定积分应用 习题课一、主要内容理 论 依 据微 元 法名称释译所求量的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式
1、理论依据
.
)1(
)2()(
,)()(,)(
)1()()(
,],[)(
定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设
UdUdxxf
dxxfxdUxf
dttfxU
baxf
b
a
b
a
x
a
2、名称释译
.
)(
)(
:)()(
,)2(
方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据
dxxf
dxxfU
badxxfdU
A
b
a
3、所求量的特点
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
4、解题步骤
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与
dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U,
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积直角坐标情形
x
y
o
A
a b
)( xfy?
ba dxxfA )(
x
y
o
A
a b
)(2 xfy?
)(1 xfy?
ba dxxfxfA )]()([ 12
参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积 2
1
)()(tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
极坐标情形
xo
d
)(r
dA 2)]([21
xo
)(2r
)(1r
dA )]()([21 2122
(2) 体积
dxxfV ba 2)]([
dyyV dc 2)]([c
d
x
y
o
)( yx
x
y
o dxx?
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
x dxx?o a b x
ba dxxAV )(
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 )( xfy?
弧长 dxys ba 21
xo
y
a b
dy
x dxx?
B．曲线弧为
)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数弧长 dttts )()( 22
C．曲线弧为 )(?rr? )(
弧长 drrs )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
bxaxfy,0)(
ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
x
y
o dxx?
)( xfy?
(5) 细棒的质量 ))(( 为线密度x?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(? o xlx dxx?
)(x?
(6) 转动惯量
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2?a b x
y
x dxx?o
(7) 变力所作的功
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
)(xF
o a bx dxx? x
(8) 水压力
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重? x
yoa
b
x
dxx?
)(xf
(9) 引力
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
.0?xF )( 为引力系数G x
y
x dxx?o
A
l? l
(10) 函数的平均值 ba dxxfaby )(1
(11) 均方根 b
a dxxfabs )(
1 2
二、典型例题
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知
a
tay
tax
a? ao
y
x
例 1
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
a yd xA 04
0
2
23 )s in(c os3s in4 dtttata
20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
2
0
22 )()(4 dtyxL?
20 s i nco s34 tdtta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为由对称性,有
a x dxyyS 0 2122
20 3 s i nco s3s i n4 tdttata,512 2a
a dxyV 0 22 0
2
262 )s in(c os3s in2 dtttata
20 273 )s i n1(s i n6 dttta,10532 3a
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx
半圆的方程为于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx
o x
y
R
h
时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV?则有
atdyyRyh0 2 )2(即得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从 dyyRyy )0(
,2 22 yRyx又
.))(2( 2 dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R
例 3
.
,4
,20,3050
,,
的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解 如图建立坐标系,
x
yo
16
4?
x
dxx?
A
B
的方程为则梯形的腰 AB
.2321 xy
此闸门一侧受到静水压力为
160 )2321(2 dxxgxP?
16
0
2
3
)233( xxg
)25623409631( g?
g?67.4 5 2 2?
).(1043.4 7 牛
测 验 题一,选择题,
1,曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
,ex? 及 0?y 所围成的区域的面积?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e； （ B ）
e
e
1；
（ C ）
e
e
1； （ D ） 1
1
e
,
2,曲线?s i n2?r 与?2c o s
2
r 所围图形公共部分的面积?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
； （ B ）
4
13
24
；
（ C ）
2
13
12
； （ D ）
2
31
6
,
3,曲线,c o s
3
ax
3
s i nay? 所围图形的面积
S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
zyx 与旋转锥面
222
8 zyx 之间包含 z 轴的部分的体积?V ( ) ；
（ A ）?1 4 4 ； （ B ）?36 ；
（ C ）?72 ； （ D ）?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高为 )20( rhh 体 V积为,则?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
； （ B ） )3(
3
2
hr
h
；
（ C ） )2(
2
hrh ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
.
6,曲线 42
2
xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
xy 所围图形的面积?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
)0(?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) pp
p
ln)21l n(2
2
；
(B)
)21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C))21(ln2
2
p
p；
(D))21l n(2
2
p
,
8,曲线 x
h
r
y?,hx0,轴绕 x 旋转所得旋转体的侧面积?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ； （ B ）
22
hrh ；
（ C ）
22
hr
h
r
； （ D ）
22
2 hrr,
二、在区间e,1 内求 0x一点,使,0,ln yxy
1?y 及 0xx? 所围成两块面积之和为最小,三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
轴x 与两直线 bxax,所围成的，求证：存在直线x )),(( ba 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
)co s1(
)sin(
tay
ttax
,)20( t
1,轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2,轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
,轴y,轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转 轴的距离，求它的质量,
六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1,求在水池中水深 )0( Rhh 时水面上升的速度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案一,1,A ； 2,D ； 3,B ； 4,D ；
5,B ； 6,D ； 7,A ； 8,A,
二、
4
1
0
ex?,四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
； 2,
4
4
Rw
,
1、理论依据
.
)1(
)2()(
,)()(,)(
)1()()(
,],[)(
定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设
UdUdxxf
dxxfxdUxf
dttfxU
baxf
b
a
b
a
x
a
2、名称释译
.
