一阶微分方程 习题课基本概念一阶方程类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次方程
5.全微分方程
6.线性方程
7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项
f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?形如解法 dxxfdyyg )()(
分离变量法
(2) 齐次型方程 )( xyfdxdy?形如解法 作变量代换 xyu?
一、主要内容可化为齐次的方程
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
形如解法
，
令
kYy
hXx
,
化为齐次方程．
（其中 h和 k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
)()( xQyxPdxdy形如
,0)(?xQ当 齐次．
,0)(?xQ当 非齐次,
解法 齐次方程的通解为
.)( dxxPCey （使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法）(4) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()(形如 )1,0(?n
时，当 1,0?n 方程为线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为非线性微分方程,
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
,1 nyz令
.))1)(((
)()1()()1(
1
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
(5) 全微分方程形如 0),(),( dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(
注意,xQyP全微分方程解法?应用曲线积分与路径无关,
yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy
通解为,),( cyxu?
用直接凑全微分的方法,
可化为全微分方程形如 0),(),( dyyxQdxyxP
).( xQyP非全微分方程若 0),(?yx? 连续可微函数，且可使方程
0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程,则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
公式法,
)(1 xQyPQ若 )( xf? ;)( )( dxxfex?则
)(1 yPxQP若 )( yg?,)( )( dyygey?则
观察法,
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．
2。 各类方程的内在联系
x
Q
y
P
Q d yP d x
0
)()( yNxMdxdy?
)(
1
yN
N
M
x
y
dx
dy )(?
x
yu?
yNxM
1?
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
kyY
hxX
)()( xQyxPdxdy
dxxPexcy )()(
dxxPe )(?
nyxQyxPy )()(
nyz 1
dxxPn
n ey
)()1(1?
三种 基本类型变量可分离 一阶线性 全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型三种基本类型代表三种 典型解法分离变量法 常数变易法 全微分法变量代换 是解微分方程的重要思想和重要方法微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子
3、一阶方程解题程序
0 Q d yP d x
分离变量
Y 解方程
N
x
Q
y
P
Y解方程
N
积分因子 Y
N
),( yxfy
齐次型一阶线性 Bernoulli
二、典型例题例 1 求一微分方程使其通解为
3
21
cx
cxcy
解 由
3
21
cx
cxcy
213 )( cxcycx
求导得 13 )( cycxy
再求导 0)(2 3 ycxy
y
ycx
2
再求导
2
2
)(
2)(21
y
yyy
2)(32 yyy
例 2
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy
求通解解 原方程可化为
),
coss i n
s i ncos
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
,xyu?令,,uxuyuxy 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu 分离变量
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu两边积分
,lnln)co sl n ( 2 Cxuu,co s 2x
Cuu
,co s 2xCxyxy 所求通解为,co s Cxyxy?
例 3,32 343 yxyyx求通解解 原式可化为,32 342 yxy
xy 伯努利方程
,32 23
1
3
4
xyxyy即,31 yz令原式变为,323 2xz
xz
,3 2 2xzxz即 一阶线性非齐方程对应齐方通解为,32Cxz?
利用常数变易法,)( 32xxCz?设代入非齐方程得,)( 232 xxxC
,73)( 3
7
CxxC 原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy
例 4,032 4
22
3?
dy
y
xydx
y
x求通解解 )2( 3yxyyP,6 4yx
)3( 4
22
y
xy
xx
Q?
,6
4y
x )0(?y
,xQyP 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u
,1)(
2yy解得
,1)( yy
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,01)32( 24
2
3 dyydyy
xdx
y
x
,0)1()( 3
2
ydyxd即得故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
例 5
.0)2()2( 2222 dyxyxdxyyx
求通解解,22 yyP?,22 xxQ
,xQyP 非全微分方程,
利用积分因子法,
原方程重新组合为
),(2))(( 22 xdyyd xdydxyx
222 yx
x d yyd xdydx
,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx?
