其它展开一、周期为 2L 的周期函数展开成
Fourier 级数前面我们所讨论的都是以 为周期的函数?2
展开成 Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论如何把周期为 T = 2 l 的函数展开为 Fourier级数若 f ( t )是以 T = 2 l 为周期的函数，在 [ -l,l )
上满足 Dirichlet 条件
,2 lT,2 lT 代入傅氏级数中
)s i nc o s(2
1
0 xnbxnaa
n
n
n
定理式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
在连续点处 级数收敛于 f ( x ) 本身在间断点处 级数收敛于 2 )0()0( xfxf
),2,1,0(,c o s)(1 ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ndxl xnxflb l ln
,)()1( 为奇函数如果 xf则有
,s i n)(
1
n
n l
xnbxf
,s i n)(2 0 dxl xnxflbb lnn为其中系数 ),2,1(n
为其中系数 nn ba,
,)()2( 为偶函数如果 xf则有
,c o s2)(
1
0?
n
n l
xnaaxf
dxl xnxflaa lnn 0 co s)(2为其中系数
),2,1,0(n
证明,lxz令 lxl, z
),()()( zFlzfxf设,2)( 为周期以?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n
.s i n)(
1
,cos)(
1
n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
)()( xfzFlxz
)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
.s i n)(
1
,c o s)(
1
l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[?
上的表达式为
20
020
)(
xk
x
xf,将其展成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
k
2? x
y
20 44
2
0
0
20 2
10
2
1 kd xdxa,k?
na20 2co s21 xdxnk,0? ),2,1(n
20 2s i n21 xdxnkb n )co s1( nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
n
n
n
k
当当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( xxxkkxf
),4,2,0;( xx
22
knx 时级数收敛于?
二、非周期函数的展开前面我们研究了周期为 T = 2 l 的函数展开成
Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成 Fourier
级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形讨论
1。 周期延拓的情形设函数 f ( t ) 在 [ -l,l )上满足 Dirichlet 条件为了将其展开为 Fourier级数，需要将 f ( t ) 在
[ -l,l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为 l 的函数 F (t ) 使得 F (t ) 在 [ -l,l ) 上与
f ( t )恒等，将 F (t ) 展开成 Fourier 级数
1
0 )s inc o s(
2)( n nn l
tnb
l
tnaatF
而在 [ -l,l ) 的连续点处,有
1
0 )s inc os(
2)( n nn l
tnb
l
tnaatf
若 t 0 是 [ -l,l ) 内的间断点，则在该点处，级数收敛于
2
)0()0( 00 tftf
)1(
)2(
需要注意的是区间的两个端点,lt
虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续，
右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在
lt 就不一定连续，由收敛定理,
lt在 级数收敛于
)]0()0([21 lflf
因此若 f ( t ) 在 [ -l,l ) 上 左端点的右极限等于右端点的左极限，即
)0()0( lflf
展开式在 )( tflt 处收敛于
此时 Fourier 级数的收敛域包括区间的端点，否则
Fourier 级数的收敛域不包括区间的端点应该指出，这里所要展开的是 f ( t ) 要得到的是第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，
虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同,F (t ) 是延拓到整个数轴上的情形，而
f ( t ) 的展开式只局限于 [ -l,l ],因此在讨论 f ( t )
的展开式的收敛域时，不要扩展到 f ( t ) 的定义域之外例 2 将函数
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于,)(xf
],[
x
y
o22
dxxfa )(10
00 )(1)(1 dxxfdxxf,
nx d xxfa n c o s)(1
00 c o s)(1c o s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( c o s22 nxn ]1)1[(22 nn
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k
nx d xxfb n s i n)(1
00 s i n)(1s i n)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
所求函数的傅氏展开式为
1
2 )12c o s ()12(
14
2)( n xnnxf )( x
利用傅氏展开式求级数的和
,)12c o s ()12( 142)(
1
2?
n
xnnxf?
,0)0(,0 fx 时当 22
2
5
1
3
11
8
,4131211 222设
),8(51311
2
221
,614121 2222
,4131211 2223
,44 212,243
2
1
2
21,6
2?
13 2,12
2?
例 3 将函数10510)( xxxf 展开成傅氏级数,
解,10 xz作变量代换
105 x,55 z
)10()( zfxf ),( zFz
,)55()( 的定义补充函数 zzzF
,5)5(F令 )10()(?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在?
),2,1,0(,0 na n
x
)(zFy
5? 50 1510?
5
0 2s i n)(5
2 dzznzb
n
,10)1( nn ),2,1(n
,5s i n)1(10)(
1
n
n zn
nzF )55( z
1
)]10(5s i n [)1(1010
n
n
xnnx
.5s i n)1(10
1
n
n
xnn )155( x
另解 155 5c os)10(51 dxxnxa n
155155 5c o s515c o s2 dxxnxdxxn,0? ),2,1(n
1550 )10(51 dxxa,0?
