1
第 六 篇 量子论早期量子论量子力学相对论量子力学普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说康普顿效应玻尔的氢原子理论德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合
2
集中了地球三分之一智慧的全家福
3
4
物体在不同温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射热辐射
16-1 黑体辐射 普朗克量子假设一、热辐射 绝对黑体辐射定律单色辐射本领（单色辐出度）
波长?为的单色辐射本领是指单位时间内从物体的单位面积上发出的波长在?附近单位波长间隔所辐射的能量。
)T(M? 3m/W
5
如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体称为 绝对黑体,简称 黑体 。
0 1 2 3 4 5 6
(μm)
)T(B B?
6
1,斯忒藩 —玻尔兹曼定律
0 d)T(M)T(M BB
黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）
4T)T(M B
斯忒藩常数—42810675 KmW.?
（即曲线下的面积）
当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出射度最大值向短波方向移动。
2,维恩位移定律峰值波长
bTm
维恩常数—Km.b 3108982
)T(M B?
m?
7
实验值)T(M B?
维恩瑞利 --金斯紫外灾难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )m(
T
C
B eC)T(M
25
1
TC)T(M B 43
二、普朗克量子假设
8
h— 普朗克常数 sJh 341063.6
普朗克得到了 黑体辐射公式,
1
12 52
kT
hcB
e
hc)T(M
c —— 光速
k —— 玻尔兹曼恒量普朗克量子假说
(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，
并和周围的电磁场交换能量。
h?
(2) 这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值
，是最小 能量?的整数倍,这个最小能量称为 能量子 。
9
M.V.普朗克研究辐射的量子理论，发现基本量子
，提出能量量子化的假设
1918诺贝尔物理学奖
10
16-2 光的量子性电效应一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律光电效应 光照射到金属表面时，
有电子从金属表面逸出的现象。
光电子 逸出的电子。
OO
OO
OO
O O
A K
G
V
R
光电子由 K飞向 A，回路中形成 光电流 。
11
光电效应伏安特性曲线饱和电流光 强 较 强光 强 较 弱截止电压
I
aU
1sI
2sI
O
U
实验规律
1、单位时间内从阴极逸出的光电子数与入射光的强度成正比。
2、存在遏止电势差
am eUmv?
2
2
1
0UkU a
aU
O
12
0
2
2
1 eUekmv
m k
U 0
称为红限频率kU 00
021 2?mmv
对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，
则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。
am eUmv?
2
2
1
0UkU a
(3) 光电效应瞬时响应性质实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光电子出现只需要 的时间。s910?
13
爱因斯坦光电效应方程
Amvh m 221?
爱因斯坦光子假说光是以光速 c 运动的微粒流，称为 光量子 （ 光子 ）
h?光子的能量金属中的自由电子吸收一个光子能量 h?以后，
一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功 A,
一 部分转化为光电子的动能。
14
0
2
2
1 eUekmv
m Ahmv m
2
2
1
ekh? 0eUA? hAkU 00?
3,从方程可以看出光电子初动能和照射光的 频率成线性关系。
爱因斯坦对光电效应的解释
2,电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，
所以无须时间的累积。
1,光强大，光子数多，释放的光电子也多，
所以光电流也大。
15
例 根据图示确定以下各量
1、钠的红限频率
2、普朗克常数
3、钠的逸出功解：由爱因斯坦方程
Amvh m 221?
其中
am eUmv?
2
2
1
截止电压与入射光频关系
AheU a
)V(U a
O
)Hz( 1410?
20.2
10
65.0
0.6
钠的截止电压与入射光频关系
39.4
16
AheU a
从图中得出
Hz141039.4
hddUe a
从图中得出
sV.bcabddU a 1510873?
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与入射光频关系
a
bc
0.6
17
sJ.ddUeh a 341026?
J.hA 1910722
普朗克常数钠的逸出功
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与入射光频关系
a
bc
0.6
18
A.爱因斯坦
对现代物理方面的贡献，特别是阐明光电效应的定律
1921诺贝尔物理学奖
19
二、康普顿效应
1922年间康普顿观察 X射线通过物质散射时，发现散射的波长发生变化的现象。
X 射线管
R 光阑
1B 2B
0?
石墨体（散射物）
A
晶体探测器
20
石墨的康普顿效应
..
..,.,....,.
.,,
.
....
..
.,.
.
.
.
..,.,...
..
...
.,
..
.
..
..,
.
.
.
..,.,..
.....,
...,...,,.,.......
.,
(a)
(b)
(c)
(d)
(埃 )0.700 0.750
00
045
0135
090
1.散射 X射线的波长中有两个峰值
0
02.
与散射角?有关
3.不同散射物质，
在同一散射角下波长的改变相同。
4,波长为?的散射光强度随散射物质原子序数的增加而减小。
21
光子理论对康普顿效应的解释高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。
1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子,光子的能量减少，因此波长变长，频率变低。
2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能量几乎不变，故波长有不变 的成分 。
3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。
22
光子的能量、质量和动量由于光子速度恒为 c，所以光子的,静止质量,为零,
2
2
0
1
c
v
m
m
光子的动量：
c
Ep?
h
c
h
光子能量,?hE?
420222 cmcpE
23
康普顿效应的定量分析
0?h
Y
X
0m
e
Y
X
h
vm?
（ 1） 碰撞前 （ 2） 碰撞后 （ 3） 动量守恒
X
nch
vm?
0
0 n
c
h
碰撞前，电子平均动能（约百分之几 eV），与入射的 X射线光子的能量（ 104~105eV）相比可忽略，
电子可看作静止的。
24
由 能量守恒,
由 动量守恒,
2002 cmhhmc
2
2 2
0
0
s i n
cm
h
vmnchnch 00
2
2
0
1
c
v
m
m
康普顿散射公式
cm
h
c
0
电子的康普顿波长 0243.0?c
X
nch
vm?
0
0 n
c
h
c o snn 0
25
1927诺贝尔物理学奖
A.H.康普顿
发现了 X射线通过物质散射时，波长发生变化的现象
26
光的波粒二象性表示粒子特性的物理量波长、频率是表示波动性的物理量表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，
即具有波粒二象性。
h?
hp?
2c
hm
光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动
27
一,氢原子光谱的实验规律谱线是线状分立的
16-2 玻尔的氢原子理论光谱公式 )
n(R
~
22
1
2
11
42
2
n
nB?
