河北工业大学计算机科学技术与软件学院离散数学
Discrete Mathematics
郭永芳
guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
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代数系统的基本概念和基本性质
群论
同态与同构
环与域
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5-1 代数系统的引入定义,对于集合 A，一个从 An→B 的映射，
称集合 A上的一个 n元运算。
定义,一个非空集合 A连同若干个定义在该集合的运算 f1,f2,…,fk所组成的系统，
称为一个 代数系统,记作 <A,f1,f2,…,
fk>。
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定义,设 A是一个非空集合,An到 B的一个映射 (或函数 ) f,An→ B，若 B?A，则称 映射 f关于集合 A是 封闭的 (或称 A对 f是 封闭的 )。
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代数系统的引入例：
在实数集 R上的每个数 A≠0 影射成它的倒数 1/A。
R上的每个数 Y变成 [Y]。
R上的任意两个数 A,B，变成 A+B或 A× B。
R上的任意三个数 X,Y,Z，变成 R中的一个数，即进行,IF X THEN Y ELSE Z。
上述运算都是集合 R上 封闭 的运算。
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代数系统的引入
1) 在正整数集 I+上，定义减法运算，则不封闭。
2) 如一架自动售货机，能接受一角和二角五分硬币，而所对应的商品是橘子水、冰淇淋，当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品。
一角 二角五一角 橘子水 可口可乐二角五 可口可乐 冰淇淋此时，集合 A中的元素经自动售货机变成 B上的元素。
3) I上的元素 A的倒数 1/A不属于 I。
上述这些运算都不是 封闭 的。
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代数系统的引入
1) I+与 I+上的,+”运算可构成一个代数系统 <I+，
+>；
2) R上的,+”,,×,运算可构成一个代数系统 <R，
+,× >；
3) P(S)及 P(S)上的,∩,,,∪,,,―,运算可构成一个代数系统 <P(S),∩,∪,―>,称之为 集合代数 ；
4) 一个含有 n个命题变元的命题的集合 A与 A上的
,∧,,,∨,,,┐,可构成一个代数系统
<A,∧,∨,┐ >，称之为 命题代数 。
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5-2运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,<A,*>
是一个代数系统,对?a,b,c?A，
1) 若 a*b?A,则称运算,*” 是集合 A上是 封闭的 。
2) 若 a*b＝ b*a，则称运算,*” 是集合 A上的 可交换的 或称运算,*” 在 A上满足交换律 。
3) 若 (a*b)*c＝ a*(b*c)，则称运算,*” 是集合 A上的 可结合的 或称运算,*” 在 A上满足结合律 。
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运算及其性质定律 设,*”,,о,是集合 A上的两个二元运算，
对?a,b,c?A
1) 若 aо (a*b)＝ a a*(aо b)＝ a，则称运算,*”
与,о,在 A上满足吸收律 。
2) 若 aо (b*c)＝ (aо b)*(aо c)，则称运算,о,对
,*” 在 A上满足左分配律 (或第一分配律 )；
3) 若 (b*c)о a＝ (bо a)*(cо a)，则称运算,о,对
,*” 在 A上满足右分配律 (或第二分配律 )。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算，若?a?A，有：
a*a＝ a，则称 a为 A上的 幂等元 。若 A中的一切元素都是幂等元，则称运算,*” 在 A上 满足幂等律 。
例,设有代数系统 <P(S),∩,∪ >,对?X?P(S)，都有,X∩X ＝ X,X∪X ＝ X，所以,,∩,,,∪,在
P(S)上满足幂等律。
例,设有代数系统 <R,+,× >,对 0,1?R，有,0+0
＝ 0,1× 1＝ 1，所以,R中仅有 0,1分别是关于
,+”,,×,的幂等元；,+”,,×,在 R上不满足幂等律。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,若?e?A，使得对?a?A，都有：
1) a*e＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 右幺元,又记为 er；
2) e*a＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 左幺元,又记为 el。
3) a*e＝ e*a＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 幺元 ；
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运算及其性质例：
设有代数系统 <R,+>，则该代数系统的幺元为 e＝ 0；
设有代数系统 <R,× >,则该代数系统的幺元为 e＝ 1；
设有代数系统 <p(S),∩>,则该代数系统的幺元为 e＝ S；
设有代数系统 <p(S),∪>,则该代数系统的幺元为 e＝
Φ；
设有代数系统 <A,∧>,则该代数系统的幺元为 e＝ T；
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定理：设,*” 是集合 A上的二元运算，且在 A中有关于运算,*” 的左幺元 el和右幺元 er,则 el= er=e，且 A中 幺元是唯一的。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,若?θ?A，
使得对?a?A，都有,
1) a*?＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 右零元,
又记为?r；
2)?*a＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 左零元,
又记为?l。
3) a*?＝?*a＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 零元 ；
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运算及其性质例：
设有代数系统 <R,× >，则该代数系统的零元为 θ ＝ 0；
设有代数系统 <p(S),∩ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ Φ；
设有代数系统 <p(S),∪ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ S；
设有代数系统 <A,∧ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ F；
设有代数系统 <A,∨ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ T。
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定理：设,*” 是集合 A上的二元运算，且在 A中有关于运算,*” 的左零元?l和右零元?r,则?l=?r=?，且 A零 元是唯一的。
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设 <A,*>是一个代数系统，且集合 A中元素个数大于 1，则如果该系统存在幺元和零元，则幺元不等于零元。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,e是 <A,*>的幺元,对 a?A，若?b?A，使得：
a*b＝ e,则称 b为 a关于运算,*” 右逆元,
b*a＝ e,则称 b为 a关于运算,*” 左逆元,
a*b＝ b*a＝ e,称 b为 a关于运算,*” 的 逆元,a也称为 可逆的,记为 a-1(同样,a也为 b关于运算,*” 的逆元,b也称为可逆的,记为 b-1)；
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运算及其性质例：
1) 设有代数系统 <R,+>,,0”是该代数系统的幺元。对
a?R，都?a＝?a，使得,a+a-1＝ a+(?a)＝ a-1+a＝
(?a)+a＝ 0，
所以,?a”是,a”的逆元；
2) 设有代数系统 <R,× >,,1”是该代数系统的幺元。对
a?R且 a?0，都?a＝ 1/a，使得,a× a-1＝ a× (1/a)＝
a-1× a＝ (1/a)× a＝ 0，所以,1/a”是,a”的逆元，而 a
＝ 0无乘法逆元。
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5.2 运算及其性质定理：设代数系统 <A,*>,这里如果 *是定一个在 A上的一个二元运算，且 A中存在幺元，且每一个元素都有左逆元，如果 *
是可结合的运算，则该代数系统中每个元素的左逆元是其右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
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从运算表中看代数系统的性质运算 *具有封闭性，当且仅当运算表中每个元素都属于 A。
运算 *具有交换性，则当且仅当运算表关于住对角线元素是对称的。
运算 *具有等幂性，当且仅当运算表中主对角线上的每一个元素都和它所在的行
（列）的首元素相同。
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从运算表中看代数系统的性质
A关于 *有幺元，当且仅当该元素所对于的行和列依次与运算表的行和列相一致。
A关于 *有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都和该元素相同。
设 A中有幺元,a和 b互逆，当且仅当位于 a
所在行 b所在列以及 b所在行和 a所在列的元素都是幺元。
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5-3 半群定义 设 <S,*>是一个代数系统，若运算
,*” 是 封闭的,则称此二元代数系统为一个 广群 ；
定义 设 <S,*>是一个代数系统，若运算
,*” 是 封闭的,可结合的,则称此二元代数系统为一个 半群 ；
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定理 设 <S,*>是一个半群,B?S且 *在 B
上是封闭的，那么 <B,*>也是一个半群。称 <B,*>为的 <S,*>子半群 。
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半群例,设有集合 Sk＝ {x|(x?I)∧(x?k)},,+”是一个普通 的加法运算，试判断 <Sk,+>是否是一个半群？
解 1) 显然二元运算,+”是可结合的；
2),若 k?0，则运算,+”在 Sk上将是不封闭的 (因为，当 k?0时，由于 k?Sk，但 (k+k)＝ 2k?k，所以
2k?Sk，即 (k+k)?Sk，所以运算,+”在 Sk上将不封闭的。 )
②,若 k?0，则对?x,y?Sk，有 (x+y)?Sk，所以运算,+”在 Sk上是封闭的，
由 1),2)知：当 k?0时,<Sk,+>是一个半群。
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独异点定义,设 <S,*>是一个半群，若该半群存在幺元 e，则称此 半群 <S,*>是一个 独异点 (或 含幺半群 ).
