换元积分法直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法 —— 换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法 —— 换元积分法。通常根据换元的先后，
把换元法分成第一类换元和第二类换元。
问题? xdx2c o s,2s i n Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
xdx2c o s dtt c os21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法
xCx 2c o s]2s i n21[说明结果正确将上例的解法一般化：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
)(])([ xuduuf?
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
—— 换元法积分公式设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
注 ① 定理说明：若已知 CuFduuf )()(
则 CxFdxxxf )]([)()]([
因此该定理的意义就在于把
CuFduuf )()( 中的 u 换成另一个
x 的可微函数 )(x? 后，式子仍成立
—— 又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。
dx
② 由定理可见，虽然 dxxxf )()]([
是一整体记号，但可把 视为自变量微分
)()( xddxx —— 凑微分
③ 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化 dxxf )(
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分 ——
中间变量 和 积分变量 —— 变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例 1 求,2s in? xdx
解 （一）? xdx2s in )2(2s i n21 xxd;2c os21 Cx
解 （二）? xdx2s in x d xx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? xdx2s in x d xx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
例 2 求,23
1 dx
x
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )( l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,)ln21l n(21 Cx
例 4 求,)1( 3 dxx
x?
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 )0(1 22 adxxa
解
dx
a
x
a
dx
xa 222
1
11
)(
1
1
2 a
x
d
a
x
Cax a r cs i n
例 6 求,
1
22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.ar c t an1 Caxa
例 7 dxxa 22 1
解 dxxa 22 1 dxxaxa ))(( 1
dxxaxaa ]11[21
Cxaxaa |]|ln||[ l n2 1
Cxa xaa ||ln21
注意,分子拆项 是常用的技巧例 8 求,258
1
2 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a r c t a n31 Cx
例 9 求,1
1 dx
e x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n ( Cex x
例 10 求,)
11( 1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 11 求,1232
1 dx
xx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 12 求解
.c o s1 1 dxx
dxxc os1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2c os1 c os1 dxx x2s i nc os1
)( s i ns i n 1s i n 1 22 xdxdxx
.s i n1c ot Cxx
或 dxxdxx
2
c os2
1
c os1
1
2C
x
2t a n
例 13 求解
.co ss i n 52 x d xx
xdxx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 14 求解
.2co s3co s? x d xx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5c os( c o s212c os3c os xxxx
dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 15 求解 （一） dxxs in1
.cs c? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
cos
2
t an
1
2
x
d
xx
2
t an
2
t an
1 x
d
x
Cx 2t anln,)c o tl n ( c s c Cxx
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） dxxs in1? xdxc sc dxxx2s i ns i n
)( c osc os1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,c os1 c os1ln21 Cxx
解（三）? xdxc sc dxxx xxx co tcs c )co t( cs ccs c
dxxx xxx c otc s c c otc s cc s c
2
)co t( cs cco tcs c 1 xxdxx
Cxx )c o tln( c s c Cxx )c o tln( c s c
类似地可推出,)t anl n ( s ecs ec Cxxxd x
dxxxdx co s1s ec )2()
2
s i n (
1?
xdx
Cxx )]2co t ()2l n [ cs c(
Cxx )t a nln( s e c
解例 16 设 求,,co s)( s i n 22 xxf )(xf
令 xu 2s in?,1c o s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 17 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( ar c s i n
2
ar c s i n
1 x
d
x?
.2ar c s i nln Cx
例 18 dxxx xx c o ss i n s i nc o s
解（一） 分子分母同乘以 xx s i nc o s?
dxxx xx co ss i n s i nco s dxx x 2co s 2s i n1
)2(2co s 2s i n21)2(2s ec21 xdxxxxd
Cxxx ]2co sln)2t a n2[ l n ( s ec21
Cx )2s i n1l n (21
Cxx )s inln( c o s
解（二） 分子分母和差化积
dxxx xx co ss i n s i nco s
dx
xx
xx
c o s)
2
c o s (
)
2
c o s (c o s
dx
x
x
)
4
cos (
)
4
s i n (
Cx |)4co s (|ln?
解（三） 分子恰为分母的导数
dxxx xx co ss i n s i nco s dxxx xx co ss i n )co s( s i n
)co s( s i nco ss i n 1 xxdxx
Cxx )c o sln( s in
dxxBxA xbxa s i nco s s i nco s )0( 22 BA
dxxBxA xbxa s i nco s s i nco s
dxxBxA xBxANxBxAM s i nco s )s i nco s()s i nco s(
2222,BA
bAaBN
BA
bBaAM
dxxBxA xbxa s i nc o s s i nc o s
CxBxANMx )s i nc o sl n(
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，
不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，
只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf
令 )]([)( xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf,)(1t
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元公式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元公式
CxFdxxf )()(,)]([ Cx
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
)]([ tf ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 19 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt )t a nl n ( s e c
t a
x22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
Cxax )l n ( 22
例 20 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? tdtdx c os2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 td ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
例 21 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t tdttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat an t ans e c
tdts e c Ctt )t a nl n ( s e c
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
Caxx )l n ( 22
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，
掌握着取单调区间即可。
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用 双曲代换,
1s i n hco sh 22 tt?
taxtax c o s h,s i n h 也可以化掉根式例 中,令 dxax 221 tax s in h? td tadx c o sh?
dxax 221 dtta ta c os hc os h Ctdt
Caxar s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x?
