第 20章量子物理基础前 言
1927年，量子力学开始应用于固体物理，并导致了半导体、激光、超导研究的发展，此后由此又导致了半导体集成电路、电子、通信、电子计算机的发展，使人类进入信息时代 ……
1900年,普朗克,量子” 黑体辐射
1905年,爱因斯坦,光子” 光电效应
1913年,玻尔 氢原子理论
1924年,德布罗意,物质波”
1925年,薛定谔等 量子力学一、热辐射
1,定义
§ 20.1 热辐射的量子性
2,特点
（ 1）任何温度的物体都有热辐射。
（ 2）辐射电磁波的总能量与温度有关。
（ 3）辐射能按波长的分布与温度有关。
（ 4）物质辐射电磁波的同时，也吸收电磁波。
由于物体内部带电粒子热运动而引起辐射电磁波（各种频率）的现象。
3,平衡热辐射吸收的辐射能等于发射的辐射能，它的温度维持不变。
二、热辐射的几个物理量
1,单色辐出度（单色发射本领）
T,dS dt d E
T：单位面积 单位时间 d
Md
dd?M
d
d)( MTM?
温度 T 时，在波长 附近单位波长间隔内的辐射强度。
Md
随波长变
（ 1） T 一定：
（ 2） T 改变：
反映了辐射能按波长的分布与 T
的关系。
讨论
d
d)( MTM?
反映了该温度下辐射能按波长的分布。
（ 3）与材料有关
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
20
30
10
40
50
60
(nm)
)(TM?
2200K
2000K
1800K
1600K
0 2 4 6 8 10 12
2
12
10
4
6
8
可见光区太阳
（ 5800K）
钨丝
（ 5800K）
)(TM?
)(TM λ
2,辐出度（总发射本领）
温度 T 时，单位面积单位时间所发射的各种波长的 总辐射能 。
)(TM
两者关系：
0 d)()( TMTM —曲线下面积
3,吸收比与反射比入射总能量吸收能量?)( T
入射总能量反射能量?)( Tr
1)()( TrT对不透明物体：
（ 2）一个开有小孔的空腔，小孔可近似看成理想黑体。
三、黑体的热辐射
1,黑体能全部吸收任何波长的热辐射而不反射和透射的一类物体。
0)(,1)( TrT bb
（ 1）理想模型说明
（ 3）基尔霍夫定律同样温度下，不同物体对同一波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等，
好的吸收体也是好的辐射体绝热恒温体
A1
A2 A
3
真空
)(b TM
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
Ta
TM
Ta
TM
Ta
TM
b
b
研究热辐射的中心问题是研究黑体的辐射问题且等于在该温度下黑体对同一波长的单色辐出度。
三棱镜A黑体
C
测量系统
（ 2）实验曲线：
(nm)
)(TM b?
2200K
2000K
1800K
1600K
平行光管峰值波长：
对应最大单色幅出度的波长
（ 1）实验装置：
2,黑体辐射的实验研究
m?
（ 3）实验规律：
① 斯特藩 --玻尔兹曼定律：
4b )( TTM
② 维恩位移定律：
bmT
斯 特 蕃 --玻尔兹曼常数
428 KmW1067.5
Km108 9 7.2 3b
温度越高,Mb(T)越大，且随 T 增高而迅速增大。
黑体温度增高，峰值波长向短波方向移动。 火炉
1000度2000度800度炉火纯青例,太阳可以看成黑体，地球上测出其峰值波长为?m = 510nm，则其表面温度和辐出度为多少？
bmT
K5 7 0 0
105 1 0 0
108 9 7.2b
10
3
m
T
484
b )5700(1067.5)(
TTM?
-27 mW1000.6
解：
四、经典物理的公式
TCTM 41b )(1,瑞利 – 金斯公式
2,维恩公式 TCeCTM?
3
5
2b )(
热辐射实 验
)(b TM?
(nm)
在长波方面与实验数据不符在短波区域明显与实验不符 紫外灾难
M.V.普朗克
研究辐射的量子理论，发现基本量子，提出能量量子化的假设，
获得 1918诺贝尔物理学奖。
五、普朗克的能量子假设和公式
1,普朗克能量子假设
（ 1）黑体是由带电的谐振子组成；
（ 3）谐振子吸收和辐射电磁波时，只能以最小能量 h? 的整数倍进行。
sJ1063.6 34h
h? 能量子（量子）
（ 2）谐振子所具有的能量不是任意的、连续的，
而是某一最小能量?的整数倍。
nE?
n =1,2,3…..,量子数普朗克恒量
nh? E
h1
h2
h3
h4
h5
h6
2,普朗克公式
1
1
π2)( 52b
Tk
hc
e
hcTM
―在好几年内我花费了很大的劳动，徒劳地去尝试如何将量子引入到经典理论中去,我的一些同事把这看成是悲剧。但我有自已的看法,在这种深入剖析过程中，起初我只是倾向于认为，
而现在是确切地知道量子将在物理中发挥出巨大作用”。
事实上正是这一理论导致了量子力学的诞生，
普朗克也成为了量子力学的开山鼻祖,1918年因此而获得诺贝尔奖。
例,频率?=0.5Hz，振辐 A=10cm,k=3.0N/m的弹簧振子 作阻尼振动时，能量的减小是否连续？
J105.11.032121 222 kAE
J103.35.01063.6 3434 h
比率：
32
2
34
102.2
105.1
103.3?
