初等模型如果研究的对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
这样的模型我们一般称其为 初等模型 。
问题一,(公平席位问题 )
席位任何分配,才能比较公平?
分析,若某单位有 20个代表席位,分配给三个部门,三个部门人数分别为 甲 103 名,乙 63 名,
丙 34 名,通常根据部门人数的比例分配席位,
如此,
甲的席位为,
乙的席位为,
丙的席位为,
310202 0 01 0 3,
362020063,
43202 0 034,
10席
6席
4席惯例：以小数大者优先分配名额现在的问题是,
如果总席位增加 1 席,那么这个席位怎么分配?
甲的席位为,
乙的席位为,
丙的席位为,
.8 1 510212 0 01 0 3
6 1 56212 0 063,
5 7 03212 0 034,
11席
7席
3席看到,尽管增加 1个席位,但丙的席位却少了 1
个席位,这显然是不公平的,我们需要建立更公平的分配方法,使各部门都满意,
解决这个问题,关键是对,公平,的理解,即什么是,公平,?
你认为什么是公平呢?
各种对“公平”的理解我们认为,公平是一个相对的,公平是人的一种感觉,只有对比才能产生公平与不公平概念,你在什么情况下感到公平与不公平?公平的程度能否量化?
从经济学的观点来说,当你的产出相对于你的投入之比与他人的产出相对于他人的投入之比相等时,你就感到是公平的,
以 A,B两方为例的投入的产出的投入的产出
B
Br
A
Ar
BA,
.:;:;:
BA
BA
BA
rrB
rrA
rr
不公平对不公平对对双方公平建模,
则、为占有席位人、双方分别有、设
,
,
21
21
nn
ppBA
.,
2
2
1
1
p
nr
p
nr
BA
席位 人员数
,
,B,,
2
2
1
1
2
2
1
1
来衡量可用其不公平程度不公平对时即当
p
n
p
n
rr
p
n
p
n
rr
BA
BA
我们称它为绝对不公平程度。
.
40
1
,25,40,1 0 0 0,8 0 0 2
40
1
,10,1 0 0,80 1
2
2
1
1
2121
2
2
1
1
2121
＝则）又设（；＝则）设（例
p
n
p
n
nnpp
p
n
p
n
nnpp
我们看到，两种情形下，分配席位都对 B不公平，其绝对不公平程度是一样的。但是，我们看到，后一种情形下，人员数扩大 10倍的情形下，吃亏的一方席位的扩大倍数还低于另一方，更加不公平了。
我们考虑相对不公平程度,
对 B的相对不公平程度 (值 ):
)1(1
pn
pn
p
n
p
n
p
n
)n,n(r
12
21
2
2
2
2
1
1
21B
)2(1),(
:A,,
21
12
1
1
1
1
2
2
21
pn
pn
p
n
p
n
p
n
nnr
rr
A
BA
的相对不公平程度为对时当类似
.),(),(,
,
2121 尽可能小或使我们希望所得分配方案上面的讨论由
nnrnnr BA
求解,
现考虑在前面的席位分配假设下,当总席位增加 1
席时,该席位应分配给 A还是 B?
不失一般性,设对 B不公平,即
2
2
1
1 pnpn?当增加 1席时,有下面几种情形,
(1)若给 A方增加 1席,此时
2
2
1
1
1
1 pnpnp1n
对 B不公平,
)3(1pn p1n)n,1n(r
12
21
21B
)(
(2)若给 B增加 1席,可能出现两种情况,
,p 1npn)i(
2
2
1
1 此时仍然对 B不公平,所以此席位当然应该给 B.
,p 1npn)ii(
2
2
1
1 此时对 A不公平,且,
)4(1pn p1n)1n,n(r
21
12
21A
)(
因公平的分配原则总使相对不公平程度尽可能地小,所以如果
)5()1n,n(r)n,1n(r 21A21B
则这 1席位应给 A方,否则应给 B方,
(5)式等价于,
)6(
)1()1(
1
)1(
1
)1(
11
2
22
2
2
21
12
12
21
1
nn
p
nn
p
pn
pn
pn
pn
即于是有,当 (6)式成立时,增加的 1席应该给 A,反之给 B.
