曲面积分 习题课曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算 计算联系 联系
（一） 曲线积分与曲面积分一、主要内容曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定 义 性 质 计算公式两者关系对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲面块的质量 流向曲面指定侧的流量性质 线性、可加、与侧无关 线性、可加、与侧有关计算 一代、二换、三投影 一代、二投、三定号联系曲面积分
n
i
iiii SfdSzyxf
10
),,(lim),,(
ni xyiiii SRdx dyzyxR 10 ))(,,(lim),,(
dSRQPR d x d yQd z d xP d y dz )c o sc o sc o s(
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
DL
d x d yyPxQQ d yP d x )(
DL
d x d yyQxPP d yQ d x )(或为平面向量场)( MA?
DL dxdykAr otsdA )( DL dxdyAdi vdsnA )(
推广 推广为空间向量场)( MA
dSnAr o tdSA )(
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQd yP dx
dvAdi vdsnA )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系关于对称性对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性你对称，我奇偶积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性关于对面积的曲面积分的应用曲面面积
dSA
曲面质量
dSzyxM ),,(
重心坐标
dS
dSx
x
dS
dSy
y
dS
dSz
z
转动惯量
dSzyI x )( 22
dSzxI y )( 22
dSyxI z )( 22
二、典型例题例 1 求椭圆柱面 195
22
yx 位于 xoy 面上方和平面 z = y 下方的那部分的侧面积解一 易见曲面对称于 yoz 面
1
2 dSdSA
yzyxyx 0,0,0,195:
22
1?
面的投影在 yo z1?
yzyD 0,30:
29
3
5 yx
D
zy d y d zxxA
2212
D
d yd z
y
y
2
2
93
812
dy
y
y?
3
0
2
2
9
81
3
2 )s i n3(y令
2
0
2 s i ncos456
d5ln
4
159
解二 对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积侧面积
L L ydsz d sA
)0(s i n3 cos5,
t
ty
txL
0
22 co s9s i n5s i n3 dttttA
0
2 s i nco s453 tdtt
2
0
253 duu 5ln
4
159
注曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz?
x
yo
z
dSS
xyD
yx d x d yzz 221
z
x
o y
),( yxfz?
s
LA Ba
b
dsyxfS BAL ),( ),(
dxyyxfba 21),(
曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，
x
z
yo
),( yxfz?
LD
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22?
例 2 计算
dxdy
yx
e z
22 22 yxz为锥面?
及平面 z = 1,z = 2 所围立体的表面的外侧解一 由 Gauss 公式
d x d y d z
yx
edxdy
yx
e zz
2222
22 e
解二 321
4,2,221 yxz? 上侧
1,1,222 yxz? 下侧
21,,223 zyxz? 外侧
41 223 yxxoy,面的投影在?
1 2 3
4 1
2222
2
22 22yx yx
dxdy
yx
edxdy
yx
e
41
22
22
22
yx
yx
dxdy
yx
e（ 用极坐标 ）
r d rredr d rred
2
0
1
0
2
0
2
0
2
r d rred
r
2
0
2
1
22 e
例 3 求柱面 13
2
3
2
yx 在球面 1222 zyx 内的侧面积,
解 由对称性
L
L
dsyx
z dsS
221
8
,1,3232 yxL? )20(,s i n
,c o s
3
3?
t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 t d ttdtyxds tt
t d ttttS co ss i n3s i nco s18 20 66?
t d tttt co ss i nco ss i n324 20 22?
20 22 co ss i n324 t d tt.2 33
例 4 计算
dSx y z || 1,22 zyxz 被平面?
所截下的部分解 在第一卦限的部分为记 1
积分曲面关于 yoz 面,zox 面对称被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数由对称性 0,0,1,22 yxyxD
1
4|| xy z dSdSxy z
d x d yyxyxxy
D
2222 441)(4
2
0
1
0
222 41coss i n4
r d rrrrd
1
0
25 412 drrr
420
15125
例 5 计算
dSzyx 222 1
2220 RyxHzz 间的圆柱面，是介于?
解 RyyRx 0,,221?
HzRyDyoz 0,01,面的投影在?
由对称性
dSzyx 222 1
dy dzyR RzR
D
2222 14
H R
dy
yR
dzzRR
0 0
2222
114
0a r c s i n0a r c t a n4
R
R
yH
R
z
R
Ha r ct a n2
例 6 计算
dxdyzz y d z d xz x d y d zI )1(24 2
)0(,ayezy oz y面上的曲线?
绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧解 补上曲面
2220,,ayxez a
取上侧则由 Gauss 公式
0
)1(24 2
dxdyzz y dz dxz xd y dz
0)224( dvzzz
0
)1(24 2
dx dyzz y dz dxz xd y dz
0
)1( 2
dxdyz
222
)1( 2
ayx
a dxdye 22 )1( ae a
d xd yzz y d z dxz x dyd zI )1(24 2
0
)1(24 2
dxdyzz y d z dxz xd y dz22 )1( ae a
．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例 7
解
x
yo
z 1
11?
利用两类曲面积分之间的关系
},1,1,1{ n 的法向量为
.31c o s,31c o s,31c o s
dSzzyxfyzyxf
xzyxfI
]}),,([
3
1
]),,(2[
3
1
]),,([
3
1
{
dSzyx )(31
xyD
d x d y3131,21?
向量点积法
,1,,),,(,yx ffyxfz 法向量为设
R dxdyQ dz dxP dy dzI
},,{},,{
dxdydz dxdy dzRQP
dSnA 0
dxdyffRQP yx }1,,{},,{
.}1,,{},,{ d x d yffRQPxoy yx
面投影在将例 8
所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算
2,1
,
22
2
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
解
D
利用向量点积法
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
d x d yyx yyx xzxyI
1,,,,
2222
2
dx d yz 2
xyD
d x d yyx )( 22 ]41:[ 22 yxD xy
21 220 r drrd,215
例 9 计算曲面积分
y z d x d yd z d xyx d y d zyI 4)1(2)18(
2
,
其中? 是由曲线 )31(
0
1
y
x
yz
绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于
2
,
解
221
0
1
xzy
y
x
yz
轴旋转面方程为绕
(如下图 )
x
y
z
o 1 3
2*
y z dx dydz dxyxd y dzyI 4)1(2)18( 2
欲求
* *
I且有
dvzRyQxP )(
*?
dvyyy )4418(
dv
xzD
xz
dydxd z 3
1 22
3
1
2
0
2
0 2 dydd
20 3 )2(2 d,2
* *
2 )31(2 dz dx,32
)32(2I故,34
例 10 计算
d x d yzd z d xyd y d zx 222
2222 )()()(,Rczbyax 的外表面解一 先计算
d x d yz 2
2221 )()(,byaxRcz 下侧
2222 )()(,byaxRcz 上侧
222 )()(,RbyaxD
d x d ybyaxRcd x d yz
D
22222 ])()([
d x d ybyaxRc
D
2222 ])()([
d x d ybyaxRc
D
222 )()(4
222
2224
Rvu
d u d vvuRc cR 38
3?
同理 aRd ydzx
3
8 32
bRd z d xy
3
8 32
)(38
3
222 cbaRd xd yzd z d xyd y dzx
解二 由 Gauss 公式
dxdyzd z d xyd ydzx 222
d x d ydzzyx )(2
d xd y d zcbaczbyax )]())()[(2
2222
)(2
Rwvu
d u d vd wwvu 34)(2
3R
cba
= 0 （用对称性）
)(38
3
cbaR
例 11 计算曲面积分
3222 )( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
的上侧为曲面其中 )0(9 )1(16 )2(51
22
zyxz?
解 222 zyxr记
333,,r
zR
r
yQ
r
xP
z
R
y
Q
x
P
5
222222 333
r
zryrxr
0? )0(?r
考虑使用 Gauss 公式但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的,碗,
扣在 xoy坐标面上，与 xoy坐标面的截痕为
9
)1(
16
)2(1 22 yx
故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口但要注意 zRyQxP 在（ 0,0,0）不存在而（ 0,0,0）又在 z = 0 上，故须挖去 （ 0,0,0）
考虑到 P,Q,R的分母为 32223 )( zyxr
为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点
22221, zyx 0?z 下侧
2222 )(0, yxz 下侧 19 )1(16 )2(
22
yx
1?
2?
围成21
内在?
0 zRyQxP
故由 Gauss 公式
21 1 2
1 2
0
02?z上在?
2
0
P dy dz
2
0
Q dz dx
2
0
R dxdy
上在 1? 2222 zyx
zyxn,,
c o s,c o s,c o s?
