旋转体 就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台体 积一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
旋转体的体积为
dxxfV ba 2)]([
x
y
o
)( xfy?
x dxx?
0,,),( xdycyyx 及直线?
所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积为
d
c
dyyV )(2
x
y
o
)( yxc
d
例 1 求椭圆 12
2
2
2
byax
所围成的平面图形分别绕 x
轴和 y 轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线
① 这个旋转体可以看成是由半个椭圆
22 xa
a
by
及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体
dxxaabV
a
a
22
2
2
1
234 ab
② 与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆
22 yb
b
ax
及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体解
dyybbaV
b
b
22
2
2
2
ba 2
3
4
特别当 a = b 时 旋转体成为球体
3
21 3
4 aVV
例 2 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 绕 x 轴旋转构成旋转体的体积,
解,323232 xay
3
3
2
3
2
2
xay
],[ aax
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
,105
32 3a
例 3 求摆线 )s in( ttax,)c o s1( tay 的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
a?2a?
)(xy
dxxyV ax )(220
20 22 )c os1()c os1( dttata
20 323 )c osc os3c os31( dtttta,5 32 a
绕 y 轴旋转的旋转体体积
o
y
xa?2
A
BCa2 )(2 yxx?
)(1 yxx?
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2 dtyxa )(220 1
2 22 s i n)s i n( t dtatta
0 22 s i n)s i n( t dtatta
20 23 s i n)s i n( t dttta,6 33 a
例 4 证明由平面图形 )(0,0 xfyba
（ f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为
b
a
dxxxfV )(2?
],[],[ badxxx 对应的部分量 V?
可近似看成内径为 x,外径为 x + dx
高为 f ( x ) 的薄壁圆筒故 )(])[( 22 xfxdxxV
dxxxfdV )(2
证或展开后近似于长为 宽为 dx 高为
f(x) 的薄长方体
x?2
dxxxfdV )(2
b
a
dxxxfV )(2?
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay |)(|2 20
20 )]s i n([)c os1()s i n(2 ttadtatta
20 23 )c os1)(s i n(2 dtttta
.6 33 a
例 5 求由曲线 24 xy 及 0?y 所围成的图形绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22
dyyy ])43()43([ 22
,412 dyy
dyyV 40 412,64
Mdy QP
求圆心在 ( b,0 ) 半径为 a ( 0< a < b )
的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积解 圆的方程 222)( aybx
22 )( bxay abxab
dxbxaxV
ab
ab
22 )(22?
bxt dttabt
a
a
22)(4?
dttabdttat
a
a
a
a
2222 44
ba 222
例 6
bxaxfy ),( 绕 x 轴旋转
dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x),高为 dx ）
dxxfdV )(2 —— 柱片法绕 y 轴旋转
dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x,外径为 x+dx
高为 f ( x ))
dxxxfdV )(2 —— 柱壳法旋转体的侧面积 bxaxfy ),( 绕 x 轴旋转所得的旋转面的侧面积为 dxxfxfS
b
a
)(1)(2 2?
一 般地如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,x
o a b
)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV?,)( ba dxxAV立体体积
x dxx?
二、平行截面面积为已知的立体的体积例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角?,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
解 取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形截面面积,t a n)(21)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV R
R?t a n)(2
1 22
.t a n32 3?R?
R
R?
x
yo x
已知点 A（ 1,0,1),B(0,1,0),线段 AB绕
z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S和两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积解 AB 的方程为
1
1
11
1
zyx
zy
zx
1
在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点 Q (0,0,z),
与 AB交于点 M (z,1-z,z),
222 221)1(||)( zzzzMQzr
截面面积 )221()()( 22 zzzrzS
立体体积
1
0 3
2)(?dzzSV
故截面的半径为例 8
旋转体的体积绕 轴旋转一周x
绕 轴旋转一周y
绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积思考题求曲线 4?xy,1?y,0?x 所围成的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
三、小结
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y
1
2
dyy
1 2
16
1
16
y,16
y
xo
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,连续曲线,)( xfy? 直线 ax?,bx? 轴及 x 所围图形 轴绕 x 旋 转 一周 而成的 立体的体 积
v ______ ____,轴绕 y 旋转一周而成的立体的体
v积
________ ____ ；
2,
b
a
dxxfv )( 常用来表示 _______ _____ _____ _ 立体的体积；
3,抛物线 axy 4
2
及直线
)0(
00
xxx
所围成的图形轴绕 x
旋转而成的立体的体积 ______ ；
4,0,,0,co s h yaxx
a
x
ay 所围成的图
x形绕轴旋转而成的立体的
v体积
______ ___ ；
二,有一铁铸件，它是由抛物线,
2
10
1
xy?
