第 15章 电路方程的矩阵形式
重点
1,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念
2,回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式
15.1 图的矩阵表示电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的 KCL和 KVL方程。
图的矩阵表示 用矩阵描述图的拓扑性质，
即 KCL和 KVL的矩阵形式 。
结点 支路 关联矩阵回路 支路 回路矩阵割集 支路 割集矩阵
1,关联矩阵一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵 Aa描述。
N个结点 b条支路的图用 n?b的矩阵描述
ajk
ajk=1 支路 k与 结 点 j 关联，方向背离 结 点。
ajk= -1 支路 k与 结 点 j 关联，方向指向 结 点
ajk =0 支路 k与结点 j无关
Aa= n?b
支路 b
结点 n
每一行对应一个结点，
每一列对应一条支路，
矩阵 Aa的每一个元素定义为：
例
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0 1 -1 0 0 -1
① 每一列只有两个非零元素，一个是 +1，一个是 -1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他 n-1行中导出，即只有 n-1行是独立的。
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
关联矩阵 Aa的特点：
引入降阶关联矩阵 A A= (n-1)?b
支路 b
结点（ n-1）
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 11２
３
６
５４
①
②
④
③
设 ③ 为参考节点,得降阶关联矩阵
Aa=
1
2
4
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
0 1 -1 0 0 -1
注给定 A可以确定 Aa，
从而画出有向图。
引入关联矩阵 A的作用：
T i i i i i i 654321?i设,
① 用关联矩阵 A表示矩阵形式的 KCL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
i
i
i
i
i
i
6
5
4
3
2
1
[A][ i ]=
0
651
543
421
iii
iii
iii
矩阵形式的 KCL,[ A ][ i ]= 0
以④为参考节点
n-1个独立方程
3
32
21
2
1
31
n
nn
nn
n
n
nn
u
uu
uu
u
u
uu
u
u
u
u
u
u
6
5
4
3
2
1
3
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
n
n
n
u
u
u
][][][ nT uAu? KV L矩阵形式的
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
T u u u u u uu 654321?
u
u
u
u
n
n
n
n
3
2
1
设,
② 用矩阵 [A]T表示矩阵形式的 KVL方程
2,回路矩阵 B
1 支路 j 在回路 i中方向一致
-1 支路 j 在回路 i中方向相反
0 支路 j不在回路 i中
bij=
一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵 B描述。
[B]= l?b
支路 b
独立回路 l
每一行对应一个独立回路，
每一列对应一条支路，矩阵
B的每一个元素定义为：
2。支路排列顺序为先树支后连支，
回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵 [Bf]，规定：
1。连支电流方向为回路电流方向例 取网孔为独立回路，顺时针方向
1
2
31
２
３
６
５４
①
②
④
③1 2
3
B =
1 2 3 4 5 6 支回
0 1 1 1 0 0
0 0 -1 0 -1 1
1 -1 0 0 0 -1
注 给定 B可以画出有向图。
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl1
２
３
６
５４
①
②
④
③
例设矩阵形式的 KVL,[ B ][ u ]= 0
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
引入回路矩阵 [B]的作用：
① 用 回路矩阵 [B]表示矩阵形式的 KVL方程
[ B ][ u ]=
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl?
u
u
u
u
u
u
3
2
1
6
5
4
0
365
2654
154
uuu
uuuu
uuu
[ Bf ][ u ]= 0 可写成 0] 1 [
l
t
t u
uB
Btut+ul=0 ul= - Btut
6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u tl
设连支电压用树支电压表示
② 用 回路矩阵 [B]T表示矩阵形式的 KCL方程
Tiiiiiii ] [][ 321654?
3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ ib ]
[Bf]=[ Bt 1 ]?
1][
T
tT BB
f
l
t
l
T
t
i
iiB ][
1 tlTt ii B 树支电流用连支电流表出
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
独立回路电流
3,基本割集矩阵 Q
每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路,矩阵 Q的每一个元素定义为：
qij=
1 支路 j在割集 i中且与割集方向一致
-1 支路 j在割集 i中且与割集方向相反
0 支路 j不在割集中割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，
这里主要指基本割集矩阵。
[Q]= (n-1)?b
支路 b
割集数规定：
(1)割集方向为树支方向
(2)支路排列顺序先树支后连支
(3)割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵 [Qf]
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
例 选 4,5,6支路 为树Q
1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6}
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
Q1
Q2
Q3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
QlQt
]1[ lQ?
