第 8章 相量法
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
重点：
1,正弦量的表示、相位差；
8.1 正弦量的基本概念
1,正弦量瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
波形：
t
i
Oy/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义：
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf?w
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
(1)幅值 (amplitude) (振幅,最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)ω
2,正弦量的三要素
t
i
Oy/w
T(3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2?y wt
Tfw 22
单位,rad/s,弧度 / 秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，
常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
t
i
0
一般规定,|y | 。
y =0
y =?/2
y =－?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (100)( 3 y tti
yc o s1 0 0500t
3?y
由于最大值发生在计时起点右侧
3
y
)310c o s (1 0 0)( 3 tti
有最大值当 310 13t mst 0 4 7.110 331 ＝＝?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差,j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0,u超前 ij角,或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
j <0,i 超前 uj角,或 u 滞后 i j角,i 比 u 先到达最大值。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
等于初相位之差 规定,|j | (180° )。
j ＝ 0,同相：
j = (?180o ),反相：特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i0
j=?/2：
u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
解
045)2(43j
43452j
000 1 3 5)1 0 5(30j
000 1 2 0)1 5 0(30j
)105100c o s (10)( 02 tti?
不能比较相位差
21 ww?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 tti?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4,周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(2
0?
TRIW 2?
电流有效值定义为
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物理意义同样,可定义电压有效值：
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I
T
d ) (c o s1
0
22
m w
TttΨttΨt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 0
00
2 ww?
m
m2
m 7 0 7.022
1 IITI
T
I
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ww
II 2 m?
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
8.2 正弦量的相量表示
1,问题的提出：
电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算。
+
_
R
u L
Ci
)(
2
tuudtduRCdt udLC CCC
) c o s (2 111 yw tIi
) c o s (2 222 yw tIi
i1
I1 I2 I3
w w w
i1+i2?i3i2
1?2?3
角频率：
有效值：
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
w t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数 实际是变换的思想
复数 A的表示形式
) 1(j 为虚数单位
Ab
Re
Im
a0
A=a+jb
Ab
Re
Im
a0
|A|
jbajAeAA j )s i n( c o s||||
2,复数及运算
jbaA
|||| AeAA j
jeAA ||?
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A|?
直角坐标表示极坐标表示
a
b
θ
baA
a r c t g
|| 22
或
θA b
θ|A|a
s i n||
c os
复数运算则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——采用代数形式若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2 A1
A2
Re
Im
0
Ab
Re
Im
a0
|A|
图解法
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式若 A1=|A1|? 1,A2=|A2|? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
e
||
||
e||
e||
||
||
21
1
θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121
)(
212121
2121
AA
eAAeAeAAA jjj
2510475
)226.4063.9()657.341.3(2510475 jj
569.047.12 j61.248.12
解下 页上 页返 回例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度?,而模不变 。
故把 ej? 称为旋转因子 。
解 2.126j2.180原式
04.1462.20
3.56211.79.2724.19
16.70728.62.126j2.180
329.6j238.22.126j2.180
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
A
Re
Im
0
A? ej?
下 页上 页返 回
jje
j
2
s i n
2
c o s
,
2
2
jje j
)2s i n ()2c o s (,2 2
1)s i n()c o s (, je j
故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
几种不同?值时的旋转因子
Re
Im
0
I?Ij
IjI
下 页上 页返 回造一个复函数 )j(e2)(w? tItA
对 A(t)取实部,i ( t )ΨtItA ) c o s (2)](R e [ w
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
) j(2)( ) (c2 ΨtIetAΨtosIi ww
A(t)包含了三要素,I,?,w,复常数包含了 I,?。
A(t)还可以写成 tt eIItA wwy jj 2ee2)( j
复常数
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI?ww?
