曲线积分 习题课一、主要内容曲线积分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分定义 性质 计算公式两者关系曲线积分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功性质 线性、可加、无方向 可加、有方向计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限联系
iii
n
iL
sfdsyxf
),(),(
10lim
]),(),([
10
l i m iiiii
n
i
i
L
yQxP
dyQP d x
LL dsQPdyQP d x )c o sc o s(
与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题
（二） 各种积分之间的联系曲线积分 定积分计算重积分计算曲面积分
Guass公式计算
Stokes公式积分概念的联系点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i
定积分
.)()(
,],[1
b
a
dxxfdMf
baR
时上区间当二重积分,),()(
,2
D
dyxfdMf
DR
时上区域当曲线积分
.),()(
,2
L
dsyxfdMf
LR
时上平面曲线当三重积分
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
时上区域当曲线积分
.),,()(
,3
dszyxfdMf
R
时上空间曲线当曲面积分,),,()(
,3
S
dSzyxfdMf
SR
时上曲面当计算上的联系
)(,]),([),( )(
)(
2
1
面元素 ddxdyyxfdyxf b
a
xy
xyD
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz
baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
xyD
yx dx d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
))(( 曲面元素dS
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
))(( 投影面元素d x d y
其中 dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s(
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a
aFbFdxxf )()()(
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
dyQP dxd
y
P
x
Q
LD
)(
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
d x dyRQ d z d xP d y dzdVzRyQxP
)(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R d zQ d yP d x
d x d y
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
d ydz
z
Q
y
R
)()()(
斯托克斯公式
（三） 场论初步梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u
通量
R d xd yQd z dxP d y dz
散度 zRyQxPAdi v
环流量 R d zQd yP d x
旋度 kyPxQjxRzPizQyRAr ot
)()()(
关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关,可以利用对称性简化计算设 L 关于 x ( y ) 轴对称若 f( x,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数 即
)),(),((),,(),( yxfyxfyxfyxf
则L dsyxf 0),(
若 f( x,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数 即
)),(),((),,(),( yxfyxfyxfyxf
则
L L dsyxfdsyxf
1
),(2),(
对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。
其中 L1 是位于对称轴一侧的部分关于第二类曲线积分的计算
① 若曲线封闭，首先考虑使用 Green公式
② 若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，
然后再使用 Green公式此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相容，
③ 化成第一类曲线积分计算
④ 按第二类曲线积分的计算公式直接计算二,典型例题例 1 计算 dse
L
yx 22 0,,,222 yxyayxL
所围成的在第三象限的扇形的整个边界解 如图
a? 2
a?L
1 L1
L2 L
2
L3
L3
0,0 xay
tay
tax
s i n
c o s
4
5 t
02, xaxy
L=L1+L2+L3
dsedse
L
yx
LL
L
yx
3
22
21
22 )(
0
a
x dxe
4
5?
adte a dxe
a
x?
0
2
2 2
1
4
1 aaa eeae? 242 ae a?
例 2 计算
L
dyyxdxxyxI )()2(
422
,
其中 L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy
2
s i n
,
解 dyyxdxxyxI )()2( 422由
xxyxyyP 2)2( 2知
x
y
o 1
1 A
xyxxxQ 2)( 42
10 410 2 )1( dyydxx故原式,1523?
x
Q
y
P
例 3 计算
L
xx
dymyedxmyyeI )c o s()s in(,
其中 L 为由点 )0,( a 到点 )0,0( 的上半圆周
0,
22
yaxyx,
解 myemyyeyyP xx c o s)s i n(?
yemyexxQ xx c os)c os(
x
Q
y
P
(如下图 )
x
y
o )0,(aA
M
A M O A AOAOAOLI
dxdyyPxQ
D
A M O A
)(
D
dxdym,8 2am
0)(00 medx xaAO,0?
A M O A AOI 08 2 am,8 2am
L yx
dyyxdxyx
22
)()(
其中 L为
① 不包围也不通过原点的任意闭曲线
② 以原点为中心的正向单位圆周
③ 包围原点的任意正向闭曲线解 ① 22 yx yxP 22 yx xyQ
222
22
)(
2
yx
xyyx
y
P
x
Q
若 D?)0,0( 则由 Green公式
L
Q d yP d x 0
例 4 计算若 D?)0,0(
则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周 0?
