1
第十三章 统计工序（过程）控制
13.1 基本概念
13.2 控制图类型及其原理
13.3 控制图的绘制与判断
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
2
13.1 基本概念一 影响因素分类二 统计工序控制的概念三 统计工序控制与产品检查的区别
3
一
1 偶然因素（随机因素）?
对生产过程一直起作用的因素。如材料成分、规格、硬度等的 微小变化；设备的微小震动；刃具的正常磨损；夹具的弹性变型及微小松动；工人操作的微 小不均匀性等；?
对质量波动的影响并不大，一般来说，并不超出工序规格范围；?
因素的影响在经济上并不值得消除；?
在技术上也是难以测量、难以避免的；?
由偶然因素造成的质量特性值 分布状态 不随时间的变化而变化。
∴由偶然因素造成的质 量波动称为正常的波动，这种波动一般通过公差加以反映，此时
2 异常因素（系统因素）
在一定时间内对生产过程起作用的因素。如材料成份、规格,硬度的显著变化；设备、工夹具安装、调整不当或损坏；刃具的过渡磨损；工人违反操作规 程等；
因素造成较大的质量波动，常常超出了规格范围或存在超过规格范围的危险；
因素的影响在经济上是必须消除的；
在技术上是易于识别、测量并且是可以消除和避免的 ;
由异常因素造成的质量特性值 分布状态 随时间的变化可能 发 生各种变化。
∴由异常因素造成的波动称为不正常的波动。此时的工序处于不稳定状态 或非受控状态。
对这样的工序必须严加控制。
4
公差上限公差下限公差上限公差下限公差上限公差下限公差上限公差下限时间生产过程的几种状态图 a 图 b
图 c 图 d
5
二 统计工序控制的概念
在生产过程中，判别工序是否在受着异常因素的影响可以采取下面的方法,每隔一定的时间间隔，在生产的产品中进行随机抽样，并根据样本数据观察质量特性值的分布状态 。若工序分布状态不随时间的推移而变化 (即如图 a),说明工序处于稳定状态，
只 受着偶然因素的影响；若工序分布状态随着时间的推移发生变化 (如图 b,c,d)，说 明工序处于非稳定状态，正在有异常因素影响着它，必须立即采取措施消除异常因素的影响 。
概念：利用统计规律判别和控制异常因素造成的质量波动，从而保证工序处于控制状态的手段 称为统
6
三 统计工序控制与产品检查的区别统计工序控制与产品检查有着本质的区别。
检查是通过比较产品质量特性测量值与规格要求,达到剔除不合格品的目的，是事后把关。统计工序控制是通过样本数据分布状态估计总体 分布状态的变化，从而达到预防异常因素造成的不正常质量波动，消除质量隐患的目的，是事先预
检查通常通过专门的测量仪器和设备得到测量值，并由检查人员进行判定。而统计工序 控制必须使用专门设计的控制图，
统计工序控制虽然会带来一定程度的预防成本的提高，但却能及早发现异常，采取措施消除隐患，带来故障成本的大幅度降低。因此对比产品检查，统计工序控制会带来显著的经
7
13.2
一 控制图及其基本构造二 控制图的类型三 控制界限的确定原理 —— 3σ原理
8
一 控制图及其基本构造
产生,控制图是由美国贝尔 (Bell)通信研究所的休哈特 (W.A Shewhart)博士发明的，因 此也称休哈特控制图。
定义,控制图是反映和控制质量特性值分布状态随时间而发生的变动情况的图表。它是判断工序是 否处于稳定状态、保持生产过程始终处于正常状态的有效工具。
控制图与趋势图的比较采用趋势图可以掌握不断变化着的工序状态。为了判别工序的质量波动是正常波动还是非正常波动，在趋势图的基础上，控制图发生如下变化：
①纵坐标可能是质量特性值，也可能是其统计量，如,R等；
②增加上、中、下三条控制线作为判断工序有无异常的标准和尺度。
若点子落在控制界限内，认为工序的波动是正常的波动；若点子落在控制界限外或其排列有明显缺陷，则说明工序有异常因素的影响。
xx ~、
控制图基本构造
应用
9
控制图基本构造
1 以随时间推移而变动着的样品号为横坐标，以质量特性值或其统计量为纵坐标的平面坐
2 三条具有统计意义的控制线：中心线 CL、上控制线 UCL
和下控制线 LCL
3 一条质量特性值或其统计量的波动曲线。
控制图的构造控制上线 UCL
控制中线 CL
控制下线 LCLx(或
x、
R、
S等
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
样本号（或时间）
10
控制图应用在实际生产过程中，坐标系及三条控制线是由质量管理人员事先经过工序能力调查及其数据 的收集与计算绘制好的。工序的操作人员按预先规定好的时间间隔抽取规定数量的样品，
将 样品的测定值或其统计量在控制图上打点并联接为质量波动曲线，并通过点子的位置及排 列情况判断工序状态。
11
2 按质量特性值的类型及其统计量划分由于数据分为计量值与计数值两大类。因此控制图分为计量值控制图和计数值控制图两大类型。又因各种类型的控制图所选择的统计量不同，因此又可分为不同种类的控制图。常用的各种控制图的特点及适用场合如 表 1所示。
二 控制图的类型
1 按用途划分
(1)分析用控制图 。用间隔取样的方法获得数据。依据收集的数据计算控制线、作出控制图,并将数据在控制图上打点，
以分析工序是否处于稳定状态，若发现异常，寻找原因，
采取 措施，使工序处于稳定状态；若工序稳定，则进入正
(2)控制用控制图 。当判断工序处于稳定状态后，用于控制工序用的控制图。操作工人按规 定的取样方式获得数据，通过打点观察，控制异常因素的出现。
12
类别 名称 管理图符号特 点 适用场合计量值控制图均值 — 极差控制图最常用，判断工序是否异常的效果好，但计算工作量大适用于产品批量较大而且稳定正常的工序。
中位数 — 极差控制图计算简便，但效果较差些，
便于现场使用两极控制图 L—S 一张图可同时控制均值和方差，计算简单，使用方便单值 — 移动极差控制图
X—Rs 简便省事，并能及时判断工序是否处于稳定状态。缺点是不易发现工序分布中心的变化。
因各种原因（时间费用等）每次只能得到一个数据或希望尽快发现并消除异常原因计数值控制图不合格品数控制图
pn 较常用，计算简单，操作工人易于理解样本容量相等不合格品率控制图
p 计算量大，管理界限凹凸不平样本容量可以不等缺陷数控制图
C 较常用，计算简单，操作工人易于理解，使用简便样本容量（面积或长度）相等单位缺陷数控制图
U 计算量大，管理界限凹凸不平样本容量（面积或长度）不等
RX?
RX?~
表 1 控制图种类及适用场合
13
三 控制界限的确定原理 — 3σ原理
1 控制界限的重要性对于偶然因素和异常因素引起的质量波动，过去人们是直接凭经验进行判断和区别的。发明 了控制图之后，就可以使用控制图对工序状态进行客观的、科学的判断。而区别和 判断两类因 素造成的质量波动的标准就是控制线。因此，如何合理地、经济地确定控制界限是控制图的 核心问题。
2 确定方法休哈特控制图控制界限是以 3σ原理 确定的。即以质量特性统计量的均值作为控制中线 CL； 在距均值 ± 3σ处作控制上、下线。由 3σ原理确定的控制图可以在最经济的条件下达到保证 生产过程稳定的目的。
14
3σ原理设工序处于正常状态时，质量特性总体的均值为 μ0，标准偏差 为 σ，设三条控制线的位置分别为 CL= μ0,UCL= μ0 ＋ kσ,LCL= μ0 -kσ。（见 图 3）
控制图的两类错误
当工序正常时，点子仍有落在控制界限外面的可能，此时会发生将正常波动判断为 非正常波 动的错误 —— 误发信号的错误，这种错误称为 第一类错误,控制图犯第一类错误 的概率记为 α
设总体均值 μ0在异常因素的作用下移至 μ1,σ不变。此时，点子应落在控制界限外以发出警报。但却也存在点子落在控制界限内不发警报的可能。
这将导致将非正常波动判断 为正常波动的错误 —— 漏发信号的错误，这种错误称为 第二类错误,控制图第二类错误的概率记为 β。
控制界限与两类错误的关系放宽控制界限，即 k越大，第一类错误的概率 α越小，第二类错误的概率
β越大；反之，加严控制界限，即 k越小，第一类错误的概率 α越大，第二类错误的概率 β减小。控制界限系数 k的确定应以两类错误判断的总损失最小为原则。
理论证明，当 k=3时，即控制图上下界限距中心线 CL为 ± 3σ时，合计损
15
x
LCL CL UCL
α/2 α/2β
k?0 k?0 0? 1?