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定理 设 <H,*>是一半群，如果 H是一个有限集，则必有 a,?H，使得 a*a=a。
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证明 由封闭性知，对?b?H，有 b*b?H，即
b2?H，
有 b3?H,…
对?b,bn-1?H，有 bn?H,…
一直构造下去，可得：
b?H,b2?H,b3?H,…,bn-1?H，
bn?H,…
即,{b,b2,b3,…,bn-1,bn,… }?H
又 H是一个有限集合，所以必存在 i,j?N+，且
i<j，使得
bi＝ bj
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令 p=j-i,有
bi＝ bp*bi
所以 bq＝ bp*bq,q>=i
因为 p>=1,所以总可以找到 k>=1，使得
kp>=i
对于 H中的元素 bkp，就有
bkp= bp*bkp
= bp *(bp*bkp)
= b2p*bkp
…
= bkp *bkp
这就证明了在 H中存在元素 a=bkp，使得
a*a=a
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定理 一个含幺半群 <S,*>的运算表中的任何两行 (任何两列 )都是不相同的。
证明 <S,*>是一个含幺半群，令 S＝ {e,a,b,c,… }，
其中,e是 S的幺元，可建立如下运算组合表：
由于，每一行 (每一列 )的第一个元素不同，所以，每一行 (每一列 )的内容均不完全相同。 ■
* e a b c d …
e e a b c d …
a a f g h I …
b b j k l m …
c c n o p q …
d d r s t u …
… … … … … … …
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半群例,设 <A,*>和 <B,о >是两个半群，则 <A,*>
和 <B,о >的 直集 <A× B,⊕> 也是一个半群，其中，运算,⊕,满足：对 <a1,b1>，
<a2,b2>?A× B有 <a1,b1>⊕<a 2,b2>＝
<a1*a2,b1о b2>。
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证明 1) 由于 A,B是两个非空的集合，所以
A× B也一个非空的集合；
2) 对任意 <a1,b1>,<a2,b2>?A× B，由
,⊕,的定义有：
<a1,b1>⊕ <a2,b2>＝ <a1*a2,b1оb2>，
∵ 运算,*”,,о”是满足封闭性，即有：
a1*a2?A,b1оb2?B，
∴ <a1*a2,b1оb2>?A× B，即有：
<a1,b1>⊕ <a2,b2>?A× B，
∴ 运算,⊕,满足封闭性；
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半群续,3) 对任意 <a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>?A× B，
∵ 运算,*” 与,о,可结合，即有：
(<a1,b1>⊕<a 2,b2>)⊕<a 3,b3>
＝ <a1*a2,b1о b2>⊕<a 3,b3>
＝ <(a1*a2)*a3,(b1о b2)о b3>
＝ <a1*(a2*a3),b1о (b2о b3)>
＝ <a1,b1>⊕<a 2*a3,b2о b3>
＝ <a1,b1>⊕(<a 2,b2>⊕<a 3,b3>)
∴ 运算,⊕,满足结合律。
由 1),2),3)知,<A× B,⊕> 也是一个半群。
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半群定理 设 <S,*>是一独异点，对任意 a,b?S，且
a,b均有逆元，则：
1,(a-1)-1=a
2,a*b有逆元，且 (a*b)-1= b-1*a-1
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5-4 群和子群一、群定义 一个代数系统 <G,*>若满足：
运算,*” 在 G上封闭运算,*” 在 G上满足结合律；
在 G上关于运算,*” 的幺元存在；
对?a?G，有 a-1?G存在，且满足,a*a-1
＝ a-1*a＝ e。
则称 <G,*>是群。 称 |G|为群 G的 阶 。
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因此有,{群 }?{独异点 }?{半群 }?{广群 }?{代数系统 }
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例题：设 R={0,1,2,3},*是定义在 R
上的二元运算，且 a*b=(a+b)/4得到的余数。则 <R,*>是一个群。
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定理 阶数大于 1的群中无零元若 |G|＝ 1，则 G＝ {e}，此时，有,e*e＝ e*e
＝ e，
所以,e”一定是幺元，也是零元；
若 |G|?1，又设 G有零元,θ”，则对?x?G，有：
x*θ＝ θ*x＝ θ，
但此时 θ?e，所以，对,θ”来说，找不到一个元素 x?G，使得,x*θ＝ θ*x＝ e，
即，零元,θ”无逆元，所以，群中无零元；
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群，对于 a,b?G，必存在唯一的 x?G，使得 a*x=b。
证,设 a的逆元是 a-1，令
x=a-1*b
a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b
若令有一解 x1满足 a*x1=b，则
a-1*(a*x1)= a-1*b
即 x1=a-1*b
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群，对于 a,b,c?G，如果
a*b=a*c或者 b*a=c*a，则必有 b=c（ 消去律）。
证,设 a*b=a*c，且 a的逆元是 a-1，则有
a-1*(a*b)＝ a-1*(a*c)
(a-1*a)*b＝ (a-1*a)*c
e*b＝ e*c
b=c
当 b*a=c*a 时同样可得 b=c。
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等幂元定义 设 <G,*>是一个群，如果 存在 a?G，有
a*a=a，则称 a为等幂元。
定理 群中除幺元以外无其它幂等元证,显然,e*e＝ e，即幺元,e”是等幂元,
若 a?e，且有,a*a＝ a，
∵ e＝ a-1*a＝ a-1*(a*a)
＝ (a-1*a)*a＝ e*a＝ a，
∴ a＝ e，矛盾；
即，群中除幺元以外，无其它幂等元；
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群与子群定义 设 S是一个非空集合，从集合 S到 S的一个双射称为 S的一个置换。
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子群定义 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个非空子集,若 H关于 G的运算,*” 也构成群，则称 <H,*>是 <G,*>的一个 子群 。
一般来说,对任意的群 <G,*>,都有两个子群 <{e},*>,<G,*>,我们称这两个子群为该群的 平凡子群,而若有子群
<H,*>,且 H?{e}和 H?G,则称 <H,*>
为 <G,*>的 真子群 。
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的子群,则群 <G,*>的幺元 eG必定也是子群 <H,*>的幺元 eH；
证明?a?H，由于 eH是 H的幺元，所以有：
eH*a＝ a*eH＝ a ①,
又 H?G,所以 a?G,由 eG是 G的幺元，所以有：
eG*a＝ a*eG＝ a ②,
由①、②有,eH*a＝ a*eH＝ a＝ eG*a＝ a*eG，
由于 G满足消去律，所以有,eH＝ eG。
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群与子群证明
1) 可结合性是可保持的；
2) 封闭性：显然 (由条件可得 )；
定理 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个有限非空子集，那么只要运算在 H上封闭,<H,*>必定是 <G，
*>G的子群。
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群与子群续,3) 幺元存在：由条件知，对?a,b?H，有 a*b?H，取 a＝ b，