),2,1(
)1(
2
i
nn
p
Q
ii
i令则增加的 1席应分配给 Q值较大的一方,
推广,(席位分配的 Q值法 )
设有 m方分配席位,第 i方有 pi人,已占 ni席
(i=1,2,..,m),当增加 1席时,应分配给
),,.,,,2,1(
)1(
2
mi
nn
p
Q
ii
i
i
最大的一方,
)1(
2
ii
i
i
nn
p
Q
利用此方法,来分配前面所述问题的第 21席,
.80.57
54
34
Q,35.94
76
63
Q,44.96
1110
1 0 3
Q
,4n,34p,6n,63p,10n,1 0 3p
2
3
2
2
2
1
332211
则由于
Q1最大,第 21席应给甲方,这样甲占 11席,乙占 6席,
丙占 4席,从而丙保住了险些丧失的 1席,
进一步思考？
问题二 录像机计数器的用途老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，
怎样利用它来判断时间呢？
问题：一盘标有 180分钟的录像带从头转到尾，
用时 184分钟，计数器读数从 0000变到 6001。
在某次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段能否录一小时的节目？
为此，我们需要了解录像机计数器的工作原理。
左轮盘录像带 磁头压轮主动轮右轮盘 0000
录像机计数器工作原理示意图计数器如果计数器是随着磁带匀速变化的，则计数器的读数是匀速变化的，但是事实并非如此。计数器是连接在如图的右轮盘的轴上，其读数反映的是右轮盘的转数。由于在录制过程中，右轮盘上的磁带半径在不断变化，因此右轮盘转速先快后慢，后面的一圈的磁带长，从而录制时间也长。
下面我们来建立计数器读数 n与录像带录制时间 t之间的关系。
模型假设
1.录像带的线速度是匀速的 ;
2.录像带在轮盘上看成同心圆周的方式缠绕着 ;
3.计数器读数 n与右轮盘转的圈数 m成正比,
m=kn;
4.录像带的厚度 (连同缝隙 )是常数 w,
5.t=0时 n=0;此时右轮盘的半径为 r;
模型建立当右轮转到第 i圈时其半径为 r+wi,此时一圈的周长为 2π（ r+wi ），右轮盘转到 m圈时的总长正好就是录像带转过的长度 vt；于是
,)(2
1
vtwir
m
i
vtknw k nr k n )1(2代入 m=kn并求和得
bnann
v
wk
n
v
rk
t
rw
22
2
2
,
故上式可化成由于参数估计利用此录像带测试若干数据进行拟合,就可用最小二乘法估计出 a,b,并代入模型中 (单位,
分 ).
26 1045.1,1061.2 ba
模型检验另外测试若干组数据,来检验我们的模型,
结论,好 ! 模型应用回答提问,代入 n=4450,得 t=116.4,还可以录制 67.6分钟的节目,
问题三（ 动物的身长和体重问题 ）
四足动物的躯干的长度 (不含头尾 )与它的体重有什么关系,这个问题有一定的实际意义,
比如,如何从生猪的身长估计出它的体重,
把四足动物的躯干看作圆柱体,长度 l,直径 d,
断面面积 s,如图所示,
d
l
b
f2
3
:
sd
fl
b?
弹性梁设动物在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度为
b,即梁的最大弯曲,根据弹性梁的研究,
)1(.,,,,,2
3
sd
flb?
因为,所以slf?
)2(...2
3
d
l
l
b?
是动物躯干的相对下垂度,太大,四肢将无法支撑 ;太小,四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要,无疑是一种浪费,
lblb
从生物学的角度可以假设,经过长期进化,对于每一种动物而言 已经达到其最适合的数值,换句话说,
应视为与这种动物的尺寸无关的常数,于是有,
lb
lb
)3(23 dl?