设 Tiiiiiii ][][
321654 b?
矩阵形式的 KCL：
引入基本割集矩阵 [Qf]的作用：
① 用基本 割集矩阵 [Qf]表示矩阵形式的 KCL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
i
i
i
i
i
i
3
2
1
6
5
4
0
326
3215
214
iii
iiii
iii
[ Qf ][ib ]=
矩阵形式的 KCL,[ Qf ][ib ]=0
设树枝电压（或基本割集电压）：
ut=[ u4 u5 u6 ]T
② 用 [Qf]T表示矩阵形式的 KVL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
bt
T
f
uuQ?
3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
矩阵形式的 KVL,[ Qf ]T[ut ]=[ub]
bt
T
f
uu Q?
3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
tT
l
t
T
l
t u
Q
uQ
u
u
u?
1
][ fb?
tTll uQu 连支电压用树支电压表示
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
tlTt ii?B
ul= - Btut
llt iQi
tTll uQu?
A B
KCL Ai=0 BTil=i
KVL ATun=u Bu=0
0b
n
T
b
uB
uAu
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵 A，选择一树可以写出基本回路矩阵 [Bf]和基本割集矩阵 [Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。
15.2 矩阵 A,Bf,Qf 之间的关系
1,A与 B之间的关系
0?nT uAB
00 T T B A or A B
0b
l
T
b
iQ
iBi
对同一有向图，任选一树，满足：
2,B与 Q之间的关系
0?lT iBQ
00 T T Q B or B Q
0
1
1
Tt
l
T
ff
B QB Q?
T
tl BQ
lf
tf
lt
QQ
BB
AAA
1
1
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：
3,A与 Q之间的关系
0
1
Tt
lt
T
f
B AAB A
l1tf AA Q 1
lt
T
tl
T
tt AAB or ABA
10
l
-
t AA
1 T
tl BQ?
例 已知,[Bf ]=
1 2 3 4 5 支回
1 0 1 0 0
-1 1 0 1 0
-1 0 0 0 1
求基本割集矩阵，并画出网络图。
解?
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1T
tl BQ?
0
1
1
1
010
101
f Q
1
２
３
５
４
① ②
③
15.3 支路电压电流关系的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。
1.复合支路设标准支路为：
Zk（ Yk） +ekI? SKU
+ -
-
kIS
kI?
KU
复合支路特点：
方向相反；其方向与支路电压电流电流源，号支路的独立电压源和分别表示
K IU SKSK
1
方向关联；支路电压与支路电流的 2
它们的组合。电容、电感，而不能是
、），只能是单一的电阻是支路的阻抗（或导纳
YZ KK )(3
Z K?即
K
k
k
Cj
1
Lj
R
ω
ω
注 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。
Zk（ Yk）
00 SKSKU I
Zk（ Yk） + SKU
- 0
kI S
+ SKU
- 00
kS Z kI
Zk（ Yk）
0 SKU
kIS
Zk（ Yk） =0+
SKU? -
kIS
SK?I
00 kS Z U k
2.阻抗矩阵形式应用 KCL和 KVL可以 写出用阻抗表示的 k支路电压、电流关系方程,Z
k（ Yk） +ekI
SKU?
+ -
-
kIS
kI?
KU
skskkk kZIIU U
)(
如有 b条支路，则有：
1111 1)( ss U
ZIIU
Z U 2222 2)( ssIIU
bbbb U b ss ZIIU
)(
设
T
bUUUU
,,,,,,
21
T
sbsss IIII
,.....
21
T
sbsss UUUU
,,,,,,
21
T
bIIII
,.....
21
[Y]=diag[Y1Y2……Y b]
支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量
SS UIIU Z Z
整个网络的支路电压、电流关系矩阵：
sb
s
sb
b
b
b
U
U
I
I
Z
Z
Z
U
U
I
I s
11
2
1
1
1
00
00
00
b?b阶对角阵
[Z]=diag[Z1Z2……Z b]T
写出图示电路支路电压、
电流关系矩阵：
s6
6
s55
4
3
2
s1
6
5
3
2
1
U
I
II
I
I
I
II
R
R
Cj1
Lj
Lj
R
U
U
0
0
0
0
0
0
00
00
00
00
0
1
6
1
ω
ω
ω
例
+R1
R5
1/j?C
j?L2
R6
1SI?