有 a2?H，对?a,a2?H，有 a3?H,…
对?a,an-1?H，有 an?H,…
一直无限地构造下去，可得：
a?H,a2?H,a3?H,…,an-1?H,an?H,…
即,{a,a2,a3,…,an-1,an,… }?H
又 H是一个有限集合，所以必存在 x,y?N+，且 x?y，但
ax＝ ay，由于 x?y，不妨假设,x?y，则：
ax＝ ay＝ a(y-x)+x＝ ax*a(y-x)＝ a(y-x)*ax ①,
∵a?G,∴ a-1?G，则在①式的左右两端反复作用 a-1，有：
a(y-x)＝ eG，
又 a?H,(y-x)?0，所以 a(y-x)?H，即有,eG?H；
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群与子群续,4) 逆元存在：
对?a?H，由 3)知：存在 x,y?N+，且 x?y，使得
eG＝ a(y-x)?H，
即,a(y-x)＝ a(y-x-1)*a＝ a*a(y-x-1)＝ eG，
若 (y-x)?1，则有,(y-x-1)?1，所以 a(y-x-1)?H，即：
a-1＝ a(y-x-1)?H；
若 (y-x)＝ 1，则有,a(y-x)＝ a＝ eG，而 eG-1＝ eG，所以
a-1＝ a?H。
故对?a?H，有 a-1?H存在。
由 1),2),3),4)知,<H,*>是 <G,*>的子群。■
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个非空子集,如果对于 H中的任何元素 a和 b有 a*b-1?H，
则 <H,*>是 <G,*>的子群。
证,1)、幺元存在：由于 H?Φ，所以有 a?H，由条件知：
对?a,b?H,有 a*b-1?H,取 a＝ b,有 eG＝ a*a-1?H，
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群与子群证（续）,2)、逆元存在：对?a,b?H，有 a*b-1?H，
对?b?H，由 eG?H，有 b-1＝ eG*b-1?H；
3)、封闭性：对?a,b?H，由 3)知：显然,
a,b-1?H，由条件知,a*(b-1)-1?H，所以,a*b?H.
4）、可结合性是可保持的。
由 1),2),3),4)知,<H,*>是 <G,*>的子群。■
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例,设 <G1,*1>,<G2,*2>是两个群，
1) 考虑 G1,G2的直积，则 <G1× G2,*>是一个群；
2) 令 G＝ {<a,e2>|a?G1,e2是 G2的幺元 }，
则 <G,*>是 <G1× G2,*>的一个子群。
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例,设 <G,*>是一个群，令：
C＝ {a|a?G且对?x?G，有,a*x＝ x*a}，
证明,<C,*>作成 <G,*>的一个子群。
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证明 1)、非空性：对?x?G，由于幺元 e?G存在，
所以有 e*x＝ x*e＝ x，即 e?C，所以 C是非空的；
2)、封闭性：对?a,b?C，则有：
a*x＝ x*a,b*x＝ x*b (对?x?G),
∴ (a*b)*x＝ a*(b*x)＝ a*(x*b)
＝ (a*x)*b＝ (x*a)*b＝ x*(a*b),即,a*b?C；
3)、对?a?C则有,a*x＝ x*a(对?x?G)，
∵ C?G,∴ a?G，即有,a-1?G，有：
a-1*(a*x)*a-1＝ a-1*(x*a)*a-1，
即有,x*a-1＝ a-1*x，所以 a-1?C。
由 1),2),3)知,<C,*>作成 <G,*>的一个子群。
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5-5 阿贝尔群 和循环群一,交换群 (阿贝尔群,Abel群 )
定义 若群 <G,*>中的 运算,*”是可交换的,
则称该群 <G,*>是一个 交换群 (阿贝尔群,Abel
群 )。
例群 <I,+>,<R,+>,<Q,+>,<C,+>都是交换群。
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阿贝尔群 和循环群定理,
设 <G,*>是一个群，则 <G,*>作成交换群的充分必要条件是：对?a,b?G,有 (a*b)*(a*b)＝
(a*a)*(b*b)
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证明? 对?a,b?G,由于运算,*”是可交换的，所以 有,(a*b)*(a*b)＝
a*(b*a)*b
＝ a*(a*b)*b＝ (a*a)*(b*b)。
对?a,b?G,若有 (a*b)2＝ a2*b2,则：
(a*b)*(a*b)＝ (a*a)*(b*b)，
a*(b*a)*b＝ a*(a*b)*b，
由消去律知,b*a＝ a*b，
所以，运算,*”满足交换律，即群 <G,*>是交换群。 ■
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循环群定义 设 <G,*>是一个群，若 G中存在元素 a，
使得对?x?G,都有,x＝ an (n?I)
则称 <G,*>是 由 a所生成的 循环而 a称为 该循环群的 生成元,群 G中的一切生成元 构成 的集合叫做该群 G的 生成集 。
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阿贝尔群 和循环群定理 循环群 <G,*>一定是阿贝尔群。
证明 设 a?G,且 a是 G的生成元，对?n,m?G，
有
n＝ ax,m＝ ay成立，则：
n*m＝ ax*ay＝ ax+y＝ ay+x＝ ay*ax＝ m*n，
所以，循环群 <G,*>一定是阿贝尔群。 ■
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定理 设 <G,*>＝ (a)是一个有限循环群,如果 群 G的阶为 n，则 a的 周期 /阶 为 n (即 an =e)。
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5-7 陪集与拉格朗日定理一、陪集定义 设 <G,*>是一个群,A,B是 G的子集且非空，记
AB={a*b| a?A,b?B}
和 A-1 ={a-1 | a?A}
分别称为 A,B的积和 A的逆。
定义 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的任一个子群，
称,Ha＝ {h*a|(一切 h?H)}为 H在 <G,*>中的一个 右陪集 ；
aH＝ {a*h|(一切 h?H)}为 H在 <G,*>中的一个 左陪集 ；
a称为左、右陪集的 代表元 。
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陪集与拉格朗日定理例,求群 <4,+4>的子群 <{0,2},+4>的一切左、右陪集,
解
H0＝ {0,2}0＝ {0+40,2+40}＝ {0,2}，
H1＝ {0,2}1＝ {0+41,2+41}＝ {1,3}，
H2＝ {0,2}2＝ {0+42,2+42}＝ {2,0}，
H3＝ {0,2}3＝ {0+43,2+43}＝ {3,1}，
即有,H0＝ H2,H1＝ H3,H0∪H1 ＝ 4；
同理，所有的左陪集有：
0H＝ 0{0,2}＝ {0,2},1H＝ 1{0,2}＝ {1,3}，
2H＝ 2{0,2}＝ {2,0},3H＝ 3{0,2}＝ {3,1}，
即有,0H＝ 2H,1H＝ 3H,0H∪1H ＝ 4。
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陪集与拉格朗日定理
(Lagranges Theorem)
设 <H,*>是 <G,*>的一个子群，则：
R={<a,b>| a?G,b?G且 a-1*b?H}是 G中的一个等价关系。对于 a?G，若记 [a]R={x|x?G且
<a,x>?R}则
[a]R=aH
如果 G是有限群,|G|＝ n,|H|＝ m，则 k＝
|G|/|H|＝ n/m是一个整数，该 k正好是关于 H的一切不同的左 (右 )陪集的个数。
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陪集与拉格朗日定理推论 任一阶数为素数的有限群 <G,*>
没有非平凡 的真子群。
证明 k＝ |G|/|H|是整数，而 |G|是素数，知：
|H|＝ |G|或 |H|＝ 1，
所以,H只能是两个平凡的子群，即是说任一阶数为素数的有限群 <G,*>没有非平凡的真子群。■
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陪集与拉格朗日定理推论 设 <G,*>是阶 n有限群，那么对于任意的 a?G,a的阶必是 n的因子且必有 an=e,e是 <G,*>中的幺元。如果 n为质数，则 <G,*>必是循环群。