式代入可得以再从 )3(,,2dsslf
)4(4lf?
即体重与长度的 4次方成正比,这样,对于某种四足动物,在根据统计数据确定出上述比例系数以后,就能从躯干长度估计出动物的体重,
上述方法称为,类比法,,
它是数学建模的一种常见方法,
应用：若称得一头生猪体重为 90kg,经量得其躯干长为 0.84m,现另有一头生猪估计其躯干长为 0.7m,估计其体重,
4.4390)
84.0
7.0()( 44 f
l
lf
)4(4lf?
问题四 实物交换问题甲有面包一斤,乙有香肠若干,二人共进午餐时希望互相交换一部分,达到双方满意的结果,
这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上,
显然,交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度,而偏爱程度很难给出确切的定量关系,我们考虑用作图的方法对双方将如何交换实物建立一个模型,
设交换前甲占有物品 X 的数量为 x0,乙占有 Y
的数量为 y0.交换后甲占有物品 X 和 Y 的数量分别为 x 和 y,于是乙占有 X 和 Y 的数量分别为 x0-x
和 y0-y.
这样,在 xoy平面直角坐标系上,长方形 0?x?x0,
0?y?y0内任一点的坐标 (x,y)都代表了一种交换方案,
O x
y
y0
x0
无差别曲线 是用来描述对两种物品的偏爱程度的曲线,曲线上任意点对应的交换方案具有同样的满意程度,
M
N
y1
x1
p1
y2
x2
p2
M1
N1
p3··
·
O x
y
y0
x0
M
N
y1
x1
p1
y2
x2
p2
M1
N1
p3··
·
如图,对甲而言,p1与
p2同在曲线 MN上,所以这两种交换方案具有同样的满意程度,而 p3在另一条满意程度更高的曲线 M1N1上,
这样,甲有无数条无差异曲线,且互不相交,不妨将这族曲线记作,
f (x,y) = c1 (1)
其中 c1 称为满意度,随着的增加,曲线向右上方移动,
曲线 (1)具有的特性,
是单调递减的 ;
是凹的,
解释解释类似,对乙也有无差别曲线,
g(x,y) = c2 (2)
f (x,y) = c1 (1)
单调性,因为当 x 越大 (即占有的 X 越多时 ),y
越小 (即占有的 Y 越少 ).
凹凸性,
(实际理解 )当人们占有的 x较少时,他宁愿以较多的?y交换较少的?x;而当人们占有较多的 x时,宁愿以较多的?x交换较少的?y.
(数学理解 )如图
o x
y
·p1
·p2
y
y
x
x
.,0''
,',
,||
所以曲线是凹的从而单调递增即单调递增即单调减少随因为
y
y
x
y
x
x
y
将两曲线族画在一起,
双方曲线互为反方向双方满意的交换方案应在曲线 AB上,
曲线 AB是曲线族 (1)与
(2)的切点的连线
y
O x
y0
x0
O ’
A
B?
p
p'
AB称为交换路径,
解释：如图中 AB之外的另一点 p′,对甲而言,p与
p′点具有相同的满意度,但是对乙而言,p点的满意度更高,故 p′不可能成为交换方案,
双方满意的交换方案应在曲线 AB上,
这样,就把双方满意的方案从长方形区域缩小到一条曲线上,显然,越靠近 B端甲的满意程度越高乙的满意程度越低,反之亦然,
y
O x
y0
x0
O ’
A
B?
p
p'
AB称为交换路径,
但是，实际上的交换到底会是曲线 AB上的哪一点呢？还需要双方协商或根据双方都认可的某种准则，比如等价交换准则来进行。
不妨假定 x0的价值大于 y0，这时双方的交换价值最多为 y0的价值。过做等价交换直线段，它与交换曲线 AB的交点为 p.
位置 p就是交换后的结果。
y
O x
y0
x0
A
Bp?
