一阶方程的一般形式为 0),,(yyxF
本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
),( yxfdxdy?
的解法这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
0),(),( yxQdxyxP
它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程
),(
),(
yxQ
yxP
dx
dy
也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程
),(
),(
yxP
yxQ
dx
dy 很重要的观点考虑方程 xdxdy 2? 或写成 x d xdy 2?
两边积分得 cxy 2
但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解如 22 xydxdy? 困难就在于方程的右端含有未知函数积分? dxxy 22 求不出来为了解决这个问题 方程的两边同乘以 dxy21
使方程变为 x d xdy
y 2
1
2?
这样变量 x,y 已经分离在等式的两端两边积分得 cx
y
21 或
cxy 2
1
可以验证 cxy 2 1是方程的通解注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中称为 奇解一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy?例如,2 254 dxxdyy
这类方程的 特点 是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
dxxfdyyg )()( 分离变量法设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函数,CxFyG )()( 为微分方程的解,
求解步骤分离变量 两边积分得到 隐式通解 或 通积分二、典型例题例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy?
解 分离变量,2 xdxydy?
两端积分,2 xdxy
dy
12ln Cxy
.2 为所求通解xcey
.0)()(2 通解求方程例 xdyxygyd xxyf
解,xyu?令,y d xxdydu则
,0)()( x y dxduxugy dxuf
,0)()]()([ duugdxxuuguf
,0)]()([ )( duugufu ugxdx
通解为,)]()([ )(||ln Cduugufu ugx
例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 00 MM t,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数 MdtdM dtMdM
, dtMdM,lnln ctM,tceM即
00 MM t代入 00 ceM?得,C?
teMM 0 衰变规律例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
],[ dttt?在 内,
2CO 的通入量,03.02 0 0 0 dt
2CO 的排出量 ),(2000 txdt
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量
03.0200 0120 00 dtdx ),(2 0 0 0 txdt
),03.0(61 xdtdx,03.0 61 tCex
,1.0| 0tx?,07.0 C,07.003.0 6
1 tex
,056.007.003.0| 16 ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
三、小结分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于 0）
思考题求解微分方程,2c o s2c o s yxyxdxdy
思考题解答
,02c o s2c o s yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy?,
2os2 C
x 为所求解,
练 习 题一、求下列微分方程的通解,
1,0ta ns ecta ns ec
22
x d yyyd xx ；
2,0)()(
dyeedxee
yyxxyx；
3,0)1(
32
x
dx
dy
y,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1,x d xyy d yx s i nc o ss i nc o s?,
4
0
x
y ；
2,0s i n)1(co s
yd yeyd x
x
,
4
0
x
y,
三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比,在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
设
a船速为
,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
h为
,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比 ( 比例
k系数为
),求小船的航行路线,
练习题答案一,1,Cyx?t a nt a n ； 2,Cee
yx
)1)(1( ；
3,Cxy
43
3)1(4,
二,1,xy co sco s2? ； 2,ye
x
co s221,
三,3.269?v 厘米 / 秒,
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 轴x,轴y 指向对岸,则所求航线 为 )
3
1
2
(
32
yy
h
a
k
x,
本节主要研究能把导数解出来的一阶方程
),( yxfdxdy?
的解法这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式
0),(),( yxQdxyxP
它既可视为以 x 为自变量以 y 为未知函数的方程
),(
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也可以视为以 y 为自变量 以 x 为未知函数的方程
),(
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两边积分得 cxy 2
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使方程变为 x d xdy
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这样变量 x,y 已经分离在等式的两端两边积分得 cx
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21 或
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可以验证 cxy 2 1是方程的通解注 y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中称为 奇解一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?可分离变量的微分方程,
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22 yx
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这类方程的 特点 是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分解法 设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
dxxfdyyg )()( 分离变量法设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函数,CxFyG )()( 为微分方程的解,
求解步骤分离变量 两边积分得到 隐式通解 或 通积分二、典型例题例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
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解 分离变量,2 xdxydy?
两端积分,2 xdxy
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.2 为所求通解xcey
.0)()(2 通解求方程例 xdyxygyd xxyf
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,0)()]()([ duugdxxuuguf
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例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 00 MM t,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数 MdtdM dtMdM
, dtMdM,lnln ctM,tceM即
00 MM t代入 00 ceM?得,C?
teMM 0 衰变规律例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
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解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为2CO )%(txt
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2CO 的排出量 ),(2000 txdt
2CO 的通入量 2CO 的排出量2CO 的改变量
03.0200 0120 00 dtdx ),(2 0 0 0 txdt
),03.0(61 xdtdx,03.0 61 tCex
,1.0| 0tx?,07.0 C,07.003.0 6
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三、小结分离变量法步骤,
1.分离变量 ;
2.两端积分 -------隐式通解,
注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于 0）
思考题求解微分方程,2c o s2c o s yxyxdxdy
思考题解答
,02c o s2c o s yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 yxdxdy
,
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二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
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三、质量 克为 1 的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比,在 10?t
秒时,速度等于 秒厘米 /50,外力为
2
/4 秒厘米克?,
问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
四、小船从河边 处点 0 出发驶向对岸 ( 两岸为平行直线 ).
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,船行方向始终与河岸垂直,设河宽
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,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比 ( 比例
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43
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二,1,xy co sco s2? ； 2,ye
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三,3.269?v 厘米 / 秒,
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