)(
)(
:)()(
,)2(
方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据
dxxf
dxxfU
badxxfdU
A
b
a
3、所求量的特点
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间ba,有关的量；
（ 2 ） U 对于区间ba,具有可加性，就是说，
如果把区间ba,分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf?)(? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
4、解题步骤
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任一小区间并记为 ],[ dxxx?,求出相应于这小区间的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与
dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在区间 ],[ ba 上作定积分，得
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U,
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积直角坐标情形
x
y
o
A
a b
)( xfy?
ba dxxfA )(
x
y
o
A
a b
)(2 xfy?
)(1 xfy?
ba dxxfxfA )]()([ 12
参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程
)(
)(
ty
tx
曲边梯形的面积 2
1
)()(tt dtttA
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx 具有连续导数，
)( ty 连续,
极坐标情形
xo
d
)(r
dA 2)]([21
xo
)(2r
)(1r
dA )]()([21 2122
(2) 体积
dxxfV ba 2)]([
dyyV dc 2)]([c
d
x
y
o
)( yx
x
y
o dxx?
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
x dxx?o a b x
ba dxxAV )(
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 )( xfy?
弧长 dxys ba 21
xo
y
a b
dy
x dxx?
B．曲线弧为
)(
)(
ty
tx
)( t
其中 )(),( tt 在 ],[ 上具有连续导数弧长 dttts )()( 22
C．曲线弧为 )(?rr? )(
弧长 drrs )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
bxaxfy,0)(
ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
x
y
o dxx?
)( xfy?
(5) 细棒的质量 ))(( 为线密度x?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(? o xlx dxx?
)(x?
(6) 转动惯量
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2?a b x
y
x dxx?o
(7) 变力所作的功
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
)(xF
o a bx dxx? x
(8) 水压力
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重? x
yoa
b
x
dxx?
)(xf
(9) 引力
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
.0?xF )( 为引力系数G x
y
x dxx?o
A
l? l
(10) 函数的平均值 ba dxxfaby )(1
(11) 均方根 b
a dxxfabs )(
1 2
二、典型例题
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求星形线已知
a
tay
tax
a? ao
y
x
例 1
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
a yd xA 04
0
2
23 )s in(c os3s in4 dtttata
20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
2
0
22 )()(4 dtyxL?
20 s i nco s34 tdtta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为由对称性,有
a x dxyyS 0 2122
20 3 s i nco s3s i n4 tdttata,512 2a
a dxyV 0 22 0
2
262 )s in(c os3s in2 dtttata
20 273 )s i n1(s i n6 dttta,10532 3a
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少若再将满池水全部抽出面上升的速度时水求在池中水深内注水的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx
半圆的方程为于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx
o x
y
R
h
时水池内水的体积为为的球缺的体积即水深故半球内高为的立体轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV?则有
atdyyRyh0 2 )2(即得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所的功约为所需降到抽水时使水位从 dyyRyy )0(
,2 22 yRyx又
.))(2( 2 dyyRyRydW即功元素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R
例 3
.
,4
,20,3050
,,
的静压力求闸门一侧所受的水米顶部高出水面如果闸门米高为米米和分别为梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门解 如图建立坐标系,
x
yo
16
4?
x
dxx?
A
B
的方程为则梯形的腰 AB
.2321 xy
此闸门一侧受到静水压力为
160 )2321(2 dxxgxP?
16
0
2
3
)233( xxg
)25623409631( g?
g?67.4 5 2 2?
).(1043.4 7 牛
测 验 题一,选择题,
1,曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
,ex? 及 0?y 所围成的区域的面积?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e； （ B ）
e
e
1；
（ C ）
e
e
1； （ D ） 1
1
e
,
2,曲线?s i n2?r 与?2c o s
2
r 所围图形公共部分的面积?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
； （ B ）
4
13
24
；
（ C ）
2
13
12
； （ D ）
2
31
6
,
3,曲线,c o s
3
ax
3
s i nay? 所围图形的面积
S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
zyx 与旋转锥面
222
8 zyx 之间包含 z 轴的部分的体积?V ( ) ；
（ A ）?1 4 4 ； （ B ）?36 ；
（ C ）?72 ； （ D ）?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高为 )20( rhh 体 V积为,则?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
； （ B ） )3(
3
2
hr
h
；
（ C ） )2(
2
hrh ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
.
6,曲线 42
2
xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
xy 所围图形的面积?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
)0(?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) pp
p
ln)21l n(2
2
；
(B)
)21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C))21(ln2
2
p
p；
(D))21l n(2
2
p
,
8,曲线 x
h
r
y?,hx0,轴绕 x 旋转所得旋转体的侧面积?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ； （ B ）
22
hrh ；
（ C ）
22
hr
h
r
； （ D ）
22
2 hrr,
二、在区间e,1 内求 0x一点,使,0,ln yxy
1?y 及 0xx? 所围成两块面积之和为最小,三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy? )0)((?xf,
轴x 与两直线 bxax,所围成的，求证：存在直线x )),(( ba 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
)co s1(
)sin(
tay
ttax
,)20( t
1,轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2,轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
,轴y,轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转 轴的距离，求它的质量,
六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1,求在水池中水深 )0( Rhh 时水面上升的速度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案一,1,A ； 2,D ； 3,B ； 4,D ；
5,B ； 6,D ； 7,A ； 8,A,
二、
4
1
0
ex?,四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
,
六,1,
)2(
2
hRh
a
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dh
； 2,
4
4
Rw
,