1x
这样的模型我们一般称其为 初等模型 。
问题一,(公平席位问题 )
席位任何分配,才能比较公平?
分析,若某单位有 20个代表席位,分配给三个部门,三个部门人数分别为 甲 103 名,乙 63 名,
丙 34 名,通常根据部门人数的比例分配席位,
如此,
甲的席位为,
乙的席位为,
丙的席位为,
310202 0 01 0 3,
362020063,
43202 0 034,
10席
6席
4席惯例：以小数大者优先分配名额现在的问题是,
如果总席位增加 1 席,那么这个席位怎么分配?
甲的席位为,
乙的席位为,
丙的席位为,
.8 1 510212 0 01 0 3
6 1 56212 0 063,
5 7 03212 0 034,
11席
7席
3席看到,尽管增加 1个席位,但丙的席位却少了 1
个席位,这显然是不公平的,我们需要建立更公平的分配方法,使各部门都满意,
解决这个问题,关键是对,公平,的理解,即什么是,公平,?
你认为什么是公平呢?
各种对“公平”的理解我们认为,公平是一个相对的,公平是人的一种感觉,只有对比才能产生公平与不公平概念,你在什么情况下感到公平与不公平?公平的程度能否量化?
从经济学的观点来说,当你的产出相对于你的投入之比与他人的产出相对于他人的投入之比相等时,你就感到是公平的,
以 A,B两方为例的投入的产出的投入的产出
B
Br
A
Ar
BA,
.:;:;:
BA
BA
BA
rrB
rrA
rr
不公平对不公平对对双方公平建模,
则、为占有席位人、双方分别有、设
,
,
21
21
nn
ppBA
.,
2
2
1
1
p
nr
p
nr
BA
席位 人员数
,
,B,,
2
2
1
1
2
2
1
1
来衡量可用其不公平程度不公平对时即当
p
n
p
n
rr
p
n
p
n
rr
BA
BA
我们称它为绝对不公平程度。
.
40
1
,25,40,1 0 0 0,8 0 0 2
40
1
,10,1 0 0,80 1
2
2
1
1
2121
2
2
1
1
2121
＝则）又设（；＝则）设（例
p
n
p
n
nnpp
p
n
p
n
nnpp
我们看到，两种情形下，分配席位都对 B不公平，其绝对不公平程度是一样的。但是，我们看到，后一种情形下，人员数扩大 10倍的情形下，吃亏的一方席位的扩大倍数还低于另一方，更加不公平了。
我们考虑相对不公平程度,
对 B的相对不公平程度 (值 ):
)1(1
pn
pn
p
n
p
n
p
n
)n,n(r
12
21
2
2
2
2
1
1
21B
)2(1),(
:A,,
21
12
1
1
1
1
2
2
21
pn
pn
p
n
p
n
p
n
nnr
rr
A
BA
的相对不公平程度为对时当类似
.),(),(,
,
2121 尽可能小或使我们希望所得分配方案上面的讨论由
nnrnnr BA
求解,
现考虑在前面的席位分配假设下,当总席位增加 1
席时,该席位应分配给 A还是 B?
不失一般性,设对 B不公平,即
2
2
1
1 pnpn?当增加 1席时,有下面几种情形,
(1)若给 A方增加 1席,此时
2
2
1
1
1
1 pnpnp1n
对 B不公平,
)3(1pn p1n)n,1n(r
12
21
21B
)(
(2)若给 B增加 1席,可能出现两种情况,
,p 1npn)i(
2
2
1
1 此时仍然对 B不公平,所以此席位当然应该给 B.
,p 1npn)ii(
2
2
1
1 此时对 A不公平,且,
)4(1pn p1n)1n,n(r
21
12
21A
)(
因公平的分配原则总使相对不公平程度尽可能地小,所以如果
)5()1n,n(r)n,1n(r 21A21B
则这 1席位应给 A方,否则应给 B方,
(5)式等价于,
)6(
)1()1(
1
)1(
1
)1(
11
2
22
2
2
21
12
12
21
1
nn
p
nn
p
pn
pn
pn
pn
即于是有,当 (6)式成立时,增加的 1席应该给 A,反之给 B.
