量纲分析与无量纲化一,量纲齐次原理许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量纲是基本的,有些物理量的量纲则可以依定义或物理定律推导出来,量 x量纲记号 [x]如,;][,1 LTv
dt
dxv 故速度;][,2 LTa
dt
dva 故加速度;][,,2 L M Tfmaff 知由牛顿第二定律力动力学,长度 l,质量 m,时间 t的量纲为基本量纲,
分别记做 L,M,T.即
.]/[][;][ 211 MTLSfpL M Tmv 压强动量其他量纲
.][,][,][ TtMmLl
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如;][,,2132 21 TMLkr mmkf 知由万有引力常数;][ 2 L M Tf
.][,,2 MTkkxf 则胡克定律中的比例系数类似地在我们前面讲过的 Malthus人口模型中
)(
)(
txr
dt
tdx
这里的 r也是有量纲的 [r]=T-1.而离散的指数增长模型中的 r是无量纲的,另外,即使 t的时间单位为年,二者的值也是稍有不同,
常用的基本量纲,;,,,?的量纲及温度热学?TML
.,,,QqTML 的量纲及电量电学另外,无量纲量 c的量纲记做 [c]=1.如 [3.14]=1,后面常用 π.
量纲齐次原理 用数学式子表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲一致,
Dimensional Homogeneity
例 1 单摆运动 质量为 m的小球系在长为 l线的一端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球在重力 mg作用下做往复运动,求周期 t.
我们用量纲分析来求周期 t的表达式,出现的物理量有 m,g,t,l.我们设
.;,,,为无量纲量待定常数 glmt?
)(,2 LTLMT两边取量纲得
)( 2 LTLMT
.2/1
,2/1
,0
.12
,0
,0
,
解得比较各基本量纲的幂得由量纲齐次原理
,
g
lt的周期为于是我们得到单摆运动
.2
g
lt为事实上单摆运动的周期下面我们将此方法一般化,
( 2 ),)1(glmt y式可写成并设
( 1 ) 0),,,(?glmtf设各变量间有关系式
.)( )2( 0002 TMLLTLMT y式取量纲得
( 3 )
.02
,0
,0
y
由量纲齐次原理得
( 4 ),)1,1,0,2(),,,( )3( TTy得线性无关解为解
( 5 ),/ )2()4( 2lgt即得关系式代入将
0.)( )1(f就可写做从而
Π定理,,,,
21 mqqqm?个物理量设有
( 6 ) 0),,,( 21?mqqqf?
记基本量纲为的物理定律是与量纲单位选择无关
.,
,,,1
mn
XX n
.,,1,][
1
mjXq
n
i
ij
ij
.,,1,),,,(y
:A
,)(.)(A
21
rmsyyy
rmOy
rARa
T
smsss
mnij
个线性无关的解有方程组则齐次线性若为量纲矩阵称
, sjyjs qrm?个线性无关的无量量纲则有
.)6(0),,( 1 式等价与且 rmF
下面我们通过一个例子来说明这个定理的应用,
例 2 航船阻力问题长 l,吃水深 h的船以速度 v航行,不考虑风的影响,
则航船所受的阻力 f除了与 l,h,v相关外,还与水的参数 ----密度 ρ,粘性系数 μ及重力加速度 g有关,
试确定 f与它们的关系,
解,下面我们按照定理的过程来做,
( 7) 0),,(?gf,l,h,v,设关系式为由于取基本量纲为,,,TML
.]/[][,][ 113 MTLxvpML
.]/[][ 21 MTLSfp回忆：压强
2101002
0110001
1131111
A
因此量纲矩阵为
T
M
L
gvhlf
:4,3)( 个解向量因此其一个基础解系含易验证?AR
,
0
0
0
0
1
1
0
y
1
,
1
0
0
2
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4
于是我们得到 4个相互独立的无量纲量,
.,,lg,2243221
vl
flv
vh
l
,0),,,( )7( 4321 等价式与则F
.,,lg,2243221
vl
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l
,0),,,( 4321F
进一步,由此式我们可解得
R e ),,,(),lg,( 22222 Fr
h
lvllv
vh
lvlf
.Re,
lg
,
3
2/1
2
lvv
Fr
的常数这里是两个流体力学中二 应用于物理模拟中的比例模型回到航船阻力的例子,
R e ),,,(),lg,( 22222 Fr
h
lvllv
vh
lvlf
虽然 ψ的具体表达式我们不知道,但是这并不能妨碍我们应用这个结果,思想是,
.,,;,,
g,v,h,l,f
gf,l,h,v,
而航船原型的数据为型的数据为记我们做实验的比例模
.
,,,332211
到的结果则我们仍然可以使用得只要我们始终保持;,,11 相似即可这只要模型与原型形状即 hlhl
问题是这些条件能否满足呢?
.
,,
..,
gllg
,
2
2
2222
的情形是相应于在原型中的结果度当我们在实验中测量速这表明因此只要一般认为
l
l
v
v
v
v
l
l
gg
vv
.,
Re,33
因此自然成立近似看作相等下可常数在速度不大的环境由于 y n o l d
,
3
22
22
f
l
l
f
vl
vl
f?
于是
R e ),,,(),lg,( 22222 Fr
h
lvllv
vh
lvlf
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vl
vh
lvlf
这样,我们就可以由实验测量得到的阻力 f来估计原型中所受到的阻力,
三 无量纲化简介关于无量纲化,就是我们将一个变量去除以一个该变量的某一个常数值 (带单位 ).如
,1,1,1,都是无量纲量光年对长度 llkmllmlll
这里在分母的这个量成为 特征尺度,在不同的问题中,我们要选择适当的特征尺度,以便比较方便“丈量”,即我们得到的数据不会太大,也不会太小,这种思想在建立模型、数值计算中是常用的,
下面我们举例说明,抛射问题在星球表面以初速度 v竖直向上发射火箭,计星球半径为 r,星球表面的重力加速度为 g,忽略阻力,讨论火箭高度 x随时间 t的变化规律,
设火箭和星球的质量分别为 m1和 m2,则由牛顿第二定律和万有引力定律得
2
21
11 )( rx
mm
kxmamG
在星球表面应用此式,得 22rmkg?
