常数项级数审敛法在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行
，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,这种级数非常重要，
以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题
2.正项级数收敛的充要条件, nsss 21
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
3.比较审敛法 均为正项级数，和设
11 n
n
n
n vu
且 ),2,1( nvu
nn
,若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛；
反之，若?
1n
n
u 发散，则?
1n
n
v 发散,
证明?
1
)1(
n
nv设,nn vu
nn uuus21且 nvvv2
即部分和数列有界,
1
收敛?
n
nu
)()2( ns n设,nn vu?且
nn s则 不是有界数列
.
1
发散?
n
nv 定理证毕,
推论,若?
1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv,
比较审敛法的不便,须有参考级数,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ).
例 1 讨论 P- 级数
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性,)0(?p
解,1?p设,11 nn p,级数发散则?P
,1?p设 由图可知 nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11
nn pp xdxxdx 1211?o
y
x
)1(1 pxy p
1 2 3 4
n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p
,有界即 ns,级数收敛则?P
发散时当收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数,几何级数,P-级数,调和级数,
比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法例 2 证明级数?
1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 nnn?,
1
1
1
n n
发散而级数
.)1( 1
1
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设?
1n
nu 与?
1n
nv 都是正项级数,如果则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若?
1n
nv 发散,则?
1n
nu 发散 ;
,lim lvu
n
n
n
l0
0?l
l
1n
nv?
1n
nu
证明 lvu
n
n
n
lim)1( 由,0
2
l?对于
,N?,时当 Nn? 22
ll
v
ull
n
n
)(232 Nnvluvl nnn即由比较审敛法的推论,得证,
5,极限审敛法：
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nul i m ),
则级数?
1n
nu
发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu
收敛,
例 3 判定下列级数的敛散性,
( 1 )?
1
1
s i n
n n; ( 2 )?
1 3
1
n
n n;
解
nnn
1s i nl i m
n
n
n 1
1
s in
lim
,1? 原级数发散,
)2(
n
n
n
n
3
1
3
1
lim?
n
n n
3
1
1
lim
,1?
,31
1
收敛?
n
n? 故原级数收敛,
)1(
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(lim
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明,为有限数时当?,0对
,N?,时当 Nn?,1
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n即
,1时当,1取,1r使
,12 NN ruu,1223 NNN urruu,?
,11 NmmN uru,
1
1
1
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1时当,1取,1r使
,时当 Nn?,1 nnn uruu,0lim nn u 发散比值审敛法的优点,不必找参考级数,直接从级数本身的构成 —— 即通项来判定其敛散性两点注意,
1,当 1 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例?
n n
,1
1
2 收敛级数?
n n
)1(?
2,条件是充分的,而非必要,
,2 32 )1(2 nnn
n
n vu
例
,2 )1(2
11
收敛级数
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u?
但
,61lim 2?
nn
a
,23l i m 12
nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1)?
1 !
1
n n; (2)?
1 10
!
n
n
n; (3)?
1 2)12(
1
n nn
.
解 )1( 11 n ),(0 n
.!1
1
收敛故级数?
n n
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n
)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n
10
1 n ),( n
.10 !
1
发散故级数?
n
n
n
)3( )22()12( 2)12(limlim 1 nn nnuu n
n
n
n
,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn,1
1
2 收敛级数?
n n
.)12(2 1
1
收敛故级数?
n nn
例 5?
1
2
6s i n3n n
nn?
解 由于
n
n
n u
u 1lim?
不存在，检比法失效而 nn nnn 36s i n3 2对?
1 3n
n
n
由检比法得?
1 3n
n
n 收敛故由比较审敛法知?
1
2
6s in3n n
nn?收敛例 6
n
n n
xn )(!
1
)0(?x
解 n
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
n
u
u
)(!
)
1
()!1(
l i ml i m
1
1
e
x
n
x
nn
)
1
1(
lim
由检比法得 ex? 级数收敛
ex? 级数发散
ex? 检比法失效,但
n
ne )
11(
即后项大于前项
nn uu 1
故级数发散
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设?
