实例,变力沿曲线所作的功
,,BAL?
jyxQiyxPyxF ),(),(),(
常力所作的功
o x
y
A
B
L
1M
2M
1?iM
iM 1?nM
ix?
iy?
分割,),,(,),,(,1111110 BMyxMyxMMA nnnn
.)()(1 jyixMM iiii
.ABFW
对坐标的曲线积分一、问题的提出
,),(),(),( jQiPF iiiiii取
,),( 1 iiiii MMFW
o x
y
A
B
L
1?nMiM
1?iM2M
1M
),( iiF
ix?
iy?
.),(),( iiiiiii yQxPW即求和?
n
i
iWW
1
.]),(),([
1
n
i
iiiiii yQxP
近似值取极限,]),(),([lim
10
n
i
iiiiii yQxPW
精确值二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义
,0
.
),(,,
).,;,,2,1(
),(,
),,(),,(.
),(),,(,
1
11
01
111
222111
时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设
ii
iiiiiiii
nii
nnn
MM
yyyxxx
BMAMniMM
nLyxM
yxMyxML
LyxQyxP
BAxoyL
.),(lim),(
,(
),(
,),(
1
0
1
ii
n
i
i
L
n
i
iii
xPdxyxP
xLyxP
xP
记作或称第二类曲线积分）积分的曲线上对坐标在有向曲线弧数则称此极限为函的极限存在类似地定义,),(lim),(
10
ii
n
i
iL yQdyyxQ
,),(),,( 叫做被积函数其中 yxQyxP,叫积分弧段L
2.存在条件：
.,
),(),,(
第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
L
LL
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
. L dsF?
.,jdyidxdsjQiPF其中
4.推广?空间有向曲线弧,?
Rd zQ d yPd x
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i xPdxzyxP
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i yQdyzyxQ
.),,(lim),,(
10
iii
n
i
i zRdzzyxR
5.性质
.
,)1(
21
21
LLL Q dyP dxQ dyP dxQ dyP dx
LLL 则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设
,
,)2( LLL?
LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
三、对坐标的曲线积分的计算定理
,),(),(
,0)()(,
)(),(
,),(,
),(
),(
,
),(),,(
22
存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设
L
dyyxQdxyxP
tt
tt
BLALyxM
t
ty
tx
L
LyxQyxP
dttttQtttP
dyyxQdxyxP
L
)}()](),([)()](),([{
),(),(
且一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分代 将 L 的参数方程代入被积函数换 dttydydttxdx )(,)(
定限 下限 —— 起点参数值上限 —— 终点参数值特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQdyP dx baL则
.)(:)2( dcyyxxL,终点为起点为?
.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ dyP dx dcL则
.,,
)(
)(
)(
:)3(
终点起点推广 t
tz
ty
tx
dtttttR
ttttQ
ttttP
R dzQdyP dx
)}()](),(),([
)()](),(),([
)()](),(),([{
(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
ty
txL
：设有向平面曲线弧为
,,),(为处的切线向量的方向角上点 yxL
LL dsQPQ d yP d x )c o sc o s(则其中,
)()(
)(c os
22 tt
t
,
)()(
)(c os
22 tt
t
（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx
dsRQPR d zQ d yP d x )c o sc o sc o s(则可用向量表示 dstA rdA, dsAt?
，其中 },,{ RQPA },co s,co s,{ co st?
},,{ dzdydxdstrd 有向曲线元；
.上的投影在向量为向量 tAA t
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到上从为抛物线其中计算
BA
xyLx y d x
L
解
xy?2
)1,1(?A
)1,1(B的定积分，化为对 x)1(,xy
OBAOL x ydxx ydxx ydx
1001 )( dxxxdxxx
10 232 dxx,54?
的定积分，化为对 y)2(,2yx?,11 到从?y
ABL x ydxx ydx 1 1 22 )( dyyyy
11 42 dyy,54?