2 3
4
-6S
U
j?L3
5SI?
1
1
① 2 3
4
5
6
② ③
④
解
2
1
22
11
2
1
2
1
S
S
S
S
U
U
II
II
LjMj
MjLj
U
U
2112222 )()( SSS UIIMjIILjU
1221111 )()( SSS UIIMjIILjU
*
*
M
+-
- +
1SU?
2IS?
1S?I
2SU?
1Ljω
2Ljω
1?I
2I?
3.有互感时的阻抗矩阵形式
sb
S
bSb
S
b
L
L
b
U
U
II
II
Z
Z
jMj
Mjj
U
U
U
1
11
3
2
1
2
1
0
0
b
Z
Z
ωjMωj
Mωjωj
L
L
0
0
3
2
1
Z
一般情况
jωLm
-
Mmn
jωLn
-
++
nI?mI? nU?mU?
nmnmmm IMjILjU
ωω
mmnnnn IMjILjU
ωω
Lj Mj
Mj Lj
Z
nmn
mnm
ωω
ωω
电压电流
不为零和不是对角阵,nmmn ZZZ
4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例
R
R Cj
Cj1
Lj Mj
Mj Lj
R
Z
6
5
3
2
1
0
00
00
00
00
0
ωμ
ω
ωω
ωω
+R1
R5
1/j?C
j?L2
R6
1SI?
2 3
4
-4
Uμ
j?L3
5SI?
1
4
U
M
SS IUUI YY
skskkkkk IUYUYI
skkskkk UZIIU
)(
sb
s
sbb
s
b
b I
I
UU
UU
Y
Y
Y
I
I
111
2
1
1
00
00
00
5,支路导纳矩阵形式 Zk（ Yk） +ekI? SKU?
+ -
-
kIS
kI?
KU
b
2
b
2
Z
Z
Z
Y
Y
Y
ZY
1
00
0
1
0
00
1
00
00
00 1
1
1
不含互感和受控源的网络
b?b阶对角阵含互感的网络
1
11
1
1
00
0
1
0
00
b
2
Z
Z
Z
ZY
ΔΔ
ΔΔ
ωω
ωω
1
1
1
11
L
M
M
L
Lj Mj
Mj Lj
Z
2
2
1
)( 221 MLLj
含有受控源的网络
)( skkkekkek UUYUYI
)( sjjkjejkjdk UUgUgI
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
)()(
)( sjjjej UUYI
sksjjjkjskkkk IUUYUUYI
)()(?
ejkjdk UgI
设 VCCS)1( 为dkI
ejkjdk II
设 CCCS)2( 为
dkI
.
.
USk
Idk
.I
k
.I
ek
Zk?
kU
SKI
sb
sj
sk
s
sbb
sjj
skk
s
b
j
k
jk
b
k
I
I
I
I
UU
UU
UU
UU
Y
Y
Y
Y
I
I
I
1111
1
0
0
考虑 b个支路时：
jkjY? kjg
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
)()(
15.4 网络矩阵的分析方法有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵方程和 KCL,KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂的网络进行网络矩阵分析。
1.结点电压方程的矩阵分析 最常用的方法
SS IUYUYI
由 KCL有 0
IA
0 SS IAUYAUYA
由 KVL有 nUU TA
snISSn UIU YAAAYA
T
n Sn IUnY
[Yn]
结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量结点分析法的一般步骤
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第一步：抽象为有向图
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
第二步：形成 [A]
1
2
3
A=
1 2 3 4 5 6 支节
1 1 0 0 0 1
0 -1 1 1 0 0
0 0 -1 0 1 -1
第三步：形成 [Y]
1
1
2.0
2
5.0
2
Y
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
第五步：用矩阵乘法求得节点方程
SSnT UYAIAUAYA
3
1
50
400
07.20
005.3
3
2
1
U
U
U
n
n
n
第四步：形成 [US],[IS]
US=[ -5 0 0 0 0 0 ]T
[IS]=[0 0 0 -1 3 0 ]T
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
5 2
4
3
1２ 3１
0
00011
01101
11000
A
50000 sS iI
例：
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
5
4
3
1
2
0000
0000
000
000
000
G
G
gLj
LM
ML
Y
例
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
5 2
4
3
1２ 3１
0
SSnT UYAIAUAYA
0
0
2
0
0
5
3
2
1
212
22
344
454 s
n
n
n I
U
U
U
MLLML
MLL
LjGgGg
GGG
代入
2.回路矩阵分析法
0 b UBKVL,
lII TBKCL b,
0][]][[][][
SS UIIU BZBZBB bb
SS UIIU ZZ bb
Zk（ Yk） +ekI? SKU
+ -
-
kIS
kI?