E
30
34
2
1045
103.3
105.1
EN
E
宏观看连续解,谐 振子的最小能量：
初始能量：
经典物理可以看作量子物理在量子数很大时的特殊情况。
事实上，第一个认识到普朗克假说伟大意义的是爱因斯坦。
只有 N 很小时，能量的不连续才显得很明显。
阴极 K 阳极 A
一、光电效应光照到金属表面时，金属中有电子逸出的现象。
§ 20.2 光的二象性所逸出的 电子称为 光电子光电管光电流
1887年赫兹发现
I
o
aU
U
1,实验装置
R
E
G
V
光电管
K
A
2,实验曲线
m1I
m2I
12 SS?
Ua：遏止电压
Im：饱和光电流
aUem?
2
m2
1 v
1S
2S
0?
Cs
aU
m1I
I
o
aU
U
m2I
12 SS?
2S
1S
（ 2）遏止电压与最大初动能：
3,实验规律：
（ 1）饱和光电流,与入射光强成正比与入射光 频率 成正比，与光强无关
0?
1?
21
1aU
2?
aUem?
2
m2
1 v )(
0 KU a)( 0 eK
0
K
01?
Cu
02?
（ 3）存在红限频率?0
（ 4）光电效应具有瞬时性
<?0 无光电效应结论
② 产生的光电子的多少由入射光强度决定。
从光照到电子逸出,时间间隔极短 （ 10-9s）
红限频率 与材料有关
① 能否产生光电子及光电子的最大初动能由入射光频率决定；
0
Cs
aU
K
01?
Cu
02?
二、经典物理遇到的困难光强越大，受迫的电子振动动能越大，能获得足够能量逸出金属表面的电子越多。
按经典理论，电子逸出金属所需的能量，需要有一定的时间来积累，一直积累到足以使电子逸出金属表面为止。
红限问题瞬时性问题按经典理论,无论何种频率的入射光，只要其强度足够大，就能使电子具有足够的能量逸出金属。
初动能问题按经典理论，光电子的初动能应决定于入射光的光强，而不决定于光的频率。
三,爱因斯坦的光子假说第一个意识到量子概念的普遍意义，并将其用于其它问题上的是爱因斯坦。他建立了光量子论以解释光电效应中出现的新现象。光量子论的提出使光的本性的历史争论进入了一个新的阶段。由于对光电效应的理论解释和对理论物理学的贡献，获得 1921
年诺贝尔物理学奖。
-
金属
-
-
1,光子假说光是在真空中以 c运动着的粒子流，称为 光量 子 。 频率 为?的光子的能量 为?= h?，它不能再分割,只能整个地被吸收或产生。
2,光子假说对光电效应的解释
Amh 2m21 v? 光电效应方程最大初动能 逸出功电子吸收光子后，一部分能量用于逸出作功，一部分变为初动能。
h?
A
-
v?
饱和光电流与光强成正比光强：
N：单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子数。
SN? Im = Ne?
光电子的初动能（遏止电压）与光的频率成正比，与光强无关。
Amh 2m
2
1 v? 2
m2
1 vmUe
a?
AhUe a
NhS?
红限频率的存在：
吸收光子是一次性的，勿需能量的积累过程。
0
材料不同,A不同，因而?0与材料有关讨论对比得,eKh? 可测普朗克常数
0?eKA?
可测逸出功
AhUe a
0 eKeKUe a
Ahm2m21 v
)( 0 KU a
0? Ah
h
A
测出 h = 6.56?10-34 J.s
这和当时用其他方法定出的 h
符合得很好,从而进一步证实了爱因斯坦的光子理论。
密立根由于研究基本电荷和光电效应，特别是通过著名的油滴实验，证明电荷有最小单位，
获得 1923年诺贝尔物理学奖。
1916年密立根做了精确的光电效应实验。
例,从钠中脱出一个电子至少需要 2.38eV的能量。用 430nm的光投射到钠表面上，
求,(1)红限频率； (2)遏止电压。
h
A?
0?
由光电效应方程：解,(1)
令：
Hz1055.5 14
(2)
e
AhU
a
V59.0?
e
Ach
Amh 2m
2
1 v? 0
2
1 2
m?vm
2
m2
1 vmUe
a?
四、光电效应的应用光电倍增管光控继电器可以用于自动控制，自动计数、自动报警、
自动跟踪等。
五、光的二象性
光的干涉、衍射、偏振证明了光的波动性；
黑体辐射、光电效应、康普顿效应证明了光的粒子性。
光具有波粒二 象 性波动性：
粒子性, h?
