第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.1 扭转的概念
1.杆件的扭转受力特点是,外力是一对力偶，力偶作用均垂直于杆的轴线，但其转向相反，大小相等。
2.杆的变形特点是,各横截面绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转变形。
m=9550P/n（ N·m）
3.在外力偶矩 m方向的确定,凡输入功率的主动外力偶矩,m的方向与轴的转向一致；凡输入功率的阻力偶矩,m的方向与轴向相反 。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.2 扭矩,扭矩图
1.扭矩,圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形，其横截面上将产生内力。轴上已知的外力偶矩为 m，因为力偶只能用力偶来平衡，显然截面上的分布内力必构成力偶，内力偶矩以符号 MT
表示，即为扭矩。
2.扭矩符号规定,按右手螺旋法则，将扭矩表示为矢量，四指弯向表示扭矩的转向，则大拇指指向为扭矩矢量的方向，如下图所示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；反之为负。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.2 扭矩,扭矩图
3.扭矩图,当轴上承受多个外力偶矩作用时，各横截面上的扭矩是不同的。为了确定最大扭矩的所在位置，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。扭矩图横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面上扭矩的大小。
【 例 2.7】 如图 2.21所示，求传动轴截面 1-1,2-2的扭矩，并画出扭矩图。
MA=1.8kN·m MB=3kN·m MC=1.2 kN·m
2.4.3圆轴扭转的应力
1,圆轴扭转时切应力分布规律圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.3圆轴扭转的应力应力分布规律如下图所示。
（ a） 心轴 （ b）空心轴
2,切应力计算公式根据静力学关系导出切应力计算公式为,τ =MTρ/IP MPa
当 ρ=R时,切应力最大,即 τmax= MTR/IP
令 IP/R=Wn,,则上式可改写为,τmax= MT/Wn
3.圆轴抗扭截面模量计算公式机器中轴的横截面通常采用实心圆和空心圆两种形状。它们的极惯性矩 Ip和抗扭截面系数 Wn
计算公式如下：
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.3圆轴扭转的应力
3.圆轴抗扭截面模量计算公式
（ 1）实心圆轴（设直径为 D）
极惯性矩,IP=ΠD4/32 ≈0.2D4
抗扭截面系数,Wn=ΠD3/16 ≈0.2D3
（ 2）空心圆轴（设轴的外径为 D，内径为 d）
极惯性矩,IP= ΠD4/32-Πd4/32 ≈0.1D4(1-α4)
抗扭截面系数,Wn=ΠD3(1-α3)/16≈0.2D3(1-α3)
式中,α=d/D
2.4.4圆轴扭转的强度计算
1,圆轴扭转的强度条件为：
τmax=MT/W n≤ [τ]
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.4圆轴扭转的强度计算受静载荷作用时,[τ] 与 [σ]之间存在以下关系：
对于塑性材料 [τ]=（ 0.5~0.6） [σ]；
对于脆性材料 [τ]=（ 0.8~1.0） [σ]
扭转强度条件也可用来解决强度校核，选择截面尺寸及确定许可载荷等三类强度计算问题。
2,运用强度条件解决实际问题的步骤为
（ 1）计算轴上的外力偶矩；
（ 2）计算内力（扭矩），并画出扭矩图；
（ 3）分析危险截面（即按各段的扭矩与抗扭截面系数，找出最大应力所在截面）；
（ 4）计算危险截面的强度，必要时还可进行刚度计算。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.4圆轴扭转的强度计算
【 例 2.8】 如图所示的传动轴 AB，由 45号无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁厚 t=2.5mm，传递的最大扭矩为 m=1.5kN·m，材料的 [τ]=60MPa。①试校核 AB的强度。②如果轴 AB设计成实心轴，直径应为多少？③比较空心轴和实心轴的重量。
结论,在条件相同的情况下，采用空心轴可节省大量材料，减轻重量提高承载能力。因此在汽车、船舶和飞机中的轴类零件大多采用空心。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.5 提高轴抗扭能力的方法
1.合理选用截面，提高轴的抗扭截面系数 Wn
2.合理安排受力情况，降低最大扭矩除了抗扭强度的影响外，对许多轴来说，还要考虑刚度对抗扭能力的影响，即在轴满足强度条件下，还要使轴避免产生过大扭转变形。我们把抗扭转变形的能力称为抗扭刚度。
提高抗扭刚度的方法有：
（ 1）合理安排受力，降低最大扭矩。
（ 2）合理选择截面，提高抗扭刚度。
（ 3）在强度条件许可的条件下，选择刚度大的材料。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
1.梁,以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
