第 13章 拉普拉斯变换
重点
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质
(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤
(3) 电路的时域分析变换到频域分析的原理拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。
13.1 拉普拉斯变换的定义
1,拉氏变换法例 熟悉的变换
1 对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
把乘法运算变换为加法运算
2 相量法
III
iii
21
21
相量正弦量把时域的正弦运算变换为复数运算
)( )s( tfF?简写对应拉氏变换：
时域函数 f(t)(原函数 ) 复频域函数 F(s)(象函数 )
jss为复频率应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
2,拉氏变换的定义
)s()(
)()s(
dseF
j
tf
dtetfF
st
jc
jc
st
2
1
0 正变换反变换
t < 0,f(t)=0
0
00
积分下限从 0? 开始，称为 0? 拉氏变换 。
积分下限从 0+ 开始，称为 0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0? 拉氏变换,计及 t=0时 f(t)
包含的冲击。
注在 t＝ 0? 至 t＝ 0＋
f(t)=?(t)时此项? 0
)( )(
)( )(
SFtf
tfSF
1简写正变换反变换
dtetfdtetfdtetfSF ststst 0000 )()( )()(1
象函数 F(s) 用大写字母表示,如 I(s),U(s)。
原函数 f(t) 用小写字母表示,如 i(t),u(t)。
2
3 象函数 F(s) 存在的条件：
dtetf st0 )( 为收敛因子te s?
如果存在有限常数 M和 c使函数 f(t)满足：
),0[ )( tMetf ct
dtMedtetf tct
00
)s(s)( CM s则总可以找到一个合适的 s值使上式积分为有限值，
即 f(t)的拉氏变换式 F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数的象函数
)()( 0 dtetfSF st
)()( ttf
dtettsF st 0 )()]([ )(
0
1 ste
s s
1?
0 dte st
(3)指数函数的象函数
0
1?
t)as(e
as as
1
(2)单位冲激函数的象函数
00 dte)t( st?
)()( ttf
dtettsF st 0 )()]([ )(
10 se
ate)t(f?
dteee)s(F statat 0
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
dte)t(f)t(f st 0 2211 AA
dte)t(fdte)t(f stst 0 220 11 AA
)S(F)S(F 2211 AA
)S(F)S(F 2211 AA
)S(F)t(f)S(F)t(f 2211 ][,][若
)t(f)t(f 2211 AA?则)t(f)t(f 2211 A A
)t(f)t(f 2211 AA?证：
的象函数求 )t(Utf)(,
jS
1
jS
1
j2
1 22 S
例 1
解 S
U?
)( )]([ ( s ) tUtUF
例 2 的象函数求 ) s i n ()(,ttf
解)( ( s ) ts i nF
)( tjtj ee
j2
1
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。
2,微分性质
① 时域导数性质
0
stst dtstfe
0
tfe ))(()(
)s(s)0( Ff
vd uuvu d v
)(ss
0f)(F
dt
)t(df则
)()( SFtf?若：
0 stst0 )t(dfedtedt )t(df
dt
)t(df 证：
022 ss 22 s s
的象函数求 )t(tf c o s)(,例 1
解
)( s i n (1 ][ c o s tω
dt
d
ωtω
dt
tωd
ωtωtωωdt
tωd )s i n (1)(c o s)(c o s)s i n (
推广：
)0()0()( '2 fSfSFS
的象函数求 ) ()(,tδtf?例 2
解
dt
tεdtδ )()(?
s
1)]([?tε
])([ n
n
dt
tfd )0()0()( 11 nnn ffSSFS?
])([ 2
2
dt
tfd )0()]0()s(s[s ' ffF
)]([ tεdtd? 1
1
SS)(tδ
② 频域导数性质
0 )( dtetfdsd st证, 0 ))(( dtettf st
)1( Sdsd )1( 2S?)]([ tεt
)s()]([ Ftf?设：
)]([ ttf
s
)s()]([
d
dFttf则：
的象函数求 ) ()(,tεttf?例 1
解
)s !( 1 nn)]([ tεt n )s()1( n
n
n
ds
d
)1( αsdsd 2)( 1αs][ tαte?
例 2
解的象函数求 ) ()(,tεttf n?
例 3 的象函数求 attetf)(,
解
3.积分性质
)(1])([ 0 sFsdttf t则：
00 )()()( t
t dttfsφssF
s
sFsφ )()(
t t d ttεt 02 2)]([?
)(])([ 0 sφdttf t证：令
)()]([ sFtf?设：
t dttf
dt
d tf
0
)()]([
应用微分性质的象函数和求 )()()( tεttft εt)t(f,2例
)]([ tεt ss
11?
])([ 0 dttε
)]([ 2 tεt 32s?