无物理意义是一个正弦量有物理意义
3,正弦量的相量表示下 页上 页返 回
) c o s (2)( ΨIIΨtItiw
) c o s (2)( θUUθtUtuw
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
U
I
下 页上 页返 回在复平面上用向量表示相量的图
IItωosIti?) (c2)(
θUUθtosUtu) (c2)( w
例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A)153 1 4c o s (250 ti
,5 0 H z A,1550 fI?已知
相量图
U
I
下 页上 页返 回
4,相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。
i1? i2 = i3
321 III
)2(R) c o s (2)(
)2(R) c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUeΨtUtu
eUeΨtUtu
w
w
w
w
))(2(R)22(R
)2(R)2(R)()( )(
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
ttt
tt
eUUeeUeUe
eUeeUetututu
www
ww
U?
21 UUU
可得其相量关系为：
下 页上 页返 回例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
60430621 UUU
Re
Im
30
1U?
9.41
U?
Re
Im
9.41
30
1U?
60
2U?
U?
46.32319.5 jj
46.619.7 j V 9.4164.9 o
60
2U?
首尾相接下 页上 页返 回
2,正弦量的微分，积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw
2Re
2Re
tj
tj
ejI
eI
dt
d
dt
di
w
w
w
tj
tj
e
j
I
teIti
2Re
d 2Red
w
w
w
微分运算,积分运算,
2?yww iIIjdt
di?
2?yww i
I
j
Ii d t?
下 页上 页返 回例
) c o s (2)( itIti yw
1)( i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
w
w
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
下 页上 页返 回注
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图下 页上 页返 回
8.3 电路定理的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIU
ΨII
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti w已知
)c o s (2)()( iR ΨtRItRitu w则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系相位关系
R
+
-
RU?
I
UR?u
相量关系：
IRU R
UR=RI
u=?i
下 页上 页返 回瞬时功率,iup
RR?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
u=?i
URI
瞬时功率以 2w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 i2 ΨtωIU R
)] (2c o s1[ iΨtωIU R
同相位下 页上 页返 回时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti w已知
)
2
c os ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww则相量模型
jw L
+
-LU
I
相量关系：
IjXILjU LL w
有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
2,电感元件 VCR的相量形式
2?w
iL
i
ΨLIU
ΨII
下 页上 页返 回感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=1/w L =1/2?fL,感纳,单位为 S
感抗和感纳,
,ILjIjXU L w;,,;,0 ),(0
开路短路直流
w
w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L w?w 11
下 页上 页返 回功率：
) (2s i n
) s i n ()c o s ( m
iL
iimLLL
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
w
ww
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
LU?
I?
i
波形图及相量图,电压超前电流 900
下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu w已知
)
2
c os (2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
u
uC
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww则相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
U
CI
+
- ωCj
1
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
相量关系,IjXI
CjU C
w
1
3,电容元件 VCR的相量形式
2
w
uC
u
ΨCUI
ΨUU
下 页上 页返 回
XC=1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,
w?0,|XC| 直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式,
UCjUjBI
I
C
jIjXU
C
C
w
w
1
下 页上 页返 回功率：
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
uC
uuC
CC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUI
uip
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
U?
CI?
u
波形图及相量图,电流超前电压 900
下 页上 页返 回
4,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
02Re)( 21 tjeIIti w
0I?
0)( tu 0U?
下 页上 页返 回
)5( Cj
I
U
C
C w
例 1 试判断下列表达式的正、误：
Liju )1( w?
005 c o s5 )2( ti w
mCUjI )3( m w
L
L
I
UX
L )4(
LILjU )6( L w?
dt
diCu? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cjw
1
L
下 页上 页返 回例 2
A1 A2
A0
Z1 Z2
U?
已知电流表读数,A1 ＝ 8A A2 ＝ 6A
CjXZRZ 21,1 ）（若
A0 ＝?
为何参数）（ 21,2 ZRZ?
A0 ＝ I0max=?
为何参数）（ 21,3 ZjXZ L? A0 ＝ I0min=?
为何参数）（ 21,4 ZjXZ L?
解 AI 1068 1 22
0）（
1,IU
2I? 0I
AIZ 1468 2 m a x02为电阻，）（
AIjXZ C 268,3 m i n02）（
A0 ＝ A1 A2 ＝?