2.弯曲变形的特点,杆件所受的力是垂直于梁轴线的横向力，在其作用下梁的轴线由直线变成曲线。
3.平面弯曲,若梁上的外力都作用在纵向对称面上，而且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。 如下图所示第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
4.梁的类型根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式：
（ 1） 简支梁 如下图 a所示桥式起重机的横梁 AB，可以简化成一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁，这种梁图称为简支梁。
图 a 图 b
（ 2）悬臂梁 如上图 b所示的车刀，可简化成一端为固定端，一端为自由端的约束情况。用固定端可阻止梁移动和转动，故有一约束力和一约束力偶，这种梁称为悬臂梁。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
4.梁的类型根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式：
（ 3） 外伸梁 如右下图所示的车床主轴，它的支座可简化成与简支梁一样的形式，但梁的一端 (或两端 )向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。这种梁称为外伸梁。
5.梁上外力形成梁上外力包括载荷和支座两部分，梁上的载荷常见形式有,
（ 1）集中力 F，单位是 N或 kN。
（ 2）集中力偶 M，单位是 N·m或 kN·m。
（ 3）均匀分布载荷 g，单位是 N/m或 kN/m。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.2梁的内力 —— 剪力和弯矩
1.剪力和弯矩,梁的内力包括剪力 FQ和弯矩 M，下面以简支梁，如右下图所示为例加以说明，
梁在 C点受集中力 F。
（ 1）求梁上所受约束力
FRA=F× b / L; FRB=F × a / L
（ 2）用截面法求得内力
① 在截面 m-m处假想地把梁切为两段取左端为研究对象，
由于左端作用着外力 FRA则在截面上必有与 FRA大小相等,
方向相反的力 FQ,由于该内力切于截面,因此称为 剪力 。
又由于 FRA 与 FQ形成一个力偶,因此在截面处必存在一个内力偶 M与之平衡,该内力偶称为 弯矩 。
② 建立平衡方程,ΣF=0,得 FRA-FQ=0,FQ=FRA; ΣM=0,得 M=FRA· x;
由此可以看出：弯曲时，梁的横截面上产生两种内力,一个是剪力，一个是弯矩 。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.2梁的内力 —— 剪力和弯矩
2,弯矩符号的规定,如下图所示，梁弯曲成凹面向上时，横截面上的弯矩为正；弯曲成凸面向下时，弯矩为负。
2.5.3 弯矩图一般情况下，在梁的不同截面向上，弯矩是不相同的，并随着横截面位置的不同而改变，若以横坐标 X表示横截面在梁轴线上的位置，纵坐标 Y表示横截面上对应弯矩 M，则弯矩可表示为 M=M（ X），此式称为弯矩方程。把 M沿着 X轴的变化情况用图线在坐标内表示出来，所得的图称为弯矩图。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.3 弯矩图
【 例 2.9】 齿轮轴作用于轮上的径向力 F通过轮毂传给轴，可简化为如右下图所示的简支梁
AB，在 C上受集中力 F作用，试作出梁 AB的弯矩图。
2.5.4 弯曲正应力
1.纯弯曲,只有弯曲作用而没有剪力作用的梁，称为纯弯曲梁。
2.正应力的分布规律,为横截面上各点正应力的大小，
与该点到中性轴的距离成正比。如右图所示，在中性轴处正应力为零，离中性轴最远的截面上，下边正应力最大。正应力沿截面 高度按直线规律分布。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲 常见截面的 I,W计算公式
2.5.4 弯曲正应力
3.最大正应力的计算公式,
σmax=Mmax · ymax/Iz
4.常见截面的 I,W
计算公式见右表。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.5 梁的强度计算梁的强度条件公式,
σmax=Mmax/Wz≤[σ]
根据梁的强度条件公式可以解决弯曲强度极核，选择截面尺寸和确定许可载荷这三大类强度计算问题。
【 例 2.10】 如下图所示，已知压板长 3a=180mm,压板材料的弯曲许用应力 =140MPa，设对 2
件的压紧力 Q=4kN，试校核压板的强度。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5,6 提高抗弯能力的方法根据梁的强度条件公式,σmax=Mmax/Wz≤[σ]
可知，要提高梁的抗弯能力主要有下列措施：
1.选择合理的截面形状，提高抗弯截面系数 Wz
样大小的截面积，做成槽形和 I字形比 和矩形抗弯能力强。
2.合理布置载荷，降低最大弯矩 Mmax
在条件许可的情况下，将集中载荷变为均布载荷，或集中载荷靠近支座及适当调整梁的支座位置都可以达到降低最大弯矩的目的。
3.采用变截面梁，以节省材料按各截面的弯矩来设计梁的截面尺寸，而梁的截面尺寸沿梁长度是变化的。这种梁为变截面梁。
如汽上的钢板弹簧、阶梯轴都是变截面梁的实例。
2.4 圆轴扭转
2.4.1 扭转的概念