R=4/B 里德伯常数 1.0967758× 107m-1
连续
0
A73645,
H?
0A16562,H
红
0
A74860,
H?深绿
0
A14340,
H?青
0A24101,H
紫
0A73645,B?
,,,,n 6543?
巴耳末公式
28
赖曼系 )
n(R
~
22
1
1
1 在紫外区?,,,n 432?
帕邢系 )
n(R
~
22
1
3
1 在近红外区?654,,n?
布喇开系 )
n(R
~
22
1
4
1 在红外区?765,,n?
普芳德系 )
n(R
~
22
1
5
1 在红外区?,,,n 876?
广义巴耳末公式 )
nk(R
~
22
11,,,k 321?
,k,k,kn 321
)n(T)k(T~ 称为光谱项22 nR)n(T,kR)k(
29
二,玻尔氢原子理论原子的核式结构的 缺陷,
无法解释原子的稳定性无法解释原子光谱的不连续性玻尔原子理论的三个 基本假设,
1、定态假设原子系统存在一系列 不连续的能量状态,处于这些状态的原子中电子只能 在一定的轨道上 绕核作圆周运动，但不辐射能量 。这些状态称为稳定状态，简称定态。
对应的能量 E1,E2,E3… 是不连续的。
30
2、频率假设原子从一较大能量 En的定态向另一较低能量 Ek的 定态跃迁时，辐射一个光子
kn EEh
3、轨道角动量量子化假设
2
hnL? 轨道量子化条件
n为正整数，称为量子数跃迁频率条件原子从较低能量 Ek的 定态向较大能量 En的定态跃迁时，吸收一个光子
31
基本假设应用于氢原子：
(1)轨道半径量子化
2
2
2
2
04
1
nn r
vm
r
e?
2
hnm v rL
n
)me h(nr n 2
2
02
第一玻尔轨道半径 0
2
2
0
1 A530,me
hr
32
(2)能量量子化和原子能级
n
nn r
emvE
0
2
2
42
1
),,,n()
h
me(
n
E n?321
8
1
22
0
4
2
基态能级 V.E e5813
1
激发态能级 eV
n
.
n
EE
n 22
1 5813
氢原子的电离能 eV.EEE 5813
1电离
)meh(nr n 2
2
02
33
(3)氢原子光谱
h
EE kn
c
~?
1
2n
R c hE
n
氢原子发光机制是能级间的跃迁
)
nk
(
ch
me
2232
0
4 11
8
hc
EE kn
R理论 — 里德伯常数
1.097373× 107m-1
R实验 =1.096776× 107m-1
34
氢原子光谱中的不同谱线
65
62
.79
48
61
.33
43
40
.47
41
01
.74
12
15
.68
10
25
.83
97
2.5
4
18
.75 40
.50
赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系连续区
nE )eV(
0
850.?
511.?
393.?
613,?
4
3?n
2?n
1?n
35
例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？
解,根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是 n=3?n=2跃迁的光子，即
)(.)(R
m a x
22
7
22 3
1
2
1100971
3
1
2
11
o7 A6 5 6 310566 m.
m a x?
最短波长应是 n=n=2跃迁的光子，即
4100 9 71211 72 /.R
m i n
oA3 4 6 4?m i n?
36
例 （ 1）将一个氢原子从基态激发到 n=4的激发态需要多少能量？（ 2）处于 n=4的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？
解：（ 1）
JeV.
).(
.
E
E
EEE
18
212
1
14
1027512
5813
4
5813
4
（ 2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有 6条谱线。
37
1?n
2?n
3?n
4?n由图可知，可见光的谱线为
n=4和 n=3跃迁到 n=2的两条
)(R~ 2242 4121
17
7
10210
16
1
4
1
100 971
m.
)(.
o
42
42 A4 8 6 1
1
~
)(R~ 2232 3121 1710150 m.
o
32
32 A6 5 6 3
1
~
38
二、玻尔理论的缺陷
1,把电子看作是一经典粒子,推导中应用了牛顿定律，使用了轨道的概念,所以玻尔理论不是彻底的量子论。
2.角动量量子化的假设以及电子在稳定 轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。
3,无法解释光谱线的精细结构。
4,不能预言光谱线的强度。
39
N.玻尔
研究原子结构，特别是研究从原子发出的辐射
1922诺贝尔物理学奖
40
16-4 粒子的波动性一、德布罗意波德布罗意提出了 物质波的假设,
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离。
运动的实物粒子的能量 E、动量 p与它相关联的波的频率? 和波长?之间满足如下关系：
hmcE 2?hmvp 德布罗意关系式表示自由粒子的平面波称为 德布罗意波 (或 物质波 )
41
自由粒子速度较小时电子的德布罗意波长为
m
pE
2
2
m e V
h
2
0
A212
V
.?
VV 100? 0A221,
例如,电子经加速电势差 V加速后 eVE?
mE
h
p
h
2
42
物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。
G
K
狭缝 电流计镍集 电器
U
电子束单 晶
43
衍射最大值,?32102,,,kks i nd
m e U
h
2
电子的波长：
m e U
hks i nd
2
2
5 10 2015 250
I
V
电流出现峰值戴维孙 — 革末实验中 063 A03280 00,kU.d
44
L.V.德布罗意
电子波动性的理论研究
1929诺贝尔物理学奖
45
C.J.戴维孙
通过实验发现晶体对电子的衍射作用
1937诺贝尔物理学奖
46
二、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学玻恩 (Born,1882--1972)
提出了概率波，认为 个别微观粒子 在何处出现有一定的 偶然性,但是 大量粒子 在空间何处出现的空间分布却服从 一定的统计规律 。
47
M.玻恩
对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释
1954诺贝尔物理学奖
48
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。
衍射图样电子束
x
缝屏幕a?2
X方向电子的位置不准确量为,ax
16-5 测不准关系
49
s i nx?s inpp x
X方向的分动量 px的测不准量为：
xp
ph
xxpxp x h
p
hp
xp
yp
p
电子束
x
缝屏幕a?2
ax
50
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
经严格证明此式应为：
hxp x
2xp x
这就是著名的海森伯测不准关系式
hxp x
2yp y
2zp z
51
测不准关系式的理解
1,用经典物理学量 ——动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 。
3,对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间 Δt 之间也有下面的测不准关系：
2,可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
2tE
52
原子处于激发态的平均寿命一般为这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
2tE
st 810
JtE 26102
于是激发态能级的宽度为：
53
W.海森堡
创立量子力学，
并导致氢的同素异形的发现
1932诺贝尔物理学奖
54
所以坐标及动量可以同时确定
1,宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
，若的乒乓球,其直径
,可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
例 kgm 210 cmd 5?