解
4.延迟性质
dteettf stttst 00
0
)(
0 )(
)(0 sFe st
)()]([ sFtf?设,)()]([ 00 sFettf st则：
注 00 0)( tt ttf 当
dtettft-f(t st 0 00 )()证：
τdeτfe τsst0 )(0
0tt令延迟因子0ste?
例 1 1
T t
f(t)
)()()( Ttttf
Tse
sssF
11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf
22
1)(
s
e
ssF
Ts?
)()()()()( TtTTtTttttf
TsTs e
s
Te
sssF
22
11)(
例 2
求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解求周 期函数的拉氏变换
...
t
f(t)
1
T/2 T
设 f1(t)为第一周函数
)2()2(
)()()()(
1
11
TtεTtf
TtεTtftftf证：
])[( 321 TsTsTs eeesF )(1 1 1 sFe Ts
例 3
解
)()]([ 11 sFtf?
)(1 1)]([ 1 sFetf Ts则：
)()()()]([ 1211 sFesFesFtf TsTs
)11()( 2/1 Tsesss F
)2()()(1 Ttεtεtf本例中：
)1 1(1 2/STeS
)(1 1)]([ 1 sFetf Ts
)11(
1
1 2/Ts
Ts esse
)]([ tf
)](co s[2 tteL t：例 22)(
S
S2)(
1
S
五,初值定理和终值定理
)(lim)(lim)0(
0
SSFtff s
t
初值定理,f(t)在 t = 0处无冲激则
)]([)( tfeLSF t
)]([1 tteL t：例存在时)(lim tft
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st
2
1)]([
SttL
22][ c o s s
stL
终值定理：
)0()(lim)0()( 0 fSSFff s
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st
证：利用导数性质
)]0()([lim)(lim
000
fSSFdtetfdtd
s
st
s
dtetfdtd st
s
00
lim)(
)0()32( 543)(1 2
2
f
SSS
SSSF 求：已知例
3)32( 543lim 2
2
SS
SS
s
0)( tf
例 2：
(t)
R
C
+
u
-
0)0(cu
)( tudtduRC
SSUSSRC U
1)()(
)1(
1)(
SRCSSU校验：
)1(
1lim)0(
SRCSSu s
0
)1(
1l i m?
SRCs
1)1( 1lim)(
0
SRC
u
s
积分微分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n
1 1 S 2S1 1! nSn
)(s in tt )(c o s tt )(e t- t )(s i ne t- tt
)(e t- tt n
22?
S 22S
S
S
1
22)(
S
1)(
!
nS
n
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dsesF
jπ
tf stjc
jc
)(
2
1)(
(2)对简单形式的 F(S)可以 查拉氏变换表得原函数
)()()()( 2 sFsFsFsF n1
)()()()( 21 tftftftf n
(3)把 F(S)分解为简单项的组合 部分分式展开法为真分式，设 )( sFmn?
利用部分分式可将 F(s)分解为：
象函数的一般形式：
)(
)(
)()(
1
10
1
10 mn
bsbsb
asasa
sD
sNsF
n
nn
m
mm
n
n
ps
k
ps
k
ps
ksF
2
2
1
1)(
tp
n
tptp nekekektf 21
21)(
待定常数
nppnsD 10)( 个单根分别为有若1
)( ps
)( ps )( ps )( ps
、n、、i pssFk
ipsii
321))((
待定常数的确定：
方法 1
方法 2
)(
))((lim
sD
pssNk i
psi i
)(
)())((lim
'
'
sD
sNpssN i
ps i
)(
)(
'
i
i
pD
pN?
求极限的方法的原函数求 65 54)( 2 ss ssF
32
21
s
K
s
K
3354 21Ss sK 7254 32ss sK
)(7)(3)( 32 tetetf tt
352 54)( )( 2
1
'
1
1
ss
s
pD
pNK
752 54)( 32s
2
'
2
s
s
)(pD
pNK
例解法 1
65
54)(
2
ss
ssF
解法 2
一对共轭复根为一分解单元设：
ωjαp
ωjαp
2
1
)())((
)(
)(
)()(
1 sDωjαsωjαs
sN
sD
sNsF
)(
)(
1
121
sD
sN
ωjαs
K
ωjαs
K?