图 3 控制图的两类错误第一类错误损失第二类错误损失图 4 两类错误损失图
kσ3σ
16
13.3 控制图的绘制与判断一 控制程序二 各类控制图作法举例三 控制图的观察与判断
17
一 绘制程序
1 确定受控质量特性即明确控制对象。一般应选择可以计量 (或计数 )、技术上可控、对产品质量影响大的关键部位、关键工序的关键质量
2 选定控制图种类
3 收集预备数据
4 计算控制界限各种控制图控制界限的计算方法及计算公式不同，但其计算
(1)计算各样本参数 (见 表 3)
(2)计算分析用控制图控制线 (见表 4)
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
6 与规格比较，确定控制用控制图
7
控制用控制图制好后，即可用它控制工序，使生产过程保持在正常状态。
18
收集预备数据的目的只为作分析用控制图以判断工序状态。
数据采集的方法是间隔随机抽样。为能反映工序总体状况，数据应在 10～ 15天内收集,并应详细地记录在事先准备好的调查表内。数据收集的个数参见表 2。
控制图名称 样 本 数 k 样 本 容 量 n 备 注图图
L—S图一般 k=20~25 一般 3~6 图的样本容量常取 3或 5
X—Rs图 K=20~30 1
pn图,p 图一般 k＝ 20～ 25
1/p~5/p
C图,U图 尽可能使样本中缺 陷数 C＝ 1～ 5
RX?
RX?~ X~
表 2 控制图的样本与样本容量
3 收集预备数据
19
图名称 步 骤 计 算 公 式 备 注图 （ 1）计算各样本平均值
（ 2）计算各样本极差 Ri
xij—— 第 I样本中的第 j个数据 i＝ 1,2… k;
j=1,2… n;
max(xij)—— 第 i样本中最大值；
min(xij)—— 第 i样本中最大值。
图 （ 1）找出或计算出各样本的中位数
（ 2）计算各样本极差 Ri
—— n为奇数时，第 i样本中按大小顺序排列起的数据列中间位置的数据
—— n为偶数时，第 I样本中按大小顺序排列起的数据列中中间位置的两个数据的平均值
L—S图 （ 1）找出各组最大值 Li和最小值 Si
（ 2）计算最大值平均值 和最小值平均值
（ 3）计算平均极差
（ 4）计算范围中值 M
X—Rs图 计算移动极差 Rsi
Pn图 计算平均不合格品率 （ pn)i—— 第 i样本的不合格品数（各样本样本容量皆为 n）
P 图 计算各组不合格品率 pi ni—— 第 i样本的样本容量（各样本样本容量可以不等）
C图 计算各样本的平均缺陷数 ci—— 第 i样本的缺陷数（各样本样本容量相等）
U图 计算各样本的单位缺陷数 ui 各样本样本容量不等
RX?
RX?~
iX~
ijiji
n
j
iji
xxR
xnx
m inm a x
1
1
ijiji
ninii
nij
xxR
nxxx
nxx
m i nm a x
2
1
2
1
2
2
1
为偶数为奇数
2
1
1
m i n
m a x
1
1
SL
MSLR
S
k
S
L
k
L
S
xL
k
i
i
k
i
i
iji
iji
1 iisi xxR
k
p
pnpp
k
i i
n
nn
1
i
ini npp?
k
c
c
k
i
i?
1
i
ii ncu?
L
S R
p
c
ix
21?nix
21221 nini xx
20
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
在坐标图上画出三条控制线，控制中线一般以细实线表示，
控制上下线以虚线表示。
将预备 数据各样本的参数值在控制图中打点。
根据本节介绍的控制图的判断规则判断工序状态是否 稳定，
若判断工序状态不稳定，应查明原因，消除不稳定因素，重新收集预备数据，直至得 到稳定状态下分析用控制图；若判
6 与规格比较，确定控制用控制图
由分析用控制图得知工序处于稳定状态后，还须与规格要求进行比较。若工序既满足稳定要求，又满足规格要求，则称工序进入 正常状态 。此时，可将分析用控制图的控制线作为控制 用控制图的控制线；若不能满足规格要求，必须对工序进行调整，直至得到正常状态下的控
所谓满足规格要求，并不是指上、下控制线必须在规格上、
下限内侧，即 UCL＞ TU； LCL＜ TL。而是要看受控工序的工序能力是否满足给定的 Cp值要求。
21
样本大小 R 图 用 X 图 用 L—S图用
A2 D3 D4 M3A2 E2 A9
2 1.880 - 2.267 1.880 2.660 2.695
3 1.023 - 2.575 1.187 1.772 1.826
4 0.729 - 2.282 0.796 1.457 1.522
5 0.577 - 2.115 0.691 1.290 1.363
6 0.483 - 2.004 0.549 1.184 1.263
7 0.419 0.076 1.924 0.509 1.109 1.914
8 0.373 0.136 1.864 0.432 1.054 1.143
9 0.337 0.184 1.816 0.412 1.010 1.104
10 0.308 0.223 1.777 0.363 0.975 1.072
表 5 控制图系数表用图X 用图X~
22
二 各类控制图作法举例
1 控制图（平均值 —— 极差控制图）
原理,
图又称平均值控制图，它主要用于控制生产过程中产品质量特性的平均值；
R图又 称极差控制图，它主要用于控制产品质量特性的分散。
,” 控制图是通过 图和 R图的联合使用，掌握工序质量特性分布变动的状态。它主要适用于零件尺寸、产品重量,
热处理后机械性能、材料成分含量等服从正态分布的质量特性的控制。
Rx?
Rx? x
x
解,
例 1 某铸造厂决定对某铸件重量采用 图进行控制，每天抽取一个样本，样本容量 n=5，共抽取样本 k=25个，测取的预备数据如表 6所示。该铸件重量规格要求为 13 ± 2(公斤 )，并希望工序能力在 1～ 1.33
Rx?
23
86.235.11 1 5.2
35.1
1 6 1.1235.15 7 7.094.12
7 1 9.1335.15 7 7.09.12
94.12
,1 1 5.2,5 7 7.055)3(
35.1
25
80.33
25
1.13.19.1
25
94.12
25
50.3 2 3
25
72.1294.1200.13
25
4)2(
4
2
2
42
25
1
25
1
RDU C L
RCLR
RAxL C L
RAxU C L
xCLX
RXDAn
R
R
x
x
Rx
i
i
i
i
＝图：
图：
图的控制线为：得时，得＝，当查表
。和极差平均的计算公式计算总平均由表
中。记入表、的依此类推，并将计算后
。如：及极差中的每个样本的平均值的计算公式计算表由表：
6
9.11.120.14m i nm a x
00.13
5
1.121.132.136.120.14
5
63)1(
111
5
1
1
1
ii
jj
j
j
ii
Rx
xxR
x
x
Rx
解注：表 5在第 21页
24
(4) 做出 图及 R图的坐标系，并将横坐标样本号单位对齐，将表 6中各样本的,Ri在图上打点，联结点成平均值、极差波动曲线，图 5即为分析用控制图。
ix
(5) 根据本节,控制图的观察与判断,标准，工序处于稳定状态。
由表 6给出的数据，进而可 计算出工序能力指数 。
x
样本号
CL＝ 1.35
CL＝ 12.940
UCL＝ 13.719
LCL＝ 12.161
UCL＝ 2.86R图
0 5 10 15 20 25
4
3
2
1
14
13
12
x图图 5 铸件质量分析用控制图（ x— R图）
25
21.1
5 3 5.06
06.021115
6
2
06.000.1394.12
5 3 5.0
525
72.126.120.14
72.126.120.14
1525
1
1
1
1
1
2
222
1 1
2
1 1
1 1
2
S
eT
C
Txe
kn
x
x
kn
xx
kn
S
pk
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
ij
k
i
n
j
ij
工序能力指数计算
工序控制。作为控制用控制图进行的分析用控制图值要求。因此可以图满足给定的由计算可知，
＝因此有即又由式即倍均方差为知，平均值的或由控制线计算公式可
5
11.1
35.15 7 7.056
06.0243
6
23
3
3,3
2
2
2
2
22
ppk
pk
x
xx
x
x
x
CC
RAn
eT
C
RA
n
S
n
n
RARA
26
2 控制图原理,图是通过 图和 R图的联合使用掌握工序质量特性分布变动的状态。其适用场合与 控制图相同，但具有计算简便、便于现场使
Rx?~
Rx?~
x~
Rx?~
6 9 1.055
35.1
53.12
25
2.3 1 3
~
~
4
6
~
8.12
~
2.13
~;1.13
~
~
63
~~
~
12
23
1
2521
Amn
R
k
x
x
x
xxx
x
xRRxR
Rx
k
i
i
i
时，得＝，当查表
＝由上例的平均值。的计算公式计算中位值由表中。填入表并将中位值
。如中每个样本的中位值的计算公式找出表由表图的控制线。算图完全相同，因此只计控制图中图与本例的界限。算分析用控制图的控制控制图进行控制，试计采用若对例例
完全相同，不再赘述。其它程序与例图的控制线为：
1
5 9 7.1135.16 9 1.053.12~
4 6 3.1335.16 9 1.053.12~
53.12~
~
23
23
RAmxL C L
RAmxU C L
xCL
x
注：表 5在第 21页
27
3 L— S控制图（两极控制图）
原理,它是通过极大值，极小值的变化掌握工序分布变化的状态。其适用场合与 控制图相同。但因只用一张图进行控制，因此具有现场使用简便的优点。
例 3：若对例 1，采用 L— S控制图进行控制，试作出分析用控制图。
由表 3的计算公式首先找出表 6中每个样本的极大值 Li和极小值 Si并记入表 6
中。
如 L1=14.0 S1=12.1
……
……
RX?