1
10
1
2
xy 与直线 10?y 围成的图形,轴绕 y 旋转而成的旋转体，算出它的质量 （长度单位是厘米，铁的密度是
3
8.7 厘米克 ）,
三,把星形线
3
2
3
2
3
2
ayx 轴绕 x 旋转，计算所得旋转体的体积,
四,求摆线 )s i n( ttax,)c o s1( tay 的一拱，
0?y,绕直线 ay 2? 旋转所成旋转体的体积,
五,求
222
ayx 绕 )0( abbx 旋转所成旋转体的体积,
六,设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 和BA 2,2 ba 2,2,h高为,求这截锥体的体积,
七,设直线 baxy 与直线
0?x
，
1?x
及 0?y 所围成梯形面积等于
A
，试求 ba,使这个梯形轴绕 y
旋转所得体积最小,
一,1,
b
a
dxxf )(
2
,
b
a
dxxxf )(2 ；
2,已知平行截面面积的； 3,
2
0
2 ax? ；
4,]22[
4
3
sh
a
.
二,? ( 克 ),三、
3
1 0 5
32
a?,四、
32
7 a?,
五,ba
22
2?,六,])(2[
6
1
bAaBABabh,
七、
Aba,0
.
练习题答案
圆柱 圆锥 圆台体 积一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy?,
直线 ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax?
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dxxfdV 2)]([
旋转体的体积为
dxxfV ba 2)]([
x
y
o
)( xfy?
x dxx?
0,,),( xdycyyx 及直线?
所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成的立体的体积为
d
c
dyyV )(2
x
y
o
)( yxc
d
例 1 求椭圆 12
2
2
2
byax
所围成的平面图形分别绕 x
轴和 y 轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线
① 这个旋转体可以看成是由半个椭圆
22 xa
a
by
及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的立体
dxxaabV
a
a
22
2
2
1
234 ab
② 与上同理 椭球体也可以看成由半个椭圆
22 yb
b
ax
及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转而成的立体解
dyybbaV
b
b
22
2
2
2
ba 2
3
4
特别当 a = b 时 旋转体成为球体
3
21 3
4 aVV
例 2 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx )0(?a 绕 x 轴旋转构成旋转体的体积,
解,323232 xay
3
3
2
3
2
2
xay
],[ aax
旋转体的体积
dxxaV
a
a
3
3
2
3
2
,105
32 3a
例 3 求摆线 )s in( ttax,)c o s1( tay 的一拱与 0?y 所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转构成旋转体的体积,
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
a?2a?
)(xy
dxxyV ax )(220
20 22 )c os1()c os1( dttata
20 323 )c osc os3c os31( dtttta,5 32 a
绕 y 轴旋转的旋转体体积
o
y
xa?2
A
BCa2 )(2 yxx?
)(1 yxx?
可看作平面图 O A B C 与 O B C
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差,
dtyxV ay )(220 2 dtyxa )(220 1
2 22 s i n)s i n( t dtatta
0 22 s i n)s i n( t dtatta
20 23 s i n)s i n( t dttta,6 33 a
例 4 证明由平面图形 )(0,0 xfyba
（ f ( x ) 连续） 绕 y 轴旋转而成的立体的体积为
b
a
dxxxfV )(2?
],[],[ badxxx 对应的部分量 V?
可近似看成内径为 x,外径为 x + dx
高为 f ( x ) 的薄壁圆筒故 )(])[( 22 xfxdxxV
dxxxfdV )(2
证或展开后近似于长为 宽为 dx 高为
f(x) 的薄长方体
x?2
dxxxfdV )(2
b
a
dxxxfV )(2?