结合初值得到抛射问题模型为
( 1 1 ) )0(,0)0(,
)( 2
2
vxx
rx
gr
x
这个方程为可降阶的高阶微分方程,可理论求解,较复杂,总之,可解得
.][,][ TtLx
下面我们讨论用无量纲化方法来简化它,
这里是力学问题,采用长度和时间为基本量纲
),,;( gvrtxx?
则 21 ][,][,][ LTgLTvLr
无量纲化
.,,
cc
cc t
tt
x
xxtx即令和取特征尺度本方法的思想是,特征尺度由参数 r,v,g构成,
并与 x,t有相同的量纲,方法多多,略述如下,
从而则令,,,,.1 1
r
tv
t
r
x
xrvtrx cc
,
td
xdv
dt
dxx
v是常数
2
22
1
)(
td
xd
r
v
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td
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vd
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xd
x
因此（ 11） 1化为
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x
g
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记上式即为
22
2
)1(
1
xtd
xd
( 1 2 ) 1,|,0)0(,
)1(
1
022
2
t
td
xdx
xtd
xd?
故抛射问题（ 11）化为此问题的解可记为
);(?txx?
它只含有一个参数 ε，是无量纲量,问题得到简化,
rg
v 2
为什么用 ε来记这个参数?在地球上
)/(7 9 0 18.9106 3 7 0 3 smrg
目前远不可能有这么大的抛射速度,因此火箭不是抛射的,
( 1 2 ) 1,,0)0(,
)1(
1
22
2
td
xdx
xtd
xd?
既然 ε<<1,能否在上式中令 ε=0?不能 !
下面我们换一种方法,
,,,,.2 12112 tgvtx g vxvgtgvx cc 则令
2
2
1
)(
td
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g
tdvg
td
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dt
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x
,td
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dxx
（ 11） 1
化为
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2
2
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)(
x
rg
v
g
rx
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g
故抛射问题（ 11）化为
(1 3 ),1|,1)0(,
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1
022
2
t
td
xd
x
xtd
xd
此问题的解仍可记为
);(?txx?
rg
v 2
ε<<1,在上式中令 ε=0得近似问题,
( 1 4 ),1|,1)0(,1 02
2
t
td
xdx
td
xd
其解为
tttx 2
2
1)(
近似问题及此解代回原变量为
)0(,0)0(,vxxgx
以及
.
2
1 2 vtgtx
可以看出,它就是抛射问题在抛射过程中 g近似不变时的解,
作业,P55-57:2,7,15.
自愿探索：已经讲过的例子中的参数估计的实现？
dt
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.][,][,][ TtMmLl
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如;][,,2132 21 TMLkr mmkf 知由万有引力常数;][ 2 L M Tf
.][,,2 MTkkxf 则胡克定律中的比例系数类似地在我们前面讲过的 Malthus人口模型中
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这里的 r也是有量纲的 [r]=T-1.而离散的指数增长模型中的 r是无量纲的,另外,即使 t的时间单位为年,二者的值也是稍有不同,
常用的基本量纲,;,,,?的量纲及温度热学?TML
.,,,QqTML 的量纲及电量电学另外,无量纲量 c的量纲记做 [c]=1.如 [3.14]=1,后面常用 π.
量纲齐次原理 用数学式子表示一个物理定律时,等号两端必须保持量纲一致,
Dimensional Homogeneity
例 1 单摆运动 质量为 m的小球系在长为 l线的一端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球在重力 mg作用下做往复运动,求周期 t.
我们用量纲分析来求周期 t的表达式,出现的物理量有 m,g,t,l.我们设
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( 2 ),)1(glmt y式可写成并设
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由量纲齐次原理得
( 4 ),)1,1,0,2(),,,( )3( TTy得线性无关解为解
( 5 ),/ )2()4( 2lgt即得关系式代入将
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Π定理,,,,
21 mqqqm?个物理量设有
( 6 ) 0),,,( 21?mqqqf?
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.)6(0),,( 1 式等价与且 rmF
下面我们通过一个例子来说明这个定理的应用,
例 2 航船阻力问题长 l,吃水深 h的船以速度 v航行,不考虑风的影响,
则航船所受的阻力 f除了与 l,h,v相关外,还与水的参数 ----密度 ρ,粘性系数 μ及重力加速度 g有关,
试确定 f与它们的关系,
解,下面我们按照定理的过程来做,
( 7) 0),,(?gf,l,h,v,设关系式为由于取基本量纲为,,,TML
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虽然 ψ的具体表达式我们不知道,但是这并不能妨碍我们应用这个结果,思想是,
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下面我们举例说明,抛射问题在星球表面以初速度 v竖直向上发射火箭,计星球半径为 r,星球表面的重力加速度为 g,忽略阻力,讨论火箭高度 x随时间 t的变化规律,
设火箭和星球的质量分别为 m1和 m2,则由牛顿第二定律和万有引力定律得
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结合初值得到抛射问题模型为
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这个方程为可降阶的高阶微分方程,可理论求解,较复杂,总之,可解得
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此问题的解仍可记为
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作业,P55-57:2,7,15.
自愿探索：已经讲过的例子中的参数估计的实现？