1200 smv x mx 610
x
vm x
2
6
34
10
10
12810 smkg
xvm 12 smkg
问题？
55
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
01 Adx
例 一电子以速度的速度穿过晶体。
161001 sm.v x
xmv x 2
1
1031
34
1010
10?
sm
1710 sm 1610 smv
x
2,微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
56
16-6 波函数 薛定谔方程
)xt(c o sA)t,x(y 2
)(2),( xtiAetxy
单色平面简谐波波动方程一,波函数描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子
)(20),( xtietx
0?)t,x(?
区别于经典波动只取实部
hE
ph
)pxEt(ie)t,x(
02
h其中
57
若系统能量为确定值而不随时间变化只与坐标有关而与时间无关,振幅函数
Etie)x()t,x(
pxie)x(?
0
波函数 物理意义在某处发现一个实物粒子的 几率 同 波函数平方 成正比
t时刻在 (x,y,z)附近小体积 dV中出现微观粒子的概率为
dVdV 2 d x d y d zdV?
58
12V d x d y d z? 波函数归一化条件波函数的标准条件,单值,有限 和 连续波函数的平方表征了 t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率密度
)t,z,y,x(2
59
物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
可测量，具有物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
一般是不可测量的。
2
2、物质波是概率波。? C 等价对于经典波 CAA?
ECE 2?
60
解：利用归一化条件
dx)x( 2?
例：求波函数归一化常数和概率密度 。
)0(
)0( 0
axx
a
s i nAe
ax,x
x Eti
a dxaxs i nA0 22? 12
2
aA aA
2?
2
)0(
2
)0( 0
2 ax
a
x
s i n
a
ax,x
61
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
)pxEt(ie)t,x(
0
2
2
2
2
p
x
Ei
t
对于非相对论粒子 mpE 22?
tixm?
2
22
2
一维自由粒子的波函数二、薛定谔方程
62
在外力场中粒子的总能量为：
tiVxm?
2
22
2
VpmE 22 1
一维薛定谔方程
2
2
2
2
p
x
Ei
t
三维薛定谔方程
tiVm?
22
2
2
2
2
2
2
22
zyx?
拉普拉斯算符 哈密顿量算符
VmH 2
2
2
薛定谔方程
H?
ti
63
ti)t,z,y,x(Vm?
22
2
)t(f)z,y,x()t,z,y,x(
如势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：
t
f
f
iV
m?
1
2
1 22
用分离变量法将波函数写为：
)z,y,x(VmH 2
2
2
只是空间坐标的函数 只是时间的函数
64
Etffi1?
Etike)t(f
EVm 2
2
2
Etie)z,y,x()t,z,y,x(
粒子在空间出现的几率密度
2
22 Et
i
e)z,y,x()t,z,y,x(?
2)z,y,x(
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态定态薛定谔方程定态波函数
02 22
2
)x()VE(m)x(dxd粒子在一维势场中
65
E.薛定谔量子力学的广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
66
16-7 薛定谔在几个一维问题中的应用一、一维无限深 势阱金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动势能函数为：
)
a
x,
a
x(
)
a
x
a
(
)x(V
22
22
0
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
67
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
)x()EV(mdx )x(d 22
2 2
V对 Ⅱ 区：
)EV(m 22 2令,V当
)x(dx )x(d 22
2
xx eBeA)x(
,ax 2当 0 BA)x(? 0?)x(?
2
ax当 BA)x( 0? 0?)x(?
通解为
68
02 22
2
)x(mEdx )x(d
0?V
mEk 2?令 022
2
)x(kdx )x(d
方程的通解为：
i k xi k x BeAe)x(
波函数连续
022 kas i nDkac o sC 0?kas i n
,,n
nka
21?
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
对 Ⅰ 区：
kxs i nDkxc o sC)x(或
022 kas i nDkac o sC
69
粒子的能量 321
2
2
2
22
,,nn)ma(E n
mEk 2,,nnka 21
xans i nDxanc o sC)x(
)ns i n (D)nc o s (C)a( 2202
,,,nD)(C
,,,n)(DC
64201
53110
,,,nxanc o sC)x( 531
,,,nxans i nD)x( 642
70
,,,n)x
a
n
s i n(
a
n)x
a
n
c os (
a
)x(
642
2
1,3,5,
2
12
2
22
a
a xdxa
nc o sC? 12
2
22
a
a xd xa
ns i nD?
aDC
2
,,,nxanc o sC)x( 531
,,,nxans i nD)x( 642
71
一维无限深势阱中的粒子
)x(?
2)x(?
O O2a
x x
1?n
2?n
3?n
4?n
1E
2E
3E
4E
2a? 2a2a?
72
1,3,5,2 n)xanc o s (a)x(
,,,n)xans i n (a)x( 6422
)x()x(
相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。
)x()x(
相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。
73
二、隧道效应玻璃 光波能透过界面进入空气达数个波长的深度（渗透深度）。
玻璃电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。
电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
垒高度金属中电子能量低于势 0VE?
2
210
1
0
0 0
xx
xxxV
xx
)x(V
74
Ⅰ 区 薛定谔方程为：
01212 1
2
kx
02222 2
2
kx
03232 3
2
kx 223 2?mEk?
2
02
2
2
)EV(mk
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
1
2
mEk?
xikxik BeAe 111
Ⅱ 区 薛定谔方程为：
xkxk eBeA 22 222
Ⅲ 区 薛定谔方程为：
xikeA 333
75
Ⅰ 区粒子进入 Ⅲ 区的概率为
)EV(m
a
x
x
x
x eP 0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
势垒越宽透过的概率越小，
(V0-E)越大透过的概率越小。
为势垒的宽度12 xxa
)EV(maPln 022?
xkxk eBeA 22 222
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
76
样品表面隧道电流扫描探针计算机 放大器样品 探针运动控制系统显示器扫描隧道显微镜示意图
77
48个 Fe原子形成,量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波,
78
三,一维谐振子粒子的势能函数
22
2
1
2
1 xmkxV
薛定谔方程
0212 222
2
)xmE(mdxd?