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5-8 同态与同构一、同态与同构定义 设 <X,*>与 <Y,о >是两个代数 系统,f：
X?Y集合 X到 Y的映射，使得对?a,b?X，有：
f(a*b)＝ f(a)о f(b)
则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 同态映射,简称为 同态,此时代数系统 <X,*>与代数系统 <Y,о >称为 同态的,记为 X∽Y 。
<f(X),о >称为 <X,*>的一个 同态象,其中,f(X)
＝ {y∣y ＝ f(x),x?X}?Y。
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同态与同构定义 设 <X,*>与 <Y,о >是两个代数 系统,f是 X到 Y的同态映射，
1,若 f,X→ Y是入射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 单一同态 ；
2,若 f,X→ Y是满射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 满同态 ；
3,若 f,X→ Y是双射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 同构,记为
X≌Y 。
4,若 <X,*>＝ <Y,о >，则此时对应的同态和同构分别称为 自同态,单一自同态,满自同态 和 自同构 。
定理 代数系统之间的同构关系 是 等价关系 。
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同态与同构定理 设 f,X?Y是从代数系统 <X,*>到代数系统
<Y,о >的 一个同态映射。 则：
如果 <X,*>是半群，那么在 f的作用下，同态象
<f(X),о >也是半群。
1) 如果 <X,*>是独异点，那么在 f的作用下，同态象 <f(X),о >也是独异点。
2) 如果 <X,*>是群，那么在 f的作用下，同态象
<f(X),о >也是群。
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同态与同构证：
1) 设 <X,*>是半群且 <Y,о >是一个代数系统，如果
f,X?Y是由 <X,*>到 <Y,о >的 一个同态映射,则
f(X)?Y。
①、对于任意的 y1,y2?f(X)，必有 x1,x2?X使得
f(x1)＝ y1,f(x2)＝ y2
在 X中必有 z= x1*x2所以
y1о y2 ＝ f(x1)о f(x2)＝ f(x1*x2)＝
f(z)?f(X)
因此运算 о 是封闭的。
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同态与同构
②,运算,*” 是可结合的,对?y1,y2,y3?f(X)，必
x1,x2,x3?X，使得,f(x1)＝ y1,f(x2)＝ y2,f(x3)＝ y3，
则,y1о (y2о y3)
＝ f(x1)о (f(x2)о f(x3))＝ f(x1)о f(x2*x3)
＝ f(x1*(x2*x3))＝ f((x1*x2)*x3)
＝ f(x1*x2)о f(x3)＝ (f(x1)о f(x2))о f(x3)
＝ (y1о y2)о y3
所以，运算,о,是可结合的。
因此 <f(X),о >是半群。
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同态与同构
2) 设 <X,*>中的幺元为 e1，对 y?f(X),必有 x?X，
使得,f(x)＝ y,则：
f(x)＝ f(x*e1)＝ f(x)о f(e1)，
f(x)＝ f(e1*x)＝ f(e1)о f(x)；
所以,y＝ f(e1)о y＝ yо f(e1)。
由于 e1?X，且 f是函数，所以，
f(e1)?Y，
令 e2＝ f(e1)，则：
y＝ e2о y＝ yо e2
所以,<Y,о >存在幺元 e2；故 <f(X),о >是独异点。
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同态与同构
3) 对于任意 y?f(X)必有 x?X使 f(x)＝ y
因为 <X,*>是群，故 x有逆元 x-1且 f(x-1)?f(X)，
而
f(x)о f(x-1)=f(x*x-1)=f(e)=f(x-1*x)=f(x-
1)о f(x)
所以 f(x)是 f(x-1)的逆元，即
f(x)-1 = f(x-1)。
故 <f(X),о >是群。
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同态与同构二、同态核定义 设 f,G→G 1是一个群同态，则令 K＝ Kerf＝
{a|a?G且 f(a)＝ e?G1}
此时称 K为 f,G→G 1的 同态核,f(G)＝ {f(a)|a?G}
称为 f的象集。
定理 设 f是从代数系统 <X,*>到代数系统 <Y,о >的一个同态映射，则 f的同态核 K是 G的子群 。
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自学内容
5-8：同余关系
5-9：环和域
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第五章作业：
P184：习题 5-2：（ 2） a,b
P190：习题 5-3：（ 2）（ 3）（ 5）
P197：习题 5-4,（ 2）（ 4）
P200：习题 5-5,（ 1）（ 3）
P212：习题 5-7,（ 7）
P221：习题 5-8,（ 12）
Discrete Mathematics
郭永芳
guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
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代数系统的基本概念和基本性质
群论
同态与同构
环与域
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5-1 代数系统的引入定义,对于集合 A，一个从 An→B 的映射，
称集合 A上的一个 n元运算。
定义,一个非空集合 A连同若干个定义在该集合的运算 f1,f2,…,fk所组成的系统，
称为一个 代数系统,记作 <A,f1,f2,…,
fk>。
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定义,设 A是一个非空集合,An到 B的一个映射 (或函数 ) f,An→ B，若 B?A，则称 映射 f关于集合 A是 封闭的 (或称 A对 f是 封闭的 )。
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代数系统的引入例：
在实数集 R上的每个数 A≠0 影射成它的倒数 1/A。
R上的每个数 Y变成 [Y]。
R上的任意两个数 A,B，变成 A+B或 A× B。
R上的任意三个数 X,Y,Z，变成 R中的一个数，即进行,IF X THEN Y ELSE Z。
上述运算都是集合 R上 封闭 的运算。
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代数系统的引入
1) 在正整数集 I+上，定义减法运算，则不封闭。
2) 如一架自动售货机，能接受一角和二角五分硬币，而所对应的商品是橘子水、冰淇淋，当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品。
一角 二角五一角 橘子水 可口可乐二角五 可口可乐 冰淇淋此时，集合 A中的元素经自动售货机变成 B上的元素。
3) I上的元素 A的倒数 1/A不属于 I。
上述这些运算都不是 封闭 的。
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代数系统的引入
1) I+与 I+上的,+”运算可构成一个代数系统 <I+，
+>；
2) R上的,+”,,×,运算可构成一个代数系统 <R，
+,× >；
3) P(S)及 P(S)上的,∩,,,∪,,,―,运算可构成一个代数系统 <P(S),∩,∪,―>,称之为 集合代数 ；
4) 一个含有 n个命题变元的命题的集合 A与 A上的
,∧,,,∨,,,┐,可构成一个代数系统
<A,∧,∨,┐ >，称之为 命题代数 。
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5-2运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,<A,*>
是一个代数系统,对?a,b,c?A，
1) 若 a*b?A,则称运算,*” 是集合 A上是 封闭的 。
