河北工业大学计算机科学技术与软件学院离散数学
Discrete Mathematics
郭永芳
guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
4－ 1 函数的概念定义,设 X和 Y是任何两个集合，而 f是 X到
Y的一个关系，如果对于每一个 x?X，有唯一的 y?Y，使得 <x,y>?f，称关系 f为函数，记作：
f,X?Y或 X?Y
假如 <x,y>?f，则 x称为自变元,y称为在 f作用下 x的象,<x,y>?f亦可记作
y=f(x)，且记 f(X)={ f(x) | x?X }。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念函数与关系的区别：
1）函数的定义域是 X，而不是 X的某个真子集。
2）一个 x?X只能对应于唯一的一个 y。即如果 f(x)=y且 f(x)=z，那么 y=z。从 X
到 Y的函数往往也叫做从 X到 Y的映射。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念从定义知，函数确是一种特殊的关系，
它与一般关系比较具备如下 差别,
1) A× B的任何一个子集，都是 A到 B的二元关系，
因此，从 A到 B的不同的关系有 2|A|?|B|个；但从
A到 B的不同的函数却仅有 |B||A|个。
2) 每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相同的。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念设 A＝ {a,b},B＝ {1,2},A× B＝ {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>},此时从 A
到 B的不同的关系有 24＝ 16个。分别如下：
R0＝ Φ R1＝ {<a,1>} R2＝ {<a,2>} R3＝ {<b,1>}
R4＝ {<b,2>}； R5＝ {<a,1>,<b,1>} R6＝ {<a,1>,<b,2>}
R7＝ {<a,2>,<b,1>} R8＝ {<a,2>,<b,2>}
R9＝ {<a,1>,<a,2>} R10＝ {<b,1>,<b,2>}
R11＝ {<a,1>,<a,2>,<b,1>} R12＝ {<a,1>,<a,2>,<b,2>}
R13＝ {<a,1>,<b,1>,<b,2>} R14＝ {<a,2>,<b,1>,<b,2>}；
R15＝ {<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>}。
从 A到 B的不同的函数仅有 22＝ 4个。分别如下：
f1＝ {<a,1>,<b,1>} f2＝ {<a,1>,<b,2>}；
f3＝ {<a,2>,<b,1>} f4＝ {<a,2>,<b,2>}。
常将从 A到 B的一切函数构成的集合记为 BA,BA ＝｛ f|f,A→ B}
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念
<x,y>?f中,f的前域是函数 y=f(x)的 定义域 记为 dom f =X,f的值域 ran f?Y，
有时也记为 Rf，即
Rf={y|(?x)(x?X)∧ (y=f(x))}，集合 Y称为 f的 共域,ran f亦称为函数的 象集合 。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念例：设 X={1,5,p,张明 },Y={2,q,7,9,G}
f={<1,2>,<5,q>,<p,7>,<张明,G>}
即 f(1)=2,f(5)=q,f(p)=7,f(张明 )=G
所以,dom f=X,Rf={2,q,7,G}
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念例：判断下列关系中哪个能构成函数
1） f={<x1,x2>|x1,x2?N，且 x1＋ x2<10}
2） f={<y1,y2>|y1,y2?R，且 y22=y1}
3） f={<x1,x2>|x1,x2?N,x2为小于 x1的素数个数 }
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念判断如下图所示的关系是否是函数,
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念定义,设函数 f,A?B,g,C?D，如果
A=C,B=D，且对于所有的 x?A和 x?C有
f(x)=g(x)，则称函数 f和 g相等，记作 f=g。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念函数的几种特殊情况
1）满射
2）入射
3）双射
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念设 f是从 A到 B的函数，若 f满足：
ranf＝ B，则称 f为从 A到 B上的映射或满射 ；
若对任意 x1,x2∈ A，且 x1≠x2，则 f(x1)≠f(x2)，则称 f为从 A
到 B的 1-1映射或单射 ；
若 f是从 A到 B上的 1-1映射，换言之,f即是满射，又是单射，
则称 f为从 A到 B的一一对应的映射或双射 。
若 A＝ B，则称 f为 A上的函数；当 A上的函数 f 是双射时，
称 f为一个变换 。