1.杆件的扭转受力特点是,外力是一对力偶，力偶作用均垂直于杆的轴线，但其转向相反，大小相等。
2.杆的变形特点是,各横截面绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转变形。
m=9550P/n（ N·m）
3.在外力偶矩 m方向的确定,凡输入功率的主动外力偶矩,m的方向与轴的转向一致；凡输入功率的阻力偶矩,m的方向与轴向相反 。
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2.4 圆轴扭转
2.4.2 扭矩,扭矩图
1.扭矩,圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形，其横截面上将产生内力。轴上已知的外力偶矩为 m，因为力偶只能用力偶来平衡，显然截面上的分布内力必构成力偶，内力偶矩以符号 MT
表示，即为扭矩。
2.扭矩符号规定,按右手螺旋法则，将扭矩表示为矢量，四指弯向表示扭矩的转向，则大拇指指向为扭矩矢量的方向，如下图所示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；反之为负。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.2 扭矩,扭矩图
3.扭矩图,当轴上承受多个外力偶矩作用时，各横截面上的扭矩是不同的。为了确定最大扭矩的所在位置，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。扭矩图横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面上扭矩的大小。
【 例 2.7】 如图 2.21所示，求传动轴截面 1-1,2-2的扭矩，并画出扭矩图。
MA=1.8kN·m MB=3kN·m MC=1.2 kN·m
2.4.3圆轴扭转的应力
1,圆轴扭转时切应力分布规律圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。
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2.4 圆轴扭转
2.4.3圆轴扭转的应力应力分布规律如下图所示。
（ a） 心轴 （ b）空心轴
2,切应力计算公式根据静力学关系导出切应力计算公式为,τ =MTρ/IP MPa
当 ρ=R时,切应力最大,即 τmax= MTR/IP
令 IP/R=Wn,,则上式可改写为,τmax= MT/Wn
3.圆轴抗扭截面模量计算公式机器中轴的横截面通常采用实心圆和空心圆两种形状。它们的极惯性矩 Ip和抗扭截面系数 Wn
计算公式如下：
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2.4 圆轴扭转
2.4.3圆轴扭转的应力
3.圆轴抗扭截面模量计算公式
（ 1）实心圆轴（设直径为 D）
极惯性矩,IP=ΠD4/32 ≈0.2D4
抗扭截面系数,Wn=ΠD3/16 ≈0.2D3
（ 2）空心圆轴（设轴的外径为 D，内径为 d）
极惯性矩,IP= ΠD4/32-Πd4/32 ≈0.1D4(1-α4)
抗扭截面系数,Wn=ΠD3(1-α3)/16≈0.2D3(1-α3)
式中,α=d/D
2.4.4圆轴扭转的强度计算
1,圆轴扭转的强度条件为：
τmax=MT/W n≤ [τ]
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2.4 圆轴扭转
2.4.4圆轴扭转的强度计算受静载荷作用时,[τ] 与 [σ]之间存在以下关系：
对于塑性材料 [τ]=（ 0.5~0.6） [σ]；
对于脆性材料 [τ]=（ 0.8~1.0） [σ]
扭转强度条件也可用来解决强度校核，选择截面尺寸及确定许可载荷等三类强度计算问题。
2,运用强度条件解决实际问题的步骤为
（ 1）计算轴上的外力偶矩；
（ 2）计算内力（扭矩），并画出扭矩图；
（ 3）分析危险截面（即按各段的扭矩与抗扭截面系数，找出最大应力所在截面）；
（ 4）计算危险截面的强度，必要时还可进行刚度计算。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.4圆轴扭转的强度计算
【 例 2.8】 如图所示的传动轴 AB，由 45号无缝钢管制成，外径 D=90mm，壁厚 t=2.5mm，传递的最大扭矩为 m=1.5kN·m，材料的 [τ]=60MPa。①试校核 AB的强度。②如果轴 AB设计成实心轴，直径应为多少？③比较空心轴和实心轴的重量。
结论,在条件相同的情况下，采用空心轴可节省大量材料，减轻重量提高承载能力。因此在汽车、船舶和飞机中的轴类零件大多采用空心。
第 2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.5 提高轴抗扭能力的方法
1.合理选用截面，提高轴的抗扭截面系数 Wn
2.合理安排受力情况，降低最大扭矩除了抗扭强度的影响外，对许多轴来说，还要考虑刚度对抗扭能力的影响，即在轴满足强度条件下，还要使轴避免产生过大扭转变形。我们把抗扭转变形的能力称为抗扭刚度。
提高抗扭刚度的方法有：
（ 1）合理安排受力，降低最大扭矩。
（ 2）合理选择截面，提高抗扭刚度。
（ 3）在强度条件许可的条件下，选择刚度大的材料。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
1.梁,以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