1n
nu 是正项级数,如果
n
n
n
ulim
)(为数或?,
则 1 时级数收敛 ;
1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明 1)1( 取 10 0
则 10r
由
n nn ul im
知 时，使当 NnN
run n 0
)( Nnru nn
由?
1Nn
nr 收敛及比较审敛法得
1Nn
nu 收敛
1n
nu收敛
1)2(
由
n nn ul im
知 时，使当 NnN
1?n nu 1 nu
故 nu 不趋于 0?
1n
nu发散
1)3( 不能判定如
1
2
1
11
nn nn
与 都有 1l im?
n nn u
但?
1
2
1
n n
收敛?
1
1
n n
发散
,1,
1
n
nn设级数例如
n nn n
nu
1
n
1? )(0 n
级数收敛,
二、交错级数及其审敛法定义,正、负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或)0(?
nu其中莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us?,其余项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
证明,01 nn uu?
)()()( 21243212 nnn uuuuuus
,2 是单调增加的数列 ns
nnnn uuuuuus 212223212 )()(又
1u?,2 是有界的数列 ns
.li m 12 uss nn,0lim 12
nn u?
)(limlim 12212 nnnnn uss,s?
.,1uss 且级数收敛于和
),( 21 nnn uur余项
,21 nnn uur
满足收敛的两个条件,.1 nn ur
定理证毕,
例 7 判别级数?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2 )1()1( xx xx x? )2(0 x
,1 单调递减故函数?x x,1 nn uu
1li mli m n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
证明 un 单调减的方法
01 nn uu 11
n
n
u
u？？
0)()( xfnfu n 考察？
三、绝对收敛与条件收敛定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv?且,
1
收敛?
n
nv
),2(
11
n
nn
n
n uvu?又?
1n
nu 收敛,
上定理的作用：
任意项级数 正项级数定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
例 8 判别级数?
1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,1s i n 22 nn n,1
1
2 收敛而?
n n
,s in
1
2?
n n
n 收敛故由定理知原级数绝对收敛,
将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理定理 设有级数?
1n
nu
n
n
n u
u 1lim
)||l im( n nn u
则 1
1n
nu 绝对收敛
1
1n
nu 发散
1 可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如?
1
2
1)1(
n
n
n?
1
1)1(
n
n
n?
1
1)1(
n
n
注意一般而言，由 发散，并不能推出?
1
||
i
nu
1i
nu 发散 如?
1
1)1(
n
n
n
1
1
i n
发散 但 收敛?
1
1)1(
n
n
n
如果 发散是由检比法和检根法而审定?
1
||
i
nu
则 必定发散?
1i
nu 这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于 0
由 00|| nn uu
四、小结正 项 级 数 任意项级数审敛法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
思考题设正项级数?
1n
n
u 收敛,能否推得?
1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答由正项级数
1n
nu 收敛，可以推得?
1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
n
n u lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
1
2
n
nu
反之不成立,例如,?
1
2
1
n n
收敛,?
1
1
n n
发散,
练 习 题一,填空题,
1,?p 级数当 _______ 时收敛,当 _______ 时发散；
2,若正项级数?
1n
n
u 的后项与前项之比值的根?等于,
则当 ___ ___ _ _ 时级数收敛； ___ ___ __ 时级数发散；
____________ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2,)0(
1
1
1
a
an
n
,
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2,?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,?
1
)]1[l n(
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1,
n
n 1
2
3
2 ；
2,?
1
3
s i n2
n
n
n； 3,)0(
)
1
(
)2l n(
1
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
1,?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2,
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3,?
2
ln
)1(
n
n
nn
,
七、若
n
n
un
2
lim
存在,证明,级数?
1n
n
u 收敛,
八、证明,0
!
l i m
3
n
n
n
an
b
,
练习题答案一,1,1,1 pp ；
2,1),lim(1,1
1
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
.,1;,10;,1
发散发散收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,
，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,这种级数非常重要，
以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题
2.正项级数收敛的充要条件, nsss 21
部分和数列 为单调增加数列,}{ ns
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
3.比较审敛法 均为正项级数，和设
11 n
n
n
n vu
且 ),2,1( nvu
nn
,若?
1n
n
v 收敛,则?
1n
n
u 收敛；
反之，若?
1n
n
u 发散，则?