KU
用阻抗表示的支路方程：
回路电流 [il ]
(b-n+1)?1阶
SSl IUI ZBBBZB
T ]][[][]][][[
回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。?
TBZB ]][][[? Z l
SSS IUU ZBB ]][[][l
SU llI Z l 回路矩阵方程
ss I U Z B ][][
① 从已知网络，写出回路分析法的步骤：
ll U Z ② 求出 列出回路方程 lll UI Z
lI
③ 求出 由 KCL解出
l
T
b IBI
根据支路方程解出
bU
3.割集矩阵分析法以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程
0
b Q f IK C L,
tUU
TQK V L ][:
fb
SS IUUI YY bb
0][]][[]][[
SS IUUI QYQYQQ ffff bb
SSt UIU YQQQYQ
T ]][[][]][][[
ffff
TQYQ ]][][[?tY
SS UI YQQ ]][[][ fftI
割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；
其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。
SSt UIU YQQQYQ
T ]][[][]][][[
ffff
割集电流源向量
ttt IU Y 割集矩阵方程
ssf I U ][][ YQ
① 选定一个树，写出割集分析法的步骤：
tt I Y ② 求出 列出割集方程 ttt IU Y
tU
③ 求出 由 KVL解出
bU
根据支路方程解出
bI
15.4改进节点法
7?I
8?I
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
6SI?8SU?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
1711 SIIVG
][ 41 VVV?
0)1()1( 74233
5
23
5
2
IVGVCjLjVCjLjG
63
6
3
5
23
5
)11()1( SIVLjCjLjVCjLj
1:
2:
3:
7?I
8?I
][ 41 VVV? 0)(
844222
IVCjGVG?
721 SUVV
84 SUV
4：
矩阵形式为：
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
6SI?8SU?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
8
7
6
1
8
7
4
3
2
1
422
5
3
65
3
2
5
3
5
32
1
0
0
001000
000011
10)(00
000)
11
()
1
(0
01)
1
()
1
(0
01000
S
S
S
S
U
U
I
I
I
I
V
V
V
V
CjGG
Lj
Cj
LjLj
Cj
G
Lj
Cj
Lj
CjG
G
一般形式,?
S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
Yn,为 电压源支路断开后的电路 结 点导纳阵
H12,表明每个 结 点和哪几个纯电压源支路相关联
H21,表明这些支路电压和哪些结点电压相关联
1
1
0
8
7
6
1
8
7
4
3
2
1
422
5
3
65
3
2
5
3
5
32
1
0
0
001000
000011
10)(00
000)
11
()
1
(0
01)
1
()
1
(0
01000
S
S
S
S
U
U
I
I
I
I
V
V
V
V
CjGG
Lj
Cj
LjLj
Cj
G
Lj
Cj
Lj
CjG
G
一般形式,?