若 A＝ B，且对任意 x∈ A,f(x)＝ x,则称 f为 A上的恒等函数,记为 IA。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念结论：
设 A,B为有限集合,f是从 A到 B的函数，
则：
f是单射的必要条件为 |A|≤|B|；
f是满射的必要条件为 |B|≤|A|；
f是双射的必要条件为 |A|＝ |B|。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念设有如下关系，确定哪些关系是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。
1) 设 A＝ {1,2,3,4,5},B＝ {a,b,c,d,e}。
f1＝ {<1,a>,<2,c>,<3,b>,<4,e>,<5,d>}；
f2＝ {<1,a>,<2,d>,<3,e>}；
f3＝ {<1,a>,<2,c>,<2,d>,<3,e>,<4,b>}；
f4＝ {<1,a>,<2,a>,<3,a>,<4,b>,<5,c>}。
2) 设 A＝ B＝ R(实数集合 )。
f1(x)＝ x2； f2(x)＝ x+1； f3(x)＝ 1/x；
f4(x)＝ ex； f5(x)＝ 。
3) 若 A＝ R+,B＝ R f(x)＝ lnx。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念解,1) f1为从 A到 B的双射；
f2,f3为非函数；
f4为从 A到 B一个函数。
2) f1为从 R到 R的函数；
f2为从 R到 R的双射函数；
f3不是从 R到 R的函数 (因为 0?domf)；
f4为从 R到 R的单射函数；
f5不是从 R到 R的函数 (因为 domf＝ N?R)。
3) f为从 R+到 R的双射函数。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
函数的概念定理,令 X和 Y为有限集，若 X和 Y的元素个数相同，即 |X|=|Y|，则 f,X?Y是入射的，当且仅当它是一个满射。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
4－ 2逆函数和复合函数
1、逆函数定义 3.6.3 设 f是 A到 B的双射，则 f-1也是一个函数，此时称 f-1为 f的 逆函数 (Reversible Mapping)，且 f-1也是双射函数 。
例 3.6.8 设 f,R├→R,满足：
1),f＝ {<x,x2>|x∈R} ；
2),f＝ {<x,x+1>|x∈R} 。求 f-1。
解,1)、对任意 x∈R,有 f(x)＝ x2与之对应，所以 f不是单射函数，即 f非双射函数，因此 f的逆函数不存在。
2)、因 f是双射函数，所以 f-1存在，且有：
f-1＝ {<x,x-1>|x∈R} 。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
逆函数和复合函数考虑 f,A├→B,g,B├→C 是两个函数，则：
h＝ f?g,A├→C 是从 A到 C的函数，称为 函数 f与
g的复合函数 。当函数 f?g作用于 A中的任意一个元素 x时，可记为
h(x)＝ f?g(x)＝ g(f(x))。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
逆函数和复合函数设 A＝ {a1,a2,a3,a4,a5},B＝ {b1,b2,b3,b4},C＝
{c1,c2,c3,c4,c5},f,A├→ B,g,B├→ C定义如下：
f＝
{<a1,b1>,<a2,b1>,<a3,b4>,<a4,b3>,<a5,b2>
}，
g＝ {<b1,c1>,<b2,c3>,<b3,c5>,<b4,c2>}，
求 f?g。解：
f?g＝ {<a1,c1>,<a2,c1>,<a3,c2>,<a4,c5>,<a5,c3>}。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
逆函数和复合函数设 f是 A到 B的双射函数，则：
f-1?f＝ IB＝ {<b,b>|b∈ B}；
f?f-1＝ IA＝ {<a,a>|a∈ A}；
IA?f＝ f?IB＝ f。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
逆函数和复合函数设 f和 g分别是 A到 B和从 B到 C的函数，则：
如 f,g是满射，则 f?g也是从 A到 C满射；
如 f,g是单射，则 f?g也是从 A到 C单射；
如 f,g是双射，则 f?g也是从 A到 C双射。
证明 1) 对任意 c∈C,由于 g是满射，所以存在 b∈B,
使得 g(b)＝ c。
对于 b∈B,又因 f是满射，所以存在 a∈A,使得 f(a)＝ b。
从而有 g(b)＝ g(f(a))＝ f?g(a)＝ c。
即存在 a∈A,使得,f?g(a)＝ c，所以 f?g是满射。
Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn
逆函数和复合函数
2) 对任意 a1,a2∈ A,a1≠a2，由于 f是单射，
所以 f(a1)≠f(a2)。
令 b1＝ f(a1),b2＝ f(a2)，由于 g是单射,所以
g(b1)≠g(b2)，即 g(f(a1))≠g(f(a2))。
f?g(a1)≠f?g(a2)，
所以 f?g是单射。
3)是 1),2)的直接结果。■