原函数的一般形式：
tp
n
ntptp ne
pD
pNe
pD
pNe
pD
pNtf
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
'
2
'
2
1
'
1 21
有共轭复根若 0)(?sD2
)()( 1)()( tfeeKeeK tωjαθjtωjαθj
)(][ 1)()( tfeeeK θtωjθtωjtα
)()c o s (2 1 tfθtωeK tα
K1,K2也是一对共轭复根
θ-jθj eKK eKK
21设
)()()( 1)(2)(1 tfeKeKtf tωjαtωjα
)(52)( 2 tfss ssF 的原函数求
jp,
,.)(,j.js
sK
js
,.)( jsjs
sK
)()6.262c o s (5 59.02)( ttetf t
例解 的根： ss
,.)(
)(
js' 2s
s
sD
sNK或：
方法二：配方法，根据
522 SS
S
2222 2)1(
1
2)1(
1
SS
S
tetetf tt 2s i n212c o s)( ).c o s (.
te t
ps asasasF n m
mm
)()(?
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()()(?
22 2)1(
11
S
S
ωs ω tω ][ s i n
具有重根若)( sD3
pS
n
n sFpsK )]()[(
psnn sFpsdsdK )]()([
ps
n
n sFpsds
dK )]()(
![
ps
n
n
n
sFpsdsdnK )()()!(
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()()(?
)()( s
K
s
K
s
K
)()()( tfss ssF 的原函数求,
sssK )(
sssK
ssFsds
dK )]()[(
ss
s
ds
d ][
tt teetf)(
例解
)()( ss
ssF
小结
1,n =m 时将 F(s)化成真分式和多项式之和
n
n
ps
K
ps
K
ps
KAsF
)(
由 F(s)求 f(t) 的步骤：
2,求真分式分母的根，确定分解单元
3,将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数
4,对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
)(
)()( 0
sD
sNAsF
的原函数求,
ss
sssF )(
ss
s
ss
)()()( tt eetδtf
例解
ss
sssF )(
相量形式 KCL,KVL
元件? 复阻抗、复导纳相量形式电路模型
Uu Ii
13.4 运算电路
IZU
基尔霍夫定律的时域表示, 0(t)i 0(t)u
基尔霍夫定律的相量表示：
0I? 0 U?
相量法：
1.电路定律的运算形式电路定律的运算形式,)()()()( sIti sUtu
元件? 运算阻抗、运算导纳运算形式的 KCL,KVL
运算形式电路模型
)()()( sIsZsU?
0)I (s 0)( sU
运算法与相量法的基本思想类似：
① 把时间函数变换为对应的象函数
② 把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程
u=Ri
)()( sGUsI?
)()( sRIsU?
+ u -
i R
+ U(s) -
I(s) R
GsY
RsZ
)(
)(
2.电路元件的运算形式
① 电阻 R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路
dt
diLu?
)0()(
))0()(()(
LisLIs
isIsLsU
s
i
Ls
sUsI )0()()(
sLsY
sLsZ
1)(
)(
② 电感 L的运算形式
i
+ u -
L
取拉氏变换
+ -
sL )0(?Li
U(s)
I(s) +-
sL
+ -U(s)
I(s )
si )0(
L的运算电路
dtiCuu t
0
1)0(
s
usI
CssU
)0()(1)(
)0()()( CusCUssI
sCsY
sCsZ
)(
1)(
③ 电容 C的运算形式
+ u -
i
取拉氏变换
I (s)
1/sC
u (0 - ) /s
U(s)
+ 一
1/sC
Cu(0-)
I(s) U(s)
C的运算电路
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MisMIsiLsILssU
MisMIsiLsILssU
④ 耦合电感的运算形式
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
取拉氏变换
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MisMIsiLsILssU
MisMIsiLsILssU
+
-
+
-
sL2
+ - - +
sM
+ - - +
)(1 sU )(2 sUsL1
)(1 sI )(2 sI
)0(11?iL )0(22?iL )0(1?Mi)0(2?Mi
耦合电感的运算电路
12
11
uu
Riu
)()(
)()(
12
11
sUμsU
RsIsU
⑤ 受控源的运算形式取拉氏变换
+
u1
-
+
u2
-
R
i1
u1
+
-
+
-
+
-
R -
+
)(1 sU )(1 sUμ )(
2 sU
)(1 sI
受控源的运算电路
0)0( 0)0( Lc iu
t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( sISCsLIsRsIsU
)()()1)(( sZsIsLsRsI
CsLsRsYsZ
1
)(
1)(
RLC串联电路的运算形式
+
u
-
i R L
C
运算阻抗
3.运算电路模型时域电路
U(s)
I(s) R sL
1/SC
+
-
拉氏变换 运算电路
0)0(0)0( Lc i u
s
usI
SCLisLIsRsIsU
C )0()(1)0()()()(
s
uLisUsIsZsI
CsLsR
C )0()0()()()()()1(
)()()( sIsZsU?
)()()( sUsYsI?
运算形式欧姆定律
+
u
-
i R L
C U(s)
I(s)
R
sL
1/SC
+
-
+
+-
-
Li(0-)
s
uc )0(?