2mc
2mch
2c
hm 质量和频率的关系
,
pEm,,
2c
hm 质量和频率的关系
mcp? c
c
h
2
c
h
h?
hp? 动量和波长的关系
（能量） （频率）
（动量） （波长）
p
h
一般地：
在涉及与光传播有关的现象时用波动理论；
在涉及光与物质作用的问题时用光子理论。
概率波美国物理学家
( 1892 – 1962 )
因发现康普顿效应而获得 1927年诺贝尔物理学奖
§ 20.3 康普顿效应一,康普顿效应
1,实验装置
X射线散射实验
2,实验结果
0
o45
o90
o135
0
（ 2）?随散射角?增大而增大。
（ 1）除原波长?0 外，出现了移向长波方面的新的散射波长?。这种波长变长的散射称为康普顿散射。
20世纪 50年代的吴有训吴有训 （ 1897-1977）
物理学家、教育家,中国科学院副院长,1928年被聘为清华大学物理系教授，
曾任清华大学物理系主任、理学院院长。
对证实康普顿效应作出了重要贡献！
（ 3） 波长偏移量仅与散射角?有关,与散射物质无关 。
（ 4）轻元素,重元素
0 II? 0 II <
。
康普顿和吴有训 1924年发表的实验曲线散射光频率等于入射光频率。
二、经典理论的解释散射,X光使物体中的带电粒子做受迫振动波长不变三、光子理论的解释
X光子与之碰撞，散射 X射线波长大于?0，
产生 康普顿散射 。
散射,X光子与物体中电子弹性碰撞的结果，
碰撞中能量和动量守恒。
原子中外层电子被原子核束缚较 弱可看作 静止的自由电子
Ve
x
y碰撞前：
h?0
光子
0?h
c
h 0?
20cm 0电子碰撞后,光子电子
h
c
h?
2mc mV
e?q
能量守恒,22
00 mchcmh
0202,hcmmc即动量守恒,q c o sc o s0 mV
c
h
c
h
q s i ns i n0 mV
c
h
0
0
c?
c?
2
0
)(1
c
V
m
m
（ 1）与散射物质无关，仅与?有关。
2
s i n2 2
0
cm
h?
说明
)c o s1(
0
0 cm
h
（ 2）与?0无关
（ 3）原子量小的物质中，康普顿散射较强；
原子量大的物质中，康普顿散射较弱。
解释 散射中还有原波长?0？
光子和束缚很强的电子相互作用的结果。
相当于光子和整个原子碰撞。
碰撞中，入射光子几乎不损失能量，散射光子波长不变。
例,已知 X光子的能量为 0.60MeV，在康普顿散射后，波长变化了 20%，求反冲电子能量。
解：
0
00
chhE
00 2.0
0
0 E
hc
反冲电子能量：
hhEEE 00e
196
834
1060.11060.0
1031063.6
J1060.11060.0 196
入射的 X射线能量,
chch
0
m1048.22.1 120
m1007.2 12
0
0
hc
0
12
0834
1048.2
2.01031063.6
J1060.1 14
M e V10.0?
EEE e 0
chch
0
反冲电子能量：
因为自由电子若吸收光子，就无法同时满足能量守恒和动量守恒。
1,为什么康普顿效应中的电子不能像光电效应那样吸收光子而是散射光子？
违反相对论 ！
∴ 自由电子不可能吸收光子，只能散射光子
c v
自吸由收电光子子
2200 mccmh
vmch?0?
2
2
11
cc
vv
讨论
m,vh?0 e0m
22
0 1 cmm v
2,为什么可见光观察不到康普顿效应？
因为可见光光子能量不够大，原子内的电子不能视为自由，所以可见光不能产生康普顿效应。
比较,X光（ 5nm） 和紫光（ 400nm）
p时 康普顿散射的情况
2
s i n2 2
0
cm
h nm48.0?
X光,%6.9
5
48.0
紫光,%0 0 1 2.0
4 9 9
48.0
康普顿效应与光电效应的异同康普顿效应与光电效应都涉及光子与电子的相互作用。
光电效应中，入射光为可见光或紫外线，其光子能量为 ev数量级，与原子中电子的束缚能相差不远，光子能量全部交给电子使之逸出，并具有初动能。光电效应证实了此过程服从能量守恒定律。
康普顿效应中，入射光为 X 射线或 g 射线，光子能量为 104ev数量级甚至更高，远大于散射物质中电子的束缚能，原子中的外层电子可视为自由电子，
光子能量只被自由电子吸收一部分并发生散射。 康普顿效应证实了此过程可视为弹性碰撞过程，能量、
动量均守恒，更有力地证实了光的粒子性。
康普顿散射实验的意义
▲ 支持了“光量子”概念，进一步证实了光子理论。▲ 首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。
▲ 证实了动量守恒和能量守恒在微观领域同样严格遵守。
康普顿 获得 1927年诺贝尔物理学奖。
p =? /c = h? /c = h /?
= h?
一、氢原子光谱的实验规律
1,巴尔末公式
42
2
n
nB?
§ 20.4 玻尔氢原子理论
nm57.3 6 4?B,,,6,5,4,3?n
nm28.656
nm13.486
nm05.434
nm17.410
c? 2
2 4
n
n
B
c )1
2
1(4
22 nB
c
1~?