,,,n
h)n(E
210
2
1
O x
2?
1?n
2?n
3?n
0?n
2
2
1 kx
79
16-8 量子力学对氢原子的应用氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的 1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。
电子势能函数电子的定态薛定谔方程为
80
由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。
c o ss i nrx s i ns i nry?
c o srz?
x
z
y
O
r
P
定态薛定谔方程为：
81
用分离变量求解，令 )()()r(R),,r(
代入方程可得：
0]
4
1
[
211
111
2
0
2
2
2
2
2
2
r
e
E
mr
d
d
s i n
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
)
dr
dR
r(
dr
d
R
2
2
21
lmdd令
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
82
上式可分解为两个方程：
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
2
211
s i n
m)
d
d( s i n
d
d
s i n
l
2
2
21
lmd
d
83
氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数 n
决定着氢原子的能量
2、角量子数 l
角动量大小
)l(lL 1
)n(,,,,l 1210
18 222
0
4
nh
meE
,,,n 321?
3、磁量子数 ml
角动量空间取向量子化?lz mL?
l,,,,m l210
84
空间量子化示意图
)(? z
1
0
1?
1?l
)(? z
1
0
1?
2?l
)(? z
1
0
1?
3?l
3
22
3?
2? 2?
2?L
6?L
12?L
85
16-9 斯特恩 —盖拉赫实验证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩电子磁矩大小 IA
I
d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积电流强度
A
I
T
eI? 周期电子电量 Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdtdr 2
2
1
86
I
d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
T dtdtdrdrA 0 220 2 2121
dt
dmr?2电子的角动量 T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒 T
m
LA
2?
LmeIA 2 Lme 2
是角量子数l,)l(lL 1
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影是磁量子数llz m,mL
87
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e
22
15124 1079510279
2
TeV.TJ.
m
e
B
玻尔磁子载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM
c o sBds i nBMdW
22
BBc o sBU z
力矩作功相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
88
z
B
z
Uf
zz?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
89
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
z
v
Lt?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats?222
2
1
2
1
2
1
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
90
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现,Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l
2
1
2
1 或
zL
矛盾？与?,,,l 210?
91
16-10 电子自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密特 (S.A.Goudsmit)提出：
除轨道运动外，电子还存在一种 自旋 运动。
电子具有 自旋角动量 和相应的 自旋磁矩 。
)1( ssS
自旋角动量
2
1?ss 称为自旋量子数?
2
3?S
自旋角动量的空间取向 是量子化的，
在外磁场方向投影
sz mS?
2
1
ss mm 称为自旋磁量子数
92
自旋磁矩 S
m
e
s
在外磁场方向投影 BzS
m
eS
m
e
z
2
m
e
S
S
m
e
L
L
2
自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值
93
电子自旋及空间量子化
S
2
3?S
2
1
sm
2
1?
sm
z
O
“自旋”不是宏观物体的“自转”
只能说电子自旋是电子的一种内部运动
94
16-11 原子的壳层结构多电子的原子中电子的运动状态用 (n,l,ml,,ms)
四个量子数表征：
（ 1）主量子数 n，可取 n=1,2,3,4,…
决定原子中电子能量的主要部分。
（ 2）角量子数 l，可取 l=0,1,2,…(n -1)
确定电子轨道角动量的值。
nl表示电子态
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8
记号 s p d f g h i k l
如 1s 2p
95
（ 3）磁量子数 ml，可取 ml=0,± 1,± 2,… ± l
决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。
（ 4）自旋磁量子数 ms，只取 ms= ± 1/2
确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。
“原子内电子按一定壳层排列”
主量子数 n四个相同的电子组成一个主壳层。
n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,… 壳层。
每一壳层上，对应 l=0,1,2,3,… 可分成 s,p,d,f… 分壳层。
96
（一）泡利 (W.Pauli)不相容原理在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。
各壳层所可能有的最多电子数,
当 n给定,l 的可取值为 0,1,2,…,n-1共 n个 ;
当 l给定,ml的可取值为 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1
个 ;当 n,l,ml 给定,ms的可取值为 ± 1/2共 2个,
给定主量子数为 n的壳层上，可能有的最多电子数为：
2
1
0
22 )12(22)12(2 nnnlZ
n
l
n?
97
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
l
n
9826(7i)22(7h)18(7g)14(7f)10(7d)6(7p)2(7s)7Q
7222(6h)18(6g)14(6f)10(6d)6(6p)2(6s)6P
5018(5g)14(5f)10(5d)6(5p)2(5s)5O
3214(4f)10(4d)6(4p)2(4s)4N
1810(3d)6(3p)2(3s)3M
86(2p)2(2s)2L
22(1s)1K
Zn6i5h4g3f2d1p0s
98
pdspspss 43433221
pdfspds 6546545
dfs 657
原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先占据能量最低的能级。
（二）能量最小原理越大，能级越高)l.n( 70?
比较和 ds 34 ).().( 27030704
99
K K K
K K K
L L
L L L
M M
2 He 3 Li
10 Ne 11 Na 17 Cl
8 O
第 六 篇 量子论早期量子论量子力学相对论量子力学普朗克能量量子化假说爱因斯坦光子假说康普顿效应玻尔的氢原子理论德布罗意实物粒子波粒二象性薛定谔方程波恩的物质波统计解释海森伯的测不准关系狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合
2
集中了地球三分之一智慧的全家福
3
4
物体在不同温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射热辐射
16-1 黑体辐射 普朗克量子假设一、热辐射 绝对黑体辐射定律单色辐射本领（单色辐出度）
波长?为的单色辐射本领是指单位时间内从物体的单位面积上发出的波长在?附近单位波长间隔所辐射的能量。
)T(M? 3m/W
5
如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体称为 绝对黑体,简称 黑体 。
0 1 2 3 4 5 6
(μm)
)T(B B?
6
1,斯忒藩 —玻尔兹曼定律
0 d)T(M)T(M BB
黑体辐射的总辐射本领（辐射出射度）
4T)T(M B
斯忒藩常数—42810675 KmW.?
（即曲线下的面积）
当绝对黑体的温度升高时，单色辐射出射度最大值向短波方向移动。
2,维恩位移定律峰值波长
bTm
维恩常数—Km.b 3108982
)T(M B?
m?