00.13
2
32.1268.13
2
36.132.1268.13
32.12
25
1.308
68.13
25
9.341
11
SL
M
SLR
k
S
k
L
L
MRSL
k
i
i
k
i
i
：和范围中值、平均极差、最小值计算最大值平均值
28
15.1136.1363.100.13
85.1436.1363.100.13
32.1268.13
363.155
9
9
21
9
21
RAML C L
RAMU C L
SCLLCL
An
L C LU C LCLCL
时，，当由表
。、和上、下控制线、最小值中心线计算最大值中心线
作分析用控制图（图 6）。
图 6 铸件质量分析用控制图（ L— S图）
5 10 15 20 25
样本号
10
11
12
13
14
15
特性值
CL2＝ 12.32
UCL＝ 14.85
LCL＝ 11.15
CL1＝ 13.68
29
4 x-Rs控制图 (单值 — 移动极差控制图 )
应用范围,它适用于质量特性值不易取得的情况。如抽取的样本是一种混合均匀的液体、或质量特性值的取得要花费较长时间、较高费用 (如破坏性检 查 )、
产品加工周期长等场合。 x图可不通过计算直接在图上打点并能及时发现异常，但不易发现工序分例 4 某化工厂决定对某化工产品中的甲醇含量采用 x-Rs控制图进行控制。每天取一 个样本，样本容量 n=1，共抽取样本 26个，测得的预备数据如表 7所示。试作 x-Rs分析 用控制图。解,
30
9 2 9.02 8 4.02 6 7.3
2 8 4.0
5 5 7.02 8 4.066.23 1 2.166.2
0 6 7.22 8 4.066.23 1 2.166.2
3 1 2.1
4
2 8 4.0
25
10.7
1
3 1 2.1
26
12.34
16.013.129.1
04.009.113.1
773
2
1
23
12
3
2
U C L
RCLR
RxL C L
RxU C L
xCLx
kRR
kxx
Rx
xxR
xxR
R
Ss
s
s
k
i
sis
k
i
i
s
S
s
si
图：
图：
限。给出的公式计算控制界由表和计算出依次类推。
如中。并记入表中每个样本的移动极差给出的计算公式计算表由表
作 x—Rs分析用控制图 。（图 7）
解：
31
0.8
1.2
1.6
2.0
x图
UCL＝ 2.067
LCL＝ 0.557
CL＝ 1.312
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 0.929
CL＝ 0.284
组序
0.2
0.6
1.0
Rs图图 7 甲醇含量分析用控制图（ x— Rs图）
32
5 p控制图 (不合格品率控制图 )
原理,属计件值控制图，它是通过工序不合格品率对工序进行分析与控制的。
例 5 某车间采用 p控制图对锻件不合格品率 p进行控制，统计了近期生产的 24批 (即 24 个样本 )锻件质量情况，各批批量大小 (即样本大小 ni)及不合格品数 pni如表 8所示。试作分析用控制图。
。记入表依次类推，并将计算值格品率。如计算出每个样本的不合解：
8
%8.2
250
7
%4.8
250
21
2
2
1
1
2
1
n
p
p
n
p
p
n
n
33
＝不考虑－
％＝＝时
％＝＝－
％＝＝时如管理界限应分别计算。不相同，因此各样本的由于各样本的样本容量
－－
＝
的计算公式：由表图的控制线计算
。计算平均不合格品率
2 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
45.80 8 4 5.02 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 0 0
39.00 0 3 9.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
01.80 8 0 1.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 5 0
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
%2.4
4
%2.40 4 2.0
5 5 0 0
2 3 1
1
1
L C L
U C Ln
L C L
U C Ln
n
nnpppL C L
nnpppU C L
pCL
p
n
p
p
p
i
i
i
ii
ii
k
i
i
k
i
ni
作分析用控制图
34
作分析用控制图
0 5 10 15 20 25
2.0
4.0
6.0
8.0
n=200 UCL=8.45
n=250 UCL＝ 8.01
n=250 LCL＝ 0.557
n=200 LCL不考虑
CL＝ 4.20
图 8 锻件分析用控制图（ p图）
35
由图可见，由于 ni不一致，因此上下控制线是一对对称的折线。为简化计算与作图，应尽 可能使 ni一致。当 ni不一致但却满足如下条件：
2;2 m i nm a x
nnnn
的大小。然后确定计在实际应用中，应先估
。此，应使样本容量会具有良好的效果。因图才原理确定的休哈特控制服从正态分布，采用数近似时，不良品率，不良品注意：理论证明，当一对对称的直线。
的两条控制线将是进行计算，此时计算出代替也可以
np
p
n
pn
nn
i
,
5
3
5
36
6 pn
原理,属计件值控制图，它是通过容量大小相同的样本中的不合格品数对工例 6 某工序用量规检验凸轮的厚度，检验 30个批，每批批量为 500件，每批中的不合格品数如表 9所示。若用 pn图进行控制，试作分析用控制图。
4.271.101.130 2 6 2.011.1331.1313
8.2371.101.130 2 6 2.011.1331.1313
1.13
4
0 2 6 2.0
5 0 0
1.13
1.13
30
3 9 3
1
pppL C L
pppU C L
pCL
npp
kpp
pp
nn
nn
n
n
k
i
nin
n
＝
限。给出的公式计算控制界由表
。及平均不合格品率品数计算各样本平均不合格解：
作分析用控制图 9。与 p控制图相同，在使用 pn控制图时，样本容量应满足 。pn 5?
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
批号图 9 凸轮厚度分析用控制图（ pn图）
不合格数
UCL
CL
LCL
38
7 u控制图和 c控制图（单位缺陷数、缺陷数控制图）
原理,
u控制图又称单位缺陷数控制图。它通过单位产品上的缺陷数目对工序进行控制。
c控制图又 称缺陷数控制图，它是通过容量大小相同的样本中的缺陷数目对工序进行控制。
u图和 c图 均属计件值控制图。常用于控制织物上的缺陷、铸件的疵点，
与 p图相似,u图的各样本容量可以不相同，但其上下控制线是一对对称的折线。只有满足条件 时，才可用 代替 ni计算上、
下控制线。此时，上、下控制线将是一对对称的直线。
与 pn图相似,c图的各样本容量必须相同。
若 ui表示单位产品上的缺陷数，使用 u图与 c图,要求样本容量 。
只有此时，缺陷数及单位缺陷数才近似
22 m i nm a x nnnn,
n
i
i un
5?