故方程的通解为,
yx
yxCe yx
例 6 解方程 0)( 22 y d ydxxyx
[分析 ] 本题看起来简单 但具体求解时发现不是变量可分离 也不是齐次型不是一阶线性 也不是全微分方程怎么办？ 必须对方程进行 变形解一 分项组合 0)()( 22 y d yxdxdxyx
0)(21)( 2222 yxdyx
0)(2 22
22
yx yxddx
cyxx ln)ln (2 22
通解为 xceyx 222
解二 变量代换 )( 22 xxydxdyy
令 uy?2 )(22 2 xxudxdu 一阶非齐次线性微分方程相应齐方程 02 u
dx
du xceu 2
令 xexcu 2)( xexxxc 22 )(2)(
cexxc x 22)( 22 xceu x
222 xcey x
解三 由 2
Q
y
P
x
Q
存在关于 x 的积分因子 xe2
0)( 2222 y d yedxxyxe xx 为全微分方程
x y
dyyxQdxxPyxu
0 0
),()0,(),(
y
x
x
x y dyedxxxe
0
2
0
22 )(
xeyx 222 )(
2
1 通解为 cyxu?),(
积分因子法例 7 设曲线积分L dyxxxfdxxyf ])(2[)( 2
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导且 f(1)=1 求 f (x)
解 由曲线积分与路径无关的条件知
])(2[)]([ 2xxxfxxyfy
)(2)(2)(2 xfxxfxxf
即 1)(2 1)( xfxxf 一阶线性微分方程
)32(1)( 2
3
xcxxf
代入 f(1)=1 得 31?c
故 2
1
3
1
3
2)( xxxf
例 8 解方程 0,1 02xyydxdy
并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0,x = 1
三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积解 dx
y
dy?
21 cxyy )1l n (
2
特解为 )1l n ( 2yyx
xeey
xx
s in h2
1
0
2 dxyV? dxee xx ]2[
4
1
0
22
)4(8 22ee?
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次方程
5.全微分方程
6.线性方程
7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项
f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容
1、五种标准类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()(?形如解法 dxxfdyyg )()(
分离变量法
(2) 齐次型方程 )( xyfdxdy?形如解法 作变量代换 xyu?
一、主要内容可化为齐次的方程
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
形如解法
，
令
kYy
hXx
,
化为齐次方程．
（其中 h和 k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
)()( xQyxPdxdy形如
,0)(?xQ当 齐次．
,0)(?xQ当 非齐次,
解法 齐次方程的通解为
.)( dxxPCey （使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法）(4) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()(形如 )1,0(?n
时，当 1,0?n 方程为线性微分方程,
时，当 1,0?n 方程为非线性微分方程,
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
,1 nyz令
.))1)(((
)()1()()1(
1
cdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
(5) 全微分方程形如 0),(),( dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(
注意,xQyP全微分方程解法?应用曲线积分与路径无关,
yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy
通解为,),( cyxu?
用直接凑全微分的方法,
可化为全微分方程形如 0),(),( dyyxQdxyxP
).( xQyP非全微分方程若 0),(?yx? 连续可微函数，且可使方程
0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全微分方程,则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
公式法,
)(1 xQyPQ若 )( xf? ;)( )( dxxfex?则
)(1 yPxQP若 )( yg?,)( )( dyygey?则
观察法,
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．
2。 各类方程的内在联系
x
Q
y
P
Q d yP d x
0
)()( yNxMdxdy?
)(
1
yN
N
M
x
y
dx
dy )(?
x
yu?
yNxM
1?
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
kyY
hxX
)()( xQyxPdxdy
dxxPexcy )()(
dxxPe )(?
nyxQyxPy )()(
nyz 1
dxxPn
n ey
)()1(1?