R
RL
L
C
i1
i2
E
时域电路
0)0( 0)0( Lc iu
1,电压、电流用象函数形式
2,元件用运算阻抗或运算导纳
3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示例 给出图示电路的运算电路模型运算电路
R R
L
sL
1/sC
I1( s)
E/s
I2 ( s)
时域电路
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uC
+ -i
L
t=0时打开开关
uc(0-)=25V iL(0-)=5A
t >0 运算电路
20?
0.5s?
-
++
-
1/s?
25/s
2.5V
5?
IL(s)
UC(s)
例 给出图示电路的运算电路模型注意附加电源
13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤：
1,由换路前的电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。
Vu
uit
C
LL
100)0(
,,0
已知：
求时开关闭合，用运算法电路原处于稳态，例 1
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uC
+
1000μ FiL+
-
Ai L 5)0(
(2) 画运算电路
sLs 1.0?
s
sCs
1 0 0 0
101 0 0 0
11
6
Vu c 100)0(
解 (1) 计算初值
20 /sV
30 0.1s
0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)-++
+
-
-
回路法)3(
2
2
1 )200(
)40000700(5)(
ss
sssI
5.02 0 0)(10)1.040)(( 21 ssIssI
ssIssI-
1 0 0)()1 0 0 010()(10
21
)(1 sI
)(2 sI
200/sV
30 0.1s
0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)-++
+
-
-
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( s
K
s
K
s
KsI
(4)反变换求原函数
2000:30)( 321 ppp sD,个根有
2
2
1 )200(
)40000700(5)(
ss
sssI
01 )( sssFK
52 0 04 0 0 )4 0 0 0 07 0 0(5 022
2
SSS SS
1500)200)(( 200222sssFK
0)()2 0 0( 200221ssFsdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
ssssI
Atetiti tL )1 5 0 05()()( 2001
200/sV
30 0.1s 0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)
-+
+
+-
-
UL(s)
LssIsU L )()( 1?
5.0)()( 1 LssIsU L 2)200( 30000200150 ss
Vteetu ttL 200200 3 0 0 0 01 5 0)(
注意
R C
+
uc
is
求冲激响应 0)0(),(cs utδi已知图示电路
CssICsR
RsU
sC
1)(
/1)( )/1( RCsRC
R
1
1)()(
CsR
CsR
CssUsI CC 1
1
1
1
CsRCsR
CsR
)0(1 / teCu RCtc )0(1)( / teRCti RCtc?
R
1/sC
+
Uc(s)
1)(?sI s
例 2
解
t
ic
RC
1?
)(t?
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
t = 0时打开开关 k,求电流 i1,i2。 已知：
0)0(
5)0(
2
1
i
Ai
t
uc (V)
C
1
0
例 3
s
ssI
4.05
5.110
)(1
ss
s
)4.05(
5.110
5.12
75.12
ss
25.121 75.12 iei t
)0()0( 11 ii )0()0( 22 ii
t
i1
5
2
3.75
0
ss
s
)5.12(
75.325
解
10/s V
2 0.3s 1.5V
3
0.1s
I1(s)
+-
注意
5.1)(3.0)( 11 sIssU L
3 7 5.05.1256.6 s
UL1(s)
)(1.0)(2 sIssU L? 5.1219.2375.0 s
tL etδtu 5.122 19.2)(375.0)(
tL etδtu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
10/s V
2 0.3s 1.5V
3
0.1s
I1(s)
+-
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
t
i1
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 3 7 5.0)0()0( 22 iL
Ai 75.33.0 3 7 5.053.0)0(1
tL etδtu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
tL etδtu 5.122 19.2)(375.0)(
小结,1、运算法直接求得全响应
3、运算法分析动态电路的步骤：
2、用 0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中
1).由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2),画运算电路图
3),应用电路分析方法求象函数。
4),反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0( 212211 iLLiLiL
75.34.0053.0
重点
(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质
(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤
(3) 电路的时域分析变换到频域分析的原理拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数 F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。
13.1 拉普拉斯变换的定义
1,拉氏变换法例 熟悉的变换
1 对数变换
ABBA
ABBA
lglglg
把乘法运算变换为加法运算
2 相量法
III
iii
21
21
相量正弦量把时域的正弦运算变换为复数运算
)( )s( tfF?简写对应拉氏变换：
时域函数 f(t)(原函数 ) 复频域函数 F(s)(象函数 )
jss为复频率应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
2,拉氏变换的定义
)s()(
)()s(
dseF
j
tf
dtetfF
st
jc
jc
st
2
1
0 正变换反变换
t < 0,f(t)=0
0
00
积分下限从 0? 开始，称为 0? 拉氏变换 。
积分下限从 0+ 开始，称为 0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0? 拉氏变换,计及 t=0时 f(t)
包含的冲击。
注在 t＝ 0? 至 t＝ 0＋
f(t)=?(t)时此项? 0
)( )(
)( )(
SFtf
tfSF
1简写正变换反变换
dtetfdtetfdtetfSF ststst 0000 )()( )()(1
象函数 F(s) 用大写字母表示,如 I(s),U(s)。
原函数 f(t) 用小写字母表示,如 i(t),u(t)。
2
3 象函数 F(s) 存在的条件：
dtetf st0 )( 为收敛因子te s?