S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
：为电压源支路设定的电流列矢量?EI
:?nJ 为注入结点的电流源列矢量
：?SU 为电压源支路的电压列矢量
：为节点电压列矢量?V
重点
1,关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念
2,回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式
15.1 图的矩阵表示电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的 KCL和 KVL方程。
图的矩阵表示 用矩阵描述图的拓扑性质，
即 KCL和 KVL的矩阵形式 。
结点 支路 关联矩阵回路 支路 回路矩阵割集 支路 割集矩阵
1,关联矩阵一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵 Aa描述。
N个结点 b条支路的图用 n?b的矩阵描述
ajk
ajk=1 支路 k与 结 点 j 关联，方向背离 结 点。
ajk= -1 支路 k与 结 点 j 关联，方向指向 结 点
ajk =0 支路 k与结点 j无关
Aa= n?b
支路 b
结点 n
每一行对应一个结点，
每一列对应一条支路，
矩阵 Aa的每一个元素定义为：
例
Aa=
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
0 1 -1 0 0 -1
① 每一列只有两个非零元素，一个是 +1，一个是 -1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他 n-1行中导出，即只有 n-1行是独立的。
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
关联矩阵 Aa的特点：
引入降阶关联矩阵 A A= (n-1)?b
支路 b
结点（ n-1）
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
A=
1
2
3
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 11２
３
６
５４
①
②
④
③
设 ③ 为参考节点,得降阶关联矩阵
Aa=
1
2
4
1 2 3 4 5 6 支结
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
0 1 -1 0 0 -1
注给定 A可以确定 Aa，
从而画出有向图。
引入关联矩阵 A的作用：
T i i i i i i 654321?i设,
① 用关联矩阵 A表示矩阵形式的 KCL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
-1 -1 0 1 0 0
0 0 1 -1 -1 0
1 0 0 0 1 1
i
i
i
i
i
i
6
5
4
3
2
1
[A][ i ]=
0
651
543
421
iii
iii
iii
矩阵形式的 KCL,[ A ][ i ]= 0
以④为参考节点
n-1个独立方程
3
32
21
2
1
31
n
nn
nn
n
n
nn
u
uu
uu
u
u
uu
u
u
u
u
u
u
6
5
4
3
2
1
3
2
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
n
n
n
u
u
u
][][][ nT uAu? KV L矩阵形式的
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
T u u u u u uu 654321?
u
u
u
u
n
n
n
n
3
2
1
设,
② 用矩阵 [A]T表示矩阵形式的 KVL方程
2,回路矩阵 B
1 支路 j 在回路 i中方向一致
-1 支路 j 在回路 i中方向相反
0 支路 j不在回路 i中
bij=
一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵 B描述。
[B]= l?b
支路 b
独立回路 l
每一行对应一个独立回路，
每一列对应一条支路，矩阵
B的每一个元素定义为：
2。支路排列顺序为先树支后连支，
回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵 [Bf]，规定：
1。连支电流方向为回路电流方向例 取网孔为独立回路，顺时针方向
1
2
31
２
３
６
５４
①
②
④
③1 2
3
B =
1 2 3 4 5 6 支回
0 1 1 1 0 0
0 0 -1 0 -1 1
1 -1 0 0 0 -1
注 给定 B可以画出有向图。
选 4,5,6为树，连支顺序为 1,2,3。
1
2
3
B =
4 5 6 1 2 3 支回
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
= [ Bt 1 ]
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl1
２
３
６
５４
①
②
④
③
例设矩阵形式的 KVL,[ B ][ u ]= 0
T
lt uu
uuuuuuu ] [][ 321654
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
引入回路矩阵 [B]的作用：
① 用 回路矩阵 [B]表示矩阵形式的 KVL方程
[ B ][ u ]=
1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 0 1 0
0 1 -1 0 0 1
Bt Bl?
u
u
u
u
u
u
3
2
1
6
5
4
0
365
2654
154
uuu
uuuu
uuu
[ Bf ][ u ]= 0 可写成 0] 1 [
l
t
t u
uB
Btut+ul=0 ul= - Btut
6
5
4
3
2
1
u
u
u
u
u
u
u
u tl
设连支电压用树支电压表示
② 用 回路矩阵 [B]T表示矩阵形式的 KCL方程
Tiiiiiii ] [][ 321654?
3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
i
i
i
3
2
1
6
5
4
3
2
1
32
321
21
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
iii
ii
矩阵形式的 KCL,[ B ]T[ il ]=[ ib ]
[Bf]=[ Bt 1 ]?
1][
T
tT BB
f
l
t
l
T
t
i
iiB ][
1 tlTt ii B 树支电流用连支电流表出
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
独立回路电流
3,基本割集矩阵 Q
每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路,矩阵 Q的每一个元素定义为：
qij=
1 支路 j在割集 i中且与割集方向一致
-1 支路 j在割集 i中且与割集方向相反
0 支路 j不在割集中割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，
这里主要指基本割集矩阵。
[Q]= (n-1)?b
支路 b
割集数规定：
(1)割集方向为树支方向
(2)支路排列顺序先树支后连支
(3)割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵 [Qf]
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
例 选 4,5,6支路 为树Q
1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6}
Q=
4 5 6 1 2 3 支割集
Q1
Q2
Q3
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
QlQt
]1[ lQ?