1
3
r
z d x d yydz d xx d yd z dSzyx
1 2
3
2 )(
c osc osc os
dSzzyyxx )]()()([1
1
3
1
2
1
dS 24211 22
3222 )( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
1
2
测 验 题一,选择题,
1,设 L 为
2
3
0,
0
yxx,则
L
ds4 的值为 ( ),
(A)
0
4 x,(B),6 (C)
0
6 x,
2,设
L
为直线 0yy? 上从点 ),0( 0yA 到点 ),3( 0yB 的有向直线段,则
L
dy2 =( ),
(A)6; (B) 0
6 y; (C)0,
3,若
L
是上半椭圆
,s i n
,co s
tby
tax
取顺时针方向,则
L
x d yyd x 的值为 ( ),
(A) 0 ; (B) ab
2; (C) ab?,
4,设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,则在 D 内与
L
QdyP d x 路径无关的条件
Dyx
y
P
x
Q
),(,是 ( ).
(A ) 充分条件 ; (B ) 必要条件 ; (C ) 充要条件,
5,设
为球面 1
222
zyx,
1
为其上半球面,则
( ) 式正确,
(A )
1
2 z d sz d s ;
(B )
1
2 z d x d yz d x d y;
( C)
1
22
2 d x d yzd x d yz
.
6,若? 为 )(2
22
yxz 在 xoy 面上方部分的曲面,
则
ds 等于 ( ),
(A)
r
rdrrd
0
2
2
0
41
; ( B)
2
0
2
2
0
41 rdrrd
;
(C)
2
0
2
2
0
41 rdrrd
,
7,若
为球面
2222
Rzyx 的外侧,则
z d x d yyx
22
等于 ( ),
(A)
xy
D
d x d yyxRyx
22222;
(B) 2
xy
D
d x d yyxRyx
22222; (C) 0,
8,曲面积分
d x d yz
2
在数值上等于 ( ).
(A) 向量 iz
2
穿过曲面? 的流量；
(B) 面密度为
2
z 的曲面? 的质量；
(C) 向量 kz
2
穿过曲面? 的流量,
9,设? 是球面
2222
Rzyx 的外侧,
xy
D 是 xoy 面上的圆域
222
Ryx,下述等式正确的是 ( ),
( A)
xy
D
d x d yyxRyxz d syx
2222222；
( B)
xy
D
d x d yyxd x d yyx )()(
2222；
( C)
xy
D
dxdyyxRz d x d y
222
2,
二、计算下列各题,
1,求
z d s,其中? 为曲线
,
,s i n
,co s
tz
tty
ttx
)0(
0
tt ；
2,求
L
xx
dyyedxyye )2co s()2sin(,其中 L 为上半圆周
222
)( ayax,0?y,沿逆时针方向,
三、计算下列各题,
1,求
222
zyx
ds
其中? 是界于平面
Hzz 及0
之间的圆柱面
222
Ryx；
2,求
dxdyyxdzdxxzd yd zzy )()()(
222
，
其中? 为锥面 )0(
22
hzyxz 的外侧；
3,
3222
)( zyx
z d x d yyd z d xx d yd z
其中
为 曲 面
9
)1(
16
)2(
5
1
22
yxz
)0(?z 的上侧,
四、证明,
22
yx
y d yx d x
在整个
xoy
平面除去
y
的负半轴及原点的开区域
G
内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数,
五、求均匀曲面
222
yxaz
的重心的坐标,
六、求向量 kzjyixA
通过区域,?,10 x
10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量,
七、流体在空间流动,流体的密度? 处处相同 ( 1 ),
已知流速函数 kzyjyxixzV
222
,求流体在单位时间内流过曲面 zzyx 2:
222
的流量 (
流向外侧 ) 和沿曲线,L zzyx 2
222
,
1?z
的环流量 ( 从
z
轴正向看去逆时针方向 ),
测验题答案一,1,B ； 2,C ； 3,C ； 4,C ； 5,B ；
6,C ； 7,B ； 8,C ； 9,C ； 10,B,
二,1,
3
22)2(
2
3
2
0
t； 2,
2
a?,
三,1,
R
H
a rcta n2? ； 2,
4
4
h
； 3,0,
四,)l n(
2
1
),(
22
yxyxu,
五,)
2
,0,0(
a
,六,3.