),2,1(
)1(
2
i
nn
p
Q
ii
i令则增加的 1席应分配给 Q值较大的一方,
推广,(席位分配的 Q值法 )
设有 m方分配席位,第 i方有 pi人,已占 ni席
(i=1,2,..,m),当增加 1席时,应分配给
),,.,,,2,1(
)1(
2
mi
nn
p
Q
ii
i
i
最大的一方,
)1(
2
ii
i
i
nn
p
Q
利用此方法,来分配前面所述问题的第 21席,
.80.57
54
34
Q,35.94
76
63
Q,44.96
1110
1 0 3
Q
,4n,34p,6n,63p,10n,1 0 3p
2
3
2
2
2
1
332211
则由于
Q1最大,第 21席应给甲方,这样甲占 11席,乙占 6席,
丙占 4席,从而丙保住了险些丧失的 1席,
进一步思考？
问题二 录像机计数器的用途老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，
怎样利用它来判断时间呢？
问题：一盘标有 180分钟的录像带从头转到尾，
用时 184分钟，计数器读数从 0000变到 6001。
在某次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段能否录一小时的节目？
为此，我们需要了解录像机计数器的工作原理。
左轮盘录像带 磁头压轮主动轮右轮盘 0000
录像机计数器工作原理示意图计数器如果计数器是随着磁带匀速变化的，则计数器的读数是匀速变化的，但是事实并非如此。计数器是连接在如图的右轮盘的轴上，其读数反映的是右轮盘的转数。由于在录制过程中，右轮盘上的磁带半径在不断变化，因此右轮盘转速先快后慢，后面的一圈的磁带长，从而录制时间也长。
下面我们来建立计数器读数 n与录像带录制时间 t之间的关系。
模型假设
1.录像带的线速度是匀速的 ;
2.录像带在轮盘上看成同心圆周的方式缠绕着 ;
3.计数器读数 n与右轮盘转的圈数 m成正比,
m=kn;
4.录像带的厚度 (连同缝隙 )是常数 w,
5.t=0时 n=0;此时右轮盘的半径为 r;
模型建立当右轮转到第 i圈时其半径为 r+wi,此时一圈的周长为 2π（ r+wi ），右轮盘转到 m圈时的总长正好就是录像带转过的长度 vt；于是
,)(2
1
vtwir
m
i
vtknw k nr k n )1(2代入 m=kn并求和得
bnann
v
wk
n
v
rk
t
rw
22
2
2
,
故上式可化成由于参数估计利用此录像带测试若干数据进行拟合,就可用最小二乘法估计出 a,b,并代入模型中 (单位,
分 ).
26 1045.1,1061.2 ba
模型检验另外测试若干组数据,来检验我们的模型,
结论,好 ! 模型应用回答提问,代入 n=4450,得 t=116.4,还可以录制 67.6分钟的节目,
问题三（ 动物的身长和体重问题 ）
四足动物的躯干的长度 (不含头尾 )与它的体重有什么关系,这个问题有一定的实际意义,
比如,如何从生猪的身长估计出它的体重,
把四足动物的躯干看作圆柱体,长度 l,直径 d,
断面面积 s,如图所示,
d
l
b
f2
3
:
sd
fl
b?
弹性梁设动物在自身体重 f 作用下躯干的最大下垂度为
b,即梁的最大弯曲,根据弹性梁的研究,
)1(.,,,,,2
3
sd
flb?
因为,所以slf?
)2(...2
3
d
l
l
b?
是动物躯干的相对下垂度,太大,四肢将无法支撑 ;太小,四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要,无疑是一种浪费,
lblb
从生物学的角度可以假设,经过长期进化,对于每一种动物而言 已经达到其最适合的数值,换句话说,
应视为与这种动物的尺寸无关的常数,于是有,
lb
lb
)3(23 dl?