如果存在有限常数 M和 c使函数 f(t)满足：
),0[ )( tMetf ct
dtMedtetf tct
00
)s(s)( CM s则总可以找到一个合适的 s值使上式积分为有限值，
即 f(t)的拉氏变换式 F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数的象函数
)()( 0 dtetfSF st
)()( ttf
dtettsF st 0 )()]([ )(
0
1 ste
s s
1?
0 dte st
(3)指数函数的象函数
0
1?
t)as(e
as as
1
(2)单位冲激函数的象函数
00 dte)t( st?
)()( ttf
dtettsF st 0 )()]([ )(
10 se
ate)t(f?
dteee)s(F statat 0
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
dte)t(f)t(f st 0 2211 AA
dte)t(fdte)t(f stst 0 220 11 AA
)S(F)S(F 2211 AA
)S(F)S(F 2211 AA
)S(F)t(f)S(F)t(f 2211 ][,][若
)t(f)t(f 2211 AA?则)t(f)t(f 2211 A A
)t(f)t(f 2211 AA?证：
的象函数求 )t(Utf)(,
jS
1
jS
1
j2
1 22 S
例 1
解 S
U?
)( )]([ ( s ) tUtUF
例 2 的象函数求 ) s i n ()(,ttf
解)( ( s ) ts i nF
)( tjtj ee
j2
1
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。
2,微分性质
① 时域导数性质
0
stst dtstfe
0
tfe ))(()(
)s(s)0( Ff
vd uuvu d v
)(ss
0f)(F
dt
)t(df则
)()( SFtf?若：
0 stst0 )t(dfedtedt )t(df
dt
)t(df 证：
022 ss 22 s s
的象函数求 )t(tf c o s)(,例 1
解
)( s i n (1 ][ c o s tω
dt
d
ωtω
dt
tωd
ωtωtωωdt
tωd )s i n (1)(c o s)(c o s)s i n (
推广：
)0()0()( '2 fSfSFS
的象函数求 ) ()(,tδtf?例 2
解
dt
tεdtδ )()(?
s
1)]([?tε
])([ n
n
dt
tfd )0()0()( 11 nnn ffSSFS?
])([ 2
2
dt
tfd )0()]0()s(s[s ' ffF
)]([ tεdtd? 1
1
SS)(tδ
② 频域导数性质
0 )( dtetfdsd st证, 0 ))(( dtettf st
)1( Sdsd )1( 2S?)]([ tεt
)s()]([ Ftf?设：
)]([ ttf
s
)s()]([
d
dFttf则：
的象函数求 ) ()(,tεttf?例 1
解
)s !( 1 nn)]([ tεt n )s()1( n
n
n
ds
d
)1( αsdsd 2)( 1αs][ tαte?
例 2
解的象函数求 ) ()(,tεttf n?
例 3 的象函数求 attetf)(,
解
3.积分性质
)(1])([ 0 sFsdttf t则：
00 )()()( t
t dttfsφssF
s
sFsφ )()(
t t d ttεt 02 2)]([?
)(])([ 0 sφdttf t证：令
)()]([ sFtf?设：
t dttf
dt
d tf
0
)()]([
应用微分性质的象函数和求 )()()( tεttft εt)t(f,2例
)]([ tεt ss
11?
])([ 0 dttε
)]([ 2 tεt 32s?
解
4.延迟性质
dteettf stttst 00
0
)(
0 )(
)(0 sFe st
)()]([ sFtf?设,)()]([ 00 sFettf st则：
注 00 0)( tt ttf 当
dtettft-f(t st 0 00 )()证：
τdeτfe τsst0 )(0
0tt令延迟因子0ste?
例 1 1
T t
f(t)
)()()( Ttttf
Tse
sssF
11)(
T
T
f(t)
)]()([)( Tttttf
22
1)(
s
e
ssF
Ts?