1n
n
v 发散,
证明?
1
)1(
n
nv设,nn vu
nn uuus21且 nvvv2
即部分和数列有界,
1
收敛?
n
nu
)()2( ns n设,nn vu?且
nn s则 不是有界数列
.
1
发散?
n
nv 定理证毕,
推论,若?
1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv,
比较审敛法的不便,须有参考级数,
则?
1n
nv 收敛 ( 发散 ).
例 1 讨论 P- 级数
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性,)0(?p
解,1?p设,11 nn p,级数发散则?P
,1?p设 由图可知 nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11
nn pp xdxxdx 1211?o
y
x
)1(1 pxy p
1 2 3 4
n pxdx11 )11(111 1 pnp 111 p
,有界即 ns,级数收敛则?P
发散时当收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数,几何级数,P-级数,调和级数,
比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法例 2 证明级数?
1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 nnn?,
1
1
1
n n
发散而级数
.)1( 1
1
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设?
1n
nu 与?
1n
nv 都是正项级数,如果则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若?
1n
nv 发散,则?
1n
nu 发散 ;
,lim lvu
n
n
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l0
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1n
nv?
1n
nu
证明 lvu
n
n
n
lim)1( 由,0
2
l?对于
,N?,时当 Nn? 22
ll
v
ull
n
n
)(232 Nnvluvl nnn即由比较审敛法的推论,得证,
5,极限审敛法：
设?
1n
nu 为正项级数,
如果 0lim
lnu n
n
( 或
n
n
nul i m ),
则级数?
1n
nu
发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
l i m 存在,
则级数?
1n
nu
收敛,
例 3 判定下列级数的敛散性,
( 1 )?
1
1
s i n
n n; ( 2 )?
1 3
1
n
n n;
解
nnn
1s i nl i m
n
n
n 1
1
s in
lim
,1? 原级数发散,
)2(
n
n
n
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3
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n n
3
1
1
lim
,1?
,31
1
收敛?
n
n? 故原级数收敛,
)1(
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设?
1n
nu 是正项级数,如果 )(lim
1
数或
n
n
n u
u
则 1 时级数收敛 ; 1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明,为有限数时当?,0对
,N?,时当 Nn?,1
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n即
,1时当,1取,1r使
,12 NN ruu,1223 NNN urruu,?
,11 NmmN uru,
1
1
1
m
N
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,
11
收敛
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1时当,1取,1r使
,时当 Nn?,1 nnn uruu,0lim nn u 发散比值审敛法的优点,不必找参考级数,直接从级数本身的构成 —— 即通项来判定其敛散性两点注意,
1,当 1 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例?
n n
,1
1
2 收敛级数?
n n
)1(?
2,条件是充分的,而非必要,
,2 32 )1(2 nnn
n
n vu
例
,2 )1(2
11
收敛级数
n
n
n
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,))1(2(2 )1(2
1
1
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但
,61lim 2?
nn
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,23l i m 12
nn
a,l i ml i m 1 不存在n
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例 4 判别下列级数的收敛性,
(1)?
1 !
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1 10
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1 2)12(
1
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解 )1( 11 n ),(0 n
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n
n
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n
n
n
,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn,1
1
2 收敛级数?
n n
.)12(2 1
1
收敛故级数?
n nn
例 5?
1
2
6s i n3n n
nn?
解 由于
n
n
n u
u 1lim?
不存在，检比法失效而 nn nnn 36s i n3 2对?
1 3n
n
n
由检比法得?
1 3n
n
n 收敛故由比较审敛法知?
1
2
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n
n n
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解 n
n
n
n
n
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1
()!1(
l i ml i m
1
1
e
x
n
x
nn
)
1
1(
lim
由检比法得 ex? 级数收敛
ex? 级数发散
ex? 检比法失效,但
n
ne )
11(
即后项大于前项
nn uu 1
故级数发散
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设?
1n
nu 是正项级数,如果
n
n
n
ulim
)(为数或?,
则 1 时级数收敛 ;
1 时级数发散 ; 1 时失效,
证明 1)1( 取 10 0
则 10r
由
n nn ul im
知 时，使当 NnN
run n 0
)( Nnru nn
由?