AIAIIjXZ C 16,8,4 2102）（
下 页上 页返 回例 3 )(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知?+
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120U?
2054 jjjX L
1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
At i ( t ) )9.365c o s (210 0
下 页上 页返 回例 4 )(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155I?
5102.010 1 66 jjjX C
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI,
CU?
SU?CU
下 页上 页返 回例 5?,78,50 BCACAB UVUVU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解
IIIU AB 50)40()30( 22
VUVUAI LR 40,30,1
22 )40()30(78 BCAC UU
VU BC 3240)30()78( 22
Ij?40
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
下 页上 页返 回例 6 图示电路 I1=I2=5A,U＝ 50V，总电压与总电流同相位，
求 I,R,XC,XL。
00 CC UU?设
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
解
5,05 201 jII
0452555 jI?
)1(2505)55(4550 0 jRjXjU L
252505 LL XX
2102502552505 CXRR
也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页返 回
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
U?
25?I
CR UU
2I?
1I?
045
LU?
VUU L 50
2525 50LX
2105 250RX C
下 页上 页返 回例 7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压?/3，问 R,C应如何选择 。
IjXIRU CS 解 1
C
S
CC
C
S
jXR
UjXU
jXR
UI
,
1 CRjUU
C
S w
也可以画相量图计算
U? -jXC
+
_
RI? +
-
CU?
360t a n 0CRw
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
RU?
SU?
I?
CU?
060
下 页上 页返 回例
5
图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
上 页返 回
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
重点：
1,正弦量的表示、相位差；
8.1 正弦量的基本概念
1,正弦量瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
波形：
t
i
Oy/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
（ 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。
研究正弦电路的意义：
1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数优点：
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（ 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。
)c o s ()(
1
k
n
k
k tkAtf?w
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
(1)幅值 (amplitude) (振幅,最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)ω
2,正弦量的三要素
t
i
Oy/w
T(3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2?y wt
Tfw 22
单位,rad/s,弧度 / 秒反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点，
常用角度表示。
i(t)=Imcos(w t+y)
同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同 。
t
i
0
一般规定,|y | 。
y =0
y =?/2
y =－?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s，（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (100)( 3 y tti
yc o s1 0 0500t
3?y
由于最大值发生在计时起点右侧
3
y
)310c o s (1 0 0)( 3 tti
有最大值当 310 13t mst 0 4 7.110 331 ＝＝?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差,j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
j >0,u超前 ij角,或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
j <0,i 超前 uj角,或 u 滞后 i j角,i 比 u 先到达最大值。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
等于初相位之差 规定,|j | (180° )。
j ＝ 0,同相：
j = (?180o ),反相：特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i0
j=?/2：
u 领先 i?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
tti
tti
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
ttu
ttu
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
tti
tti
解
045)2(43j
43452j
000 1 3 5)1 0 5(30j
000 1 2 0)1 5 0(30j
)105100c o s (10)( 02 tti?
不能比较相位差
21 ww?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 tti?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4,周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(2
0?
TRIW 2?
电流有效值定义为
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物理意义同样,可定义电压有效值：
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
正弦电流、电压的有效值设 i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I
T
d ) (c o s1
0
22
m w
TttΨttΨt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 0
00
2 ww?
m
m2
m 7 0 7.022
1 IITI
T
I
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ww
II 2 m?
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm 或若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等 。 但绝缘水平,耐压值指的是最大值 。 因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 。
（ 2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i
m
注
8.2 正弦量的相量表示
1,问题的提出：
电路方程是微分方程：
两个正弦量的相加：如 KCL,KVL方程运算。
+
_
R
u L
Ci
)(
2
tuudtduRCdt udLC CCC
) c o s (2 111 yw tIi
) c o s (2 222 yw tIi
i1
I1 I2 I3
w w w
i1+i2?i3i2
1?2?3
角频率：
有效值：
初相位：
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
w t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数 实际是变换的思想
复数 A的表示形式
) 1(j 为虚数单位
Ab
Re
Im
a0
A=a+jb
Ab
Re
Im
a0
|A|
jbajAeAA j )s i n( c o s||||
2,复数及运算
jbaA
|||| AeAA j
jeAA ||?