七,0,
15
32
,
（一） 曲线积分与曲面积分一、主要内容曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定 义 性 质 计算公式两者关系对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲面块的质量 流向曲面指定侧的流量性质 线性、可加、与侧无关 线性、可加、与侧有关计算 一代、二换、三投影 一代、二投、三定号联系曲面积分
n
i
iiii SfdSzyxf
10
),,(lim),,(
ni xyiiii SRdx dyzyxR 10 ))(,,(lim),,(
dSRQPR d x d yQd z d xP d y dz )c o sc o sc o s(
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
DL
d x d yyPxQQ d yP d x )(
DL
d x d yyQxPP d yQ d x )(或为平面向量场)( MA?
DL dxdykAr otsdA )( DL dxdyAdi vdsnA )(
推广 推广为空间向量场)( MA
dSnAr o tdSA )(
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQd yP dx
dvAdi vdsnA )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系关于对称性对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性你对称，我奇偶积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性关于对面积的曲面积分的应用曲面面积
dSA
曲面质量
dSzyxM ),,(
重心坐标
dS
dSx
x
dS
dSy
y
dS
dSz
z
转动惯量
dSzyI x )( 22
dSzxI y )( 22
dSyxI z )( 22
二、典型例题例 1 求椭圆柱面 195
22
yx 位于 xoy 面上方和平面 z = y 下方的那部分的侧面积解一 易见曲面对称于 yoz 面
1
2 dSdSA
yzyxyx 0,0,0,195:
22
1?
面的投影在 yo z1?
yzyD 0,30:
29
3
5 yx
D
zy d y d zxxA
2212
D
d yd z
y
y
2
2
93
812
dy
y
y?
3
0
2
2
9
81
3
2 )s i n3(y令
2
0
2 s i ncos456
d5ln
4
159
解二 对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积侧面积
L L ydsz d sA
)0(s i n3 cos5,
t
ty
txL
0
22 co s9s i n5s i n3 dttttA
0
2 s i nco s453 tdtt
2
0
253 duu 5ln
4
159
注曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz?
x
yo
z
dSS
xyD
yx d x d yzz 221
z
x
o y
),( yxfz?
s
LA Ba
b
dsyxfS BAL ),( ),(
dxyyxfba 21),(
曲顶柱体的表面积如图曲顶柱体，
x
z
yo
),( yxfz?
LD
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22?
例 2 计算
dxdy
yx
e z
22 22 yxz为锥面?
及平面 z = 1,z = 2 所围立体的表面的外侧解一 由 Gauss 公式
d x d y d z
yx
edxdy
yx
e zz
2222
22 e
解二 321
4,2,221 yxz? 上侧
1,1,222 yxz? 下侧
21,,223 zyxz? 外侧
41 223 yxxoy,面的投影在?
1 2 3
4 1
2222
2
22 22yx yx
dxdy
yx
edxdy
yx
e
41
22
22
22
yx
yx
dxdy
yx
e（ 用极坐标 ）
r d rredr d rred
2
0
1
0
2
0
2
0
2
r d rred
r
2
0
2
1
22 e
例 3 求柱面 13
2
3
2
yx 在球面 1222 zyx 内的侧面积,
解 由对称性
L
L
dsyx
z dsS
221
8
,1,3232 yxL? )20(,s i n
,c o s
3
3?
t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 t d ttdtyxds tt
t d ttttS co ss i n3s i nco s18 20 66?
t d tttt co ss i nco ss i n324 20 22?
20 22 co ss i n324 t d tt.2 33
例 4 计算
dSx y z || 1,22 zyxz 被平面?
所截下的部分解 在第一卦限的部分为记 1
积分曲面关于 yoz 面,zox 面对称被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数由对称性 0,0,1,22 yxyxD
1
4|| xy z dSdSxy z
d x d yyxyxxy
D
2222 441)(4
2
0
1
0
222 41coss i n4
r d rrrrd
1
0
25 412 drrr
420
15125
例 5 计算
dSzyx 222 1
2220 RyxHzz 间的圆柱面，是介于?
解 RyyRx 0,,221?
HzRyDyoz 0,01,面的投影在?
由对称性
dSzyx 222 1
dy dzyR RzR
D
2222 14
H R
dy
yR
dzzRR
0 0
2222
114
0a r c s i n0a r c t a n4
R
R
yH
R
z
R
Ha r ct a n2
例 6 计算
dxdyzz y d z d xz x d y d zI )1(24 2
)0(,ayezy oz y面上的曲线?
绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧解 补上曲面
2220,,ayxez a
取上侧则由 Gauss 公式
0
)1(24 2
dxdyzz y dz dxz xd y dz
0)224( dvzzz
0
)1(24 2
dx dyzz y dz dxz xd y dz
0
)1( 2
dxdyz
222
)1( 2
ayx
a dxdye 22 )1( ae a
d xd yzz y d z dxz x dyd zI )1(24 2
0
)1(24 2
dxdyzz y d z dxz xd y dz22 )1( ae a
．在第四卦限部分的上侧为平面为连续函数其中计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例 7
解
x
yo
z 1
11?
利用两类曲面积分之间的关系
},1,1,1{ n 的法向量为
.31c o s,31c o s,31c o s
dSzzyxfyzyxf
xzyxfI
]}),,([
3
1
]),,(2[
3
1
]),,([
3
1
{
dSzyx )(31
xyD
d x d y3131,21?
向量点积法
,1,,),,(,yx ffyxfz 法向量为设
R dxdyQ dz dxP dy dzI
},,{},,{
dxdydz dxdy dzRQP
dSnA 0
dxdyffRQP yx }1,,{},,{
.}1,,{},,{ d x d yffRQPxoy yx
面投影在将例 8
所截部分的外侧．被平面锥面为其中计算
2,1
,
22
2
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
解
D
利用向量点积法
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
d x d yyx yyx xzxyI
1,,,,
2222
2
dx d yz 2
xyD
d x d yyx )( 22 ]41:[ 22 yxD xy
21 220 r drrd,215
例 9 计算曲面积分
y z d x d yd z d xyx d y d zyI 4)1(2)18(
2
,
其中? 是由曲线 )31(
0
1
y
x
yz
绕 y 轴旋转一周所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于
2
,
解
221
0
1
xzy
y
x
yz
轴旋转面方程为绕
(如下图 )
x
y
z
o 1 3
2*
y z dx dydz dxyxd y dzyI 4)1(2)18( 2
欲求
* *
I且有
dvzRyQxP )(
*?
dvyyy )4418(
dv
xzD
xz
dydxd z 3
1 22
3
1
2
0
2
0 2 dydd
20 3 )2(2 d,2
* *
2 )31(2 dz dx,32
)32(2I故,34
例 10 计算
d x d yzd z d xyd y d zx 222
2222 )()()(,Rczbyax 的外表面解一 先计算
d x d yz 2
2221 )()(,byaxRcz 下侧
2222 )()(,byaxRcz 上侧
222 )()(,RbyaxD
d x d ybyaxRcd x d yz
D
22222 ])()([
d x d ybyaxRc
D
2222 ])()([
d x d ybyaxRc
D
222 )()(4
222
2224
Rvu
d u d vvuRc cR 38
3?
同理 aRd ydzx
3
8 32
bRd z d xy
3
8 32
)(38
3
222 cbaRd xd yzd z d xyd y dzx
解二 由 Gauss 公式
dxdyzd z d xyd ydzx 222
d x d ydzzyx )(2
d xd y d zcbaczbyax )]())()[(2
2222
)(2
Rwvu
d u d vd wwvu 34)(2
3R
cba
= 0 （用对称性）
)(38
3
cbaR
例 11 计算曲面积分
3222 )( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
的上侧为曲面其中 )0(9 )1(16 )2(51
22
zyxz?
解 222 zyxr记
333,,r
zR
r
yQ
r
xP
z
R
y
Q
x
P
5
222222 333
r
zryrxr
0? )0(?r
考虑使用 Gauss 公式但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的,碗,
扣在 xoy坐标面上，与 xoy坐标面的截痕为
9
)1(
16
)2(1 22 yx
故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口但要注意 zRyQxP 在（ 0,0,0）不存在而（ 0,0,0）又在 z = 0 上，故须挖去 （ 0,0,0）
考虑到 P,Q,R的分母为 32223 )( zyxr
为简化计算用半径充分小的小球面挖去原点
22221, zyx 0?z 下侧
2222 )(0, yxz 下侧 19 )1(16 )2(
22
yx
1?
2?
围成21
内在?
0 zRyQxP
故由 Gauss 公式
21 1 2
1 2
0
02?z上在?
2
0
P dy dz
2
0
Q dz dx
2
0
R dxdy
上在 1? 2222 zyx
zyxn,,
c o s,c o s,c o s?