2) 若 a*b＝ b*a，则称运算,*” 是集合 A上的 可交换的 或称运算,*” 在 A上满足交换律 。
3) 若 (a*b)*c＝ a*(b*c)，则称运算,*” 是集合 A上的 可结合的 或称运算,*” 在 A上满足结合律 。
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运算及其性质定律 设,*”,,о,是集合 A上的两个二元运算，
对?a,b,c?A
1) 若 aо (a*b)＝ a a*(aо b)＝ a，则称运算,*”
与,о,在 A上满足吸收律 。
2) 若 aо (b*c)＝ (aо b)*(aо c)，则称运算,о,对
,*” 在 A上满足左分配律 (或第一分配律 )；
3) 若 (b*c)о a＝ (bо a)*(cо a)，则称运算,о,对
,*” 在 A上满足右分配律 (或第二分配律 )。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算，若?a?A，有：
a*a＝ a，则称 a为 A上的 幂等元 。若 A中的一切元素都是幂等元，则称运算,*” 在 A上 满足幂等律 。
例,设有代数系统 <P(S),∩,∪ >,对?X?P(S)，都有,X∩X ＝ X,X∪X ＝ X，所以,,∩,,,∪,在
P(S)上满足幂等律。
例,设有代数系统 <R,+,× >,对 0,1?R，有,0+0
＝ 0,1× 1＝ 1，所以,R中仅有 0,1分别是关于
,+”,,×,的幂等元；,+”,,×,在 R上不满足幂等律。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,若?e?A，使得对?a?A，都有：
1) a*e＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 右幺元,又记为 er；
2) e*a＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 左幺元,又记为 el。
3) a*e＝ e*a＝ a,则称 e为运算,*” 关于 A的 幺元 ；
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运算及其性质例：
设有代数系统 <R,+>，则该代数系统的幺元为 e＝ 0；
设有代数系统 <R,× >,则该代数系统的幺元为 e＝ 1；
设有代数系统 <p(S),∩>,则该代数系统的幺元为 e＝ S；
设有代数系统 <p(S),∪>,则该代数系统的幺元为 e＝
Φ；
设有代数系统 <A,∧>,则该代数系统的幺元为 e＝ T；
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定理：设,*” 是集合 A上的二元运算，且在 A中有关于运算,*” 的左幺元 el和右幺元 er,则 el= er=e，且 A中 幺元是唯一的。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,若?θ?A，
使得对?a?A，都有,
1) a*?＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 右零元,
又记为?r；
2)?*a＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 左零元,
又记为?l。
3) a*?＝?*a＝?,则称?为运算,*” 关于 A的 零元 ；
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运算及其性质例：
设有代数系统 <R,× >，则该代数系统的零元为 θ ＝ 0；
设有代数系统 <p(S),∩ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ Φ；
设有代数系统 <p(S),∪ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ S；
设有代数系统 <A,∧ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ F；
设有代数系统 <A,∨ >，则该代数系统的零元为 θ ＝ T。
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定理：设,*” 是集合 A上的二元运算，且在 A中有关于运算,*” 的左零元?l和右零元?r,则?l=?r=?，且 A零 元是唯一的。
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设 <A,*>是一个代数系统，且集合 A中元素个数大于 1，则如果该系统存在幺元和零元，则幺元不等于零元。
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运算及其性质定义 设,*” 是集合 A上的二元运算,e是 <A,*>的幺元,对 a?A，若?b?A，使得：
a*b＝ e,则称 b为 a关于运算,*” 右逆元,
b*a＝ e,则称 b为 a关于运算,*” 左逆元,
a*b＝ b*a＝ e,称 b为 a关于运算,*” 的 逆元,a也称为 可逆的,记为 a-1(同样,a也为 b关于运算,*” 的逆元,b也称为可逆的,记为 b-1)；
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运算及其性质例：
1) 设有代数系统 <R,+>,,0”是该代数系统的幺元。对
a?R，都?a＝?a，使得,a+a-1＝ a+(?a)＝ a-1+a＝
(?a)+a＝ 0，
所以,?a”是,a”的逆元；
2) 设有代数系统 <R,× >,,1”是该代数系统的幺元。对
a?R且 a?0，都?a＝ 1/a，使得,a× a-1＝ a× (1/a)＝
a-1× a＝ (1/a)× a＝ 0，所以,1/a”是,a”的逆元，而 a
＝ 0无乘法逆元。
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5.2 运算及其性质定理：设代数系统 <A,*>,这里如果 *是定一个在 A上的一个二元运算，且 A中存在幺元，且每一个元素都有左逆元，如果 *
是可结合的运算，则该代数系统中每个元素的左逆元是其右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
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从运算表中看代数系统的性质运算 *具有封闭性，当且仅当运算表中每个元素都属于 A。
运算 *具有交换性，则当且仅当运算表关于住对角线元素是对称的。
运算 *具有等幂性，当且仅当运算表中主对角线上的每一个元素都和它所在的行
（列）的首元素相同。
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从运算表中看代数系统的性质
A关于 *有幺元，当且仅当该元素所对于的行和列依次与运算表的行和列相一致。
A关于 *有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素都和该元素相同。
设 A中有幺元,a和 b互逆，当且仅当位于 a
所在行 b所在列以及 b所在行和 a所在列的元素都是幺元。
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5-3 半群定义 设 <S,*>是一个代数系统，若运算
,*” 是 封闭的,则称此二元代数系统为一个 广群 ；
定义 设 <S,*>是一个代数系统，若运算
,*” 是 封闭的,可结合的,则称此二元代数系统为一个 半群 ；
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定理 设 <S,*>是一个半群,B?S且 *在 B
上是封闭的，那么 <B,*>也是一个半群。称 <B,*>为的 <S,*>子半群 。
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半群例,设有集合 Sk＝ {x|(x?I)∧(x?k)},,+”是一个普通 的加法运算，试判断 <Sk,+>是否是一个半群？
解 1) 显然二元运算,+”是可结合的；
2),若 k?0，则运算,+”在 Sk上将是不封闭的 (因为，当 k?0时，由于 k?Sk，但 (k+k)＝ 2k?k，所以
2k?Sk，即 (k+k)?Sk，所以运算,+”在 Sk上将不封闭的。 )
②,若 k?0，则对?x,y?Sk，有 (x+y)?Sk，所以运算,+”在 Sk上是封闭的，
由 1),2)知：当 k?0时,<Sk,+>是一个半群。
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独异点定义,设 <S,*>是一个半群，若该半群存在幺元 e，则称此 半群 <S,*>是一个 独异点 (或 含幺半群 ).