频率：
令：
波数：
里德堡常数
2,广义巴尔末公式
n = m+1,m+2,..
m = 1,2,3,.,决定谱线系决定各谱线系中的谱线
BR
4? )1
2
1(
22 nRc
)121( 22 nR
17 m100 9 6 7 7 6.1R
)11( 22 nmRc
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
m n 光 谱 系 区域 日期莱曼 （ Lyman）系巴尔末（ Balmer）系帕邢（ paschen）系布喇开（ Brackett）系普芳德（ Pfund）系紫外可见紫外红外红外红外
1916年
1885年
1908年
1922年
1924年氢原子光谱的特点：
非连续的线状光谱、光谱状态稳定、谱线分布有规律可循二、经典理论解释氢原子光谱
1911年卢瑟福的原子有核模型：
1,绕核运动的电子不断辐射电磁波，轨道半径随能耗而连续变小，其光谱应是连续光谱。
2,绕核运动的电子因轨道半径变小必迅速落入原子核。因此，
原子及其光谱应是不稳定的。
e?
+e?
+
1913年玻尔将普朗克、爱因斯坦的量子理论推广到卢瑟福的原子有核模型中，并结合原子光谱的实验规律，提出他的氢原子理论，奠定了原子结构的量子理论基础。
为此他获得 1922年诺贝尔物理学奖。
三、玻尔氢原子理论
1,玻尔氢原子假设
（ 1）定态假设：
原子系统只能存在于一系列不连续的能量状态中，在这些状态中，电子绕核作加速运动而不辐射能量，这种状态称为原子系统的稳定状态（ 定态 ）。
在定态轨道上运动的电子，其角动量必须等于 h/2p 的整数倍。
（ 2）量子化条件：
n=1,2,3..,量子数?nhnL
π2
（ 3）跃迁假设：
h
EE fi?
Ei?
原子从一个定态 (Ei)跃迁到另一定态 (Ef)
时，辐射或吸收具有一定频率的光子。
Ei > Ef时：
原子发射一个光子
Ei < Ef时：
原子吸收一个光子
2,氢原子轨道半径和能量的计算
（ 1）定态轨道半径：
(n = 1,2…)
轨道半径是量子化的玻尔半径：
量子数为 n的轨道半径为：
r
m
r
e 2
2
0
2
π4
v?
π2
hnL? vrm?
π2
0
2
2
me
hnr
m105 2 9.0 101r
12 rnr n?
+ F?
v?
r me,?
（ 2）定态能量：
(n = 1,2,3…)
n = 1：
以,?” 为势能零点
+ F?
v?
r me,?
pk EEE r
em
0
2
2
π42
1
v
r
e
r
e
0
2
0
2
π4π42
1
r
e
0
2
π8?
222
0
4 1
8 nh
me
eV6.13
8 220
4
1 h
meE
22
1 eV6.13
nn
EE
n
氢原子能级图
eV/E(n = 1,2,3…)
1?n基态 6.13?
激发态
2?n 4.3?
3?n 51.1?
4?n 85.0?
n 0
自由态电离能：
能量是量子化的。
这种不连续的能量状态称为能级。
22
1 eV6.13
nn
EE
n
1EEE
eV6.13?
（ 3）氢原子光谱规律：
实验值：
广义巴尔末公式,
与实验公式对比：
h
EE mn )11(
8 22320
4
nmh
me
)11( 22 nmRc
ch
meR
32
0
4
8?
17 m100 9 7 3 7 3.1
17 m100 9 6 7 7 6.1R
氢原子能级跃迁图
-13.6
-3.39
-1.51
-0.54
-0.85
1
2
3
4
5
8
n E(eV)
0
四、玻尔理论对 H原子光谱的解释赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系普芳德系
+
n=1n=2
n=3
n=4
n=6
n=5
赖曼系巴尔末系帕邢系布喇开系普芳德系五、玻尔理论的成功与局限玻尔的氢原子理论开创了运用量子概念研究原子光谱的先河，同时这一理论也面临着新的困难与考验。
玻尔理论能成功地求出氢原子谱线的频率，但无法计算谱线的强度、宽度和偏振等一系列问题。
玻尔理论能成功解释了 H原子光谱，推广到类 H原子也获得成功，但对复杂原子的光谱结构，用玻尔的理论和方法计算的结果与实验值不符。
是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又赋予它们量子化的特征。
定态 能级 跃迁例,用动能 12.2eV的电 子轰击基态氢原子问：能发出哪些波长的谱线。
解,设氢原子能跃迁到 的最高能级 为 En
取,n=3
n=3 E3
n=2 E2
n=1 E121nEE n?
1Δ EEE n eV2.12?