2.弯曲变形的特点,杆件所受的力是垂直于梁轴线的横向力，在其作用下梁的轴线由直线变成曲线。
3.平面弯曲,若梁上的外力都作用在纵向对称面上，而且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。 如下图所示第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
4.梁的类型根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式：
（ 1） 简支梁 如下图 a所示桥式起重机的横梁 AB，可以简化成一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁，这种梁图称为简支梁。
图 a 图 b
（ 2）悬臂梁 如上图 b所示的车刀，可简化成一端为固定端，一端为自由端的约束情况。用固定端可阻止梁移动和转动，故有一约束力和一约束力偶，这种梁称为悬臂梁。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
4.梁的类型根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式：
（ 3） 外伸梁 如右下图所示的车床主轴，它的支座可简化成与简支梁一样的形式，但梁的一端 (或两端 )向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。这种梁称为外伸梁。
5.梁上外力形成梁上外力包括载荷和支座两部分，梁上的载荷常见形式有,
（ 1）集中力 F，单位是 N或 kN。
（ 2）集中力偶 M，单位是 N·m或 kN·m。
（ 3）均匀分布载荷 g，单位是 N/m或 kN/m。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.2梁的内力 —— 剪力和弯矩
1.剪力和弯矩,梁的内力包括剪力 FQ和弯矩 M，下面以简支梁，如右下图所示为例加以说明，
梁在 C点受集中力 F。
（ 1）求梁上所受约束力
FRA=F× b / L; FRB=F × a / L
（ 2）用截面法求得内力
① 在截面 m-m处假想地把梁切为两段取左端为研究对象，
由于左端作用着外力 FRA则在截面上必有与 FRA大小相等,
方向相反的力 FQ,由于该内力切于截面,因此称为 剪力 。
又由于 FRA 与 FQ形成一个力偶,因此在截面处必存在一个内力偶 M与之平衡,该内力偶称为 弯矩 。
② 建立平衡方程,ΣF=0,得 FRA-FQ=0,FQ=FRA; ΣM=0,得 M=FRA· x;
由此可以看出：弯曲时，梁的横截面上产生两种内力,一个是剪力，一个是弯矩 。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.2梁的内力 —— 剪力和弯矩
2,弯矩符号的规定,如下图所示，梁弯曲成凹面向上时，横截面上的弯矩为正；弯曲成凸面向下时，弯矩为负。
2.5.3 弯矩图一般情况下，在梁的不同截面向上，弯矩是不相同的，并随着横截面位置的不同而改变，若以横坐标 X表示横截面在梁轴线上的位置，纵坐标 Y表示横截面上对应弯矩 M，则弯矩可表示为 M=M（ X），此式称为弯矩方程。把 M沿着 X轴的变化情况用图线在坐标内表示出来，所得的图称为弯矩图。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.3 弯矩图
【 例 2.9】 齿轮轴作用于轮上的径向力 F通过轮毂传给轴，可简化为如右下图所示的简支梁
AB，在 C上受集中力 F作用，试作出梁 AB的弯矩图。
2.5.4 弯曲正应力
1.纯弯曲,只有弯曲作用而没有剪力作用的梁，称为纯弯曲梁。
2.正应力的分布规律,为横截面上各点正应力的大小，
与该点到中性轴的距离成正比。如右图所示，在中性轴处正应力为零，离中性轴最远的截面上，下边正应力最大。正应力沿截面 高度按直线规律分布。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲 常见截面的 I,W计算公式
2.5.4 弯曲正应力
3.最大正应力的计算公式,
σmax=Mmax · ymax/Iz
4.常见截面的 I,W
计算公式见右表。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.5 梁的强度计算梁的强度条件公式,
σmax=Mmax/Wz≤[σ]
根据梁的强度条件公式可以解决弯曲强度极核，选择截面尺寸和确定许可载荷这三大类强度计算问题。
【 例 2.10】 如下图所示，已知压板长 3a=180mm,压板材料的弯曲许用应力 =140MPa，设对 2
件的压紧力 Q=4kN，试校核压板的强度。
第 2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5,6 提高抗弯能力的方法根据梁的强度条件公式,σmax=Mmax/Wz≤[σ]
可知，要提高梁的抗弯能力主要有下列措施：
1.选择合理的截面形状，提高抗弯截面系数 Wz
样大小的截面积，做成槽形和 I字形比 和矩形抗弯能力强。
2.合理布置载荷，降低最大弯矩 Mmax
在条件许可的情况下，将集中载荷变为均布载荷，或集中载荷靠近支座及适当调整梁的支座位置都可以达到降低最大弯矩的目的。
3.采用变截面梁，以节省材料按各截面的弯矩来设计梁的截面尺寸，而梁的截面尺寸沿梁长度是变化的。这种梁为变截面梁。
如汽上的钢板弹簧、阶梯轴都是变截面梁的实例。