设 Tiiiiiii ][][
321654 b?
矩阵形式的 KCL：
引入基本割集矩阵 [Qf]的作用：
① 用基本 割集矩阵 [Qf]表示矩阵形式的 KCL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 1 -1
0 0 1 0 -1 1
i
i
i
i
i
i
3
2
1
6
5
4
0
326
3215
214
iii
iiii
iii
[ Qf ][ib ]=
矩阵形式的 KCL,[ Qf ][ib ]=0
设树枝电压（或基本割集电压）：
ut=[ u4 u5 u6 ]T
② 用 [Qf]T表示矩阵形式的 KVL方程
1
２
３
６
５４
①
②
④
③
bt
T
f
uuQ?
3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
矩阵形式的 KVL,[ Qf ]T[ut ]=[ub]
bt
T
f
uu Q?
3
2
1
6
5
4
65
654
54
6
5
4
6
5
4
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
u
u
u
u
u
u
uu
uuu
uu
u
u
u
u
u
u
tT
l
t
T
l
t u
Q
uQ
u
u
u?
1
][ fb?
tTll uQu 连支电压用树支电压表示
Q
Qi=0
QTut=u
小结：
tlTt ii?B
ul= - Btut
llt iQi
tTll uQu?
A B
KCL Ai=0 BTil=i
KVL ATun=u Bu=0
0b
n
T
b
uB
uAu
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵 A，选择一树可以写出基本回路矩阵 [Bf]和基本割集矩阵 [Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。
15.2 矩阵 A,Bf,Qf 之间的关系
1,A与 B之间的关系
0?nT uAB
00 T T B A or A B
0b
l
T
b
iQ
iBi
对同一有向图，任选一树，满足：
2,B与 Q之间的关系
0?lT iBQ
00 T T Q B or B Q
0
1
1
Tt
l
T
ff
B QB Q?
T
tl BQ
lf
tf
lt
BB
AAA
1
1
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：
3,A与 Q之间的关系
0
1
Tt
lt
T
f
B AAB A
l1tf AA Q 1
lt
T
tl
T
tt AAB or ABA
10
l
-
t AA
1 T
tl BQ?
例 已知,[Bf ]=
1 2 3 4 5 支回
1 0 1 0 0
-1 1 0 1 0
-1 0 0 0 1
求基本割集矩阵，并画出网络图。
解?
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1T
tl BQ?
0
1
1
1
010
101
f Q
1
２
３
５
４
① ②
③
15.3 支路电压电流关系的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。
1.复合支路设标准支路为：
Zk（ Yk） +ekI? SKU
+ -
-
kIS
kI?
KU
复合支路特点：
方向相反；其方向与支路电压电流电流源，号支路的独立电压源和分别表示
K IU SKSK
1
方向关联；支路电压与支路电流的 2
它们的组合。电容、电感，而不能是
、），只能是单一的电阻是支路的阻抗（或导纳
YZ KK )(3
Z K?即
K
k
k
Cj
1
Lj
R
ω
ω
注 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。
Zk（ Yk）
00 SKSKU I
Zk（ Yk） + SKU
- 0
kI S
+ SKU
- 00
kS Z kI
Zk（ Yk）
0 SKU
kIS
Zk（ Yk） =0+
SKU? -
kIS
SK?I
00 kS Z U k
2.阻抗矩阵形式应用 KCL和 KVL可以 写出用阻抗表示的 k支路电压、电流关系方程,Z
k（ Yk） +ekI
SKU?
+ -
-
kIS
kI?
KU
skskkk kZIIU U
)(
如有 b条支路，则有：
1111 1)( ss U
ZIIU
Z U 2222 2)( ssIIU
bbbb U b ss ZIIU
)(
设
T
bUUUU
,,,,,,
21
T
sbsss IIII
,.....
21
T
sbsss UUUU
,,,,,,
21
T
bIIII
,.....
