数学模型 概论关于模型模型 是反映某事物某些属性的一个结构,(仿制品 )
这种结构有实物型的,也有抽象的,从而模型有 实物模型 和 抽象模型 之分,如飞机模型、建筑物模型等是实物模型,而数学模型是抽象模型,
所谓 抽象模型 是用字母、符号、关系式等抽象语言刻划出某种特定事物的一个结构,
对于 数学模型 的定义,目前有诸多不同的表述,
简单地说,数学模型就是用数学语言和方法对实际问题的抽象和描述,
在姜启源,数学模型,（即本书）为,
对于现实世界的一个 特定对象,为了一个 特定目的,
根据特有的 内在规律,做出一些必要的 简化假设,运用适当的 数学工具 得到的一个 数学结构,
E.A.Bender的定义,数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。 更简洁地说：
数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。
数学建模 与 大学生数学建模竞赛数学建模是建立数学模型的过程,
大学生数学建模竞赛,最早是在美国开展的,现在我国每年也进行一次全国大学生数学建模竞赛,这种竞赛是一种特殊的考试,它并不是只考数学知识,而是对参赛选手综合能力的测试,没有固定的考场,可以到处查找资料,利用计算机,队内可以互相讨论,没有固定的答案,
实际上,对于数学建模我们并不陌生,如数学课程中的求解应用问题,
下面看几个简单的数学模型,
问题一,椅子问题在现实生活中，当椅子放不平稳时，我们一般怎么办？
用数学工具证实,在不平的地面上,椅子常只有三只脚着地,但只要稍微挪动几次,就可使四只脚着地,
分析,要用数学方法讨论此问题,必须建立相应的数量关系,如考虑用什么来衡量椅子的脚着地与不着地?
怎样表示椅子的挪动?
由于一般三只脚总是能同时着地,所以我们只要能证明,一定能找到使椅子的脚与地面距离同时为零的点即可,
中心问题是,用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和结论表示出来,
另外,如果椅子脚的长短相差太大或地面凹凸起伏太大,可能无法将椅子放稳,所以为使问题简化,必须给出适当的假设,
模型假设,
为了将问题简化和解决问题的方便，我们考虑如下假设：
1.椅子四只脚一样长,与地面接触可视为一个点 ;
2.四只脚的连线呈正方形 ;
3.地面高度是连续变化的,不出现间断 ;
4.地面相对平坦,椅子在任何位置至少有三只脚着地,
模型构成设 O为椅子脚连线所得正方形的中心,如图建立直角坐标系,表示椅子的初始位置 ABCD.
用椅子绕中心旋转表示其挪动,给定旋转角度?就能确定椅子的位置,
设 f(?),g(?)分别表示椅子在?角度时,A′,C ′两脚与地面距离之和与
B ′,D ′两脚与地面距离之和,
A x
y
o
B
C
D
A ′B ′
C ′ D ′
模型构成显然,f(?)?0,g(?)?0,
且由于三脚必然同时着地,则
f(?)·g(?) = 0.
不妨设,在? = 0时,f(?)>0,g(?)=0,
设 f(?),g(?)分别表示椅子在?角度时,A′,C ′两脚与地面距离之和与 B ′,
D ′两脚与地面距离之和,
A x
y
o
B
C
D
A ′B ′
C ′ D ′
从而,挪动椅子的位置使四脚同时着地的问题,就归结为证明下面数学命题,
.0)()(,:
,0)0(,0)0(,0)()(
,,)(),(
000
gf
fggf
gf
使存在求证且对任意的连续函数是已知上述就是椅子问题的数学模型,
接下来就是证明这一命题成立 A x
y
o
B
C
D
A ′B ′
C ′ D ′
模型求解由于将椅子旋转 90°,对应的对角线 AC,BD互换位置,即
.0)2(,0)2(,0)0(,0)0( gfgf 可知由
.0)2(,0)0(),()()( hhgfh 则令即使存在由介值定理连续则连续和又由
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2
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所以因为最后由此,我们就验证了椅子问题,
问题二,分期付款还款额的计算随着我国经济的发展,人们收入的提高,大额消费也逐渐进入成为老百姓会碰到的事情,如买房购车等,
经常遇到的情况是,往往买主要分期付款才能买得起,
即在购买时一次性支付一定比例的金钱,未付清的差额在今后的一段时间内逐月偿还,买主应该如何计划他们的偿还呢? 才不至于成为“房奴”、“车奴”,
而且,08年的金融危机也提醒我们,不能过度依靠贷款消费,
因此，我们需要事先对每月的偿还额心中有数,如何计算呢?