例 7
39
例 7 某棉纺厂决定采用 c控制图控制棉布质量，为此统计了
25匹近期生产的棉布质量。 每匹布的面积 n为 10m2，每匹布的疵点数 ci见表 10所示。试作分析用控制 图。
样本号 n/m2 Ci 样本号 n/m2 ci
1 10 18 14 10 12
2 10 13 15 10 24
3 10 13 16 10 11
4 10 15 17 10 19
5 10 21 18 10 16
6 10 17 19 10 13
7 10 28 20 10 14
8 10 10 21 10 12
9 10 23 22 10 25
10 10 16 23 10 16
11 10 15 24 10 13
12 10 22 25 10 15
13 10 18
合计 样本个数 k=25 419
25
1i ic
表 10 棉布疵点数数据表
40
5.48.1638.163
1.298.1638.163
8.16
4
8.16
25
4 1 9
1
ccL C L
ccU C L
cCL
kcc
c
k
i
i
＝
。给出的公式计算控制线由表
。计算平均疵点数解：
作分析用控制图。（图 10）
图 10 棉布疵点数控制图（ C图）
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 29.1
LCL＝ 4.5
CL＝ 16.8
样本号
10
20
30
C
41
三判断标准,
工序质量特性值分布的变化是通过控制图上点子的分布体现出来的，因此工序是否处于稳定状态要依据点子的位置和排列来判断。工序处于稳定的控制状态，
必须同时满足两个条件：
控制图的点子全部在控制界限内。
点子的排列无缺陷。即点子在控制界限内的波动是随机波动，不应有明显的规律性。点子排列的明显规律性称为点子的排列缺陷。
(1) 链
(2) 复合链
(3) 倾向
(4) 接近控制线
(5) 周期性变动总结
42
由于在稳定状态下，控制图也会发生误发信号的错误 (第一类错误 )，因此规定在下述情况下,判定第
(1)至少连续 25
(2)连续 35点中，仅有 1
(3)连续 100点中，至多有 2
控制图的点子全部在控制界限内
43
（ 1） 链,点子连续出现在中心线一侧的现象称为链 (图 11)。
当出现 5点链时，应注意工序的发展；当出现 6点链时；应开始作原因调查，当出现 7点链时,判断工序为异常状态，
须马上进行处理。
点子出现在中心线一侧的概率为 0.5,出现 7点链的概率为根据小概率事件原理,7点链出现的概率小于小概率事件标准 0.01，因此在一次试验中是不易出现的。一旦出现，说明发生了异常。
0 0 7 8.05.015.0 07777 ）（点链 Cp
UCL
CL
LCL
X
图 11 链
44
(2)复合链,点子较多地出现在中心线一侧的现象称为复合链
● 当连续 11个点中至少有 10点在中心线一侧；连续 14个点中至少有 12个点在中心线一侧；连续 17个点中至少有 14 点在中心线一侧；连续 20个点中至少有 16点在中心线一侧，
都说明工序处于异常状态。
● 上述情况发生的概率均小于小概率事件标准 0.01。如 11点复合链的概率为
01.00 0 5 9.05.05.05.05.0 0111111110101111 CCP 点复合链
LCL
CL
UCL
X
图 12 复合链
45
(3)倾向,点子连续上升或连续下降的现象称为倾向 (图 13)。
● 当出现 7点连续上升或 7点 连续下降时，应判断工序处于异常状态。
● 若将 7点按其高低位置进行排列，排列种 类共有 7!种，
而连续上升仅为其中一种，其发生的概率为
01.00 0 0 2.0717 ！点倾向P
LCL
CL
UCL
X
图 13 倾向
46
(4)接近控制线,
①接近中心线 (图 14a)：
● 在中心线与控制线间划等分线，若点子大部分在靠近中心 线一侧，则判断工序状态发生异常。
● 点子落在靠近上、下控制线的概率为并不是小概率事件，但在靠近上、下控制线的 1/2带内无点子出现并不是正
②接近上下控制线 (图 14b)：
● 在中心线与控制线间作三等分线，如果连续 3点中至少有 2点，连续 7点中至少有 3点，连续 10点中至少有 4点居于靠近上、下控制线的 1/3带内，则判 断工序异常。
● 因为点子落在外侧 1/3带内的概率为
131.0866.0997.03~5.1P
0428.00027.09545.0123 xP3点中有 2点居于外侧 1/3带内的概率为属小概率事件，因此在正常情况下是不该发生的。
01.00 0 5 2.09 5 4 5.00 4 2 8.09 5 4 5.00 4 2 8.0 03331223 CCP
47
LCL
CL
UCL
X
1/2
1/2
1/2
1/2
(a)
LCL
CL
UCLX 1/3
1/3
2/3
2/3
(b)
图 14 接近控制线
48
(5)周期性变动,
● 点子的变动每隔一定的时间间隔出现明显重复的现象称为点子的周期性变 动 (图 15)。
● 点的周期性变动有种种形式，较难把握，一般需较长时间才能看出。对待这 种情况，必须在通过专业技术弄清原因的基础上，
慎重判断是否出现异常
CL
CL
(a)
(b)
图 15 点的周期性变动
49
对控制图上的点，不能仅当作一个,点,来看待，而是一个点代表某时刻某统计量的分布，而点的排列变化说明了分布状态发生 的变化。如在 图中,图出现了连续上升的倾向，而 R图正常，说明工序 均值可能由于刃具磨损、定位件磨损、温度变形等原因产生逐渐变大的倾向，
但工序的散差 不变；若 图正常,R图出现了连续上升的现象，说明工序平均值没有变动，而散差 可能由于工夹具松动、机床精度变化、毛坯余量变化大等原因而变大等等。
Rx?
x
x
总结：
50
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点一 控制图的两类错误分析二 控制图的应用要点
51
一 控制图的两类错误分析
两类错误,
第一类错误,误发信号的错误，即工序正常，点子落在控制界限外。第一类错误发生的概率记为 α。
第二类错误,漏发信号的错误，即工序异常，点子却仍然落在控制界限内。第二类错误发生的概率记为 β。
α计算,对于以 3σ原理确定的休哈特控制图，第一类错误的概率 α＝ 0.27％（ 图 16）
β计算,β的大小需要对具体问题进行具体分析。
控制图 β计算公式
例 8
β的影响因素
n的选择
x
52
α/2
β
0?
α/2
nU C L 00 3
nLC L 00 3
0CL
图x
图 16 控制图的两类点错误分析
53
nn
n
n
n
n
n
L C L
n
U C L
CL
x
Nx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
2
00
33
33
16
3
3
),(
－
－
－
－＝
－－
－
－
＝
为可见，。由图变化到不变，中心值由设工序散差
：控制图的控制界限应为此时
。服从正态分布，质量特性值设工序处于正常状态时
：控制图β计算公式x
54
越小。信号的概率越窄，此时漏发越大，控制界限的函数，是给定时，
－
）当（
越小。概率发信号的越大，即偏离越大，漏
－
的函数，
－
是给定时，）当（
－
－
－
－＝解：据式图漏发信号的概率。，求此时＝，样本容量＝－且
，移至不变，中心值由序散差控制图控制工序，设工采用
n
nn
n
nn
xn
Rx
0
0
0
0
0
0
0
71
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
32
1
%87.1501587.0
4
2
3
4
2
3
33
42
：β影响因素例8
55
2
1
1
1
11
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
3
3
3
30 0 0 0 3.039 7 7.0
33
n
n
n
nn
nn
n
即
－则有
－
且要求
－
－＝即
。
－
－，故略去式中
－
－时，由于当
－
－
－
－＝
值则相同，故有一样，向两个方向变动的大小：由于是必要的。
满足上述要求，选择适当的时
－
若要求当值的变化并发出信号。
反映出中心望控制图能尽快准确地可能显著增长，此时希较大时，不合格品率有
－
能影响不大。但当号对产品的质量水平可不大时，控制图漏发信
－
：当
n 的计算公式
n 的重要性
n 的选择
4
5.1
03
0
5.05.1
2
1
5.0
1
1
0
0
1
n
nx
＝＝解：
为多大？试求时
－
＝控制图规定对
例9
56
二 控制图的应用要点
1
(1)注意分层?
同一产品使用多台设备加工时，由于每台设备的精度，使用年限、保养状态不同，其质量特 性值的分布状态也各有差异。
因此，应按不同的设备采集数据，分别进行质量分析与控制。
同样，对不同的原材料，不同的操作人员，不同的工艺装备等条件也应采取相应的措施，进 行分层控制，只有这样，才能使控制图及时反映异常、并准确、及时地找出异常原因。
同一样本中的几个数据，也应尽可能取自相同的生产条件，
如换刀前后 的数据不应放入一个样本，以充分反映生产过程中生产条件之间的差异。
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
2 控制界限的重新计算
57
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
在一定的生产速度和批量条件下，选择适当的 n和 h是使用控制图时首先要解决的问题。样本 容量 n过小、
抽样间隔时间 h过长显然不能及时、准确地反映工序状况。 n大一些,h小一些,对生产过程的了解就会及时和准确一些，结论也相对可靠一些。但 n,h的加大又会造成工作 量及费用的增加。综合考虑可靠性和经济性两方面的因素，在选择 n,h时应注意以下原则：
②对控制图的灵敏度要求高时,n
③工序偏离正常状态后造成的损失较大时,h应小一些；反之，检测费用较大时,h可取得大 一些。
58
为使控制图适应今后一段时期的生产过程，在最初确定控制界限时，常常需要进行反复计算 。经过一段时间的控制，工序状态有了改善，原来的控制界限就不再适合作为判定基准。此 时，应重新收集数据计算控制线。以使控制图适应生产过程。
2
第十三章 统计工序（过程）控制
13.1 基本概念
13.2 控制图类型及其原理
13.3 控制图的绘制与判断
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点
2
13.1 基本概念一 影响因素分类二 统计工序控制的概念三 统计工序控制与产品检查的区别
3
一
1 偶然因素（随机因素）?