)()()()()( TtTTtTttttf
TsTs e
s
Te
sssF
22
11)(
例 2
求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解求周 期函数的拉氏变换
...
t
f(t)
1
T/2 T
设 f1(t)为第一周函数
)2()2(
)()()()(
1
11
TtεTtf
TtεTtftftf证：
])[( 321 TsTsTs eeesF )(1 1 1 sFe Ts
例 3
解
)()]([ 11 sFtf?
)(1 1)]([ 1 sFetf Ts则：
)()()()]([ 1211 sFesFesFtf TsTs
)11()( 2/1 Tsesss F
)2()()(1 Ttεtεtf本例中：
)1 1(1 2/STeS
)(1 1)]([ 1 sFetf Ts
)11(
1
1 2/Ts
Ts esse
)]([ tf
)](co s[2 tteL t：例 22)(
S
S2)(
1
S
五,初值定理和终值定理
)(lim)(lim)0(
0
SSFtff s
t
初值定理,f(t)在 t = 0处无冲激则
)]([)( tfeLSF t
)]([1 tteL t：例存在时)(lim tft
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st
2
1)]([
SttL
22][ c o s s
stL
终值定理：
)0()(lim)0()( 0 fSSFff s
)(lim)(lim)( 0 SSFtff st
证：利用导数性质
)]0()([lim)(lim
000
fSSFdtetfdtd
s
st
s
dtetfdtd st
s
00
lim)(
)0()32( 543)(1 2
2
f
SSS
SSSF 求：已知例
3)32( 543lim 2
2
SS
SS
s
0)( tf
例 2：
(t)
R
C
+
u
-
0)0(cu
)( tudtduRC
SSUSSRC U
1)()(
)1(
1)(
SRCSSU校验：
)1(
1lim)0(
SRCSSu s
0
)1(
1l i m?
SRCs
1)1( 1lim)(
0
SRC
u
s
积分微分
)(t? )( t? )( tt? )( tt n
1 1 S 2S1 1! nSn
)(s in tt )(c o s tt )(e t- t )(s i ne t- tt
)(e t- tt n
22?
S 22S
S
S
1
22)(
S
1)(
!
nS
n
小结：
)()]()([ 000 SFettttfL st
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。
由象函数求原函数的方法：
(1)利用公式 dsesF
jπ
tf stjc
jc
)(
2
1)(
(2)对简单形式的 F(S)可以 查拉氏变换表得原函数
)()()()( 2 sFsFsFsF n1
)()()()( 21 tftftftf n
(3)把 F(S)分解为简单项的组合 部分分式展开法为真分式，设 )( sFmn?
利用部分分式可将 F(s)分解为：
象函数的一般形式：
)(
)(
)()(
1
10
1
10 mn
bsbsb
asasa
sD
sNsF
n
nn
m
mm
n
n
ps
k
ps
k
ps
ksF
2
2
1
1)(
tp
n
tptp nekekektf 21
21)(
待定常数
nppnsD 10)( 个单根分别为有若1
)( ps
)( ps )( ps )( ps
、n、、i pssFk
ipsii
321))((
待定常数的确定：
方法 1
方法 2
)(
))((lim
sD
pssNk i
psi i
)(
)())((lim
'
'
sD
sNpssN i
ps i
)(
)(
'
i
i
pD
pN?
求极限的方法的原函数求 65 54)( 2 ss ssF
32
21
s
K
s
K
3354 21Ss sK 7254 32ss sK
)(7)(3)( 32 tetetf tt
352 54)( )( 2
1
'
1
1
ss
s
pD
pNK
752 54)( 32s
2
'
2
s
s
)(pD
pNK
例解法 1
65
54)(
2
ss
ssF
解法 2
一对共轭复根为一分解单元设：
ωjαp
ωjαp
2
1
)())((
)(
)(
)()(
1 sDωjαsωjαs
sN
sD
sNsF
)(
)(
1
121
sD
sN
ωjαs
K
ωjαs
K?
原函数的一般形式：
tp
n
ntptp ne
pD
pNe
pD
pNe
pD
pNtf
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
'
2
'
2
1
'
1 21
有共轭复根若 0)(?sD2
)()( 1)()( tfeeKeeK tωjαθjtωjαθj
)(][ 1)()( tfeeeK θtωjθtωjtα
)()c o s (2 1 tfθtωeK tα
K1,K2也是一对共轭复根
θ-jθj eKK eKK
21设
)()()( 1)(2)(1 tfeKeKtf tωjαtωjα
)(52)( 2 tfss ssF 的原函数求
jp,
,.)(,j.js
sK
js
,.)( jsjs
sK
)()6.262c o s (5 59.02)( ttetf t
例解 的根： ss
,.)(
)(
js' 2s
s
sD
sNK或：
方法二：配方法，根据
522 SS
S
2222 2)1(
1
2)1(
1
SS
S
tetetf tt 2s i n212c o s)( ).c o s (.
te t
ps asasasF n m
mm
)()(?