三种 基本类型变量可分离 一阶线性 全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型三种基本类型代表三种 典型解法分离变量法 常数变易法 全微分法变量代换 是解微分方程的重要思想和重要方法微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子
3、一阶方程解题程序
0 Q d yP d x
分离变量
Y 解方程
N
x
Q
y
P
Y解方程
N
积分因子 Y
N
),( yxfy
齐次型一阶线性 Bernoulli
二、典型例题例 1 求一微分方程使其通解为
3
21
cx
cxcy
解 由
3
21
cx
cxcy
213 )( cxcycx
求导得 13 )( cycxy
再求导 0)(2 3 ycxy
y
ycx
2
再求导
2
2
)(
2)(21
y
yyy
2)(32 yyy
例 2
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy
求通解解 原方程可化为
),
coss i n
s i ncos
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
,xyu?令,,uxuyuxy 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu 分离变量
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu两边积分
,lnln)co sl n ( 2 Cxuu,co s 2x
Cuu
,co s 2xCxyxy 所求通解为,co s Cxyxy?
例 3,32 343 yxyyx求通解解 原式可化为,32 342 yxy
xy 伯努利方程
,32 23
1
3
4
xyxyy即,31 yz令原式变为,323 2xz
xz
,3 2 2xzxz即 一阶线性非齐方程对应齐方通解为,32Cxz?
利用常数变易法,)( 32xxCz?设代入非齐方程得,)( 232 xxxC
,73)( 3
7
CxxC 原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy
例 4,032 4
22
3?
dy
y
xydx
y
x求通解解 )2( 3yxyyP,6 4yx
)3( 4
22
y
xy
xx
Q?
,6
4y
x )0(?y
,xQyP 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u
,1)(
2yy解得
,1)( yy
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,01)32( 24
2
3 dyydyy
xdx
y
x
,0)1()( 3
2
ydyxd即得故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx
例 5
.0)2()2( 2222 dyxyxdxyyx
求通解解,22 yyP?,22 xxQ
,xQyP 非全微分方程,
利用积分因子法,
原方程重新组合为
),(2))(( 22 xdyyd xdydxyx
222 yx
x d yyd xdydx
,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx?
故方程的通解为,
yx
yxCe yx
例 6 解方程 0)( 22 y d ydxxyx
[分析 ] 本题看起来简单 但具体求解时发现不是变量可分离 也不是齐次型不是一阶线性 也不是全微分方程怎么办？ 必须对方程进行 变形解一 分项组合 0)()( 22 y d yxdxdxyx
0)(21)( 2222 yxdyx
0)(2 22
22
yx yxddx
cyxx ln)ln (2 22
通解为 xceyx 222
解二 变量代换 )( 22 xxydxdyy
令 uy?2 )(22 2 xxudxdu 一阶非齐次线性微分方程相应齐方程 02 u
dx
du xceu 2
令 xexcu 2)( xexxxc 22 )(2)(
cexxc x 22)( 22 xceu x
222 xcey x
解三 由 2
Q
y
P
x
Q
存在关于 x 的积分因子 xe2
0)( 2222 y d yedxxyxe xx 为全微分方程
x y
dyyxQdxxPyxu
0 0
),()0,(),(
y
x
x
x y dyedxxxe
0
2
0
22 )(
xeyx 222 )(
2
1 通解为 cyxu?),(
积分因子法例 7 设曲线积分L dyxxxfdxxyf ])(2[)( 2
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导且 f(1)=1 求 f (x)
解 由曲线积分与路径无关的条件知
])(2[)]([ 2xxxfxxyfy
)(2)(2)(2 xfxxfxxf
即 1)(2 1)( xfxxf 一阶线性微分方程
)32(1)( 2
3
xcxxf
代入 f(1)=1 得 31?c
故 2
1
3
1
3
2)( xxxf
例 8 解方程 0,1 02xyydxdy
并求此曲线 y = y (x) 和直线 x = 0,x = 1
三者所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积解 dx
y
dy?
21 cxyy )1l n (
2
特解为 )1l n ( 2yyx
xeey
xx
s in h2
1
0
2 dxyV? dxee xx ]2[
4
1
0
22
)4(8 22ee?