说明 (3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
例 22 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
解 21 xt令,122 tx,tdtxdx?
dxxx 2
5
1
tdt
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
例 23 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
.1tx?说明 (4) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换例 24 求 dxxx )2(
1
7
解 令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx
例 25 求解
.11 24 dxxx
dxxx 11 24
令 tx 1?,12 dttdx dx
t
tt
2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
2tu?
duuu121 duuu1 1121
)1(11 121 uduu
Cuu 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 26 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
基本积分表;coslnt an)16( Cxxdx;s i nlncot)17( Cxxd x;)t anl n ( s ecs ec)18( Cxxxd x;)cotl n ( cs ccs c)19( Cxxxdx;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa;arcs i n1)23( 22 Caxdxxa
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax;ln2 11)21( 22 Cax axadxax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法 —— 换元积分法。通常根据换元的先后，
把换元法分成第一类换元和第二类换元。
问题? xdx2c o s,2s i n Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量,
过程 令 xt 2?,21 dtdx
xdx2c o s dtt c os21 Ct s i n21,2s i n21 Cx
一、第一类换元法
xCx 2c o s]2s i n21[说明结果正确将上例的解法一般化：
设 ),()( ufuF 则,)()( CuFduuf
如果 )( xu （可微）
dxxxfxdF )()]([)]([
CxFdxxxf )]([)()]([
)(])([ xuduuf?
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
—— 换元法积分公式设 )( uf 具有原函数，
dxxxf )()]([ )(])([ xuduuf?
第一类换元公式 （ 凑微分法 ）
说明 使用此公式的关键在于将
dxxg )( 化为,)()]([ dxxxf
观察重点不同，所得结论不同,
)( xu 可导，
则有换元公式定理 1
注 ① 定理说明：若已知 CuFduuf )()(
则 CxFdxxxf )]([)()]([
因此该定理的意义就在于把
CuFduuf )()( 中的 u 换成另一个
x 的可微函数 )(x? 后，式子仍成立
—— 又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。
dx
② 由定理可见，虽然 dxxxf )()]([
是一整体记号，但可把 视为自变量微分
)()( xddxx —— 凑微分
③ 凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积表达式进行变形，主要考虑如何变化 dxxf )(
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分 ——
中间变量 和 积分变量 —— 变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量例 1 求,2s in? xdx
解 （一）? xdx2s in )2(2s i n21 xxd;2c os21 Cx
解 （二）? xdx2s in x d xx c o ss i n2
)( s i ns i n2 xxd ;s i n 2 Cx
解 （三）? xdx2s in x d xx c o ss i n2
)( c o sc o s2 xxd,c o s 2 Cx
例 2 求,23
1 dx
x
解,)23(23 12123 1 xxx
dxx 23 1 dxxx )23(23 121
duu 121 Cu ln21,)23l n(21 Cx
dxbaxf )( baxuduufa ])([1一般地例 3 求,)ln21(
1 dx
xx
解 dxxx )ln21( 1 )( l n
ln21
1 xd
x
)ln21(ln21 121 xdx
xu ln21
duu121 Cu ln21,)ln21l n(21 Cx
例 4 求,)1( 3 dxx
x?
解 dxxx 3)1( dxx
x?
3)1(
11
)1(])1( 1)1( 1[ 32 xdxx
221 )1(2
1
1
1 C
xCx
.)1(2 11 1 2 Cxx
例 5 )0(1 22 adxxa
解
dx
a
x
a
dx
xa 222
1
11
)(
1
1
2 a
x
d
a
x
Cax a r cs i n
例 6 求,
1
22 dxxa
解 dxxa 22 1
dx
a
xa?