对生产过程一直起作用的因素。如材料成分、规格、硬度等的 微小变化；设备的微小震动；刃具的正常磨损；夹具的弹性变型及微小松动；工人操作的微 小不均匀性等；?
对质量波动的影响并不大，一般来说，并不超出工序规格范围；?
因素的影响在经济上并不值得消除；?
在技术上也是难以测量、难以避免的；?
由偶然因素造成的质量特性值 分布状态 不随时间的变化而变化。
∴由偶然因素造成的质 量波动称为正常的波动，这种波动一般通过公差加以反映，此时
2 异常因素（系统因素）
在一定时间内对生产过程起作用的因素。如材料成份、规格,硬度的显著变化；设备、工夹具安装、调整不当或损坏；刃具的过渡磨损；工人违反操作规 程等；
因素造成较大的质量波动，常常超出了规格范围或存在超过规格范围的危险；
因素的影响在经济上是必须消除的；
在技术上是易于识别、测量并且是可以消除和避免的 ;
由异常因素造成的质量特性值 分布状态 随时间的变化可能 发 生各种变化。
∴由异常因素造成的波动称为不正常的波动。此时的工序处于不稳定状态 或非受控状态。
对这样的工序必须严加控制。
4
公差上限公差下限公差上限公差下限公差上限公差下限公差上限公差下限时间生产过程的几种状态图 a 图 b
图 c 图 d
5
二 统计工序控制的概念
在生产过程中，判别工序是否在受着异常因素的影响可以采取下面的方法,每隔一定的时间间隔，在生产的产品中进行随机抽样，并根据样本数据观察质量特性值的分布状态 。若工序分布状态不随时间的推移而变化 (即如图 a),说明工序处于稳定状态，
只 受着偶然因素的影响；若工序分布状态随着时间的推移发生变化 (如图 b,c,d)，说 明工序处于非稳定状态，正在有异常因素影响着它，必须立即采取措施消除异常因素的影响 。
概念：利用统计规律判别和控制异常因素造成的质量波动，从而保证工序处于控制状态的手段 称为统
6
三 统计工序控制与产品检查的区别统计工序控制与产品检查有着本质的区别。
检查是通过比较产品质量特性测量值与规格要求,达到剔除不合格品的目的，是事后把关。统计工序控制是通过样本数据分布状态估计总体 分布状态的变化，从而达到预防异常因素造成的不正常质量波动，消除质量隐患的目的，是事先预
检查通常通过专门的测量仪器和设备得到测量值，并由检查人员进行判定。而统计工序 控制必须使用专门设计的控制图，
统计工序控制虽然会带来一定程度的预防成本的提高，但却能及早发现异常，采取措施消除隐患，带来故障成本的大幅度降低。因此对比产品检查，统计工序控制会带来显著的经
7
13.2
一 控制图及其基本构造二 控制图的类型三 控制界限的确定原理 —— 3σ原理
8
一 控制图及其基本构造
产生,控制图是由美国贝尔 (Bell)通信研究所的休哈特 (W.A Shewhart)博士发明的，因 此也称休哈特控制图。
定义,控制图是反映和控制质量特性值分布状态随时间而发生的变动情况的图表。它是判断工序是 否处于稳定状态、保持生产过程始终处于正常状态的有效工具。
控制图与趋势图的比较采用趋势图可以掌握不断变化着的工序状态。为了判别工序的质量波动是正常波动还是非正常波动，在趋势图的基础上，控制图发生如下变化：
①纵坐标可能是质量特性值，也可能是其统计量，如,R等；
②增加上、中、下三条控制线作为判断工序有无异常的标准和尺度。
若点子落在控制界限内，认为工序的波动是正常的波动；若点子落在控制界限外或其排列有明显缺陷，则说明工序有异常因素的影响。
xx ~、
控制图基本构造
应用
9
控制图基本构造
1 以随时间推移而变动着的样品号为横坐标，以质量特性值或其统计量为纵坐标的平面坐
2 三条具有统计意义的控制线：中心线 CL、上控制线 UCL
和下控制线 LCL
3 一条质量特性值或其统计量的波动曲线。
控制图的构造控制上线 UCL
控制中线 CL
控制下线 LCLx(或
x、
R、
S等
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
样本号（或时间）
10
控制图应用在实际生产过程中，坐标系及三条控制线是由质量管理人员事先经过工序能力调查及其数据 的收集与计算绘制好的。工序的操作人员按预先规定好的时间间隔抽取规定数量的样品，
将 样品的测定值或其统计量在控制图上打点并联接为质量波动曲线，并通过点子的位置及排 列情况判断工序状态。
11
2 按质量特性值的类型及其统计量划分由于数据分为计量值与计数值两大类。因此控制图分为计量值控制图和计数值控制图两大类型。又因各种类型的控制图所选择的统计量不同，因此又可分为不同种类的控制图。常用的各种控制图的特点及适用场合如 表 1所示。
二 控制图的类型
1 按用途划分
(1)分析用控制图 。用间隔取样的方法获得数据。依据收集的数据计算控制线、作出控制图,并将数据在控制图上打点，
以分析工序是否处于稳定状态，若发现异常，寻找原因，
采取 措施，使工序处于稳定状态；若工序稳定，则进入正
(2)控制用控制图 。当判断工序处于稳定状态后，用于控制工序用的控制图。操作工人按规 定的取样方式获得数据，通过打点观察，控制异常因素的出现。
12
类别 名称 管理图符号特 点 适用场合计量值控制图均值 — 极差控制图最常用，判断工序是否异常的效果好，但计算工作量大适用于产品批量较大而且稳定正常的工序。
中位数 — 极差控制图计算简便，但效果较差些，
便于现场使用两极控制图 L—S 一张图可同时控制均值和方差，计算简单，使用方便单值 — 移动极差控制图
X—Rs 简便省事，并能及时判断工序是否处于稳定状态。缺点是不易发现工序分布中心的变化。
因各种原因（时间费用等）每次只能得到一个数据或希望尽快发现并消除异常原因计数值控制图不合格品数控制图
pn 较常用，计算简单，操作工人易于理解样本容量相等不合格品率控制图
p 计算量大，管理界限凹凸不平样本容量可以不等缺陷数控制图
C 较常用，计算简单，操作工人易于理解，使用简便样本容量（面积或长度）相等单位缺陷数控制图
U 计算量大，管理界限凹凸不平样本容量（面积或长度）不等
RX?
RX?~
表 1 控制图种类及适用场合
13
三 控制界限的确定原理 — 3σ原理
1 控制界限的重要性对于偶然因素和异常因素引起的质量波动，过去人们是直接凭经验进行判断和区别的。发明 了控制图之后，就可以使用控制图对工序状态进行客观的、科学的判断。而区别和 判断两类因 素造成的质量波动的标准就是控制线。因此，如何合理地、经济地确定控制界限是控制图的 核心问题。
2 确定方法休哈特控制图控制界限是以 3σ原理 确定的。即以质量特性统计量的均值作为控制中线 CL； 在距均值 ± 3σ处作控制上、下线。由 3σ原理确定的控制图可以在最经济的条件下达到保证 生产过程稳定的目的。
14
3σ原理设工序处于正常状态时，质量特性总体的均值为 μ0，标准偏差 为 σ，设三条控制线的位置分别为 CL= μ0,UCL= μ0 ＋ kσ,LCL= μ0 -kσ。（见 图 3）
控制图的两类错误
当工序正常时，点子仍有落在控制界限外面的可能，此时会发生将正常波动判断为 非正常波 动的错误 —— 误发信号的错误，这种错误称为 第一类错误,控制图犯第一类错误 的概率记为 α
设总体均值 μ0在异常因素的作用下移至 μ1,σ不变。此时，点子应落在控制界限外以发出警报。但却也存在点子落在控制界限内不发警报的可能。
这将导致将非正常波动判断 为正常波动的错误 —— 漏发信号的错误，这种错误称为 第二类错误,控制图第二类错误的概率记为 β。
控制界限与两类错误的关系放宽控制界限，即 k越大，第一类错误的概率 α越小，第二类错误的概率
β越大；反之，加严控制界限，即 k越小，第一类错误的概率 α越大，第二类错误的概率 β减小。控制界限系数 k的确定应以两类错误判断的总损失最小为原则。
理论证明，当 k=3时，即控制图上下界限距中心线 CL为 ± 3σ时，合计损
15
x
LCL CL UCL
α/2 α/2β
k?0 k?0 0? 1?
