常微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，
往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。
本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。
重点五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解基本要求
① 明确微分方程的几个基本概念
② 牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程
③ 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，
会将 Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④ 掌握全微分方程的解法
⑤ 会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥ 掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程一、问题的提出例 1 一曲线通过点 ( 1,2),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2? 2,1 yx 时其中
xdxy 2,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒
2
,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 )(,tssst?米秒钟行驶设制动后
4.02
2
dt sd,20,0,0 dtdsvst 时
14.0 Ctdt
dsv
2122.0 CtCts
代入条件后知 0,20 21 CC
,204.0 tdtdsv
故,202.0 2 tts
开始制动到列车完全停住共需 ),(504.020 秒t
列车在这段时间内行驶了
).(5 0 05020502.0 2 米s
二、微分方程的定义微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy,32 xeyyy
,0)( 2 xdxdtxt,yxx
z
实质,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分 )之间的关系式,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,
分类 2:
一阶微分方程,0),,(yyxF );,( yxfy
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( nyyyxF?
).,,,,( )1()( nn yyyxfy?
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
三、主要问题 -----求方程的解微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0))(,),(),(,( )( xxxxF n?
微分方程的解的分类：
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,yy例 ;xcey?通解
,0 yy ;c o ss i n 21 xcxcy通解
(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解,
解的图象,微分方程的积分曲线,
通解的图象,积分曲线族,
初始条件,用来确定任意常数的条件,
初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,
00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,过定点的积分曲线 ;
二阶,
00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
例 3 验证,函数 ktCktCx s inc o s
21
是微分方程 0
2
2
2
xk
dt
xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,c oss i n 21 ktkCktkCdtdx
,s i ncos 22122
2
ktCkktCkdt xd
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,0,
0
0
t
t dt
dxAx?,0,
21 CAC
所求特解为补充,微分方程的初等解法,初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.cos ktAx?
四、小结微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
思考题函数 xey 23? 是微分方程 04 yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey,12 2 xey
yy 4,03412 22 xx ee
xey 23 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
练 习 题一,填空题,
1,02
2
yxyyx 是 __ __ _ _ 阶微分方程；
2,0
2
2
c
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L 是 __ __ __ 阶微分方程；
3,
2
s i n
d
d
是 __ __ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 __ _ _ 个任意常数,
二、确定函数关系式 )s i n ( 21 cxcy 所含的参数,使其满足初始条件 1xy,0xy,三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的 微分方程,
四、已知函数 1 xbeaey xx,其中 ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案一,1,3 ； 2,2 ； 3,1 ； 4,2,
二,.
2
,1
21
CC
三,02 xyy,
四,xyy 1,
往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。
本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。
重点五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解基本要求
① 明确微分方程的几个基本概念
② 牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程
③ 牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，
会将 Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④ 掌握全微分方程的解法
⑤ 会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥ 掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程一、问题的提出例 1 一曲线通过点 ( 1,2),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy?设所求曲线为
xdxdy 2? 2,1 yx 时其中
xdxy 2,2 Cxy即,1?C求得
.12 xy所求曲线方程为例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒
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,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 )(,tssst?米秒钟行驶设制动后
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dt sd,20,0,0 dtdsvst 时
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2122.0 CtCts
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,204.0 tdtdsv
故,202.0 2 tts
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列车在这段时间内行驶了
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二、微分方程的定义微分方程,
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,
例,xyy,32 xeyyy
,0)( 2 xdxdtxt,yxx
z
实质,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数 (或微分 )之间的关系式,
分类 1,常微分方程,偏常微分方程,
微分方程的阶,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,
分类 2:
一阶微分方程,0),,(yyxF );,( yxfy
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( nyyyxF?
).,,,,( )1()( nn yyyxfy?
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyy
分类 4,单个微分方程与微分方程组,
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
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三、主要问题 -----求方程的解微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy
.0))(,),(),(,( )( xxxxF n?
微分方程的解的分类：
(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,
,yy例 ;xcey?通解
,0 yy ;c o ss i n 21 xcxcy通解
(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解,
解的图象,微分方程的积分曲线,
通解的图象,积分曲线族,
初始条件,用来确定任意常数的条件,
初值问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,
00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,过定点的积分曲线 ;
二阶,
00 00,
),,(
yyyy
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xxxx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
例 3 验证,函数 ktCktCx s inc o s
21
是微分方程 0
2
2
2
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xd
的解,并求满足初始条件
0,
0
0
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,2
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.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx
,0,
0
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21 CAC
所求特解为补充,微分方程的初等解法,初等积分法,
求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
.cos ktAx?
四、小结微分方程 ; 微分方程的阶 ; 微分方程的解 ;
通解 ; 初始条件 ; 特解 ; 初值问题 ; 积分曲线 ;
思考题函数 xey 23? 是微分方程 04 yy
的什么解?
思考题解答
,6 2 xey,12 2 xey
yy 4,03412 22 xx ee
xey 23 中不含任意常数,
故为微分方程的 特 解,
练 习 题一,填空题,
1,02
2
yxyyx 是 __ __ _ _ 阶微分方程；
2,0
2
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L 是 __ __ __ 阶微分方程；
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是 __ __ __ 阶微分方程；
4,一个二阶微分方程的通解应含有 __ _ _ 个任意常数,
二、确定函数关系式 )s i n ( 21 cxcy 所含的参数,使其满足初始条件 1xy,0xy,三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的 微分方程,
四、已知函数 1 xbeaey xx,其中 ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程,
练习题答案一,1,3 ； 2,2 ； 3,1 ； 4,2,
二,.
2
,1
21
CC
三,02 xyy,
四,xyy 1,