2
2
2
1
11
a
x
d
a
xa
2
1
11
.ar c t an1 Caxa
例 7 dxxa 22 1
解 dxxa 22 1 dxxaxa ))(( 1
dxxaxaa ]11[21
Cxaxaa |]|ln||[ l n2 1
Cxa xaa ||ln21
注意,分子拆项 是常用的技巧例 8 求,258
1
2 dxxx
解 dxxx 25812 dxx 9)4(
1
2
dx
x
1
3
4
1
3
1
22
3
4
1
3
4
1
3
1
2
x
d
x
.3 4a r c t a n31 Cx
例 9 求,1
1 dx
e x
解 dxe x1 1 dxe
ee
x
xx
11
dxee x
x
11 dxeedx x
x
1
)1(1 1 xx ededx
.)1l n ( Cex x
例 10 求,)
11( 1
2 dxex
xx
解,
111
2xxx
dxex xx
1
2 )
11(
)1(
1
xxde
xx,1 Ce xx
例 11 求,1232
1 dx
xx
原式dxxxxx xx 12321232 1232
dxxdxx 12413241
)12(1281)32(3281 xdxxdx
,1212132121 33 Cxx
例 12 求解
.c o s1 1 dxx
dxxc os1 1
dx
xx
x
c o s1c o s1
c o s1
dxxx2c os1 c os1 dxx x2s i nc os1
)( s i ns i n 1s i n 1 22 xdxdxx
.s i n1c ot Cxx
或 dxxdxx
2
c os2
1
c os1
1
2C
x
2t a n
例 13 求解
.co ss i n 52 x d xx
xdxx 52 c o ss i n )( s i nco ss i n 42 xxdx
)( s i n)s i n1(s i n 222 xdxx
)( s i n)s i ns i n2( s i n 642 xdxxx
.s i n71s i n52s i n31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,
例 14 求解
.2co s3co s? x d xx
)],c o s ()[ c o s (21c o sc o s BABABA
),5c os( c o s212c os3c os xxxx
dxxxxdxx )5c o s( c o s212c o s3c o s
.5s i n101s i n21 Cxx
例 15 求解 （一） dxxs in1
.cs c? xdx
xdxc sc
dxxx
2
c o s
2
s i n2
1
2
2
cos
2
t an
1
2
x
d
xx
2
t an
2
t an
1 x
d
x
Cx 2t anln,)c o tl n ( c s c Cxx
（使用了三角函数恒等变形）
解 （二） dxxs in1? xdxc sc dxxx2s i ns i n
)( c osc os1 1 2 xdxxu c o s?
duu 21 1 duuu 1 11 121
Cuu 11ln21,c os1 c os1ln21 Cxx
解（三）? xdxc sc dxxx xxx co tcs c )co t( cs ccs c
dxxx xxx c otc s c c otc s cc s c
2
)co t( cs cco tcs c 1 xxdxx
Cxx )c o tln( c s c Cxx )c o tln( c s c
类似地可推出,)t anl n ( s ecs ec Cxxxd x
dxxxdx co s1s ec )2()
2
s i n (
1?
xdx
Cxx )]2co t ()2l n [ cs c(
Cxx )t a nln( s e c
解例 16 设 求,,co s)( s i n 22 xxf )(xf
令 xu 2s in?,1c o s 2 ux
,1)( uuf
duuuf 1)(,21 2 Cuu
.21)( 2 Cxxxf
例 17 求解
.
2
a r c s i n4
1
2
dx
x
x
dx
x
x
2
a r c s i n4
1
2
2
2
arc s i n
2
1
1
2
x
d
xx
)
2
( ar c s i n
2
ar c s i n
1 x
d
x?
.2ar c s i nln Cx
例 18 dxxx xx c o ss i n s i nc o s
解（一） 分子分母同乘以 xx s i nc o s?
dxxx xx co ss i n s i nco s dxx x 2co s 2s i n1
)2(2co s 2s i n21)2(2s ec21 xdxxxxd
Cxxx ]2co sln)2t a n2[ l n ( s ec21
Cx )2s i n1l n (21
Cxx )s inln( c o s
解（二） 分子分母和差化积
dxxx xx co ss i n s i nco s
dx
xx
xx
c o s)
2
c o s (
)
2
c o s (c o s
dx
x
x
)
4
cos (
)
4
s i n (
Cx |)4co s (|ln?
解（三） 分子恰为分母的导数
dxxx xx co ss i n s i nco s dxxx xx co ss i n )co s( s i n
)co s( s i nco ss i n 1 xxdxx
Cxx )c o sln( s in
dxxBxA xbxa s i nco s s i nco s )0( 22 BA
dxxBxA xbxa s i nco s s i nco s
dxxBxA xBxANxBxAM s i nco s )s i nco s()s i nco s(
2222,BA
bAaBN
BA
bBaAM
dxxBxA xbxa s i nc o s s i nc o s
CxBxANMx )s i nc o sl n(
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，
不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，
只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。
问题?1 25 dxxx
解决方法 改变中间变量的设置方法,
过程 令 tx sin?,c o s td tdx
dxxx 25 1 td ttt c o ss i n1)( s i n 25
td tt 25 c o ss i n
（应用“凑微分”即可求出结果）
二、第二类换元法其中 )( x? 是 )( tx 的反函数,
证 设 为 的原函数,)(t? )()]([ ttf
令 )]([)( xxF
则 dxdtdtdxF )( )()]([ ttf,)(1t
设 )( tx 是单调的、可导的函数，
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
则有换元公式并且 0)( t?,又设 )()]([ ttf 具有原函数，
定理 2
第二类积分换元公式
CxFdxxf )()(,)]([ Cx
)(
)()]([)(
xt
dtttfdxxf
)]([ tf ).( xf?