155 5s i n)10(51 dxxnxb n,10)1(?nn ),2,1(n
1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( x
2。正弦级数和余弦级数定义如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0
称为 余弦级数,
非周期函数的周期性开拓如果函数 f ( t ) 只是定义在 [ 0,l ] 上，且在 [ 0,l ] 上满足 Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在 [ -l,0 ）上 补充定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间
[ 0,l ] 上有 F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓的方法将 F ( t ) 展开成 Fourier 级数,当限制自变量在
[ 0,l ] 上时，就得到 f ( t ) 的 Fourier 展开式从理论上讲，构造函数 F ( t ) 时，所补充的在
[ -l,0 ）上有定义的函数可以任意给出，只要它满足 Dirichlet 条件，但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐，因此在实际应用中常采用偶延拓 和 奇延拓 的方法
).(
2,],0[)(
xF
llxf
函数为周期的延拓成以上定义在设
,0)( 0)()(
xlxg
lxxfxF令
),()2( xFlxF且则有如下两种情况,
偶延拓奇延拓奇延拓,)()( xfxg
0)(
00
0)(
)(
xlxf
x
lxxf
xF则的傅氏正弦级数)( xf
1
s in)(
n
n l
xnbxf?)0( lx
偶延拓,)()( xfxg
0)(
0)()(
xlxf
lxxfxF则的傅氏余弦级数)( xf
1
0 c os
2)( n n l
xnaaxf?)0( lx
例 4 将函数 )0(1)( xxxf 分别展开成正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
0 s i n)(2 nx d xxfb n0 s i n)1(2 nxd xx
)c o sc o s1(2 nnn
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当当
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 xxxx
)0( x
]5s i n)2(514s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 xxxxxx
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
00 )1(2 dxxa,2
0 c os)1(2 nxd xxa n
)1( cos22 nn?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
n
当当
]5c os5 13c os3 1( c os4121 22 xxxx
)0( x
)7c o s7 15c o s5 13c o s3 1( c o s4121 222 xxxxx
一般而言,奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点三、小结
1 以 2L为周期的傅氏系数 ;
2 利用变量代换求傅氏展开式 ;
3 求傅氏展开式的步骤 ;
（ 1）,画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
（ 2）,求出傅氏系数 ;
（ 3）,写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
4 非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数 ;正弦级数与余弦级数 ;非周期函数的周期性延拓 ;
5、需澄清的几个问题,(误认为以下三情况正确 )
a.只有周期函数才能展成傅氏级数 ;;2,],0[,的傅氏级数唯一展成周期为上在b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在
Fourier 级数前面我们所讨论的都是以 为周期的函数?2
展开成 Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论如何把周期为 T = 2 l 的函数展开为 Fourier级数若 f ( t )是以 T = 2 l 为周期的函数，在 [ -l,l )
上满足 Dirichlet 条件
,2 lT,2 lT 代入傅氏级数中
)s i nc o s(2
1
0 xnbxnaa
n
n
n
定理式为则它的傅里叶级数展开定理的条件满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
在连续点处 级数收敛于 f ( x ) 本身在间断点处 级数收敛于 2 )0()0( xfxf
),2,1,0(,c o s)(1 ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ndxl xnxflb l ln
,)()1( 为奇函数如果 xf则有
,s i n)(
1
n
n l
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,s i n)(2 0 dxl xnxflbb lnn为其中系数 ),2,1(n
为其中系数 nn ba,
,)()2( 为偶函数如果 xf则有
,c o s2)(
1
0?
n
n l
xnaaxf
dxl xnxflaa lnn 0 co s)(2为其中系数
),2,1,0(n
证明,lxz令 lxl, z
),()()( zFlzfxf设,2)( 为周期以?zF
),s i nc o s(2)(
1
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n
n
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1
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a其中例 1 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[?
上的表达式为
20
020
)(
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xf,将其展成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
k
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1 kd xdxa,k?
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20 2s i n21 xdxnkb n )co s1( nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
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n
n
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)25s i n5123s i n312( s i n22)( xxxkkxf
),4,2,0;( xx
22
knx 时级数收敛于?
