI?
U?
LI?
1
I?
2
代入得将 c o s,c o s
12 U
PIU PI L
)tgtg( 212 UPCUI C
)tgtg( 212 UPC
并联电容也可以用功率三角形确定：
1?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
CL
从功率这个角度来看,
并联电容后,电源向负载输送的有功 UIL cos?1=UI cos?2
不变,但是电源向负载输送的无功 UIsin?2<UILsin?1减少了,
减少的这部分无功就由电容,产生,来补偿,使感性负载吸收的无功不变,而功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流各为多大？
o11 13.53 6.0c o s φφ
例解
o22 84.25 9.0c o s φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
AU PII L 8.756.02 2 0 1010c o s
3
1
未并电容时：
并联电容后,A
U
PI 5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少并联电容,此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s φφ解 o
11 84.25 9.0c o s φφ
F 103 )8,1 91tg5,8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
φφ
U
P
C
AI 8.4795.02 2 0 1010
3
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
（ 2） 能否用串联电容的方法来提高功率因数 cos
思考题
（ 1）是否并联电容越大，功率因数越高？
9.6 复功率
1,复功率功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU
VA * 单位IUS
U?
I?
负载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
j X IRIj X ) I(RZIIIZIUS 2222**
复功率也可表示为：
)(*o r *2***
YUYUUYUUIUS
（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下,任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零 。 即
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
2.结论
0)j(
11
b
k
k
b
k
kk SQP
.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
21
SSS
UUU
（ 1） 是复数,而不是相量,它不对应任意正弦量；S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起它的实部是平均功率，虚部是 无功功率，模是视在功率；
S
电路如图，求各支路的复功率。
V )1.37(236 010 oo ZU?
例 +
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
解一 )15j5//()2510( jZ
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo发S
VA 1920j768)2510 1(236 *2*121 jYUS 吸
VA 3345j1113 *222 YUS 吸发吸吸 SSS 21
A)3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1I?解二
A5.3494.14
o
12 III S
VA 1923j769)25j10(77.8 21211 ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o*11
SIZIS发
9.7 最大功率传输
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
有功功率负载有源网络等效电路讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得最大值
2
Li
2
SL
)( RR
URP
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
ZL= Zi*RL= RiX
L =-Xi 最佳匹配
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
iiiL
L
ZXRRdRdP 22 0 获得最大功率条件：令模匹配电路如图，求（ 1） RL=5?时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
例解
551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s WRIP LL 4589.0 22
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
=105rad/s
C
CjRY
L
1 ( 3 )
2
2
2
L
)(1)(1
1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Y
Z
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
当获最大功率 1 10 FCR L?
AI 110 010
o
WRIP i 5512m a x
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率,例
I?
4∠ 90o A
ZL
－ j30?
30?-j30?
S
U
ZL
Zi
I?
+
-
解 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 jjU S?
4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x有