说明 )( xF 为 )( xf 的原函数,
例 19 求解
).0(1 22 adxax
令 tax t a n? tdtadx 2s e c
dxax 22 1 tdtata 2s e cs e c1
tdts e c Ctt )t a nl n ( s e c
t a
x22 ax?,ln 22 C
a
ax
a
x?
2,2t
Cxax )l n ( 22
例 20 求解
.4 23 dxxx
令 tx s in2? tdtdx c os2 2,2t
dxxx 23 4 td ttt c o s2s i n44s i n2 23
td tt 23 c o ss i n32 td ttt 22 c o s)c o s1(s i n32
tdtt c o s)c o s( c o s32 42
Ctt )c o s51c o s31(32 53t2 x
24 x,45
14
3
4 5232 Cxx
例 21 求解
).0(1 22 adxax
令 tax s e c 2,0t tdttadx t a ns e c?
dxax 22 1 dtta ttat an t ans e c
tdts e c Ctt )t a nl n ( s e c
t a
x 22 ax?
.ln
22
C
a
ax
a
x?
Caxx )l n ( 22
说明 (1) 以上几例所使用的均为 三角代换,
三角代换的 目的 是化掉根式,
一般规律如下：当被积函数中含有
22)1( xa?可令 ;s in tax?
22)2( xa?可令 ;t a n tax?
22)3( ax?可令,s e c tax?
注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，
掌握着取单调区间即可。
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用 双曲代换,
1s i n hco sh 22 tt?
taxtax c o s h,s i n h 也可以化掉根式例 中,令 dxax 221 tax s in h? td tadx c o sh?
dxax 221 dtta ta c os hc os h Ctdt
Caxar s i nh,ln
22
C
a
ax
a
x?
说明 (3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,
例 22 求 dxx
x?
2
5
1 （三角代换很繁琐）
解 21 xt令,122 tx,tdtxdx?
dxxx 2
5
1
tdt
t
t 22 1
dttt 12 24
Cttt 35 3251,1)348(151 242 Cxxx
例 23 求解
.1 1 dxe x
xet 1令,12 te x
,122 dtt tdx
dxe x1 1 dt
t 1
2
2 dttt
1
1
1
1
Ctt 11ln,11ln2 Cxe x
,1ln 2 tx
.1tx?说明 (4) 当分母的阶较高时,可采用 倒代换例 24 求 dxxx )2(
1
7
解 令 tx 1?,12 dttdx
dxxx )2( 17
dt
t
t
t
27
1
2
1?
dtt
t
7
6
21
Ct |21|ln141 7,||ln21|2|ln141 7 Cxx
例 25 求解
.11 24 dxxx
dxxx 11 24
令 tx 1?,12 dttdx dx
t
tt
2
24
1
1
11
1
（分母的阶较高）
dttt 2
3
1
2
2
2
12
1 dt
t
t?
2tu?
duuu121 duuu1 1121
)1(11 121 uduu
Cuu 1131 3
.11
3
1 2
32
C
x
x
x
x
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令
（其中 为各根指数的 最小公倍数 ）
lk xx,,? ntx?
n
例 26 求,)1(
1
3 dxxx
解 令 6tx?,6 5 dttdx
dxxx )1( 1 3 dttt t )1( 6 23
5
dttt 2
2
1
6
dttt 2
2
1
116
dtt 21 116
Ctt ]a r c t a n[6
.]a r c t a n[6 66 Cxx
基本积分表;coslnt an)16( Cxxdx;s i nlncot)17( Cxxd x;)t anl n ( s ecs ec)18( Cxxxd x;)cotl n ( cs ccs c)19( Cxxxdx;ar c t an11)20( 22 Caxadxxa;ln2 11)22( 22 Cxa xaadxxa;arcs i n1)23( 22 Caxdxxa
.)l n (1)24( 2222 Caxxdxax;ln2 11)21( 22 Cax axadxax
三、小结两类积分换元法：
（一） 凑微分
（二） 三角代换、倒代换、根式代换基本积分表 (2)
思考题求积分,)1( l n)ln( dxxxx p
思考题解答
dxxxxd )ln1()ln(
dxxxx p )1( l n)ln( )ln()ln( xxdxx p
1,)lnl n (
1,
1
)ln( 1
pCxx
pC
p
xx p