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A|?
直角坐标表示极坐标表示
a
b
θ
baA
a r c t g
|| 22
或
θA b
θ|A|a
s i n||
c os
复数运算则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——采用代数形式若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2 A1
A2
Re
Im
0
Ab
Re
Im
a0
|A|
图解法
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式若 A1=|A1|? 1,A2=|A2|? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
e
||
||
e||
e||
||
||
21
1
θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121
)(
212121
2121
AA
eAAeAeAAA jjj
2510475
)226.4063.9()657.341.3(2510475 jj
569.047.12 j61.248.12
解下 页上 页返 回例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度?,而模不变 。
故把 ej? 称为旋转因子 。
解 2.126j2.180原式
04.1462.20
3.56211.79.2724.19
16.70728.62.126j2.180
329.6j238.22.126j2.180
365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2
A
Re
Im
0
A? ej?
下 页上 页返 回
jje
j
2
s i n
2
c o s
,
2
2
jje j
)2s i n ()2c o s (,2 2
1)s i n()c o s (, je j
故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
几种不同?值时的旋转因子
Re
Im
0
I?Ij
IjI
下 页上 页返 回造一个复函数 )j(e2)(w? tItA
对 A(t)取实部,i ( t )ΨtItA ) c o s (2)](R e [ w
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
) j(2)( ) (c2 ΨtIetAΨtosIi ww
A(t)包含了三要素,I,?,w,复常数包含了 I,?。
A(t)还可以写成 tt eIItA wwy jj 2ee2)( j
复常数
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI?ww?
无物理意义是一个正弦量有物理意义
3,正弦量的相量表示下 页上 页返 回
) c o s (2)( ΨIIΨtItiw
) c o s (2)( θUUθtUtuw
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII
相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1,1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
U
I
下 页上 页返 回在复平面上用向量表示相量的图
IItωosIti?) (c2)(
θUUθtosUtu) (c2)( w
例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A)153 1 4c o s (250 ti
,5 0 H z A,1550 fI?已知
相量图
U
I
下 页上 页返 回
4,相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。
i1? i2 = i3
321 III
)2(R) c o s (2)(
)2(R) c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUeΨtUtu
eUeΨtUtu
w
w
w
w
))(2(R)22(R
)2(R)2(R)()( )(
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
ttt
tt
eUUeeUeUe
eUeeUetututu
www
ww
U?
21 UUU
可得其相量关系为：
下 页上 页返 回例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
ttu
ttu?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
U
U
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ttututu
60430621 UUU
Re
Im
30
1U?
9.41
U?
Re
Im
9.41
30
1U?
60
2U?
U?
46.32319.5 jj
46.619.7 j V 9.4164.9 o
60
2U?
首尾相接下 页上 页返 回
2,正弦量的微分，积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw
2Re
2Re
tj
tj
ejI
eI
dt
d
dt
di
w
w
w
tj
tj
e
j
I
teIti
2Re
d 2Red
w
w
w
微分运算,积分运算,
2?yww iIIjdt
di?
2?yww i
I
j
Ii d t?
下 页上 页返 回例
) c o s (2)( itIti yw
1)( i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
w
w
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
下 页上 页返 回注
① 正弦量 相量时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用正弦波形图 相量图下 页上 页返 回
8.3 电路定理的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIU
ΨII
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti w已知
)c o s (2)()( iR ΨtRItRitu w则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系相位关系
R
+
-
RU?