张先生欲购买一套房子,总价为 40万元,现有存款
15万元,首付比例不低于 30%,张先生家庭月收入为
4500元,每月家庭开支约为 2000元,最低不能低于 1500
元,银行月利率为,还期不到 5年的为 3.425‰ （年利率为 3.425‰ × 12=4.14%）,超过 5年的为 3.825 ‰,
引入记号：贷款额为 M（元）,
贷款年限为 k年,即为 m=12k个月,
贷款月利率为 r,
第 t个月末未偿还的本息合计为 wt,
每个月的还款额为 x.
记贷款额为 M（元）,贷款 k年,即为 m=12k个月,贷款月利率为 r,第 t个月末未偿还的本息合计为 wt,月还款额 x.
分析,
,2,1,0,1 txrwww ttt
.0,0 mwMw 目的：已知：
递推得
],)1()1(1[)1()1(
),1()1()1(
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因此由 wm=0即得贷款期为 m个月的 月还款额为
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M
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月还款额公式由此公式计算张先生一家的月还款额为 (M=250000)
还款年限 还款月数 月还款额
5 60 4616.55
6 72 3978.86
9 108 2830.13
10 120 2601.82
11 132 2415.67
12 144 2261.14
15 180 1924.00
结论,张先生的还款年限以 10到 12
年为宜,9年则太苦 ;享受生活型的可选择 15年,
怎样建立一个完整的数学模型?
一、一个好的数学模型应该具备的特点,
1.对所给问题有较全面的考虑一个实际问题往往有很多因素同时对研究的对象发生作用,所以必须考虑全面,
(1) 列举各种因素,
(2) 选取主因素计入模型,
(3) 考虑其它因素的影响,对模型进行修正,
我们以人口预报模型为例来说明：
人口模型马尔萨斯 (Malthus)人口模型设 x(t) 表示 t 时刻的人口总数 (看成连续可导的函数 ),
r 表示人口的增长率 (其意义为单位时间内的人口增长数与当时的人口总数的比 ),即,
指数增长预报模型,k年后人口为 xk，年增长率为 r，
.)1(0 kk rxx
)t(r
1
x为近似的时段内的人口增长数时间长度为
)(
)(
txr
dt
tdx
rtextx
xx
0
0
)(
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的解为：初始条件
？ 这两个 r有何区别?
ttrxtxttx
ttt
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],[ 时间段内人口的增量为在于是得到指数增长模型
.)1(0 kk rxx
马尔萨斯人口模型现在,假设人口增长率 r 是变化的,它随 x的增加而减少,因为人口越多,越来越会阻碍人口的增加,
Logistic模型,设 r(x) = a – bx (a,b>0)
修正模型,
00 )(
)(
xtx
xbxa
dt
dx
关于 b,设 xM 是自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量,
即当 x=xM 时,r = 0,则 r(xM)=a-b xM=0,从而
Mx
ab?
00
)(
)1(
xtx
x
x
x
a
dt
dx
M称为参数Mxa,
？具体问题中如何估计
2.创造性地改造已有模型或自创新的模型数学建模中的问题一般来源于实际工作中未解决的问题,没有现成的理论或方法套用,因此建模问题需要创新和改造,
如 93年题目,足球队排名问题,
模型的创造性体现在对数据的不规则的处理上,
3.处理好模型的“粗”与“细”问题粗? 细? 平衡?