21
[Y]=diag[Y1Y2……Y b]
支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量
SS UIIU Z Z
整个网络的支路电压、电流关系矩阵：
sb
s
sb
b
b
b
U
U
I
I
Z
Z
Z
U
U
I
I s
11
2
1
1
1
00
00
00
b?b阶对角阵
[Z]=diag[Z1Z2……Z b]T
写出图示电路支路电压、
电流关系矩阵：
s6
6
s55
4
3
2
s1
6
5
3
2
1
U
I
II
I
I
I
II
R
R
Cj1
Lj
Lj
R
U
U
0
0
0
0
0
0
00
00
00
00
0
1
6
1
ω
ω
ω
例
+R1
R5
1/j?C
j?L2
R6
1SI?
2 3
4
-6S
U
j?L3
5SI?
1
1
① 2 3
4
5
6
② ③
④
解
2
1
22
11
2
1
2
1
S
S
S
S
U
U
II
II
LjMj
MjLj
U
U
2112222 )()( SSS UIIMjIILjU
1221111 )()( SSS UIIMjIILjU
*
*
M
+-
- +
1SU?
2IS?
1S?I
2SU?
1Ljω
2Ljω
1?I
2I?
3.有互感时的阻抗矩阵形式
sb
S
bSb
S
b
L
L
b
U
U
II
II
Z
Z
jMj
Mjj
U
U
U
1
11
3
2
1
2
1
0
0
b
Z
Z
ωjMωj
Mωjωj
L
L
0
0
3
2
1
Z
一般情况
jωLm
-
Mmn
jωLn
-
++
nI?mI? nU?mU?
nmnmmm IMjILjU
ωω
mmnnnn IMjILjU
ωω
Lj Mj
Mj Lj
Z
nmn
mnm
ωω
ωω
电压电流
不为零和不是对角阵,nmmn ZZZ
4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例
R
R Cj
Cj1
Lj Mj
Mj Lj
R
Z
6
5
3
2
1
0
00
00
00
00
0
ωμ
ω
ωω
ωω
+R1
R5
1/j?C
j?L2
R6
1SI?
2 3
4
-4
Uμ
j?L3
5SI?
1
4
U
M
SS IUUI YY
skskkkkk IUYUYI
skkskkk UZIIU
)(
sb
s
sbb
s
b
b I
I
UU
UU
Y
Y
Y
I
I
111
2
1
1
00
00
00
5,支路导纳矩阵形式 Zk（ Yk） +ekI? SKU?
+ -
-
kIS
kI?
KU
b
2
b
2
Z
Z
Z
Y
Y
Y
ZY
1
00
0
1
0
00
1
00
00
00 1
1
1
不含互感和受控源的网络
b?b阶对角阵含互感的网络
1
11
1
1
00
0
1
0
00
b
2
Z
Z
Z
ZY
ΔΔ
ΔΔ
ωω
ωω
1
1
1
11
L
M
M
L
Lj Mj
Mj Lj
Z
2
2
1
)( 221 MLLj
含有受控源的网络
)( skkkekkek UUYUYI
)( sjjkjejkjdk UUgUgI
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
)()(
)( sjjjej UUYI
sksjjjkjskkkk IUUYUUYI
)()(?
ejkjdk UgI
设 VCCS)1( 为dkI
ejkjdk II
设 CCCS)2( 为
dkI
.
.
USk
Idk
.I
k
.I
ek
Zk?
kU
SKI
sb
sj
sk
s
sbb
sjj
skk
s
b
j
k
jk
b
k
I
I
I
I
UU
UU
UU
UU
Y
Y
Y
Y
I
I
I
1111
1
0
0
考虑 b个支路时：
jkjY? kjg
sksjjkjskkkk IUUgUUYI
)()(
15.4 网络矩阵的分析方法有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵方程和 KCL,KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂的网络进行网络矩阵分析。
1.结点电压方程的矩阵分析 最常用的方法
SS IUYUYI
由 KCL有 0
IA
0 SS IAUYAUYA
由 KVL有 nUU TA
snISSn UIU YAAAYA
T
n Sn IUnY
[Yn]
结点导纳阵独立电源引起的流入结点的电流列向量结点分析法的一般步骤
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
第一步：抽象为有向图
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
第二步：形成 [A]
1
2
3
A=
1 2 3 4 5 6 支节
1 1 0 0 0 1
0 -1 1 1 0 0
0 0 -1 0 1 -1
第三步：形成 [Y]
1
1
2.0
2
5.0
2
Y
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
第五步：用矩阵乘法求得节点方程
SSnT UYAIAUAYA
3
1
50
400
07.20
005.3
3
2
1
U
U
U
n
n
n
第四步：形成 [US],[IS]
US=[ -5 0 0 0 0 0 ]T
[IS]=[0 0 0 -1 3 0 ]T
1
① 2 3
4 5
6
② ③
④
5V
0.5W 2W
1W
0.5W
5W 1W
3A1A
+
-
5 2
4
3
1２ 3１
0
00011
01101
11000
A
50000 sS iI
例：
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
5
4
3
1
2
0000
0000
000
000
000
G
G
gLj
LM
ML
Y
例
iS5 gua
ua
G5 C3
G4
+ - *
*
M
L2
L1
5 2
4
3
1２ 3１
0
SSnT UYAIAUAYA
0
0
2
0
0
5
3
2
1
212
22
344
454 s
n
n
n I
U
U
U
MLLML
MLL
LjGgGg
GGG
代入
2.回路矩阵分析法
0 b UBKVL,
lII TBKCL b,
0][]][[][][
SS UIIU BZBZBB bb
SS UIIU ZZ bb
Zk（ Yk） +ekI? SKU
+ -
-
kIS
kI?