利用这个公式，可知上例中
dxxfxV ay |)(|2 20
20 )]s i n([)c os1()s i n(2 ttadtatta
20 23 )c os1)(s i n(2 dtttta
.6 33 a
例 5 求由曲线 24 xy 及 0?y 所围成的图形绕直线 3?x 旋转构成旋转体的体积,
解 取积分变量为 y,]4,0[?y
体积元素为
dyQMPMdV ][ 22
dyyy ])43()43([ 22
,412 dyy
dyyV 40 412,64
Mdy QP
求圆心在 ( b,0 ) 半径为 a ( 0< a < b )
的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积解 圆的方程 222)( aybx
22 )( bxay abxab
dxbxaxV
ab
ab
22 )(22?
bxt dttabt
a
a
22)(4?
dttabdttat
a
a
a
a
2222 44
ba 222
例 6
bxaxfy ),( 绕 x 轴旋转
dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x),高为 dx ）
dxxfdV )(2 —— 柱片法绕 y 轴旋转
dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x,外径为 x+dx
高为 f ( x ))
dxxxfdV )(2 —— 柱壳法旋转体的侧面积 bxaxfy ),( 绕 x 轴旋转所得的旋转面的侧面积为 dxxfxfS
b
a
)(1)(2 2?
一 般地如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴的截面面积,x
o a b
)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV?,)( ba dxxAV立体体积
x dxx?
二、平行截面面积为已知的立体的体积例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角?,计算这平面截圆柱体所得立体的体积,
解 取坐标系如图底圆方程为
222 Ryx
垂直于 x 轴的截面为直角三角形截面面积,t a n)(21)( 22?xRxA
立体体积 dxxRV R
R?t a n)(2
1 22
.t a n32 3?R?
R
R?
x
yo x
已知点 A（ 1,0,1),B(0,1,0),线段 AB绕
z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S和两平面 z = 0,z = 1所围立体的体积解 AB 的方程为
1
1
11
1
zyx
zy
zx
1
在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点 Q (0,0,z),
与 AB交于点 M (z,1-z,z),
222 221)1(||)( zzzzMQzr
截面面积 )221()()( 22 zzzrzS
立体体积
1
0 3
2)(?dzzSV
故截面的半径为例 8
旋转体的体积绕 轴旋转一周x
绕 轴旋转一周y
绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积思考题求曲线 4?xy,1?y,0?x 所围成的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
三、小结
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y
1
2
dyy
1 2
16
1
16
y,16
y
xo
思考题解答练 习 题一,填空题：
1,连续曲线,)( xfy? 直线 ax?,bx? 轴及 x 所围图形 轴绕 x 旋 转 一周 而成的 立体的体 积
v ______ ____,轴绕 y 旋转一周而成的立体的体
v积
________ ____ ；
2,
b
a
dxxfv )( 常用来表示 _______ _____ _____ _ 立体的体积；
3,抛物线 axy 4
2
及直线
)0(
00
xxx
所围成的图形轴绕 x
旋转而成的立体的体积 ______ ；
4,0,,0,co s h yaxx
a
x
ay 所围成的图
x形绕轴旋转而成的立体的
v体积
______ ___ ；
二,有一铁铸件，它是由抛物线,
2
10
1
xy?
1
10
1
2
xy 与直线 10?y 围成的图形,轴绕 y 旋转而成的旋转体，算出它的质量 （长度单位是厘米，铁的密度是
3
8.7 厘米克 ）,
三,把星形线
3
2
3
2
3
2
ayx 轴绕 x 旋转，计算所得旋转体的体积,
四,求摆线 )s i n( ttax,)c o s1( tay 的一拱，
0?y,绕直线 ay 2? 旋转所成旋转体的体积,
五,求
222
ayx 绕 )0( abbx 旋转所成旋转体的体积,
六,设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 和BA 2,2 ba 2,2,h高为,求这截锥体的体积,
七,设直线 baxy 与直线
0?x
，
1?x
及 0?y 所围成梯形面积等于
A
，试求 ba,使这个梯形轴绕 y
旋转所得体积最小,
一,1,
b
a
dxxf )(
2
,
b
a
dxxxf )(2 ；
2,已知平行截面面积的； 3,
2
0
2 ax? ；
4,]22[
4
3
sh
a
.
二,? ( 克 ),三、
3
1 0 5
32
a?,四、
32
7 a?,
五,ba
22
2?,六,])(2[
6
1
bAaBABabh,
七、
Aba,0
.
练习题答案