4.注重结果分析,考虑其在实际中的合理性
5.善于对模型进行检验如灵敏性分析和稳定性分析数学方法解决实际问题的基本步骤,
问题及问题分析 建立数学模型模型求解结果检验和应用二、数学建模的一般步骤,
模型准备
模型假设
模型构成
模型求解
模型分析
模型检验
模型应用数学建模的一般步骤,
模型准备,了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设,根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立,在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，
建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
模型求解,利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析,对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验,将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，
再重复建模过程。
模型应用,应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
数学模型的分类按模型的应用领域分类：
生物数学模型医学数学模型地质数学模型数量经济学模型数学社会学模型按是否考虑随机因素分类：
确定性模型随机性模型按是否考虑模型的变化分类：
静态模型动态模型按应用离散方法或连续方法分类：
离散模型连续模型按建立模型的数学方法分类：
几何模型微分方程模型图论模型规划论模型马氏链模型 等
（我们讲解的方式）
按人们对是物发展过程的了解程度分类：
白箱模型：
指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：
指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。
黑箱模型：
指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、
关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
学习数学建模的目的,
(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，
提高分析和解决问题的能力；
(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。
要求,
(1)坚持听课 ; (2)完成布置的作业,
(3)博览数学建模教材参考书目：
,数学模型讲义,,雷攻炎编著，北京大学出版社
,数学建模竞赛教程,,李尚志主编，江苏教育出版社
,数学建模教育与国际数学建模竞赛,,叶其孝主编
,运筹学,,清华大学出版社
,数学模型,,谭永基，复旦大学
,数学模型与数学实验,赵静，但琦编，高教出版社
,Matlab教程,
,应用概率统计,
这种结构有实物型的,也有抽象的,从而模型有 实物模型 和 抽象模型 之分,如飞机模型、建筑物模型等是实物模型,而数学模型是抽象模型,
所谓 抽象模型 是用字母、符号、关系式等抽象语言刻划出某种特定事物的一个结构,
对于 数学模型 的定义,目前有诸多不同的表述,
简单地说,数学模型就是用数学语言和方法对实际问题的抽象和描述,
在姜启源,数学模型,（即本书）为,
对于现实世界的一个 特定对象,为了一个 特定目的,
根据特有的 内在规律,做出一些必要的 简化假设,运用适当的 数学工具 得到的一个 数学结构,
E.A.Bender的定义,数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。 更简洁地说：
数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。
数学建模 与 大学生数学建模竞赛数学建模是建立数学模型的过程,
大学生数学建模竞赛,最早是在美国开展的,现在我国每年也进行一次全国大学生数学建模竞赛,这种竞赛是一种特殊的考试,它并不是只考数学知识,而是对参赛选手综合能力的测试,没有固定的考场,可以到处查找资料,利用计算机,队内可以互相讨论,没有固定的答案,
实际上,对于数学建模我们并不陌生,如数学课程中的求解应用问题,
下面看几个简单的数学模型,
问题一,椅子问题在现实生活中，当椅子放不平稳时，我们一般怎么办？
用数学工具证实,在不平的地面上,椅子常只有三只脚着地,但只要稍微挪动几次,就可使四只脚着地,
分析,要用数学方法讨论此问题,必须建立相应的数量关系,如考虑用什么来衡量椅子的脚着地与不着地?
怎样表示椅子的挪动?
由于一般三只脚总是能同时着地,所以我们只要能证明,一定能找到使椅子的脚与地面距离同时为零的点即可,
中心问题是,用数学语言把椅子四脚同时着地的条件和结论表示出来,
另外,如果椅子脚的长短相差太大或地面凹凸起伏太大,可能无法将椅子放稳,所以为使问题简化,必须给出适当的假设,
模型假设,
为了将问题简化和解决问题的方便，我们考虑如下假设：
1.椅子四只脚一样长,与地面接触可视为一个点 ;
2.四只脚的连线呈正方形 ;
3.地面高度是连续变化的,不出现间断 ;
4.地面相对平坦,椅子在任何位置至少有三只脚着地,
模型构成设 O为椅子脚连线所得正方形的中心,如图建立直角坐标系,表示椅子的初始位置 ABCD.