KU
用阻抗表示的支路方程：
回路电流 [il ]
(b-n+1)?1阶
SSl IUI ZBBBZB
T ]][[][]][][[
回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。?
TBZB ]][][[? Z l
SSS IUU ZBB ]][[][l
SU llI Z l 回路矩阵方程
ss I U Z B ][][
① 从已知网络，写出回路分析法的步骤：
ll U Z ② 求出 列出回路方程 lll UI Z
lI
③ 求出 由 KCL解出
l
T
b IBI
根据支路方程解出
bU
3.割集矩阵分析法以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程
0
b Q f IK C L,
tUU
TQK V L ][:
fb
SS IUUI YY bb
0][]][[]][[
SS IUUI QYQYQQ ffff bb
SSt UIU YQQQYQ
T ]][[][]][][[
ffff
TQYQ ]][][[?tY
SS UI YQQ ]][[][ fftI
割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；
其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和。
SSt UIU YQQQYQ
T ]][[][]][][[
ffff
割集电流源向量
ttt IU Y 割集矩阵方程
ssf I U ][][ YQ
① 选定一个树，写出割集分析法的步骤：
tt I Y ② 求出 列出割集方程 ttt IU Y
tU
③ 求出 由 KVL解出
bU
根据支路方程解出
bI
15.4改进节点法
7?I
8?I
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
6SI?8SU?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
1711 SIIVG
][ 41 VVV?
0)1()1( 74233
5
23
5
2
IVGVCjLjVCjLjG
63
6
3
5
23
5
)11()1( SIVLjCjLjVCjLj
1:
2:
3:
7?I
8?I
][ 41 VVV? 0)(
844222
IVCjGVG?
721 SUVV
84 SUV
4：
矩阵形式为：
+ -
+
-
G1
G2
C4
L5
C3 L
6
1SI
6SI?8SU?
7SU?
1 2 3
4
1 2 3
1
7
2
4 8 6
3
5
4
8
7
6
1
8
7
4
3
2
1
422
5
3
65
3
2
5
3
5
32
1
0
0
001000
000011
10)(00
000)
11
()
1
(0
01)
1
()
1
(0
01000
S
S
S
S
U
U
I
I
I
I
V
V
V
V
CjGG
Lj
Cj
LjLj
Cj
G
Lj
Cj
Lj
CjG
G
一般形式,?
S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
Yn,为 电压源支路断开后的电路 结 点导纳阵
H12,表明每个 结 点和哪几个纯电压源支路相关联
H21,表明这些支路电压和哪些结点电压相关联
1
1
0
8
7
6
1
8
7
4
3
2
1
422
5
3
65
3
2
5
3
5
32
1
0
0
001000
000011
10)(00
000)
11
()
1
(0
01)
1
()
1
(0
01000
S
S
S
S
U
U
I
I
I
I
V
V
V
V
CjGG
Lj
Cj
LjLj
Cj
G
Lj
Cj
Lj
CjG
G
一般形式,?
S
n
E
n
U
J
I
V
H
HY
021
12
：为电压源支路设定的电流列矢量?EI
:?nJ 为注入结点的电流源列矢量
：?SU 为电压源支路的电压列矢量
：为节点电压列矢量?V