12.3 n
)11(1 22 nmR
nm3.6 5 623
nm6.10213
nm5.12112
§ 20.5 德布罗意物质波假设法国人
（ 1892 – 1986）
1929年获诺贝尔物理奖一、德布罗意假设 (1924年 )
不仅光具有波粒二象性，而且一切实物粒子也具有波粒二象性。
hmcE 2
hmp v
vm
h
p
h
质量为 m 的粒子以速度 v 匀速运动时，具有确定的能量 E 和动量 p,它也可看成一单色平面波,频率为?，波长为?。
h
mc
h
E 2
2
2
0
1
c
m
m
v
（ 1）在非相对论条件下（ v << c）
h
cm 20
v0m
h
p
h
注意
（ 2）德布罗意波只与运动粒子相联系
（ 3）德布罗意波长和频率的乘积不等于相应粒子的运动速度，即：
（ 4） 宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
v
例,一质量 m0 = 0.05Kg 的子弹,v = 300m/s。
求：其物质波的波长。
解：
v0m
h
c<<v?
m104.4
30005.0
1063.6 3534
例,讨论经过 U加速的电子的波长。
解,2
2
1 vmeU?
m
eU2 v
:时讨论 c<<v
0
2
m
eU
v0m
h nm225.1
U
U=1V,nm225.1
U=100V,nm1 2 2 5.0 m / s109.5 6v
二、假设的证实 — 电子衍射实验
1,戴维逊 – 革末实验 (1927年 )
K D
U
B
G
Ni单晶?
电子X射线劳厄相
kd?s i n2
2,汤姆逊实验 (1927年 )
电子X射线 中子德拜相
K D
U 铝箔结论：自然界的一切粒子，不论其静止质量是否为零，都具有波粒二象性。
3,电子双缝实验（ 1961年）
大量电子一次入射单个粒子多次入射底片上出现一个个的斑点?电子具有粒子性
来源于,一个电子”所具有的波动性而不是电子间相互作用的结果随着电子增多，逐渐形成衍射图样
q 22.1
1 D?
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜例,在一束电子中，电子的动能为 。
求：此电子的德布罗意波长。
eV200
解,因电子动能很小，故可用非相对论公式
2
0k 2
1 vv mEc<<?
0
k2
m
E
v 131
19
sm
101.9
106.12002?
nm1067.8 2
v0m
h
-16 sm104.8
例,设光子和电子的 德布罗意波波长相等。
求：光子与电子的质量之比。
解,光子动量?/hcmp
pp
22
0
/1 c
mm
e v
电子的动质量为电子动量?/hmp
ee v
两者波长相等，有 v
ep mcm?
2222
0 /1 hcm
c
v
2222
0 /1
1
hcmcm
m
e
p
v
v
h
em?
cm
m
e
p v
三、物质波的波函数经典平面波,)(π2c o s),(
0
xtytxy
)(π2i
0),(
xt
eytxy
)(π2i
0),(
xt
etx
hphE
自由粒子的波函数：
沿 x轴匀速直线运动，动量、能量保持恒定恒定！
复数形式：
自由粒子的物质波对应于单色平面波只能是复数！
p
h
h
E
)(π2i
0),(
h
pxt
h
E
etx
)(i
0
pxEte
)(i
0),(
pxEtetx
沿 方向：r?
,能量为 E，动量为 的自由粒子的德布罗意波的波函数
p?
0?,波函数的振幅四、波函数的统计解释
)]([i
0),(
zpypxpEt zyxetr )(i
0
rpEte
沿 x方向：
玻恩 (1882～ 1970),德国理论物理学家，
量子力学的奠基人之一。 1920年后，玻恩对原子结构和它的理论进行了长期而系统的研究。 1925年，玻恩和海森伯等人创立了矩阵力学。 1926年薛定谔提出波动力学后，玻恩通过自己的研究对波函数的物理意义作出了统计解释，发表了,对波函数的统计诠释,一文，荣获
1954年度诺贝尔物理学奖。
此外，玻恩对固体理论进行过比较系统的研究。
1925年玻恩开创了一门新学科 —晶格动力学。 1954年和我国著名物理学家黄昆合著,晶格动力学,一书，
被国际学术界誉为有关理论的经典著作。他培养出的学生，有不少人成为有名的物理学家，如泡利、海森伯和我国的黄昆等。
一个电子通过单缝后，落在何处，不知道，但在电子波强度大处，出现的概率大。
电子双缝实验大量电子一次入射单个粒子多次入射
1927年玻恩提出,德布罗意波 并不像经典波那样代表实在物理量的波动,而是描述粒子在空间的概率分布的“概率波”。
1,波函数的统计解释极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大波强度小
2小波强介于二者之间粒子观点 波动观点 统计观点电子 出现的概率大电子 出现的概率小概率介于二者之间
|? |2大在某一时刻、在空间某处，粒子出现的概率正比于该时刻、该处波函数振幅的平方。
某处单位体积内粒子出现的概率
*22,概率密度
V VW Δ 2 dΔ?:V?
VW d,d 2 VW dd 2:dV
*22
0?