7
实验值)T(M B?
维恩瑞利 --金斯紫外灾难
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 )m(
T
C
B eC)T(M
25
1
TC)T(M B 43
二、普朗克量子假设
8
h— 普朗克常数 sJh 341063.6
普朗克得到了 黑体辐射公式,
1
12 52
kT
hcB
e
hc)T(M
c —— 光速
k —— 玻尔兹曼恒量普朗克量子假说
(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，
并和周围的电磁场交换能量。
h?
(2) 这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值
，是最小 能量?的整数倍,这个最小能量称为 能量子 。
9
M.V.普朗克研究辐射的量子理论，发现基本量子
，提出能量量子化的假设
1918诺贝尔物理学奖
10
16-2 光的量子性电效应一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律光电效应 光照射到金属表面时，
有电子从金属表面逸出的现象。
光电子 逸出的电子。
OO
OO
OO
O O
A K
G
V
R
光电子由 K飞向 A，回路中形成 光电流 。
11
光电效应伏安特性曲线饱和电流光 强 较 强光 强 较 弱截止电压
I
aU
1sI
2sI
O
U
实验规律
1、单位时间内从阴极逸出的光电子数与入射光的强度成正比。
2、存在遏止电势差
am eUmv?
2
2
1
0UkU a
aU
O
12
0
2
2
1 eUekmv
m k
U 0
称为红限频率kU 00
021 2?mmv
对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限频率，
则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。
am eUmv?
2
2
1
0UkU a
(3) 光电效应瞬时响应性质实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到光电子出现只需要 的时间。s910?
13
爱因斯坦光电效应方程
Amvh m 221?
爱因斯坦光子假说光是以光速 c 运动的微粒流，称为 光量子 （ 光子 ）
h?光子的能量金属中的自由电子吸收一个光子能量 h?以后，
一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功 A,
一 部分转化为光电子的动能。
14
0
2
2
1 eUekmv
m Ahmv m
2
2
1
ekh? 0eUA? hAkU 00?
3,从方程可以看出光电子初动能和照射光的 频率成线性关系。
爱因斯坦对光电效应的解释
2,电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，
所以无须时间的累积。
1,光强大，光子数多，释放的光电子也多，
所以光电流也大。
15
例 根据图示确定以下各量
1、钠的红限频率
2、普朗克常数
3、钠的逸出功解：由爱因斯坦方程
Amvh m 221?
其中
am eUmv?
2
2
1
截止电压与入射光频关系
AheU a
)V(U a
O
)Hz( 1410?
20.2
10
65.0
0.6
钠的截止电压与入射光频关系
39.4
16
AheU a
从图中得出
Hz141039.4
hddUe a
从图中得出
sV.bcabddU a 1510873?
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与入射光频关系
a
bc
0.6
17
sJ.ddUeh a 341026?
J.hA 1910722
普朗克常数钠的逸出功
)V(U a
O
)10( 14 Hz?
20.2
10
65.0
39.4
钠的截止电压与入射光频关系
a
bc
0.6
18
A.爱因斯坦
对现代物理方面的贡献，特别是阐明光电效应的定律
1921诺贝尔物理学奖
19
二、康普顿效应
1922年间康普顿观察 X射线通过物质散射时，发现散射的波长发生变化的现象。
X 射线管
R 光阑
1B 2B
0?
石墨体（散射物）
A
晶体探测器
20
石墨的康普顿效应
..
..,.,....,.
.,,
.
....
..
.,.
.
.
.
..,.,...
..
...
.,
..
.
..
..,
.
.
.
..,.,..
.....,
...,...,,.,.......
.,
(a)
(b)
(c)
(d)
(埃 )0.700 0.750
00
045
0135
090
1.散射 X射线的波长中有两个峰值
0
02.
与散射角?有关
3.不同散射物质，
在同一散射角下波长的改变相同。
4,波长为?的散射光强度随散射物质原子序数的增加而减小。
21
光子理论对康普顿效应的解释高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。
1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子,光子的能量减少，因此波长变长，频率变低。
2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能量几乎不变，故波长有不变 的成分 。
3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。
22
光子的能量、质量和动量由于光子速度恒为 c，所以光子的,静止质量,为零,
2
2
0
1
c
v
m
m
光子的动量：
c
Ep?
h
c
h
光子能量,?hE?
420222 cmcpE
23
康普顿效应的定量分析
0?h
Y
X
0m
e
Y
X
h
vm?
（ 1） 碰撞前 （ 2） 碰撞后 （ 3） 动量守恒
X
nch
vm?
0
0 n
c
h
碰撞前，电子平均动能（约百分之几 eV），与入射的 X射线光子的能量（ 104~105eV）相比可忽略，
电子可看作静止的。
24
由 能量守恒,
由 动量守恒,
2002 cmhhmc
2
2 2
0
0
s i n
cm
h
vmnchnch 00
2
2
0
1
c
v
m
m
康普顿散射公式
cm
h
c
0
电子的康普顿波长 0243.0?c
X
nch
vm?
0
0 n
c
h
c o snn 0
25
1927诺贝尔物理学奖
A.H.康普顿
发现了 X射线通过物质散射时，波长发生变化的现象
26
光的波粒二象性表示粒子特性的物理量波长、频率是表示波动性的物理量表示光子不仅具有波动性，同时也具有粒子性，
即具有波粒二象性。
h?
hp?
2c
hm
光子是一种基本粒子，在真空中以光速运动
27
一,氢原子光谱的实验规律谱线是线状分立的
16-2 玻尔的氢原子理论光谱公式 )
n(R
~
22
1
2
11
42
2
n
nB?
R=4/B 里德伯常数 1.0967758× 107m-1
连续
0
A73645,
H?
0A16562,H
红
0
A74860,
H?深绿
0
A14340,
H?青
0A24101,H
紫
0A73645,B?
,,,,n 6543?
巴耳末公式
28
赖曼系 )
n(R
~
22
1
1
1 在紫外区?,,,n 432?
帕邢系 )
n(R
~
22
1
3
1 在近红外区?654,,n?
布喇开系 )
n(R
~
22
1
4
1 在红外区?765,,n?
普芳德系 )
n(R
~
22
1
5
1 在红外区?,,,n 876?
