函数展开成幂级数由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。
一、泰勒级数上节例题 )11()1l n ()1(
1
1
xx
n
x
n
n
n
n
n
n xxaxf )()( 0
0

存在幂级数在其收敛域内以 f(x)为和函数问题,1.如果能展开,是什么?na
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
内具有任意阶导数,且在 )(
0
xU
内 能 展开成 )(
0
xx? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0

则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n
nn xxaxxaaxf )()()( 0010
逐项求导任意次,得
10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
)(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx?
),2,1,0()(!1 0)( nxfna nn 泰勒系数泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(

称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
问题
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(


泰勒级数在收敛区间是否收敛于 f(x)? 不一定,
定义


0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如在 x=0点任意可导,),2,1,0(0)0()( nf n且

0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( xs内和函数该级数在
).()(,0 xfxfx 于的麦氏级数处处不收敛外除?
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU? 内收敛于 )( xf? 在 )( 0xU? 内 0)(l i m?

xR n
n
.
证明 必要性,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i

),()()( 1 xsxfxR nn )()(l i m 1 xfxs nn
)(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn
)]()([lim 1 xsxf nn )(lim xR nn,0?
),()(l i m 1 xfxs nn即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
定理 3 设 )( xf 在 )(
0
xU 上有定义,0 M,对
),(
00
RxRxx,恒有 Mxf
n
)(
)(
),2,1,0(n,则 )( xf 在 ),(
00
RxRx 内可展开成点 0x 的泰勒级数,
证明
1
0
)1(
)()!1( )()(?
n
n
n xxn
fxR
,)!1(
1
0

n
xxM n
),( 00 RxRxx,),(
)!1(0
1
0 收敛在

n
n
n
xx?
,0)!1(l i m
1
0?

n
xx n
n,0)(l i m xR nn故 ),(
00 RxRxx
.0 的泰勒级数可展成点 x?
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收例 1,)( 展开成幂级数将 xexf?
解,)()( xn exf? ),2,1,0(.1)0()( nf n
nx xnxxe !1!211 2
,0M 上在 ],[ MM? xn exf?)()( Me?
nx xnxxe !1!211 2
由于 M的任意性,即得
),(!1!211 2 xxnxxe nx
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf?
解 ),2s i n()()( nxxf n,2s i n)0()( nf n
,0)0()2( nf,)1()0()12( nnf ),2,1,0(n
)()( xf n且 )2s i n(
nx 1? ),(x

)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),(x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf
解,)1)(1()1()()( nn xnxf
),1()1()0()( nf n?),2,1,0(n
nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2
n
n
n a
a 1lim?

1 n n,1?,1 R
若设内在,)1,1(?
nxn nxxs ! )1()1(1)(
1)!1( )1()1()1()( nxn nxxs
nxn nxxxsx )!1( )1()1()1()( 2
!
)1()1(
!
)()1(
)!1(
)1()1(
n
nmmm
n
nmm
n
nmm
利用
)()1( xsx
1
2
22
!
)1()1(
!2
)1( nx
n
nxx
)( xs
,1)( )( xxs xs,1)0(?s且两边积分,1)( )( 00 dxxdxxs xs
xx
)1,1(x
得 ),1l n ()0(ln)(ln xsxs
即,)1l n ()(ln xxs
,)1()(?xxs )1,1(x


nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
注意,,1 的取值有关处收敛性与在x
);1,1(1 收敛区间为
];1,1(11 收敛区间为
].1,1[1 收敛区间为牛顿二项式展开式有时当,21,1
)1,1()1(11 1 32 nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32



nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32




nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,复合等方法,求展开式,
例如 )( s i ncos xx

)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
)!2()1(!41!211c os
2
42
n
xxxx nn
),(x
x xdxx 0 21ar c t an

12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[x
x xdxx 0 1)1l n(
nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( xxxxf
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成?
解 )1(3 14 1 xx?
,
)
3
11(3
1
x
])3 1()3 1(3 11[31 2 nxxx
31x
xxx
x


4
1)1(
4
1
n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31x
!
)1()(
n
f n于是,
3
1
n?,3
!)1()(
n
n nf?故三、小结
1.如何求函数的泰勒级数 ;
2.泰勒级数收敛于函数的条件 ;
3.函数展开成泰勒级数的方法,
思考题什么叫幂级数的间接展开法？
思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之,
练 习 题一,将下列函数展开成 x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
1,
x
a ； 2,)1l n ()1( xx ;
3,xa r c s i n ； 4,
3
)1(
1
x
x
,
二,将函数
3
)( xxf? 展开成 )1(?x 的幂级数,并求展开式成立的区间,
三,将函数
23
1
)(
2

xx
xf 展开成 )4(?x 的幂级数,
四,将级数?
1
12
1
1
)!12(2
)1(
n
n
n
n
n
x
的和函数展开成
)1(?x
的幂级数,
练习题答案一,1,)(
!
)(l n
0

xx
n
a
n
n
n；
2,)11(
)1(
)1(
1
1
1


xx
nn
x
n
n
n；
3,)11()
2
(
)12()!(
)!2(2
1
12
2


x
x
nn
n
x
n
n；
4,)1,1(
1
12

n
n
xn,
二, )1(
2
3
1 x

0
2
2
)
2
1
(
2)2)(1(
3
)!(
)!2(
)1(
n
n
n
n
x
nnn
n
)20( x
,
三,)2,6()4)(
3
1
2
1
(
0
11


n
n
nn
x,
四,?
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
x
n
),()1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
0
12


n
n
n
n
x
n
,