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()()(?
22 2)1(
11
S
S
ωs ω tω ][ s i n
具有重根若)( sD3
pS
n
n sFpsK )]()[(
psnn sFpsdsdK )]()([
ps
n
n sFpsds
dK )]()(
![
ps
n
n
n
sFpsdsdnK )()()!(
n
n
n
n
ps
K
ps
K
ps
K
ps
KsF
)()()()(?
)()( s
K
s
K
s
K
)()()( tfss ssF 的原函数求,
sssK )(
sssK
ssFsds
dK )]()[(
ss
s
ds
d ][
tt teetf)(
例解
)()( ss
ssF
小结
1,n =m 时将 F(s)化成真分式和多项式之和
n
n
ps
K
ps
K
ps
KAsF
)(
由 F(s)求 f(t) 的步骤：
2,求真分式分母的根，确定分解单元
3,将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数
4,对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
)(
)()( 0
sD
sNAsF
的原函数求,
ss
sssF )(
ss
s
ss
)()()( tt eetδtf
例解
ss
sssF )(
相量形式 KCL,KVL
元件? 复阻抗、复导纳相量形式电路模型
Uu Ii
13.4 运算电路
IZU
基尔霍夫定律的时域表示, 0(t)i 0(t)u
基尔霍夫定律的相量表示：
0I? 0 U?
相量法：
1.电路定律的运算形式电路定律的运算形式,)()()()( sIti sUtu
元件? 运算阻抗、运算导纳运算形式的 KCL,KVL
运算形式电路模型
)()()( sIsZsU?
0)I (s 0)( sU
运算法与相量法的基本思想类似：
① 把时间函数变换为对应的象函数
② 把微积分方程变换为以象函数为变量的线性代数方程
u=Ri
)()( sGUsI?
)()( sRIsU?
+ u -
i R
+ U(s) -
I(s) R
GsY
RsZ
)(
)(
2.电路元件的运算形式
① 电阻 R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路
dt
diLu?
)0()(
))0()(()(
LisLIs
isIsLsU
s
i
Ls
sUsI )0()()(
sLsY
sLsZ
1)(
)(
② 电感 L的运算形式
i
+ u -
L
取拉氏变换
+ -
sL )0(?Li
U(s)
I(s) +-
sL
+ -U(s)
I(s )
si )0(
L的运算电路
dtiCuu t
0
1)0(
s
usI
CssU
)0()(1)(
)0()()( CusCUssI
sCsY
sCsZ
)(
1)(
③ 电容 C的运算形式
+ u -
i
取拉氏变换
I (s)
1/sC
u (0 - ) /s
U(s)
+ 一
1/sC
Cu(0-)
I(s) U(s)
C的运算电路
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MisMIsiLsILssU
MisMIsiLsILssU
④ 耦合电感的运算形式
* *
M i2i1
L1 L2u1
+
–
u2
+
–
取拉氏变换
sMsY
sMsZ
M
M
1)(
)(
)0()()0()()(
)0()()0()()(
1122222
2211111
MisMIsiLsILssU
MisMIsiLsILssU
+
-
+
-
sL2
+ - - +
sM
+ - - +
)(1 sU )(2 sUsL1
)(1 sI )(2 sI
)0(11?iL )0(22?iL )0(1?Mi)0(2?Mi
耦合电感的运算电路
12
11
uu
Riu
)()(
)()(
12
11
sUμsU
RsIsU
⑤ 受控源的运算形式取拉氏变换
+
u1
-
+
u2
-
R
i1
u1
+
-
+
-
+
-
R -
+
)(1 sU )(1 sUμ )(
2 sU
)(1 sI
受控源的运算电路
0)0( 0)0( Lc iu
t c dtiCdtdiLiRu 01
)(1)()()( sISCsLIsRsIsU
)()()1)(( sZsIsLsRsI
CsLsRsYsZ
1
)(
1)(
RLC串联电路的运算形式
+
u
-
i R L
C
运算阻抗
3.运算电路模型时域电路
U(s)
I(s) R sL
1/SC
+
-
拉氏变换 运算电路
0)0(0)0( Lc i u
s
usI
SCLisLIsRsIsU
C )0()(1)0()()()(
s
uLisUsIsZsI
CsLsR
C )0()0()()()()()1(
)()()( sIsZsU?
)()()( sUsYsI?
运算形式欧姆定律
+
u
-
i R L
C U(s)
I(s)
R
sL
1/SC
+
-
+
+-
-
Li(0-)
s
uc )0(?