广义巴耳末公式 )
nk(R
~
22
11,,,k 321?
,k,k,kn 321
)n(T)k(T~ 称为光谱项22 nR)n(T,kR)k(
29
二,玻尔氢原子理论原子的核式结构的 缺陷,
无法解释原子的稳定性无法解释原子光谱的不连续性玻尔原子理论的三个 基本假设,
1、定态假设原子系统存在一系列 不连续的能量状态,处于这些状态的原子中电子只能 在一定的轨道上 绕核作圆周运动，但不辐射能量 。这些状态称为稳定状态，简称定态。
对应的能量 E1,E2,E3… 是不连续的。
30
2、频率假设原子从一较大能量 En的定态向另一较低能量 Ek的 定态跃迁时，辐射一个光子
kn EEh
3、轨道角动量量子化假设
2
hnL? 轨道量子化条件
n为正整数，称为量子数跃迁频率条件原子从较低能量 Ek的 定态向较大能量 En的定态跃迁时，吸收一个光子
31
基本假设应用于氢原子：
(1)轨道半径量子化
2
2
2
2
04
1
nn r
vm
r
e?
2
hnm v rL
n
)me h(nr n 2
2
02
第一玻尔轨道半径 0
2
2
0
1 A530,me
hr
32
(2)能量量子化和原子能级
n
nn r
emvE
0
2
2
42
1
),,,n()
h
me(
n
E n?321
8
1
22
0
4
2
基态能级 V.E e5813
1
激发态能级 eV
n
.
n
EE
n 22
1 5813
氢原子的电离能 eV.EEE 5813
1电离
)meh(nr n 2
2
02
33
(3)氢原子光谱
h
EE kn
c
~?
1
2n
R c hE
n
氢原子发光机制是能级间的跃迁
)
nk
(
ch
me
2232
0
4 11
8
hc
EE kn
R理论 — 里德伯常数
1.097373× 107m-1
R实验 =1.096776× 107m-1
34
氢原子光谱中的不同谱线
65
62
.79
48
61
.33
43
40
.47
41
01
.74
12
15
.68
10
25
.83
97
2.5
4
18
.75 40
.50
赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系连续区
nE )eV(
0
850.?
511.?
393.?
613,?
4
3?n
2?n
1?n
35
例 试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？
解,根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是 n=3?n=2跃迁的光子，即
)(.)(R
m a x
22
7
22 3
1
2
1100971
3
1
2
11
o7 A6 5 6 310566 m.
m a x?
最短波长应是 n=n=2跃迁的光子，即
4100 9 71211 72 /.R
m i n
oA3 4 6 4?m i n?
36
例 （ 1）将一个氢原子从基态激发到 n=4的激发态需要多少能量？（ 2）处于 n=4的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？
解：（ 1）
JeV.
).(
.
E
E
EEE
18
212
1
14
1027512
5813
4
5813
4
（ 2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有 6条谱线。
37
1?n
2?n
3?n
4?n由图可知，可见光的谱线为
n=4和 n=3跃迁到 n=2的两条
)(R~ 2242 4121
17
7
10210
16
1
4
1
100 971
m.
)(.
o
42
42 A4 8 6 1
1
~
)(R~ 2232 3121 1710150 m.
o
32
32 A6 5 6 3
1
~
38
二、玻尔理论的缺陷
1,把电子看作是一经典粒子,推导中应用了牛顿定律，使用了轨道的概念,所以玻尔理论不是彻底的量子论。
2.角动量量子化的假设以及电子在稳定 轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。
3,无法解释光谱线的精细结构。
4,不能预言光谱线的强度。
39
N.玻尔
研究原子结构，特别是研究从原子发出的辐射
1922诺贝尔物理学奖
40
16-4 粒子的波动性一、德布罗意波德布罗意提出了 物质波的假设,
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离。
运动的实物粒子的能量 E、动量 p与它相关联的波的频率? 和波长?之间满足如下关系：
hmcE 2?hmvp 德布罗意关系式表示自由粒子的平面波称为 德布罗意波 (或 物质波 )
41
自由粒子速度较小时电子的德布罗意波长为
m
pE
2
2
m e V
h
2
0
A212
V
.?
VV 100? 0A221,
例如,电子经加速电势差 V加速后 eVE?
mE
h
p
h
2
42
物质波的实验验证
1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。
G
K
狭缝 电流计镍集 电器
U
电子束单 晶
43
衍射最大值,?32102,,,kks i nd
m e U
h
2
电子的波长：
m e U
hks i nd
2
2
5 10 2015 250
I
V
电流出现峰值戴维孙 — 革末实验中 063 A03280 00,kU.d
44
L.V.德布罗意
电子波动性的理论研究
1929诺贝尔物理学奖
45
C.J.戴维孙
通过实验发现晶体对电子的衍射作用
1937诺贝尔物理学奖
46
二、德布罗意波的统计解释
1926年，德国物理学玻恩 (Born,1882--1972)
提出了概率波，认为 个别微观粒子 在何处出现有一定的 偶然性,但是 大量粒子 在空间何处出现的空间分布却服从 一定的统计规律 。
47
M.玻恩
对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释
1954诺贝尔物理学奖
48
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。
衍射图样电子束
x
缝屏幕a?2
X方向电子的位置不准确量为,ax
16-5 测不准关系
49
s i nx?s inpp x
X方向的分动量 px的测不准量为：
xp
ph
xxpxp x h
p
hp
xp
yp
p
电子束
x
缝屏幕a?2
ax
50
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
经严格证明此式应为：
hxp x
2xp x
这就是著名的海森伯测不准关系式
hxp x
2yp y
2zp z
51
测不准关系式的理解
1,用经典物理学量 ——动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 。
3,对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间 Δt 之间也有下面的测不准关系：
2,可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
2tE
52
原子处于激发态的平均寿命一般为这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
2tE
st 810
JtE 26102
于是激发态能级的宽度为：
53
W.海森堡
创立量子力学，
并导致氢的同素异形的发现
1932诺贝尔物理学奖
54
所以坐标及动量可以同时确定
1,宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
，若的乒乓球,其直径
,可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
例 kgm 210 cmd 5?