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定理 设 <H,*>是一半群，如果 H是一个有限集，则必有 a,?H，使得 a*a=a。
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证明 由封闭性知，对?b?H，有 b*b?H，即
b2?H，
有 b3?H,…
对?b,bn-1?H，有 bn?H,…
一直构造下去，可得：
b?H,b2?H,b3?H,…,bn-1?H，
bn?H,…
即,{b,b2,b3,…,bn-1,bn,… }?H
又 H是一个有限集合，所以必存在 i,j?N+，且
i<j，使得
bi＝ bj
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令 p=j-i,有
bi＝ bp*bi
所以 bq＝ bp*bq,q>=i
因为 p>=1,所以总可以找到 k>=1，使得
kp>=i
对于 H中的元素 bkp，就有
bkp= bp*bkp
= bp *(bp*bkp)
= b2p*bkp
…
= bkp *bkp
这就证明了在 H中存在元素 a=bkp，使得
a*a=a
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定理 一个含幺半群 <S,*>的运算表中的任何两行 (任何两列 )都是不相同的。
证明 <S,*>是一个含幺半群，令 S＝ {e,a,b,c,… }，
其中,e是 S的幺元，可建立如下运算组合表：
由于，每一行 (每一列 )的第一个元素不同，所以，每一行 (每一列 )的内容均不完全相同。 ■
* e a b c d …
e e a b c d …
a a f g h I …
b b j k l m …
c c n o p q …
d d r s t u …
… … … … … … …
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半群例,设 <A,*>和 <B,о >是两个半群，则 <A,*>
和 <B,о >的 直集 <A× B,⊕> 也是一个半群，其中，运算,⊕,满足：对 <a1,b1>，
<a2,b2>?A× B有 <a1,b1>⊕<a 2,b2>＝
<a1*a2,b1о b2>。
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证明 1) 由于 A,B是两个非空的集合，所以
A× B也一个非空的集合；
2) 对任意 <a1,b1>,<a2,b2>?A× B，由
,⊕,的定义有：
<a1,b1>⊕ <a2,b2>＝ <a1*a2,b1оb2>，
∵ 运算,*”,,о”是满足封闭性，即有：
a1*a2?A,b1оb2?B，
∴ <a1*a2,b1оb2>?A× B，即有：
<a1,b1>⊕ <a2,b2>?A× B，
∴ 运算,⊕,满足封闭性；
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半群续,3) 对任意 <a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b3>?A× B，
∵ 运算,*” 与,о,可结合，即有：
(<a1,b1>⊕<a 2,b2>)⊕<a 3,b3>
＝ <a1*a2,b1о b2>⊕<a 3,b3>
＝ <(a1*a2)*a3,(b1о b2)о b3>
＝ <a1*(a2*a3),b1о (b2о b3)>
＝ <a1,b1>⊕<a 2*a3,b2о b3>
＝ <a1,b1>⊕(<a 2,b2>⊕<a 3,b3>)
∴ 运算,⊕,满足结合律。
由 1),2),3)知,<A× B,⊕> 也是一个半群。
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半群定理 设 <S,*>是一独异点，对任意 a,b?S，且
a,b均有逆元，则：
1,(a-1)-1=a
2,a*b有逆元，且 (a*b)-1= b-1*a-1
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5-4 群和子群一、群定义 一个代数系统 <G,*>若满足：
运算,*” 在 G上封闭运算,*” 在 G上满足结合律；
在 G上关于运算,*” 的幺元存在；
对?a?G，有 a-1?G存在，且满足,a*a-1
＝ a-1*a＝ e。
则称 <G,*>是群。 称 |G|为群 G的 阶 。
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因此有,{群 }?{独异点 }?{半群 }?{广群 }?{代数系统 }
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例题：设 R={0,1,2,3},*是定义在 R
上的二元运算，且 a*b=(a+b)/4得到的余数。则 <R,*>是一个群。
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定理 阶数大于 1的群中无零元若 |G|＝ 1，则 G＝ {e}，此时，有,e*e＝ e*e
＝ e，
所以,e”一定是幺元，也是零元；
若 |G|?1，又设 G有零元,θ”，则对?x?G，有：
x*θ＝ θ*x＝ θ，
但此时 θ?e，所以，对,θ”来说，找不到一个元素 x?G，使得,x*θ＝ θ*x＝ e，
即，零元,θ”无逆元，所以，群中无零元；
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群，对于 a,b?G，必存在唯一的 x?G，使得 a*x=b。
证,设 a的逆元是 a-1，令
x=a-1*b
a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b
若令有一解 x1满足 a*x1=b，则
a-1*(a*x1)= a-1*b
即 x1=a-1*b
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群，对于 a,b,c?G，如果
a*b=a*c或者 b*a=c*a，则必有 b=c（ 消去律）。
证,设 a*b=a*c，且 a的逆元是 a-1，则有
a-1*(a*b)＝ a-1*(a*c)
(a-1*a)*b＝ (a-1*a)*c
e*b＝ e*c
b=c
当 b*a=c*a 时同样可得 b=c。
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等幂元定义 设 <G,*>是一个群，如果 存在 a?G，有
a*a=a，则称 a为等幂元。
定理 群中除幺元以外无其它幂等元证,显然,e*e＝ e，即幺元,e”是等幂元,
若 a?e，且有,a*a＝ a，
∵ e＝ a-1*a＝ a-1*(a*a)
＝ (a-1*a)*a＝ e*a＝ a，
∴ a＝ e，矛盾；
即，群中除幺元以外，无其它幂等元；
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群与子群定义 设 S是一个非空集合，从集合 S到 S的一个双射称为 S的一个置换。
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子群定义 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个非空子集,若 H关于 G的运算,*” 也构成群，则称 <H,*>是 <G,*>的一个 子群 。
一般来说,对任意的群 <G,*>,都有两个子群 <{e},*>,<G,*>,我们称这两个子群为该群的 平凡子群,而若有子群
<H,*>,且 H?{e}和 H?G,则称 <H,*>
为 <G,*>的 真子群 。
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的子群,则群 <G,*>的幺元 eG必定也是子群 <H,*>的幺元 eH；