例 2
.)0,()0,()2(;
)1(
,
2
的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算
aBxaA
a
Ldxy
L
解,
s in
c os:)1(
ay
axL?
)0,(aA)0,( aB?，变到从 0
0原式 daa )s i n(s i n 22?
03a )(c o s)c o s1( 2 d?,34 3a
,0:)2(?yL?
，变到从 aax?
aa dx0原式,0? )0,(aA)0,( aB?
例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算
BAOOAB
BOyx
BOxy
Ldyxx y d x
L
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,
解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL?
10 22 )22( dxxxxx原式
10 34 dxx,1?
2xy?
)0,1(A
)1,1(B
.)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL?
10 42 )22( dyyyyy原式
10 45 dxy,1? )0,1(A
)1,1(B
)3(
AB
OA
dyxxydx
dyxxydx
2
2
2
2原式
,上在 OA
)0,1(A
)1,1(B
,10,0 变到从xy?
10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx?
102 )102(2 dyydyxxy dxAB
10 原式,1?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同,
.1?
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系思考题当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后 （例如 L,tax c o s?,tay s i n?,
]2,0[t,a 是正常数），试问如何表示 L 的方向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L,tax c o s?,tay s i n?,]2,0[t 中当 t 从 0 变到?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
练 习 题一,填空题,
1,对 ____________ _ _ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2,设 0),(),(
dyyxQdxyxP
L
,则
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
),(),(
____________ ；
3,在公式
dyyxQdxyxP
L
),(),(
dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
限 对应于
L
的 ____ 点,上限
对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 _____________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_______________________________,
二,计算下列对坐标的曲线积分,
1,?
L
x yd x,L其中 为圆周 )0()(
222
aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按逆时针方向绕行 ) ；
2,?
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3,?
yd zdydx,其中为有向闭折线 A B C D,这里的 CBA,,依次为点 ( 1,0,0 ),( 0,1,0 ),( 0,0,1 ) ；
4,?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C D A 是以 )0,1(A,)1,0(B,
)0,1(?C,)1,0(?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作的功,
四,把对坐标的曲线积分
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成对弧长的积分,
L其中为,
1,在
xoy
面内沿直线从点 (0,0) 到点 (1,1) ；
2,沿抛物线
2
xy? 从点 (0,0) 到点 (1,1) ；
3,沿上半圆周 xyx 2
22
从点 (0,0) 到点 (1,1),
练习题答案一,1,坐标； 2,- 1 ； 3,起,点；
4,dzRQ d yP d x?
dsRQP )co sco sco s(
,
二,1,;
2
3
a
2, 2 ；
3,
2
1； 4,0,
三, )(,,0,0
12
zzmgWmgF,
四,1,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
yxQyxP
2
),(),(；
2,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
x
yxxQyxP
2
41
),(2),(；
3,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
,
,,BAL?
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精确值二、对坐标的曲线积分的概念
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1
11
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时长度的最大值如果当各小弧段上任意取定的点为点设个有向小弧段分成把上的点用上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设
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2.存在条件：
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第二类曲线积分存在上连续时在光滑曲线弧当 LyxQyxP
3.组合形式
L
LL
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4.推广?空间有向曲线弧,?
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iii
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5.性质
.
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21
21
LLL Q dyP dxQ dyP dxQ dyP dx
LLL 则和分成如果把则有向曲线弧方向相反的是与是有向曲线弧设
,
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LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),(
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,
三、对坐标的曲线积分的计算定理
,),(),(
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,),(,
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,
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22
存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设
L
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且一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分代 将 L 的参数方程代入被积函数换 dttydydttxdx )(,)(
定限 下限 —— 起点参数值上限 —— 终点参数值特殊情形
.)(:)1( baxxyyL,终点为起点为?
.)}()](,[)](,[{ dxxyxyxQxyxPQdyP dx baL则
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.]}),([)(]),([{ dyyyxQyxyyxPQ dyP dx dcL则
.,,
)(
)(
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终点起点推广 t
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(4) 两类曲线积分之间的联系：
,)( )(
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)()(
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（可以推广到空间曲线上 ）?