)(i
0),(
pxEtetx
在某一时刻、在空间某处，粒子出现的概率正比于该时刻、该处波函数振幅的平方。
某时刻 粒子在空间某体元 dV中出现的概率：
波函数只给出到达各点的统计分布：在
|? |2大的地方 微观粒子出现 多,|?|2小的地方粒子出现少； 单个粒子何时在何处出现并不确定，但出现的概率是确定的； 波函数按波的形式去分配粒子出现的概率。
德布罗意波与机械波的区别德布罗意波是概率波，波函数不代表某实在物理量在空间的波动,其振幅无实在物理意义,也不能从实验直接测得其本身的值； 有实际物理意义的是波函数的模的平方,它代表任意时刻在某处单位体积内粒子出现的几率。
3,波函数的标准条件
（ 1）单值：因任一体积元内粒子出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；
（ 2）有限：因粒子出现的概率不可能为无限大，
故波函数必须是有限的；
（ 3）连续：因粒子出现的概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续。
4,波函数的归一化条件一维,1dd 2
xW?
1
VV VW dd
2?
例,一粒子沿 x方向运动，可用以下波函数描述,
（ 1）由归一化条件决定常数 C；
（ 2）画出概率密度与 x的函数关系；
（ 3）什么地方粒子出现的概率最大？
（ 4）在 x=0到 x=1之间粒子出现的概率。
xCx i1
1)(
解：
xCx i1
1)(*
xxCxCx di1i1d2 xxC d1 2
2
2
π2 2C?
π
1 C
（ 1）
1?
（ 2）
2
2
2
1
)(
x
Cx
)1(π 1 2x
（ 3） x=0处粒子出现的概率最大。
x
2)( x?
π
1
0d/)(d 2?xx?令
（ 4） xxW d21
0?
1
0 2
d
)1(π
1 x
x4
1?
五、对波粒二象性的理解粒子性
◆ ―原子性”或“整体性”
◆ 具有集中的能量 E 和动量 p?
◆ 不是经典粒子！抛弃了“轨道”概念！
波动性
◆ ―弥散性,,可叠加性”，干涉、衍射、偏振
◆ 不是经典波！不代表实在的物理量的波动
▲ 微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一客体中，却不能同时表现出来。
◆ 具有波长?
少女？
老妇？
两种图象不会同时出现在你的视觉中。
一、不确定关系电子束通过单缝的例子：
U
§ 20.6 不确定关系海森堡 （ 1901-1976）,德国理论物理学家，矩阵力学的创建者。 1925年海森堡发表第一篇矩阵力学的论文，
和玻恩、约尔丹一起创立了矩阵力学。
1927年，年仅 26岁的海森堡发表了著名的测不准关系，为人们能够理解深奥的微观物理奠定了基础。 1932年，
海森堡因对量子力学的建立有杰出贡献获得诺贝尔物理学奖。
第二次世界大战期间，海森堡参加了德国原子能反应堆的制造，而且是技术上的主要负责人。战争结束后,
他被盟军俘虏。一年后被释放回德国，担任普朗克物理研究所的领导工作，直到 1976年逝世。主要著作有：
,量子论的物理学原理,,,原子核物理,,,物理学与哲学,等。
通过缝的瞬时：
电子在 x方向位置的不确定量,ax?Δ
动量在 x方向上分量的不确定量：
x p
av?
x
y
xp
1s i nΔ?pp x?
a
1s in app x
Δ
a
h?
a
h?
hpx x
π2
h
2
xpx
2
ypy 2
zpz
海森伯不确定关系：
对三维直角坐标系：
a
s in hpx
x
还存在1方向的电子，这些方向电子的动量不确定量还要大。
对于微观粒子,同一方向上的动量和位置不可能同时准确测定 。
1,不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的，更确切地反映了微观粒子的本质。
不能理解为仪器的精度不够。
3,划出了经典力学适用的范围二、关于不确定性关系的讨论
2,不确定性关系是一普适原理：
微观粒子的力学量不可能全部有确定的值
2
tE能量和时间的不确定关系：
h不起显著作用时例,电子射线管中电子束的速度一般为 105m/s，
测得速度精度为 1/10000，即?v =10m/s，
求：电子位置的不确定量。 能否用经典的方法处理电子的运动？
解,m / s10 5?v
v?
m2
能用经典方法处理
m /s10 v
10101.9
π4/1063.6
31
34
m103.6 6
2
xpx
xp
x
2
对宏观粒子,?x << x,?p<<p,可视为位置和动量能同时准确测量。
例,原子线度为 10-10m，求原子中电子速度的不确定度。 电子能否当作经典粒子？
解,m10 10 r
m
p v
xm?
2
m /s106 5
不能当作经典粒子
r
p
2
2
xpx
不能用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观粒子只能用量子力学理论来处理。
v~
证明：
例,证明自由粒子的不确定度关系式：
,?是粒子的德布罗意波长。2 x
例,一微观粒子平均寿命为 10-8 s，求其能量。
解：
EE
s10 8 t
J1063.6 26 th
hp
2
hp
h
pxx
2?
2
p
h
2?
4,微观领域,?x~x,?p~p,?E~E,可用不确定关系估算微观粒子动量、能量。
例,钠原子在某激发态的平均寿命为 10-8秒，当它跃迁到基态时发出 580nm的光子。
求：光子波长的不确定范围。
解,s10 8 t
E
En
ch?
s1091.8 14
tc?