1
3
r
z d x d yydz d xx d yd z dSzyx
1 2
3
2 )(
c osc osc os
dSzzyyxx )]()()([1
1
3
1
2
1
dS 24211 22
3222 )( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
1
2
测 验 题一,选择题,
1,设 L 为
2
3
0,
0
yxx,则
L
ds4 的值为 ( ),
(A)
0
4 x,(B),6 (C)
0
6 x,
2,设
L
为直线 0yy? 上从点 ),0( 0yA 到点 ),3( 0yB 的有向直线段,则
L
dy2 =( ),
(A)6; (B) 0
6 y; (C)0,
3,若
L
是上半椭圆
,s i n
,co s
tby
tax
取顺时针方向,则
L
x d yyd x 的值为 ( ),
(A) 0 ; (B) ab
2; (C) ab?,
4,设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,则在 D 内与
L
QdyP d x 路径无关的条件
Dyx
y
P
x
Q
),(,是 ( ).
(A ) 充分条件 ; (B ) 必要条件 ; (C ) 充要条件,
5,设
为球面 1
222
zyx,
1
为其上半球面,则
( ) 式正确,
(A )
1
2 z d sz d s ;
(B )
1
2 z d x d yz d x d y;
( C)
1
22
2 d x d yzd x d yz
.
6,若? 为 )(2
22
yxz 在 xoy 面上方部分的曲面,
则
ds 等于 ( ),
(A)
r
rdrrd
0
2
2
0
41
; ( B)
2
0
2
2
0
41 rdrrd
;
(C)
2
0
2
2
0
41 rdrrd
,
7,若
为球面
2222
Rzyx 的外侧,则
z d x d yyx
22
等于 ( ),
(A)
xy
D
d x d yyxRyx
22222;
(B) 2
xy
D
d x d yyxRyx
22222; (C) 0,
8,曲面积分
d x d yz
2
在数值上等于 ( ).
(A) 向量 iz
2
穿过曲面? 的流量；
(B) 面密度为
2
z 的曲面? 的质量；
(C) 向量 kz
2
穿过曲面? 的流量,
9,设? 是球面
2222
Rzyx 的外侧,
xy
D 是 xoy 面上的圆域
222
Ryx,下述等式正确的是 ( ),
( A)
xy
D
d x d yyxRyxz d syx
2222222；
( B)
xy
D
d x d yyxd x d yyx )()(
2222；
( C)
xy
D
dxdyyxRz d x d y
222
2,
二、计算下列各题,
1,求
z d s,其中? 为曲线
,
,s i n
,co s
tz
tty
ttx
)0(
0
tt ；
2,求
L
xx
dyyedxyye )2co s()2sin(,其中 L 为上半圆周
222
)( ayax,0?y,沿逆时针方向,
三、计算下列各题,
1,求
222
zyx
ds
其中? 是界于平面
Hzz 及0
之间的圆柱面
222
Ryx；
2,求
dxdyyxdzdxxzd yd zzy )()()(
222
，
其中? 为锥面 )0(
22
hzyxz 的外侧；
3,
3222
)( zyx
z d x d yyd z d xx d yd z
其中
为 曲 面
9
)1(
16
)2(
5
1
22
yxz
)0(?z 的上侧,
四、证明,
22
yx
y d yx d x
在整个
xoy
平面除去
y
的负半轴及原点的开区域
G
内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数,
五、求均匀曲面
222
yxaz
的重心的坐标,
六、求向量 kzjyixA
通过区域,?,10 x
10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量,
七、流体在空间流动,流体的密度? 处处相同 ( 1 ),
已知流速函数 kzyjyxixzV
222
,求流体在单位时间内流过曲面 zzyx 2:
222
的流量 (
流向外侧 ) 和沿曲线,L zzyx 2
222
,
1?z
的环流量 ( 从
z
轴正向看去逆时针方向 ),
测验题答案一,1,B ； 2,C ； 3,C ； 4,C ； 5,B ；
6,C ； 7,B ； 8,C ； 9,C ； 10,B,
二,1,
3
22)2(
2
3
2
0
t； 2,
2
a?,
三,1,
R
H
a rcta n2? ； 2,
4
4
h
； 3,0,
四,)l n(
2
1
),(
22
yxyxu,
五,)
2
,0,0(
a
,六,3.
七,0,
15
32
,