证明?a?H，由于 eH是 H的幺元，所以有：
eH*a＝ a*eH＝ a ①,
又 H?G,所以 a?G,由 eG是 G的幺元，所以有：
eG*a＝ a*eG＝ a ②,
由①、②有,eH*a＝ a*eH＝ a＝ eG*a＝ a*eG，
由于 G满足消去律，所以有,eH＝ eG。
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群与子群证明
1) 可结合性是可保持的；
2) 封闭性：显然 (由条件可得 )；
定理 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个有限非空子集，那么只要运算在 H上封闭,<H,*>必定是 <G，
*>G的子群。
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群与子群续,3) 幺元存在：由条件知，对?a,b?H，有 a*b?H，取 a＝ b，
有 a2?H，对?a,a2?H，有 a3?H,…
对?a,an-1?H，有 an?H,…
一直无限地构造下去，可得：
a?H,a2?H,a3?H,…,an-1?H,an?H,…
即,{a,a2,a3,…,an-1,an,… }?H
又 H是一个有限集合，所以必存在 x,y?N+，且 x?y，但
ax＝ ay，由于 x?y，不妨假设,x?y，则：
ax＝ ay＝ a(y-x)+x＝ ax*a(y-x)＝ a(y-x)*ax ①,
∵a?G,∴ a-1?G，则在①式的左右两端反复作用 a-1，有：
a(y-x)＝ eG，
又 a?H,(y-x)?0，所以 a(y-x)?H，即有,eG?H；
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群与子群续,4) 逆元存在：
对?a?H，由 3)知：存在 x,y?N+，且 x?y，使得
eG＝ a(y-x)?H，
即,a(y-x)＝ a(y-x-1)*a＝ a*a(y-x-1)＝ eG，
若 (y-x)?1，则有,(y-x-1)?1，所以 a(y-x-1)?H，即：
a-1＝ a(y-x-1)?H；
若 (y-x)＝ 1，则有,a(y-x)＝ a＝ eG，而 eG-1＝ eG，所以
a-1＝ a?H。
故对?a?H，有 a-1?H存在。
由 1),2),3),4)知,<H,*>是 <G,*>的子群。■
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群与子群定理 设 <G,*>是一个群,H是 G的一个非空子集,如果对于 H中的任何元素 a和 b有 a*b-1?H，
则 <H,*>是 <G,*>的子群。
证,1)、幺元存在：由于 H?Φ，所以有 a?H，由条件知：
对?a,b?H,有 a*b-1?H,取 a＝ b,有 eG＝ a*a-1?H，
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群与子群证（续）,2)、逆元存在：对?a,b?H，有 a*b-1?H，
对?b?H，由 eG?H，有 b-1＝ eG*b-1?H；
3)、封闭性：对?a,b?H，由 3)知：显然,
a,b-1?H，由条件知,a*(b-1)-1?H，所以,a*b?H.
4）、可结合性是可保持的。
由 1),2),3),4)知,<H,*>是 <G,*>的子群。■
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例,设 <G1,*1>,<G2,*2>是两个群，
1) 考虑 G1,G2的直积，则 <G1× G2,*>是一个群；
2) 令 G＝ {<a,e2>|a?G1,e2是 G2的幺元 }，
则 <G,*>是 <G1× G2,*>的一个子群。
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例,设 <G,*>是一个群，令：
C＝ {a|a?G且对?x?G，有,a*x＝ x*a}，
证明,<C,*>作成 <G,*>的一个子群。
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证明 1)、非空性：对?x?G，由于幺元 e?G存在，
所以有 e*x＝ x*e＝ x，即 e?C，所以 C是非空的；
2)、封闭性：对?a,b?C，则有：
a*x＝ x*a,b*x＝ x*b (对?x?G),
∴ (a*b)*x＝ a*(b*x)＝ a*(x*b)
＝ (a*x)*b＝ (x*a)*b＝ x*(a*b),即,a*b?C；
3)、对?a?C则有,a*x＝ x*a(对?x?G)，
∵ C?G,∴ a?G，即有,a-1?G，有：
a-1*(a*x)*a-1＝ a-1*(x*a)*a-1，
即有,x*a-1＝ a-1*x，所以 a-1?C。
由 1),2),3)知,<C,*>作成 <G,*>的一个子群。
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5-5 阿贝尔群 和循环群一,交换群 (阿贝尔群,Abel群 )
定义 若群 <G,*>中的 运算,*”是可交换的,
则称该群 <G,*>是一个 交换群 (阿贝尔群,Abel
群 )。
例群 <I,+>,<R,+>,<Q,+>,<C,+>都是交换群。
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阿贝尔群 和循环群定理,
设 <G,*>是一个群，则 <G,*>作成交换群的充分必要条件是：对?a,b?G,有 (a*b)*(a*b)＝
(a*a)*(b*b)
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证明? 对?a,b?G,由于运算,*”是可交换的，所以 有,(a*b)*(a*b)＝
a*(b*a)*b
＝ a*(a*b)*b＝ (a*a)*(b*b)。
对?a,b?G,若有 (a*b)2＝ a2*b2,则：
(a*b)*(a*b)＝ (a*a)*(b*b)，
a*(b*a)*b＝ a*(a*b)*b，
由消去律知,b*a＝ a*b，
所以，运算,*”满足交换律，即群 <G,*>是交换群。 ■
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循环群定义 设 <G,*>是一个群，若 G中存在元素 a，
使得对?x?G,都有,x＝ an (n?I)
则称 <G,*>是 由 a所生成的 循环而 a称为 该循环群的 生成元,群 G中的一切生成元 构成 的集合叫做该群 G的 生成集 。
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阿贝尔群 和循环群定理 循环群 <G,*>一定是阿贝尔群。
证明 设 a?G,且 a是 G的生成元，对?n,m?G，
有
n＝ ax,m＝ ay成立，则：
n*m＝ ax*ay＝ ax+y＝ ay+x＝ ay*ax＝ m*n，
所以，循环群 <G,*>一定是阿贝尔群。 ■
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定理 设 <G,*>＝ (a)是一个有限循环群,如果 群 G的阶为 n，则 a的 周期 /阶 为 n (即 an =e)。
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5-7 陪集与拉格朗日定理一、陪集定义 设 <G,*>是一个群,A,B是 G的子集且非空，记
AB={a*b| a?A,b?B}
和 A-1 ={a-1 | a?A}
分别称为 A,B的积和 A的逆。
定义 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的任一个子群，
称,Ha＝ {h*a|(一切 h?H)}为 H在 <G,*>中的一个 右陪集 ；