记 L和 所为成的区域为 D1,由 Green公式0?
d xd yyPxQQd yP dxQd yP dx
L D
)(
0 1
L
Q dyP dxQ dyP dx
0?
dttrtr trtrtrtrtrtr
2
0
22 )s i n()co s(
)co s)(co ss i n()s i n)(s i nco s(
2
② L 122 yx
,s in,c o s tytx20 t
dttt ttttttI
2
0
22 s i nco s
)) ( co sco s( s i n)s i n)(s i n( co s
2
③ xQyP
在原点不连续，
记 L和 所为成的区域为 D1,由 Green公式?
以原点为心，作一半径充分小的正向圆周?
L
Q dyP dxQ dyP dx
2
由于 L 所围区域包含原点解 ])()(2[ 2212222 yxyxy
y
x
y
P
])(2)(2[1 1223222 yxxyxxyxQ
令
x
Q
y
P
得 0))(12( 22 yx?
由 210y
0?y使得在不经过的值
dyy yxxdxy yxxI
L?
2
22222 )()(
的区域上与路径无关 并求当 L为从 A （ 1,1）到
B（ 0,2）时的值。
例 5 确定参数
A(1,1)
B(0,2)
A? C? B如选路径
C(1,2)则
AC CB yxy
dyxx y d xI
222
2
01 222 22 421 1 dxxxdyyy
积分结果不易求出
D B但如选路径 A
D(0,)
则
0
1
2
1
2
1
2 0)1( dydxxxI
0
11 2x
21
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与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
,)4( 内在等价命题
（二） 各种积分之间的联系曲线积分 定积分计算重积分计算曲面积分
Guass公式计算
Stokes公式积分概念的联系点函数)(,)(lim)(
10
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n
i
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定积分
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b
a
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时上区域当曲线积分
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时上平面曲线当三重积分
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时上曲面当计算上的联系
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baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
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221)],(,,[),,(
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其中 dsQPQ d yPd x LL )c o sc o s(
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d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s(
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a
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牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
dyQP dxd
y
P
x
Q
LD
)(
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
d x dyRQ d z d xP d y dzdVzRyQxP
)(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R d zQ d yP d x
d x d y
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
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z
Q
y
R
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斯托克斯公式
（三） 场论初步梯度 kz
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y
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x
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通量
R d xd yQd z dxP d y dz
散度 zRyQxPAdi v
环流量 R d zQd yP d x
旋度 kyPxQjxRzPizQyRAr ot
)()()(
关于对称性对弧长的曲线积分与方向无关,可以利用对称性简化计算设 L 关于 x ( y ) 轴对称若 f( x,y ) 关于 y ( x ) 是奇函数 即
)),(),((),,(),( yxfyxfyxfyxf
则L dsyxf 0),(
若 f( x,y ) 关于 y ( x ) 是偶函数 即
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对坐标的曲线积分与方向有关，所以在考虑对称性时既要考虑被积函数与曲线的对称性，还要考虑曲线的方向，因此直接应用比较困难，一般是先转化为对弧长的曲线积分，然后再考虑使用对称性。
其中 L1 是位于对称轴一侧的部分关于第二类曲线积分的计算
① 若曲线封闭，首先考虑使用 Green公式
② 若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，
然后再使用 Green公式此时应注意两点：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相容，
③ 化成第一类曲线积分计算
④ 按第二类曲线积分的计算公式直接计算二,典型例题例 1 计算 dse
L
yx 22 0,,,222 yxyayxL
所围成的在第三象限的扇形的整个边界解 如图
a? 2
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例 2 计算
L
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,
其中 L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy
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10 410 2 )1( dyydxx故原式,1523?
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例 3 计算
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其中 L 为由点 )0,( a 到点 )0,0( 的上半圆周
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22
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x
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其中 L为
① 不包围也不通过原点的任意闭曲线
② 以原点为中心的正向单位圆周
③ 包围原点的任意正向闭曲线解 ① 22 yx yxP 22 yx xyQ
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若 D?)0,0( 则由 Green公式
L
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例 4 计算若 D?)0,0(
则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周 0?
记 L和 所为成的区域为 D1,由 Green公式0?
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③ xQyP
在原点不连续，
记 L和 所为成的区域为 D1,由 Green公式?
以原点为心，作一半径充分小的正向圆周?
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Q dyP dxQ dyP dx
2
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由 210y
0?y使得在不经过的值
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的区域上与路径无关 并求当 L为从 A （ 1,1）到
B（ 0,2）时的值。
例 5 确定参数
A(1,1)
B(0,2)
A? C? B如选路径
C(1,2)则
AC CB yxy
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2
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积分结果不易求出
D B但如选路径 A
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