图 3 控制图的两类错误第一类错误损失第二类错误损失图 4 两类错误损失图
kσ3σ
16
13.3 控制图的绘制与判断一 控制程序二 各类控制图作法举例三 控制图的观察与判断
17
一 绘制程序
1 确定受控质量特性即明确控制对象。一般应选择可以计量 (或计数 )、技术上可控、对产品质量影响大的关键部位、关键工序的关键质量
2 选定控制图种类
3 收集预备数据
4 计算控制界限各种控制图控制界限的计算方法及计算公式不同，但其计算
(1)计算各样本参数 (见 表 3)
(2)计算分析用控制图控制线 (见表 4)
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
6 与规格比较，确定控制用控制图
7
控制用控制图制好后，即可用它控制工序，使生产过程保持在正常状态。
18
收集预备数据的目的只为作分析用控制图以判断工序状态。
数据采集的方法是间隔随机抽样。为能反映工序总体状况，数据应在 10～ 15天内收集,并应详细地记录在事先准备好的调查表内。数据收集的个数参见表 2。
控制图名称 样 本 数 k 样 本 容 量 n 备 注图图
L—S图一般 k=20~25 一般 3~6 图的样本容量常取 3或 5
X—Rs图 K=20~30 1
pn图,p 图一般 k＝ 20～ 25
1/p~5/p
C图,U图 尽可能使样本中缺 陷数 C＝ 1～ 5
RX?
RX?~ X~
表 2 控制图的样本与样本容量
3 收集预备数据
19
图名称 步 骤 计 算 公 式 备 注图 （ 1）计算各样本平均值
（ 2）计算各样本极差 Ri
xij—— 第 I样本中的第 j个数据 i＝ 1,2… k;
j=1,2… n;
max(xij)—— 第 i样本中最大值；
min(xij)—— 第 i样本中最大值。
图 （ 1）找出或计算出各样本的中位数
（ 2）计算各样本极差 Ri
—— n为奇数时，第 i样本中按大小顺序排列起的数据列中间位置的数据
—— n为偶数时，第 I样本中按大小顺序排列起的数据列中中间位置的两个数据的平均值
L—S图 （ 1）找出各组最大值 Li和最小值 Si
（ 2）计算最大值平均值 和最小值平均值
（ 3）计算平均极差
（ 4）计算范围中值 M
X—Rs图 计算移动极差 Rsi
Pn图 计算平均不合格品率 （ pn)i—— 第 i样本的不合格品数（各样本样本容量皆为 n）
P 图 计算各组不合格品率 pi ni—— 第 i样本的样本容量（各样本样本容量可以不等）
C图 计算各样本的平均缺陷数 ci—— 第 i样本的缺陷数（各样本样本容量相等）
U图 计算各样本的单位缺陷数 ui 各样本样本容量不等
RX?
RX?~
iX~
ijiji
n
j
iji
xxR
xnx
m inm a x
1
1
ijiji
ninii
nij
xxR
nxxx
nxx
m i nm a x
2
1
2
1
2
2
1
为偶数为奇数
2
1
1
m i n
m a x
1
1
SL
MSLR
S
k
S
L
k
L
S
xL
k
i
i
k
i
i
iji
iji
1 iisi xxR
k
p
pnpp
k
i i
n
nn
1
i
ini npp?
k
c
c
k
i
i?
1
i
ii ncu?
L
S R
p
c
ix
21?nix
21221 nini xx
20
5 作分析用控制图并判断工序是否处于稳定状态
在坐标图上画出三条控制线，控制中线一般以细实线表示，
控制上下线以虚线表示。
将预备 数据各样本的参数值在控制图中打点。
根据本节介绍的控制图的判断规则判断工序状态是否 稳定，
若判断工序状态不稳定，应查明原因，消除不稳定因素，重新收集预备数据，直至得 到稳定状态下分析用控制图；若判
6 与规格比较，确定控制用控制图
由分析用控制图得知工序处于稳定状态后，还须与规格要求进行比较。若工序既满足稳定要求，又满足规格要求，则称工序进入 正常状态 。此时，可将分析用控制图的控制线作为控制 用控制图的控制线；若不能满足规格要求，必须对工序进行调整，直至得到正常状态下的控
所谓满足规格要求，并不是指上、下控制线必须在规格上、
下限内侧，即 UCL＞ TU； LCL＜ TL。而是要看受控工序的工序能力是否满足给定的 Cp值要求。
21
样本大小 R 图 用 X 图 用 L—S图用
A2 D3 D4 M3A2 E2 A9
2 1.880 - 2.267 1.880 2.660 2.695
3 1.023 - 2.575 1.187 1.772 1.826
4 0.729 - 2.282 0.796 1.457 1.522
5 0.577 - 2.115 0.691 1.290 1.363
6 0.483 - 2.004 0.549 1.184 1.263
7 0.419 0.076 1.924 0.509 1.109 1.914
8 0.373 0.136 1.864 0.432 1.054 1.143
9 0.337 0.184 1.816 0.412 1.010 1.104
10 0.308 0.223 1.777 0.363 0.975 1.072
表 5 控制图系数表用图X 用图X~
22
二 各类控制图作法举例
1 控制图（平均值 —— 极差控制图）
原理,
图又称平均值控制图，它主要用于控制生产过程中产品质量特性的平均值；
R图又 称极差控制图，它主要用于控制产品质量特性的分散。
,” 控制图是通过 图和 R图的联合使用，掌握工序质量特性分布变动的状态。它主要适用于零件尺寸、产品重量,
热处理后机械性能、材料成分含量等服从正态分布的质量特性的控制。
Rx?
Rx? x
x
解,
例 1 某铸造厂决定对某铸件重量采用 图进行控制，每天抽取一个样本，样本容量 n=5，共抽取样本 k=25个，测取的预备数据如表 6所示。该铸件重量规格要求为 13 ± 2(公斤 )，并希望工序能力在 1～ 1.33
Rx?
23
86.235.11 1 5.2
35.1
1 6 1.1235.15 7 7.094.12
7 1 9.1335.15 7 7.09.12
94.12
,1 1 5.2,5 7 7.055)3(
35.1
25
80.33
25
1.13.19.1
25
94.12
25
50.3 2 3
25
72.1294.1200.13
25
4)2(
4
2
2
42
25
1
25
1
RDU C L
RCLR
RAxL C L
RAxU C L
xCLX
RXDAn
R
R
x
x
Rx
i
i
i
i
＝图：
图：
图的控制线为：得时，得＝，当查表
。和极差平均的计算公式计算总平均由表
中。记入表、的依此类推，并将计算后
。如：及极差中的每个样本的平均值的计算公式计算表由表：
6
9.11.120.14m i nm a x
00.13
5
1.121.132.136.120.14
5
63)1(
111
5
1
1
1
ii
jj
j
j
ii
Rx
xxR
x
x
Rx
解注：表 5在第 21页
24
(4) 做出 图及 R图的坐标系，并将横坐标样本号单位对齐，将表 6中各样本的,Ri在图上打点，联结点成平均值、极差波动曲线，图 5即为分析用控制图。
ix
(5) 根据本节,控制图的观察与判断,标准，工序处于稳定状态。
由表 6给出的数据，进而可 计算出工序能力指数 。
x
样本号
CL＝ 1.35
CL＝ 12.940
UCL＝ 13.719
LCL＝ 12.161
UCL＝ 2.86R图
0 5 10 15 20 25
4
3
2
1
14
13
12
x图图 5 铸件质量分析用控制图（ x— R图）
25
21.1
5 3 5.06
06.021115
6
2
06.000.1394.12
5 3 5.0
525
72.126.120.14
72.126.120.14
1525
1
1
1
1
1
2
222
1 1
2
1 1
1 1
2
S
eT
C
Txe
kn
x
x
kn
xx
kn
S
pk
k
i
n
j
k
i
n
j
ij
ij
k
i
n
j
ij
工序能力指数计算
工序控制。作为控制用控制图进行的分析用控制图值要求。因此可以图满足给定的由计算可知，
＝因此有即又由式即倍均方差为知，平均值的或由控制线计算公式可
5
11.1
35.15 7 7.056
06.0243
6
23
3
3,3
2
2
2
2
22
ppk
pk
x
xx
x
x
x
CC
RAn
eT
C
RA
n
S
n
n
RARA
26
2 控制图原理,图是通过 图和 R图的联合使用掌握工序质量特性分布变动的状态。其适用场合与 控制图相同，但具有计算简便、便于现场使
Rx?~
Rx?~
x~
Rx?~
6 9 1.055
35.1
53.12
25
2.3 1 3
~
~
4
6
~
8.12
~
2.13
~;1.13
~
~
63
~~
~
12
23
1
2521
Amn
R
k
x
x
x
xxx
x
xRRxR
Rx
k
i
i
i
时，得＝，当查表
＝由上例的平均值。的计算公式计算中位值由表中。填入表并将中位值
。如中每个样本的中位值的计算公式找出表由表图的控制线。算图完全相同，因此只计控制图中图与本例的界限。算分析用控制图的控制控制图进行控制，试计采用若对例例
完全相同，不再赘述。其它程序与例图的控制线为：
1
5 9 7.1135.16 9 1.053.12~
4 6 3.1335.16 9 1.053.12~
53.12~
~
23
23
RAmxL C L
RAmxU C L
xCL
x
注：表 5在第 21页
27
3 L— S控制图（两极控制图）
原理,它是通过极大值，极小值的变化掌握工序分布变化的状态。其适用场合与 控制图相同。但因只用一张图进行控制，因此具有现场使用简便的优点。
例 3：若对例 1，采用 L— S控制图进行控制，试作出分析用控制图。
由表 3的计算公式首先找出表 6中每个样本的极大值 Li和极小值 Si并记入表 6
中。
如 L1=14.0 S1=12.1
……
……
RX?