,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx
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.上的投影在向量为向量 tAA t
例 1
.)1,1()1,1(
,2
的一段弧到上从为抛物线其中计算
BA
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L
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)1,1(?A
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1001 )( dxxxdxxx
10 232 dxx,54?
的定积分，化为对 y)2(,2yx?,11 到从?y
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例 2
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例 3
).1,1(),0,1(
)0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(
,2
2
2
2
依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算
BAOOAB
BOyx
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Ldyxx y d x
L
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,
解,)1( 的积分化为对 x
,10,,2 变到从xxyL?
10 22 )22( dxxxxx原式
10 34 dxx,1?
2xy?
)0,1(A
)1,1(B
.)2( 的积分化为对 y
,10,,2 变到从yyxL?
10 42 )22( dyyyyy原式
10 45 dxy,1? )0,1(A
)1,1(B
)3(
AB
OA
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2原式
,上在 OA
)0,1(A
)1,1(B
,10,0 变到从xy?
10 22 )002(2 dxxxdyxx y d xOA
.0?
,上在 AB,10,1 变到从yx?
102 )102(2 dyydyxxy dxAB
10 原式,1?
问题,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同,
.1?
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系思考题当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后 （例如 L,tax c o s?,tay s i n?,
]2,0[t,a 是正常数），试问如何表示 L 的方向 （如 L 表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定,
例如 L,tax c o s?,tay s i n?,]2,0[t 中当 t 从 0 变到?2 时,L 取逆时针方向 ;
反之当 t 从?2 变到 0 时,L 取顺时针方向,
练 习 题一,填空题,
1,对 ____________ _ _ 的曲线积分与曲线的方向有关；
2,设 0),(),(
dyyxQdxyxP
L
,则
L
L
dyyxQdxyxP
dyyxQdxyxP
),(),(
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____________ ；
3,在公式
dyyxQdxyxP
L
),(),(
dttttQtttP )}()](,)([)()](,)([{ 中,下
限 对应于
L
的 ____ 点,上限
对应于
L
的 ____ 点；
4,两类曲线积分的联系是 _____________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_______________________________,
二,计算下列对坐标的曲线积分,
1,?
L
x yd x,L其中 为圆周 )0()(
222
aayax 及
x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( 按逆时针方向绕行 ) ；
2,?
L
yx
dyyxdxyx
22
)()(
,L其中 为圆周
222
ayx ( 按逆时针方向饶行 ) ；
3,?
yd zdydx,其中为有向闭折线 A B C D,这里的 CBA,,依次为点 ( 1,0,0 ),( 0,1,0 ),( 0,0,1 ) ；
4,?
A B C D A
yx
dydx
,其中 A B C D A 是以 )0,1(A,)1,0(B,
)0,1(?C,)1,0(?D 为顶点的正方形正向边界线,
三,设 z 轴与重力的方向一致,求质量为 m 的质点从位置 ),,(
111
zyx 沿直线移到 ),,(
222
zyx 时重力所作的功,
四,把对坐标的曲线积分
L
dyyxQdxyxP ),(),( 化成对弧长的积分,
L其中为,
1,在
xoy
面内沿直线从点 (0,0) 到点 (1,1) ；
2,沿抛物线
2
xy? 从点 (0,0) 到点 (1,1) ；
3,沿上半圆周 xyx 2
22
从点 (0,0) 到点 (1,1),
练习题答案一,1,坐标； 2,- 1 ； 3,起,点；
4,dzRQ d yP d x?
dsRQP )co sco sco s(
,
二,1,;
2
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3,
2
1； 4,0,
三, )(,,0,0
12
zzmgWmgF,
四,1,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
ds
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2
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2,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
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2
41
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3,
L
dyyxQdxyxP ),(),(
L
dsyxQxyxPxx )],()1(),(2[
2
,