式代入可得以再从 )3(,,2dsslf
)4(4lf?
即体重与长度的 4次方成正比,这样,对于某种四足动物,在根据统计数据确定出上述比例系数以后,就能从躯干长度估计出动物的体重,
上述方法称为,类比法,,
它是数学建模的一种常见方法,
应用：若称得一头生猪体重为 90kg,经量得其躯干长为 0.84m,现另有一头生猪估计其躯干长为 0.7m,估计其体重,
4.4390)
84.0
7.0()( 44 f
l
lf
)4(4lf?
问题四 实物交换问题甲有面包一斤,乙有香肠若干,二人共进午餐时希望互相交换一部分,达到双方满意的结果,
这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上,
显然,交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度,而偏爱程度很难给出确切的定量关系,我们考虑用作图的方法对双方将如何交换实物建立一个模型,
设交换前甲占有物品 X 的数量为 x0,乙占有 Y
的数量为 y0.交换后甲占有物品 X 和 Y 的数量分别为 x 和 y,于是乙占有 X 和 Y 的数量分别为 x0-x
和 y0-y.
这样,在 xoy平面直角坐标系上,长方形 0?x?x0,
0?y?y0内任一点的坐标 (x,y)都代表了一种交换方案,
O x
y
y0
x0
无差别曲线 是用来描述对两种物品的偏爱程度的曲线,曲线上任意点对应的交换方案具有同样的满意程度,
M
N
y1
x1
p1
y2
x2
p2
M1
N1
p3··
·
O x
y
y0
x0
M
N
y1
x1
p1
y2
x2
p2
M1
N1
p3··
·
如图,对甲而言,p1与
p2同在曲线 MN上,所以这两种交换方案具有同样的满意程度,而 p3在另一条满意程度更高的曲线 M1N1上,
这样,甲有无数条无差异曲线,且互不相交,不妨将这族曲线记作,
f (x,y) = c1 (1)
其中 c1 称为满意度,随着的增加,曲线向右上方移动,
曲线 (1)具有的特性,
是单调递减的 ;
是凹的,
解释解释类似,对乙也有无差别曲线,
g(x,y) = c2 (2)
f (x,y) = c1 (1)
单调性,因为当 x 越大 (即占有的 X 越多时 ),y
越小 (即占有的 Y 越少 ).
凹凸性,
(实际理解 )当人们占有的 x较少时,他宁愿以较多的?y交换较少的?x;而当人们占有较多的 x时,宁愿以较多的?x交换较少的?y.
(数学理解 )如图
o x
y
·p1
·p2
y
y
x
x
.,0''
,',
,||
所以曲线是凹的从而单调递增即单调递增即单调减少随因为
y
y
x
y
x
x
y
将两曲线族画在一起,
双方曲线互为反方向双方满意的交换方案应在曲线 AB上,
曲线 AB是曲线族 (1)与
(2)的切点的连线
y
O x
y0
x0
O ’
A
B?
p
p'
AB称为交换路径,
解释：如图中 AB之外的另一点 p′,对甲而言,p与
p′点具有相同的满意度,但是对乙而言,p点的满意度更高,故 p′不可能成为交换方案,
双方满意的交换方案应在曲线 AB上,
这样,就把双方满意的方案从长方形区域缩小到一条曲线上,显然,越靠近 B端甲的满意程度越高乙的满意程度越低,反之亦然,
y
O x
y0
x0
O ’
A
B?
p
p'
AB称为交换路径,
但是，实际上的交换到底会是曲线 AB上的哪一点呢？还需要双方协商或根据双方都认可的某种准则，比如等价交换准则来进行。
不妨假定 x0的价值大于 y0，这时双方的交换价值最多为 y0的价值。过做等价交换直线段，它与交换曲线 AB的交点为 p.
位置 p就是交换后的结果。
y
O x
y0
x0
A
Bp?
1x