00.13
2
32.1268.13
2
36.132.1268.13
32.12
25
1.308
68.13
25
9.341
11
SL
M
SLR
k
S
k
L
L
MRSL
k
i
i
k
i
i
：和范围中值、平均极差、最小值计算最大值平均值
28
15.1136.1363.100.13
85.1436.1363.100.13
32.1268.13
363.155
9
9
21
9
21
RAML C L
RAMU C L
SCLLCL
An
L C LU C LCLCL
时，，当由表
。、和上、下控制线、最小值中心线计算最大值中心线
作分析用控制图（图 6）。
图 6 铸件质量分析用控制图（ L— S图）
5 10 15 20 25
样本号
10
11
12
13
14
15
特性值
CL2＝ 12.32
UCL＝ 14.85
LCL＝ 11.15
CL1＝ 13.68
29
4 x-Rs控制图 (单值 — 移动极差控制图 )
应用范围,它适用于质量特性值不易取得的情况。如抽取的样本是一种混合均匀的液体、或质量特性值的取得要花费较长时间、较高费用 (如破坏性检 查 )、
产品加工周期长等场合。 x图可不通过计算直接在图上打点并能及时发现异常，但不易发现工序分例 4 某化工厂决定对某化工产品中的甲醇含量采用 x-Rs控制图进行控制。每天取一 个样本，样本容量 n=1，共抽取样本 26个，测得的预备数据如表 7所示。试作 x-Rs分析 用控制图。解,
30
9 2 9.02 8 4.02 6 7.3
2 8 4.0
5 5 7.02 8 4.066.23 1 2.166.2
0 6 7.22 8 4.066.23 1 2.166.2
3 1 2.1
4
2 8 4.0
25
10.7
1
3 1 2.1
26
12.34
16.013.129.1
04.009.113.1
773
2
1
23
12
3
2
U C L
RCLR
RxL C L
RxU C L
xCLx
kRR
kxx
Rx
xxR
xxR
R
Ss
s
s
k
i
sis
k
i
i
s
S
s
si
图：
图：
限。给出的公式计算控制界由表和计算出依次类推。
如中。并记入表中每个样本的移动极差给出的计算公式计算表由表
作 x—Rs分析用控制图 。（图 7）
解：
31
0.8
1.2
1.6
2.0
x图
UCL＝ 2.067
LCL＝ 0.557
CL＝ 1.312
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 0.929
CL＝ 0.284
组序
0.2
0.6
1.0
Rs图图 7 甲醇含量分析用控制图（ x— Rs图）
32
5 p控制图 (不合格品率控制图 )
原理,属计件值控制图，它是通过工序不合格品率对工序进行分析与控制的。
例 5 某车间采用 p控制图对锻件不合格品率 p进行控制，统计了近期生产的 24批 (即 24 个样本 )锻件质量情况，各批批量大小 (即样本大小 ni)及不合格品数 pni如表 8所示。试作分析用控制图。
。记入表依次类推，并将计算值格品率。如计算出每个样本的不合解：
8
%8.2
250
7
%4.8
250
21
2
2
1
1
2
1
n
p
p
n
p
p
n
n
33
＝不考虑－
％＝＝时
％＝＝－
％＝＝时如管理界限应分别计算。不相同，因此各样本的由于各样本的样本容量
－－
＝
的计算公式：由表图的控制线计算
。计算平均不合格品率
2 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
45.80 8 4 5.02 0 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 0 0
39.00 0 3 9.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.0
01.80 8 0 1.02 5 09 5 8.00 4 2.030 4 2.02 5 0
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
9 5 8.00 4 2.030 4 2.013
%2.4
4
%2.40 4 2.0
5 5 0 0
2 3 1
1
1
L C L
U C Ln
L C L
U C Ln
n
nnpppL C L
nnpppU C L
pCL
p
n
p
p
p
i
i
i
ii
ii
k
i
i
k
i
ni
作分析用控制图
34
作分析用控制图
0 5 10 15 20 25
2.0
4.0
6.0
8.0
n=200 UCL=8.45
n=250 UCL＝ 8.01
n=250 LCL＝ 0.557
n=200 LCL不考虑
CL＝ 4.20
图 8 锻件分析用控制图（ p图）
35
由图可见，由于 ni不一致，因此上下控制线是一对对称的折线。为简化计算与作图，应尽 可能使 ni一致。当 ni不一致但却满足如下条件：
2;2 m i nm a x
nnnn
的大小。然后确定计在实际应用中，应先估
。此，应使样本容量会具有良好的效果。因图才原理确定的休哈特控制服从正态分布，采用数近似时，不良品率，不良品注意：理论证明，当一对对称的直线。
的两条控制线将是进行计算，此时计算出代替也可以
np
p
n
pn
nn
i
,
5
3
5
36
6 pn
原理,属计件值控制图，它是通过容量大小相同的样本中的不合格品数对工例 6 某工序用量规检验凸轮的厚度，检验 30个批，每批批量为 500件，每批中的不合格品数如表 9所示。若用 pn图进行控制，试作分析用控制图。
4.271.101.130 2 6 2.011.1331.1313
8.2371.101.130 2 6 2.011.1331.1313
1.13
4
0 2 6 2.0
5 0 0
1.13
1.13
30
3 9 3
1
pppL C L
pppU C L
pCL
npp
kpp
pp
nn
nn
n
n
k
i
nin
n
＝
限。给出的公式计算控制界由表
。及平均不合格品率品数计算各样本平均不合格解：
作分析用控制图 9。与 p控制图相同，在使用 pn控制图时，样本容量应满足 。pn 5?
37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
批号图 9 凸轮厚度分析用控制图（ pn图）
不合格数
UCL
CL
LCL
38
7 u控制图和 c控制图（单位缺陷数、缺陷数控制图）
原理,
u控制图又称单位缺陷数控制图。它通过单位产品上的缺陷数目对工序进行控制。
c控制图又 称缺陷数控制图，它是通过容量大小相同的样本中的缺陷数目对工序进行控制。
u图和 c图 均属计件值控制图。常用于控制织物上的缺陷、铸件的疵点，
与 p图相似,u图的各样本容量可以不相同，但其上下控制线是一对对称的折线。只有满足条件 时，才可用 代替 ni计算上、
下控制线。此时，上、下控制线将是一对对称的直线。
与 pn图相似,c图的各样本容量必须相同。
若 ui表示单位产品上的缺陷数，使用 u图与 c图,要求样本容量 。
只有此时，缺陷数及单位缺陷数才近似
22 m i nm a x nnnn,
n
i
i un
5?