二、非周期函数的展开前面我们研究了周期为 T = 2 l 的函数展开成
Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成 Fourier
级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形讨论
1。 周期延拓的情形设函数 f ( t ) 在 [ -l,l )上满足 Dirichlet 条件为了将其展开为 Fourier级数，需要将 f ( t ) 在
[ -l,l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为 l 的函数 F (t ) 使得 F (t ) 在 [ -l,l ) 上与
f ( t )恒等，将 F (t ) 展开成 Fourier 级数
1
0 )s inc o s(
2)( n nn l
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而在 [ -l,l ) 的连续点处,有
1
0 )s inc os(
2)( n nn l
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若 t 0 是 [ -l,l ) 内的间断点，则在该点处，级数收敛于
2
)0()0( 00 tftf
)1(
)2(
需要注意的是区间的两个端点,lt
虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续，
右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在
lt 就不一定连续，由收敛定理,
lt在 级数收敛于
)]0()0([21 lflf
因此若 f ( t ) 在 [ -l,l ) 上 左端点的右极限等于右端点的左极限，即
)0()0( lflf
展开式在 )( tflt 处收敛于
此时 Fourier 级数的收敛域包括区间的端点，否则
Fourier 级数的收敛域不包括区间的端点应该指出，这里所要展开的是 f ( t ) 要得到的是第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，
虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同,F (t ) 是延拓到整个数轴上的情形，而
f ( t ) 的展开式只局限于 [ -l,l ],因此在讨论 f ( t )
的展开式的收敛域时，不要扩展到 f ( t ) 的定义域之外例 2 将函数
xx
xx
xf
0,
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)( 展开为傅立叶级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于,)(xf
],[
x
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o22
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00 )(1)(1 dxxfdxxf,
nx d xxfa n c o s)(1
00 c o s)(1c o s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( c o s22 nxn ]1)1[(22 nn
,2,1,2,0
,2,1,12,
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4
2
kkn
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00 s i n)(1s i n)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
所求函数的傅氏展开式为
1
2 )12c o s ()12(
14
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利用傅氏展开式求级数的和
,)12c o s ()12( 142)(
1
2?
n
xnnxf?
,0)0(,0 fx 时当 22
2
5
1
3
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,4131211 222设
),8(51311
2
221
,614121 2222
,4131211 2223
,44 212,243
2
1
2
21,6
2?
13 2,12
2?
例 3 将函数10510)( xxxf 展开成傅氏级数,
解,10 xz作变量代换
105 x,55 z
)10()( zfxf ),( zFz
,)55()( 的定义补充函数 zzzF
,5)5(F令 )10()(?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在?
),2,1,0(,0 na n
x
)(zFy
5? 50 1510?
5
0 2s i n)(5
2 dzznzb
n
,10)1( nn ),2,1(n
,5s i n)1(10)(
1
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1
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n
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另解 155 5c os)10(51 dxxnxa n
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1550 )10(51 dxxa,0?
155 5s i n)10(51 dxxnxb n,10)1(?nn ),2,1(n
1 5s i n
)1(1010)(
n
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)155( x
2。正弦级数和余弦级数定义如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
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1
称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
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2 1
0
称为 余弦级数,
非周期函数的周期性开拓如果函数 f ( t ) 只是定义在 [ 0,l ] 上，且在 [ 0,l ] 上满足 Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在 [ -l,0 ）上 补充定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间
[ 0,l ] 上有 F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓的方法将 F ( t ) 展开成 Fourier 级数,当限制自变量在
[ 0,l ] 上时，就得到 f ( t ) 的 Fourier 展开式从理论上讲，构造函数 F ( t ) 时，所补充的在
[ -l,0 ）上有定义的函数可以任意给出，只要它满足 Dirichlet 条件，但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐，因此在实际应用中常采用偶延拓 和 奇延拓 的方法
).(
2,],0[)(
xF
llxf
函数为周期的延拓成以上定义在设
,0)( 0)()(
xlxg
lxxfxF令
),()2( xFlxF且则有如下两种情况,
偶延拓奇延拓奇延拓,)()( xfxg
0)(
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)(
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xF则的傅氏正弦级数)( xf
1
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n
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偶延拓,)()( xfxg
0)(
0)()(
xlxf
lxxfxF则的傅氏余弦级数)( xf
1
0 c os
2)( n n l
xnaaxf?)0( lx
例 4 将函数 )0(1)( xxxf 分别展开成正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
0 s i n)(2 nx d xxfb n0 s i n)1(2 nxd xx
)c o sc o s1(2 nnn
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
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当当
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 xxxx
)0( x
]5s i n)2(514s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 xxxxxx
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
00 )1(2 dxxa,2
0 c os)1(2 nxd xxa n
)1( cos22 nn?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
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当当
]5c os5 13c os3 1( c os4121 22 xxxx
)0( x
)7c o s7 15c o s5 13c o s3 1( c o s4121 222 xxxxx
一般而言,奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点三、小结
1 以 2L为周期的傅氏系数 ;
2 利用变量代换求傅氏展开式 ;
3 求傅氏展开式的步骤 ;
（ 1）,画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
（ 2）,求出傅氏系数 ;
（ 3）,写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
4 非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数 ;正弦级数与余弦级数 ;非周期函数的周期性延拓 ;
5、需澄清的几个问题,(误认为以下三情况正确 )
a.只有周期函数才能展成傅氏级数 ;;2,],0[,的傅氏级数唯一展成周期为上在b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在