用椅子绕中心旋转表示其挪动,给定旋转角度?就能确定椅子的位置,
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模型构成显然,f(?)?0,g(?)?0,
且由于三脚必然同时着地,则
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不妨设,在? = 0时,f(?)>0,g(?)=0,
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即在购买时一次性支付一定比例的金钱,未付清的差额在今后的一段时间内逐月偿还,买主应该如何计划他们的偿还呢? 才不至于成为“房奴”、“车奴”,
而且,08年的金融危机也提醒我们,不能过度依靠贷款消费,
因此，我们需要事先对每月的偿还额心中有数,如何计算呢?
张先生欲购买一套房子,总价为 40万元,现有存款
15万元,首付比例不低于 30%,张先生家庭月收入为
4500元,每月家庭开支约为 2000元,最低不能低于 1500
元,银行月利率为,还期不到 5年的为 3.425‰ （年利率为 3.425‰ × 12=4.14%）,超过 5年的为 3.825 ‰,
引入记号：贷款额为 M（元）,
贷款年限为 k年,即为 m=12k个月,
贷款月利率为 r,
第 t个月末未偿还的本息合计为 wt,
每个月的还款额为 x.
记贷款额为 M（元）,贷款 k年,即为 m=12k个月,贷款月利率为 r,第 t个月末未偿还的本息合计为 wt,月还款额 x.
分析,
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年为宜,9年则太苦 ;享受生活型的可选择 15年,
怎样建立一个完整的数学模型?
一、一个好的数学模型应该具备的特点,
1.对所给问题有较全面的考虑一个实际问题往往有很多因素同时对研究的对象发生作用,所以必须考虑全面,
(1) 列举各种因素,
(2) 选取主因素计入模型,
(3) 考虑其它因素的影响,对模型进行修正,
我们以人口预报模型为例来说明：
人口模型马尔萨斯 (Malthus)人口模型设 x(t) 表示 t 时刻的人口总数 (看成连续可导的函数 ),
r 表示人口的增长率 (其意义为单位时间内的人口增长数与当时的人口总数的比 ),即,
指数增长预报模型,k年后人口为 xk，年增长率为 r，
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马尔萨斯人口模型现在,假设人口增长率 r 是变化的,它随 x的增加而减少,因为人口越多,越来越会阻碍人口的增加,
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如 93年题目,足球队排名问题,
模型的创造性体现在对数据的不规则的处理上,
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4.注重结果分析,考虑其在实际中的合理性
5.善于对模型进行检验如灵敏性分析和稳定性分析数学方法解决实际问题的基本步骤,
问题及问题分析 建立数学模型模型求解结果检验和应用二、数学建模的一般步骤,
模型准备
模型假设
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模型应用数学建模的一般步骤,
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模型假设,根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立,在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，
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模型检验,将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，
再重复建模过程。
模型应用,应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
数学模型的分类按模型的应用领域分类：
生物数学模型医学数学模型地质数学模型数量经济学模型数学社会学模型按是否考虑随机因素分类：
确定性模型随机性模型按是否考虑模型的变化分类：
静态模型动态模型按应用离散方法或连续方法分类：
离散模型连续模型按建立模型的数学方法分类：
几何模型微分方程模型图论模型规划论模型马氏链模型 等
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按人们对是物发展过程的了解程度分类：
白箱模型：
指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：
指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。
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指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、
关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
学习数学建模的目的,
(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，
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(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。
要求,
(1)坚持听课 ; (2)完成布置的作业,
(3)博览数学建模教材参考书目：
,数学模型讲义,,雷攻炎编著，北京大学出版社
,数学建模竞赛教程,,李尚志主编，江苏教育出版社
,数学建模教育与国际数学建模竞赛,,叶其孝主编
,运筹学,,清华大学出版社
,数学模型,,谭永基，复旦大学
,数学模型与数学实验,赵静，但琦编，高教出版社
,Matlab教程,
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