例 7
39
例 7 某棉纺厂决定采用 c控制图控制棉布质量，为此统计了
25匹近期生产的棉布质量。 每匹布的面积 n为 10m2，每匹布的疵点数 ci见表 10所示。试作分析用控制 图。
样本号 n/m2 Ci 样本号 n/m2 ci
1 10 18 14 10 12
2 10 13 15 10 24
3 10 13 16 10 11
4 10 15 17 10 19
5 10 21 18 10 16
6 10 17 19 10 13
7 10 28 20 10 14
8 10 10 21 10 12
9 10 23 22 10 25
10 10 16 23 10 16
11 10 15 24 10 13
12 10 22 25 10 15
13 10 18
合计 样本个数 k=25 419
25
1i ic
表 10 棉布疵点数数据表
40
5.48.1638.163
1.298.1638.163
8.16
4
8.16
25
4 1 9
1
ccL C L
ccU C L
cCL
kcc
c
k
i
i
＝
。给出的公式计算控制线由表
。计算平均疵点数解：
作分析用控制图。（图 10）
图 10 棉布疵点数控制图（ C图）
0 5 10 15 20 25
UCL＝ 29.1
LCL＝ 4.5
CL＝ 16.8
样本号
10
20
30
C
41
三判断标准,
工序质量特性值分布的变化是通过控制图上点子的分布体现出来的，因此工序是否处于稳定状态要依据点子的位置和排列来判断。工序处于稳定的控制状态，
必须同时满足两个条件：
控制图的点子全部在控制界限内。
点子的排列无缺陷。即点子在控制界限内的波动是随机波动，不应有明显的规律性。点子排列的明显规律性称为点子的排列缺陷。
(1) 链
(2) 复合链
(3) 倾向
(4) 接近控制线
(5) 周期性变动总结
42
由于在稳定状态下，控制图也会发生误发信号的错误 (第一类错误 )，因此规定在下述情况下,判定第
(1)至少连续 25
(2)连续 35点中，仅有 1
(3)连续 100点中，至多有 2
控制图的点子全部在控制界限内
43
（ 1） 链,点子连续出现在中心线一侧的现象称为链 (图 11)。
当出现 5点链时，应注意工序的发展；当出现 6点链时；应开始作原因调查，当出现 7点链时,判断工序为异常状态，
须马上进行处理。
点子出现在中心线一侧的概率为 0.5,出现 7点链的概率为根据小概率事件原理,7点链出现的概率小于小概率事件标准 0.01，因此在一次试验中是不易出现的。一旦出现，说明发生了异常。
0 0 7 8.05.015.0 07777 ）（点链 Cp
UCL
CL
LCL
X
图 11 链
44
(2)复合链,点子较多地出现在中心线一侧的现象称为复合链
● 当连续 11个点中至少有 10点在中心线一侧；连续 14个点中至少有 12个点在中心线一侧；连续 17个点中至少有 14 点在中心线一侧；连续 20个点中至少有 16点在中心线一侧，
都说明工序处于异常状态。
● 上述情况发生的概率均小于小概率事件标准 0.01。如 11点复合链的概率为
01.00 0 5 9.05.05.05.05.0 0111111110101111 CCP 点复合链
LCL
CL
UCL
X
图 12 复合链
45
(3)倾向,点子连续上升或连续下降的现象称为倾向 (图 13)。
● 当出现 7点连续上升或 7点 连续下降时，应判断工序处于异常状态。
● 若将 7点按其高低位置进行排列，排列种 类共有 7!种，
而连续上升仅为其中一种，其发生的概率为
01.00 0 0 2.0717 ！点倾向P
LCL
CL
UCL
X
图 13 倾向
46
(4)接近控制线,
①接近中心线 (图 14a)：
● 在中心线与控制线间划等分线，若点子大部分在靠近中心 线一侧，则判断工序状态发生异常。
● 点子落在靠近上、下控制线的概率为并不是小概率事件，但在靠近上、下控制线的 1/2带内无点子出现并不是正
②接近上下控制线 (图 14b)：
● 在中心线与控制线间作三等分线，如果连续 3点中至少有 2点，连续 7点中至少有 3点，连续 10点中至少有 4点居于靠近上、下控制线的 1/3带内，则判 断工序异常。
● 因为点子落在外侧 1/3带内的概率为
131.0866.0997.03~5.1P
0428.00027.09545.0123 xP3点中有 2点居于外侧 1/3带内的概率为属小概率事件，因此在正常情况下是不该发生的。
01.00 0 5 2.09 5 4 5.00 4 2 8.09 5 4 5.00 4 2 8.0 03331223 CCP
47
LCL
CL
UCL
X
1/2
1/2
1/2
1/2
(a)
LCL
CL
UCLX 1/3
1/3
2/3
2/3
(b)
图 14 接近控制线
48
(5)周期性变动,
● 点子的变动每隔一定的时间间隔出现明显重复的现象称为点子的周期性变 动 (图 15)。
● 点的周期性变动有种种形式，较难把握，一般需较长时间才能看出。对待这 种情况，必须在通过专业技术弄清原因的基础上，
慎重判断是否出现异常
CL
CL
(a)
(b)
图 15 点的周期性变动
49
对控制图上的点，不能仅当作一个,点,来看待，而是一个点代表某时刻某统计量的分布，而点的排列变化说明了分布状态发生 的变化。如在 图中,图出现了连续上升的倾向，而 R图正常，说明工序 均值可能由于刃具磨损、定位件磨损、温度变形等原因产生逐渐变大的倾向，
但工序的散差 不变；若 图正常,R图出现了连续上升的现象，说明工序平均值没有变动，而散差 可能由于工夹具松动、机床精度变化、毛坯余量变化大等原因而变大等等。
Rx?
x
x
总结：
50
13.4 控制图的两类错误分析及应用要点一 控制图的两类错误分析二 控制图的应用要点
51
一 控制图的两类错误分析
两类错误,
第一类错误,误发信号的错误，即工序正常，点子落在控制界限外。第一类错误发生的概率记为 α。
第二类错误,漏发信号的错误，即工序异常，点子却仍然落在控制界限内。第二类错误发生的概率记为 β。
α计算,对于以 3σ原理确定的休哈特控制图，第一类错误的概率 α＝ 0.27％（ 图 16）
β计算,β的大小需要对具体问题进行具体分析。
控制图 β计算公式
例 8
β的影响因素
n的选择
x
52
α/2
β
0?
α/2
nU C L 00 3
nLC L 00 3
0CL
图x
图 16 控制图的两类点错误分析
53
nn
n
n
n
n
n
L C L
n
U C L
CL
x
Nx
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
2
00
33
33
16
3
3
),(
－
－
－
－＝
－－
－
－
＝
为可见，。由图变化到不变，中心值由设工序散差
：控制图的控制界限应为此时
。服从正态分布，质量特性值设工序处于正常状态时
：控制图β计算公式x
54
越小。信号的概率越窄，此时漏发越大，控制界限的函数，是给定时，
－
）当（
越小。概率发信号的越大，即偏离越大，漏
－
的函数，
－
是给定时，）当（
－
－
－
－＝解：据式图漏发信号的概率。，求此时＝，样本容量＝－且
，移至不变，中心值由序散差控制图控制工序，设工采用
n
nn
n
nn
xn
Rx
0
0
0
0
0
0
0
71
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
32
1
%87.1501587.0
4
2
3
4
2
3
33
42
：β影响因素例8
55
2
1
1
1
11
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
0
3
3
3
30 0 0 0 3.039 7 7.0
33
n
n
n
nn
nn
n
即
－则有
－
且要求
－
－＝即
。
－
－，故略去式中
－
－时，由于当
－
－
－
－＝
值则相同，故有一样，向两个方向变动的大小：由于是必要的。
满足上述要求，选择适当的时
－
若要求当值的变化并发出信号。
反映出中心望控制图能尽快准确地可能显著增长，此时希较大时，不合格品率有
－
能影响不大。但当号对产品的质量水平可不大时，控制图漏发信
－
：当
n 的计算公式
n 的重要性
n 的选择
4
5.1
03
0
5.05.1
2
1
5.0
1
1
0
0
1
n
nx
＝＝解：
为多大？试求时
－
＝控制图规定对
例9
56
二 控制图的应用要点
1
(1)注意分层?
同一产品使用多台设备加工时，由于每台设备的精度，使用年限、保养状态不同，其质量特 性值的分布状态也各有差异。
因此，应按不同的设备采集数据，分别进行质量分析与控制。
同样，对不同的原材料，不同的操作人员，不同的工艺装备等条件也应采取相应的措施，进 行分层控制，只有这样，才能使控制图及时反映异常、并准确、及时地找出异常原因。
同一样本中的几个数据，也应尽可能取自相同的生产条件，
如换刀前后 的数据不应放入一个样本，以充分反映生产过程中生产条件之间的差异。
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
2 控制界限的重新计算
57
(2)选择适当的样本容量 n和时间间隔 h
在一定的生产速度和批量条件下，选择适当的 n和 h是使用控制图时首先要解决的问题。样本 容量 n过小、
抽样间隔时间 h过长显然不能及时、准确地反映工序状况。 n大一些,h小一些,对生产过程的了解就会及时和准确一些，结论也相对可靠一些。但 n,h的加大又会造成工作 量及费用的增加。综合考虑可靠性和经济性两方面的因素，在选择 n,h时应注意以下原则：
②对控制图的灵敏度要求高时,n
③工序偏离正常状态后造成的损失较大时,h应小一些；反之，检测费用较大时,h可取得大 一些。
58
为使控制图适应今后一段时期的生产过程，在最初确定控制界限时，常常需要进行反复计算 。经过一段时间的控制，工序状态有了改善，原来的控制界限就不再适合作为判定基准。此 时，应重新收集数据计算控制线。以使控制图适应生产过程。
2