2?
hE?
nm580
2hcE
thctE
2
h?
能级宽度导致能级跃迁产生的谱线有一 定宽度。
E越小，谱线的单色性越好。
§ 20.7 定态薛定谔方程
1926年奥地利物理学家薛定谔在德布罗意物质波的基础上，提出了势场中微观粒子的动力学方程：
薛定谔方程 。
后来证明 薛定谔方程 与海森堡、狄拉克等人提出的 矩阵力学 是完全等价的，共同奠定了 量子力学 的基础。
获得 1933诺贝尔物理学奖。
一、定态薛定谔方程
1,定态定态波函数：描述定态的波函数
2,定态的特点
)(i
0
pxEte Etpx
ee
ii
0
Etextx?i)(),(
一维自由粒子：
pxex?i
0)(
r?
作用在粒子上的力场不随时间变化，只是位置 的函数，此时粒子可能处的状态。
r?
自由粒子的定态波函数
2i
2
)(),(
Et
ertr?
2)( r
3,建立定态薛定谔方程
px
ep
x
x?
i
0
i
d
)(d )(i xp?
)(i
d
)(d
2
2
2
2
2
xp
x
x
Etertr i)(),(定态波函数：
概率密度在空间形成稳定分布
pxex?i
0)(
)(2
2
xp?
一维自由粒子：
kEE? 2
2
2
1
m
pm?
m
p
2
2
mEp 22
0)(2
d
)(d
22
2
xmE
x
x
对一般的定态,U (x) = U UEE k
)(22 UEmp
0)()(2
d
)(d
22
2
xUEm
x
x
2
2
1 vm?
0)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x
非相对论条件下：
三维空间：
0)(2 22
2
2
2
2
2
UEm
zyx
0)(2 22
UEm
（ 1）地位和牛顿定律在经典力学中相同。
（ 2）方程的每一个解表示粒子的某一稳定状态,E是粒子在该状态时的能量。
说明
（ 1）在一维无限深势阱中运动的粒子：
粒子的势能：
二、定态薛定谔方程的应用
1,一维无限深势阱
（ 2）求解：求波函数和能量 E
0)(2
d
d
22
2
UEm
x
x
U(x)
a0
<<?
axx
axxU
,0
00
势阱外,0)(?x?
势阱内：
势阱内：
2
2 2
mEK?令 0
d
d 2
2
2
K
x
KxBKxAx s i nc o s)(
:0?x
:ax?
0s in?Ka πnKa
a
nK π? n=1,2…
x
a
nBx πs i n)(
通解：
边界条件的限制：
0)0( A?
x
U(x)
a0
0s i n)( KaBa?
02
d
d
22
2
mE
x
由归一化条件：
xx
a
nBa d)π(s i n
0
22
2
2 aB
a
B 2
x
a
n
a
x πs i n2)( n=1,2,3…..
2
2
2 )π(2
a
nmEK
2
222
2
π
ma
nE
n
)π(s i n2)( 22 x
a
n
a
x
（ 1）波函数：
（ 3）概率密度：
（ 2）能量：
结论
1?
（ 1）粒子的能量：
① 能量量子化
②
nn EEE 1Δ 2
22
2
π)12(
ma
n增加,增加。E?
12 EnE n?
讨论
③ 粒子的最小能量为 E1，不为零
2
222
2
π
ma
nE
n
粒子能量是 E1的整数倍
（ 2）波函数：
描述处于束缚态粒子的波函数是实函数零点能图示结果：
n=1
n=2
n=3
n=4
（ 3）概率密度：
粒子在势阱中各处出现的概率不同。
)π(s i n2)( 22 xanax
x
a
n
a
x πs i n2)(
（ 4）以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波
Et
n xea
n
a
tx?
iπ
s i n2),(
][
2i
1 )π(i)π(i tExantExan nn ee
a
右行波 左行波
（ 5）当 n时，回到经典情况
2
22
1 2
π)12(Δ
ma
nEEE nn
a = 1 m时,?E = 3.76(2n+1)?10-26 eV
能量可看成连续的
2
2
2
2
ii
2
i2
s i n
pmE
k
ee
kx
kxkx
02
d
d
22
2
mE
x
x< 0,x >a:
2,势垒和隧道效应
0)(2
d
d
2
0
2
2
UEm
x
0 < x< a:
<
<<?
axx
axUxU
,00
00
E
U(x)
xU=0
U0
a U=0
)( x?
E < U0时，仍有一定概率穿过势垒 隧道效应
r
erU
0
2
π4
)(
一、定态薛定谔方程
0)
π4
(2
0
2
22
2
2
2
2
2
r
eEm
zyx?