1200 smv x mx 610
x
vm x
2
6
34
10
10
12810 smkg
xvm 12 smkg
问题？
55
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
01 Adx
例 一电子以速度的速度穿过晶体。
161001 sm.v x
xmv x 2
1
1031
34
1010
10?
sm
1710 sm 1610 smv
x
2,微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
56
16-6 波函数 薛定谔方程
)xt(c o sA)t,x(y 2
)(2),( xtiAetxy
单色平面简谐波波动方程一,波函数描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子
)(20),( xtietx
0?)t,x(?
区别于经典波动只取实部
hE
ph
)pxEt(ie)t,x(
02
h其中
57
若系统能量为确定值而不随时间变化只与坐标有关而与时间无关,振幅函数
Etie)x()t,x(
pxie)x(?
0
波函数 物理意义在某处发现一个实物粒子的 几率 同 波函数平方 成正比
t时刻在 (x,y,z)附近小体积 dV中出现微观粒子的概率为
dVdV 2 d x d y d zdV?
58
12V d x d y d z? 波函数归一化条件波函数的标准条件,单值,有限 和 连续波函数的平方表征了 t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率密度
)t,z,y,x(2
59
物质波与经典波的本质区别经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
可测量，具有物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
一般是不可测量的。
2
2、物质波是概率波。? C 等价对于经典波 CAA?
ECE 2?
60
解：利用归一化条件
dx)x( 2?
例：求波函数归一化常数和概率密度 。
)0(
)0( 0
axx
a
s i nAe
ax,x
x Eti
a dxaxs i nA0 22? 12
2
aA aA
2?
2
)0(
2
)0( 0
2 ax
a
x
s i n
a
ax,x
61
这就是 一维自由粒子（含时间）薛定谔方程
)pxEt(ie)t,x(
0
2
2
2
2
p
x
Ei
t
对于非相对论粒子 mpE 22?
tixm?
2
22
2
一维自由粒子的波函数二、薛定谔方程
62
在外力场中粒子的总能量为：
tiVxm?
2
22
2
VpmE 22 1
一维薛定谔方程
2
2
2
2
p
x
Ei
t
三维薛定谔方程
tiVm?
22
2
2
2
2
2
2
22
zyx?
拉普拉斯算符 哈密顿量算符
VmH 2
2
2
薛定谔方程
H?
ti
63
ti)t,z,y,x(Vm?
22
2
)t(f)z,y,x()t,z,y,x(
如势能函数不是时间的函数代入薛定谔方程得：
t
f
f
iV
m?
1
2
1 22
用分离变量法将波函数写为：
)z,y,x(VmH 2
2
2
只是空间坐标的函数 只是时间的函数
64
Etffi1?
Etike)t(f
EVm 2
2
2
Etie)z,y,x()t,z,y,x(
粒子在空间出现的几率密度
2
22 Et
i
e)z,y,x()t,z,y,x(?
2)z,y,x(
几率密度与时间无关，波函数描述的是 定态定态薛定谔方程定态波函数
02 22
2
)x()VE(m)x(dxd粒子在一维势场中
65
E.薛定谔量子力学的广泛发展
1933诺贝尔物理学奖
66
16-7 薛定谔在几个一维问题中的应用一、一维无限深 势阱金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动势能函数为：
)
a
x,
a
x(
)
a
x
a
(
)x(V
22
22
0
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
67
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
)x()EV(mdx )x(d 22
2 2
V对 Ⅱ 区：
)EV(m 22 2令,V当
)x(dx )x(d 22
2
xx eBeA)x(
,ax 2当 0 BA)x(? 0?)x(?
2
ax当 BA)x( 0? 0?)x(?
通解为
68
02 22
2
)x(mEdx )x(d
0?V
mEk 2?令 022
2
)x(kdx )x(d
方程的通解为：
i k xi k x BeAe)x(
波函数连续
022 kas i nDkac o sC 0?kas i n
,,n
nka
21?
V
O
2
a
V
x
2
a?
0?V
Ⅱ ⅡⅠ
对 Ⅰ 区：
kxs i nDkxc o sC)x(或
022 kas i nDkac o sC
69
粒子的能量 321
2
2
2
22
,,nn)ma(E n
mEk 2,,nnka 21
xans i nDxanc o sC)x(
)ns i n (D)nc o s (C)a( 2202
,,,nD)(C
,,,n)(DC
64201
53110
,,,nxanc o sC)x( 531
,,,nxans i nD)x( 642
70
,,,n)x
a
n
s i n(
a
n)x
a
n
c os (
a
)x(
642
2
1,3,5,
2
12
2
22
a
a xdxa
nc o sC? 12
2
22
a
a xd xa
ns i nD?
aDC
2
,,,nxanc o sC)x( 531
,,,nxans i nD)x( 642
71
一维无限深势阱中的粒子
)x(?
2)x(?
O O2a
x x
1?n
2?n
3?n
4?n
1E
2E
3E
4E
2a? 2a2a?
72
1,3,5,2 n)xanc o s (a)x(
,,,n)xans i n (a)x( 6422
)x()x(
相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。
)x()x(
相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。
73
二、隧道效应玻璃 光波能透过界面进入空气达数个波长的深度（渗透深度）。
玻璃电子的隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。
电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
垒高度金属中电子能量低于势 0VE?
2
210
1
0
0 0
xx
xxxV
xx
)x(V
74
Ⅰ 区 薛定谔方程为：
01212 1
2
kx
02222 2
2
kx
03232 3
2
kx 223 2?mEk?
2
02
2
2
)EV(mk
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
1
2
mEk?
xikxik BeAe 111
Ⅱ 区 薛定谔方程为：
xkxk eBeA 22 222
Ⅲ 区 薛定谔方程为：
xikeA 333
75
Ⅰ 区粒子进入 Ⅲ 区的概率为
)EV(m
a
x
x
x
x eP 0
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
势垒越宽透过的概率越小，
(V0-E)越大透过的概率越小。
为势垒的宽度12 xxa
)EV(maPln 022?
xkxk eBeA 22 222
E
E
0?V 0?V
0VV?
x
1x 2x
O
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
76
样品表面隧道电流扫描探针计算机 放大器样品 探针运动控制系统显示器扫描隧道显微镜示意图
77
48个 Fe原子形成,量子围栏,,
围栏中的电子形成驻波,
78
三,一维谐振子粒子的势能函数
22
2
1
2
1 xmkxV
薛定谔方程
0212 222
2
)xmE(mdxd?
,,,n
h)n(E
210
2
1
O x
2?