aH＝ {a*h|(一切 h?H)}为 H在 <G,*>中的一个 左陪集 ；
a称为左、右陪集的 代表元 。
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陪集与拉格朗日定理例,求群 <4,+4>的子群 <{0,2},+4>的一切左、右陪集,
解
H0＝ {0,2}0＝ {0+40,2+40}＝ {0,2}，
H1＝ {0,2}1＝ {0+41,2+41}＝ {1,3}，
H2＝ {0,2}2＝ {0+42,2+42}＝ {2,0}，
H3＝ {0,2}3＝ {0+43,2+43}＝ {3,1}，
即有,H0＝ H2,H1＝ H3,H0∪H1 ＝ 4；
同理，所有的左陪集有：
0H＝ 0{0,2}＝ {0,2},1H＝ 1{0,2}＝ {1,3}，
2H＝ 2{0,2}＝ {2,0},3H＝ 3{0,2}＝ {3,1}，
即有,0H＝ 2H,1H＝ 3H,0H∪1H ＝ 4。
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陪集与拉格朗日定理
(Lagranges Theorem)
设 <H,*>是 <G,*>的一个子群，则：
R={<a,b>| a?G,b?G且 a-1*b?H}是 G中的一个等价关系。对于 a?G，若记 [a]R={x|x?G且
<a,x>?R}则
[a]R=aH
如果 G是有限群,|G|＝ n,|H|＝ m，则 k＝
|G|/|H|＝ n/m是一个整数，该 k正好是关于 H的一切不同的左 (右 )陪集的个数。
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陪集与拉格朗日定理推论 任一阶数为素数的有限群 <G,*>
没有非平凡 的真子群。
证明 k＝ |G|/|H|是整数，而 |G|是素数，知：
|H|＝ |G|或 |H|＝ 1，
所以,H只能是两个平凡的子群，即是说任一阶数为素数的有限群 <G,*>没有非平凡的真子群。■
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陪集与拉格朗日定理推论 设 <G,*>是阶 n有限群，那么对于任意的 a?G,a的阶必是 n的因子且必有 an=e,e是 <G,*>中的幺元。如果 n为质数，则 <G,*>必是循环群。
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5-8 同态与同构一、同态与同构定义 设 <X,*>与 <Y,о >是两个代数 系统,f：
X?Y集合 X到 Y的映射，使得对?a,b?X，有：
f(a*b)＝ f(a)о f(b)
则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 同态映射,简称为 同态,此时代数系统 <X,*>与代数系统 <Y,о >称为 同态的,记为 X∽Y 。
<f(X),о >称为 <X,*>的一个 同态象,其中,f(X)
＝ {y∣y ＝ f(x),x?X}?Y。
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同态与同构定义 设 <X,*>与 <Y,о >是两个代数 系统,f是 X到 Y的同态映射，
1,若 f,X→ Y是入射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 单一同态 ；
2,若 f,X→ Y是满射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 满同态 ；
3,若 f,X→ Y是双射，则称 f是从 <X,*>到 <Y,о >的 同构,记为
X≌Y 。
4,若 <X,*>＝ <Y,о >，则此时对应的同态和同构分别称为 自同态,单一自同态,满自同态 和 自同构 。
定理 代数系统之间的同构关系 是 等价关系 。
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同态与同构定理 设 f,X?Y是从代数系统 <X,*>到代数系统
<Y,о >的 一个同态映射。 则：
如果 <X,*>是半群，那么在 f的作用下，同态象
<f(X),о >也是半群。
1) 如果 <X,*>是独异点，那么在 f的作用下，同态象 <f(X),о >也是独异点。
2) 如果 <X,*>是群，那么在 f的作用下，同态象
<f(X),о >也是群。
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同态与同构证：
1) 设 <X,*>是半群且 <Y,о >是一个代数系统，如果
f,X?Y是由 <X,*>到 <Y,о >的 一个同态映射,则
f(X)?Y。
①、对于任意的 y1,y2?f(X)，必有 x1,x2?X使得
f(x1)＝ y1,f(x2)＝ y2
在 X中必有 z= x1*x2所以
y1о y2 ＝ f(x1)о f(x2)＝ f(x1*x2)＝
f(z)?f(X)
因此运算 о 是封闭的。
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同态与同构
②,运算,*” 是可结合的,对?y1,y2,y3?f(X)，必
x1,x2,x3?X，使得,f(x1)＝ y1,f(x2)＝ y2,f(x3)＝ y3，
则,y1о (y2о y3)
＝ f(x1)о (f(x2)о f(x3))＝ f(x1)о f(x2*x3)
＝ f(x1*(x2*x3))＝ f((x1*x2)*x3)
＝ f(x1*x2)о f(x3)＝ (f(x1)о f(x2))о f(x3)
＝ (y1о y2)о y3
所以，运算,о,是可结合的。
因此 <f(X),о >是半群。
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同态与同构
2) 设 <X,*>中的幺元为 e1，对 y?f(X),必有 x?X，
使得,f(x)＝ y,则：
f(x)＝ f(x*e1)＝ f(x)о f(e1)，
f(x)＝ f(e1*x)＝ f(e1)о f(x)；
所以,y＝ f(e1)о y＝ yо f(e1)。
由于 e1?X，且 f是函数，所以，
f(e1)?Y，
令 e2＝ f(e1)，则：
y＝ e2о y＝ yо e2
所以,<Y,о >存在幺元 e2；故 <f(X),о >是独异点。
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同态与同构
3) 对于任意 y?f(X)必有 x?X使 f(x)＝ y
因为 <X,*>是群，故 x有逆元 x-1且 f(x-1)?f(X)，
而
f(x)о f(x-1)=f(x*x-1)=f(e)=f(x-1*x)=f(x-
1)о f(x)
所以 f(x)是 f(x-1)的逆元，即
f(x)-1 = f(x-1)。
故 <f(X),о >是群。
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同态与同构二、同态核定义 设 f,G→G 1是一个群同态，则令 K＝ Kerf＝
{a|a?G且 f(a)＝ e?G1}
此时称 K为 f,G→G 1的 同态核,f(G)＝ {f(a)|a?G}
称为 f的象集。
定理 设 f是从代数系统 <X,*>到代数系统 <Y,о >的一个同态映射，则 f的同态核 K是 G的子群 。
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自学内容
5-8：同余关系
5-9：环和域
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第五章作业：
P184：习题 5-2：（ 2） a,b
P190：习题 5-3：（ 2）（ 3）（ 5）
P197：习题 5-4,（ 2）（ 4）
P200：习题 5-5,（ 1）（ 3）
P212：习题 5-7,（ 7）
P221：习题 5-8,（ 12）