1Nn
nr 收敛及比较审敛法得
1Nn
nu 收敛
1n
nu收敛
1)2(
由
n nn ul im
知 时，使当 NnN
1?n nu 1 nu
故 nu 不趋于 0?
1n
nu发散
1)3( 不能判定如
1
2
1
11
nn nn
与 都有 1l im?
n nn u
但?
1
2
1
n n
收敛?
1
1
n n
发散
,1,
1
n
nn设级数例如
n nn n
nu
1
n
1? )(0 n
级数收敛,
二、交错级数及其审敛法定义,正、负项相间的级数称为交错级数,
n
n
n
n
n
n uu
11
1 )1()1( 或)0(?
nu其中莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim?
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us?,其余项
n
r 的绝对值
1?
nn
ur,
证明,01 nn uu?
)()()( 21243212 nnn uuuuuus
,2 是单调增加的数列 ns
nnnn uuuuuus 212223212 )()(又
1u?,2 是有界的数列 ns
.li m 12 uss nn,0lim 12
nn u?
)(limlim 12212 nnnnn uss,s?
.,1uss 且级数收敛于和
),( 21 nnn uur余项
,21 nnn uur
满足收敛的两个条件,.1 nn ur
定理证毕,
例 7 判别级数?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2 )1()1( xx xx x? )2(0 x
,1 单调递减故函数?x x,1 nn uu
1li mli m n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
证明 un 单调减的方法
01 nn uu 11
n
n
u
u？？
0)()( xfnfu n 考察？
三、绝对收敛与条件收敛定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
定理 若?
1n
nu 收敛,则?
1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv?且,
1
收敛?
n
nv
),2(
11
n
nn
n
n uvu?又?
1n
nu 收敛,
上定理的作用：
任意项级数 正项级数定义,若?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为绝对收敛 ;
若?
1n
nu 发散,而?
1n
nu 收敛,则称?
1n
nu 为条件收敛,
例 8 判别级数?
1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,1s i n 22 nn n,1
1
2 收敛而?
n n
,s in
1
2?
n n
n 收敛故由定理知原级数绝对收敛,
将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理定理 设有级数?
1n
nu
n
n
n u
u 1lim
)||l im( n nn u
则 1
1n
nu 绝对收敛
1
1n
nu 发散
1 可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如?
1
2
1)1(
n
n
n?
1
1)1(
n
n
n?
1
1)1(
n
n
注意一般而言，由 发散，并不能推出?
1
||
i
nu
1i
nu 发散 如?
1
1)1(
n
n
n
1
1
i n
发散 但 收敛?
1
1)1(
n
n
n
如果 发散是由检比法和检根法而审定?
1
||
i
nu
则 必定发散?
1i
nu 这是因为检比法与检根法审定级数发散的原因是通项不趋向于 0
由 00|| nn uu
四、小结正 项 级 数 任意项级数审敛法
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n?;,0,则级数发散当 nun
思考题设正项级数?
1n
n
u 收敛,能否推得?
1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答由正项级数
1n
nu 收敛，可以推得?
1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
n
n u lim 0?
由比较审敛法知 收敛,?
1
2
n
nu
反之不成立,例如,?
1
2
1
n n
收敛,?
1
1
n n
发散,
练 习 题一,填空题,
1,?p 级数当 _______ 时收敛,当 _______ 时发散；
2,若正项级数?
1n
n
u 的后项与前项之比值的根?等于,
则当 ___ ___ _ _ 时级数收敛； ___ ___ __ 时级数发散；
____________ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2,)0(
1
1
1
a
an
n
,
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2,?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1,?
1
)]1[l n(
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1,
n
n 1
2
3
2 ；
2,?
1
3
s i n2
n
n
n； 3,)0(
)
1
(
)2l n(
1
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?
1,?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2,
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3,?
2
ln
)1(
n
n
nn
,
七、若
n
n
un
2
lim
存在,证明,级数?
1n
n
u 收敛,
八、证明,0
!
l i m
3
n
n
n
an
b
,
练习题答案一,1,1,1 pp ；
2,1),lim(1,1
1
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
.,1;,10;,1
发散发散收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,