I
UR?u
相量关系：
IRU R
UR=RI
u=?i
下 页上 页返 回瞬时功率,iup
RR?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
u=?i
URI
瞬时功率以 2w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 i2 ΨtωIU R
)] (2c o s1[ iΨtωIU R
同相位下 页上 页返 回时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti w已知
)
2
c os ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww则相量模型
jw L
+
-LU
I
相量关系：
IjXILjU LL w
有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
2,电感元件 VCR的相量形式
2?w
iL
i
ΨLIU
ΨII
下 页上 页返 回感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆 )
BL=1/w L =1/2?fL,感纳,单位为 S
感抗和感纳,
,ILjIjXU L w;,,;,0 ),(0
开路短路直流
w
w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L w?w 11
下 页上 页返 回功率：
) (2s i n
) s i n ()c o s ( m
iL
iimLLL
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
w
ww
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
LU?
I?
i
波形图及相量图,电压超前电流 900
下 页上 页返 回时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu w已知
)
2
c os (2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
u
uC
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww则相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
U
CI
+
- ωCj
1
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
相量关系,IjXI
CjU C
w
1
3,电容元件 VCR的相量形式
2
w
uC
u
ΨCUI
ΨUU
下 页上 页返 回
XC=1/w C,称为容抗，单位为?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,
w?0,|XC| 直流开路 (隔直 )
w,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式,
UCjUjBI
I
C
jIjXU
C
C
w
w
1
下 页上 页返 回功率：
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
uC
uuC
CC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUI
uip
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
U?
CI?
u
波形图及相量图,电流超前电压 900
下 页上 页返 回
4,基尔霍夫定律的相量形式
0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 。 因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL。
02Re)( 21 tjeIIti w
0I?
0)( tu 0U?
下 页上 页返 回
)5( Cj
I
U
C
C w
例 1 试判断下列表达式的正、误：
Liju )1( w?
005 c o s5 )2( ti w
mCUjI )3( m w
L
L
I
UX
L )4(
LILjU )6( L w?
dt
diCu? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U?
Cjw
1
L
下 页上 页返 回例 2
A1 A2
A0
Z1 Z2
U?
已知电流表读数,A1 ＝ 8A A2 ＝ 6A
CjXZRZ 21,1 ）（若
A0 ＝?
为何参数）（ 21,2 ZRZ?
A0 ＝ I0max=?
为何参数）（ 21,3 ZjXZ L? A0 ＝ I0min=?
为何参数）（ 21,4 ZjXZ L?
解 AI 1068 1 22
0）（
1,IU
2I? 0I
AIZ 1468 2 m a x02为电阻，）（
AIjXZ C 268,3 m i n02）（
A0 ＝ A1 A2 ＝?
AIAIIjXZ C 16,8,4 2102）（
下 页上 页返 回例 3 )(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知?+
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120U?
2054 jjjX L
1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
At i ( t ) )9.365c o s (210 0
下 页上 页返 回例 4 )(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155I?
5102.010 1 66 jjjX C
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI,
CU?
SU?CU
下 页上 页返 回例 5?,78,50 BCACAB UVUVU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解
IIIU AB 50)40()30( 22
VUVUAI LR 40,30,1
22 )40()30(78 BCAC UU
VU BC 3240)30()78( 22
Ij?40
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
下 页上 页返 回例 6 图示电路 I1=I2=5A,U＝ 50V，总电压与总电流同相位，
求 I,R,XC,XL。
00 CC UU?设
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
解
5,05 201 jII
0452555 jI?
)1(2505)55(4550 0 jRjXjU L
252505 LL XX
2102502552505 CXRR
也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部下 页上 页返 回
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
U?
25?I
CR UU
2I?
1I?
045
LU?
VUU L 50
2525 50LX
2105 250RX C
下 页上 页返 回例 7 图示电路为阻容移项装置，如要求电容电压滞后与电源电压?/3，问 R,C应如何选择 。
IjXIRU CS 解 1
C
S
CC
C
S
jXR
UjXU
jXR
UI
,
1 CRjUU
C
S w
也可以画相量图计算
U? -jXC
+
_
RI? +
-
CU?
360t a n 0CRw
CRCI RIUU
C
R w
w /360t a n
0
RU?
SU?
I?
CU?
060
下 页上 页返 回例
5
图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1?
U
U
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
上 页返 回