1?n
2?n
3?n
0?n
2
2
1 kx
79
16-8 量子力学对氢原子的应用氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的 1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。
电子势能函数电子的定态薛定谔方程为
80
由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。
c o ss i nrx s i ns i nry?
c o srz?
x
z
y
O
r
P
定态薛定谔方程为：
81
用分离变量求解，令 )()()r(R),,r(
代入方程可得：
0]
4
1
[
211
111
2
0
2
2
2
2
2
2
r
e
E
mr
d
d
s i n
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
)
dr
dR
r(
dr
d
R
2
2
21
lmdd令
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
82
上式可分解为两个方程：
0]
11
[
)]
4
121
[
2
2
2
0
2
2
2
s i n
m
)
d
d
( s i n
d
d
s i n
r
e
E(
mr
)
dr
dR
r(
dr
d
R
l
2
211
s i n
m)
d
d( s i n
d
d
s i n
l
2
2
21
lmd
d
83
氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：
1、主量子数 n
决定着氢原子的能量
2、角量子数 l
角动量大小
)l(lL 1
)n(,,,,l 1210
18 222
0
4
nh
meE
,,,n 321?
3、磁量子数 ml
角动量空间取向量子化?lz mL?
l,,,,m l210
84
空间量子化示意图
)(? z
1
0
1?
1?l
)(? z
1
0
1?
2?l
)(? z
1
0
1?
3?l
3
22
3?
2? 2?
2?L
6?L
12?L
85
16-9 斯特恩 —盖拉赫实验证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。
即角动量在空间的取向是量子化的。
1、电子的轨道磁矩电子磁矩大小 IA
I
d
ze?
r
e
v?
回路包围的面积电流强度
A
I
T
eI? 周期电子电量 Te
扫过的面积时间内电子矢径 rdtdr 2
2
1
86
I
d
ze?
r
e
v?
绕行一周扫过的面积
T dtdtdrdrA 0 220 2 2121
dt
dmr?2电子的角动量 T dt
m
LA
0 2
电子在有心力场中运动，角动量守恒 T
m
LA
2?
LmeIA 2 Lme 2
是角量子数l,)l(lL 1
角动量在外磁场方向（取为 z轴正向）的投影是磁量子数llz m,mL
87
磁矩在 z轴的投影
Bllzz mmm
eL
m
e
22
15124 1079510279
2
TeV.TJ.
m
e
B
玻尔磁子载流线圈在外磁场中受力矩作用 BM
c o sBds i nBMdW
22
BBc o sBU z
力矩作功相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
88
z
B
z
Uf
zz?
磁场在 z方向不均匀，载流线圈在 z方向受力结论,原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
1921年，斯特恩 （ O.Stern） 和盖拉赫
（ W.Gerlach） 发现一些处于 S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
89
Q
1S 2S
S
N
L
s
O
z
v
Lt?
z
z )
v
L(
z
B
MtM
fats?222
2
1
2
1
2
1
向上偏转0?z? 向下偏转0?z?
实验现象,屏上几条清晰可辨的黑斑结论,原子磁矩只能取几个特定方向，
即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。
90
斑纹条纹数 =2l+1
从斑纹条纹数可确定角量子数 l
发现,Li,Na,K,Cu,Ag,Au等基态原子的斑纹数为 2
2
1?l
2
1
2
1 或
zL
矛盾？与?,,,l 210?
91
16-10 电子自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密特 (S.A.Goudsmit)提出：
除轨道运动外，电子还存在一种 自旋 运动。
电子具有 自旋角动量 和相应的 自旋磁矩 。
)1( ssS
自旋角动量
2
1?ss 称为自旋量子数?
2
3?S
自旋角动量的空间取向 是量子化的，
在外磁场方向投影
sz mS?
2
1
ss mm 称为自旋磁量子数
92
自旋磁矩 S
m
e
s
在外磁场方向投影 BzS
m
eS
m
e
z
2
m
e
S
S
m
e
L
L
2
自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值
93
电子自旋及空间量子化
S
2
3?S
2
1
sm
2
1?
sm
z
O
“自旋”不是宏观物体的“自转”
只能说电子自旋是电子的一种内部运动
94
16-11 原子的壳层结构多电子的原子中电子的运动状态用 (n,l,ml,,ms)
四个量子数表征：
（ 1）主量子数 n，可取 n=1,2,3,4,…
决定原子中电子能量的主要部分。
（ 2）角量子数 l，可取 l=0,1,2,…(n -1)
确定电子轨道角动量的值。
nl表示电子态
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8
记号 s p d f g h i k l
如 1s 2p
95
（ 3）磁量子数 ml，可取 ml=0,± 1,± 2,… ± l
决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。
（ 4）自旋磁量子数 ms，只取 ms= ± 1/2
确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。
“原子内电子按一定壳层排列”
主量子数 n四个相同的电子组成一个主壳层。
n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,… 壳层。
每一壳层上，对应 l=0,1,2,3,… 可分成 s,p,d,f… 分壳层。
96
（一）泡利 (W.Pauli)不相容原理在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。
各壳层所可能有的最多电子数,
当 n给定,l 的可取值为 0,1,2,…,n-1共 n个 ;
当 l给定,ml的可取值为 0,± 1,± 2,…,± l共 2l+1
个 ;当 n,l,ml 给定,ms的可取值为 ± 1/2共 2个,
给定主量子数为 n的壳层上，可能有的最多电子数为：
2
1
0
22 )12(22)12(2 nnnlZ
n
l
n?
97
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
l
n
9826(7i)22(7h)18(7g)14(7f)10(7d)6(7p)2(7s)7Q
7222(6h)18(6g)14(6f)10(6d)6(6p)2(6s)6P
5018(5g)14(5f)10(5d)6(5p)2(5s)5O
3214(4f)10(4d)6(4p)2(4s)4N
1810(3d)6(3p)2(3s)3M
86(2p)2(2s)2L
22(1s)1K
Zn6i5h4g3f2d1p0s
98
pdspspss 43433221
pdfspds 6546545
dfs 657
原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先占据能量最低的能级。
（二）能量最小原理越大，能级越高)l.n( 70?
比较和 ds 34 ).().( 27030704
99
K K K
K K K
L L
L L L
M M
2 He 3 Li
10 Ne 11 Na 17 Cl
8 O