R
RL
L
C
i1
i2
E
时域电路
0)0( 0)0( Lc iu
1,电压、电流用象函数形式
2,元件用运算阻抗或运算导纳
3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示例 给出图示电路的运算电路模型运算电路
R R
L
sL
1/sC
I1( s)
E/s
I2 ( s)
时域电路
5Ω
1F
20Ω
10Ω
10Ω
0.5H
50V
+
-uC
+ -i
L
t=0时打开开关
uc(0-)=25V iL(0-)=5A
t >0 运算电路
20?
0.5s?
-
++
-
1/s?
25/s
2.5V
5?
IL(s)
UC(s)
例 给出图示电路的运算电路模型注意附加电源
13.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤：
1,由换路前的电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2,画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。
3,应用电路分析方法求象函数。
4,反变换求原函数。
Vu
uit
C
LL
100)0(
,,0
已知：
求时开关闭合，用运算法电路原处于稳态，例 1
200V
30Ω 0.1H
10Ω
-
uC
+
1000μ FiL+
-
Ai L 5)0(
(2) 画运算电路
sLs 1.0?
s
sCs
1 0 0 0
101 0 0 0
11
6
Vu c 100)0(
解 (1) 计算初值
20 /sV
30 0.1s
0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)-++
+
-
-
回路法)3(
2
2
1 )200(
)40000700(5)(
ss
sssI
5.02 0 0)(10)1.040)(( 21 ssIssI
ssIssI-
1 0 0)()1 0 0 010()(10
21
)(1 sI
)(2 sI
200/sV
30 0.1s
0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)-++
+
-
-
2
22211
1 )2 0 0(2 0 0)( s
K
s
K
s
KsI
(4)反变换求原函数
2000:30)( 321 ppp sD,个根有
2
2
1 )200(
)40000700(5)(
ss
sssI
01 )( sssFK
52 0 04 0 0 )4 0 0 0 07 0 0(5 022
2
SSS SS
1500)200)(( 200222sssFK
0)()2 0 0( 200221ssFsdsdK
21 )2 0 0(
1 5 0 0
)2 0 0(
05)(
ssssI
Atetiti tL )1 5 0 05()()( 2001
200/sV
30 0.1s 0.5 V
10
1000/s
100/s V
IL(s) I2(s)
-+
+
+-
-
UL(s)
LssIsU L )()( 1?
5.0)()( 1 LssIsU L 2)200( 30000200150 ss
Vteetu ttL 200200 3 0 0 0 01 5 0)(
注意
R C
+
uc
is
求冲激响应 0)0(),(cs utδi已知图示电路
CssICsR
RsU
sC
1)(
/1)( )/1( RCsRC
R
1
1)()(
CsR
CsR
CssUsI CC 1
1
1
1
CsRCsR
CsR
)0(1 / teCu RCtc )0(1)( / teRCti RCtc?
R
1/sC
+
Uc(s)
1)(?sI s
例 2
解
t
ic
RC
1?
)(t?
+
- Us k
R1 L1 L2
R2
i1 i20.3H 0.1H
10V
2Ω
3Ω
t = 0时打开开关 k,求电流 i1,i2。 已知：
0)0(
5)0(
2
1
i
Ai
t
uc (V)
C
1
0
例 3
s
ssI
4.05
5.110
)(1
ss
s
)4.05(
5.110
5.12
75.12
ss
25.121 75.12 iei t
)0()0( 11 ii )0()0( 22 ii
t
i1
5
2
3.75
0
ss
s
)5.12(
75.325
解
10/s V
2 0.3s 1.5V
3
0.1s
I1(s)
+-
注意
5.1)(3.0)( 11 sIssU L
3 7 5.05.1256.6 s
UL1(s)
)(1.0)(2 sIssU L? 5.1219.2375.0 s
tL etδtu 5.122 19.2)(375.0)(
tL etδtu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
10/s V
2 0.3s 1.5V
3
0.1s
I1(s)
+-
uL1
-6.56 t-0.375?(t)
0.375?(t)
uL2
t-2.19
t
i1
5
2
3.75
0
Aii 75.31.0 3 7 5.0)0()0( 22 iL
Ai 75.33.0 3 7 5.053.0)0(1
tL etδtu 5.121 56.6)(3 7 5.0)(
tL etδtu 5.122 19.2)(375.0)(
小结,1、运算法直接求得全响应
3、运算法分析动态电路的步骤：
2、用 0-初始条件，跃变情况自动包含在响应中
1).由,换路前电路计算 uc(0-),iL(0-) 。
2),画运算电路图
3),应用电路分析方法求象函数。
4),反变换求原函数。
磁链守恒,)0()()0()0( 212211 iLLiLiL
75.34.0053.0