§ 20.8 氢原子二、结论氢原子中电子的运动状态由四个量子化条件决定。
+ r
e
-e
1,能量量子化条件电子能量：
222
0
2
4 1
π32 n
meE
n 222
0
4 1
8 nh
me
（ 1）能量是量子化的
（ 2）
2
1
nE n? nEΔ
随 n增大而减小
n=1,2,3..,主量子数讨论
n = 1基态 eV6.131E
2
eV6.13
nE n
激发态与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设。
副（角）量子数
（ 1） L是量子化的，不独立，受 n限制。
2,角动量量子化条件电子运动的角动量：
l =0,1,2....(n-1)
)1( llL
（ 2）对一确定的能量，角动量只有 n个 可能的 取值。
通常用小写字母 s,p,d,f,g表示这些状态。
s p d f g
0 1 2 3 4
120?6?2?20
角量子数 l
角动量 L
与玻尔的人为假设 有所区别，实验证明，
量子力学的结果更为准确。
nL?
3,角动量的空间量子化条件磁量子数
lz mL? lm l2,1,0
（ 1） L? 在空间的取向是量子化的。
（ 2）不独立，受 l 的限制，共有 （ 2l+1） 值。
以外磁场方向为 z 轴，角动量在 z 轴上的分量：
（ 3）和外磁场方向的夹角：
L
L z?qc o s
)1(?
ll
m l
3,2,1,0lm
6,2 Ll
2,1,0lm
32,3 Ll
用图表示：
如 n=4,l =0,1,2,3?2,1 Ll
B?
0?lm
1?lm
1lm
1,0lm
B?
0?l 0?L
磁场?偏转轨道运动?磁矩基态银原子 l = 0? 应 无偏转斯特恩 -盖拉赫实验：
(2l＋ 1)条目的：验证角动量的空间量子化一束银原子分裂成两束银原子发射源狭缝的银原子束
l= 0,ml = 0
非 均磁 场匀
1925年，荷兰物理学家乌仑贝克和古兹密特提出 电子自旋的概念。
s —自旋量子数,s =1/2
)1( ssS?
2
3?
B?
S?
S?
sz mS?
sm —自旋磁量子数
2
1
sm
2
2
2
4,电子自旋角动量的量子化条件电子的自旋角动量：
5,四个量子数：
（ 1）主量子数 n,n=1,2,3…
（ 2）角量子数 l,l =0,1,2… n-1
决定电子运动的角动量
（ 3）磁量子数,
lm lm l,2,1,0?
决定电子运动的角动量在外磁场中的取向
（ 4）自旋磁量子数,
sm 2
1
sm
决定电子自旋角动量在外磁场的取向决定电子能量
(n,l,m,ms)
§ 20.9 原子中的电子分布一、原子的壳层结构 (1916 柯塞尔 )
二、电子分布必须遵守的两个基本原理主量子数 n
主壳层符号
1 2 3 4
K L M N
5
O
6
P
副量子数 l
支壳层符号
1 2 3 4
p d f g
0
s h
5
代号 s,p,d,f,是沿用早期光谱学对某一谱线状况的称呼,s（ strong 强的）,p( principal主要的） d
（ dispersive弥散的） f ( fundamental 基本的）,f 后面则接着按字母顺序排列。
共有 n个不同的 l 值当 n一定,l =0,1,2… n-1
对任一给定的 l 值,lm
l,2,1,0?
共有 (2l +1)个不同的 ml 值对任一给定的 ml 值：
2
1
sm
有 2个不同的 ms 值个)12(2?l
在一个原子系统中不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，即任何两个电子不可能有完全相同的一组量子数 )(
sl mmln,，，
1,泡利不相容原理（ 1925年）
同一支壳层容纳电子数,
同一主壳层容纳电子数,
1
0
)12(2
n
l
n lN
)]12(531[2 n?
)(2 2 个n?
2,能量最小原理当原子处在正常状态时，电子尽可能地占据未被填充的最低能级。
fspdspdspspss 4,6,5,4,5,4,3,4,3,3,2,2,1
徐光宪定则,能量高低按（ n+0.7l ) 确定例,试确定处于基态的氦原子中电子的量子数。
解,氦原子处于基态,n = 1
l = 0 ml = 0
则基态氦原子的电子的量子数分别为：
)
2
1001()
2
1001(?，，，，，，，
ms =?1/2
例,分别计算量子数 n = 2,l =1和 n = 2的电子的可能状态数。
解,(1) 对 n =2,l = 1 的电子有 2（ 2× 1+1） = 6 种状态
(2) 对 n = 2 的电子共有 2n2 = 8 种状态
K
2 He
K
L
3 Li
KL
10 Ne
KL
M
11 Na
KL
M
17 Cl
KL
8 O
对单原子而言，电子能量是不连续的。
仅有一个价电子的原子：
1,能带的形成
U r
单个电子与原子实的势能曲线：
一、固体的能带
1s
2s
2p
3s
3p
§ 20-10 固体的能带大量原子有规则地排列成晶体时：
原子实相互影响，形成周期性势场 。
每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动。
电子不再分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，称为 电子的共有化 。
+ + + ++
E2
E1
原来处于相同能级上的电子不再具有相同的能量，分裂成 N个非常靠近的新能级（ 10-23ev）
能带：由原子的某个能级分裂形成的能量呈准连续分布的新能级
1s
2p
2s
r
E
o
能带
2,满带、不满带、空带、禁带常温下电子填充能带有如下几种情况：
禁带禁带禁带禁带空带满带满带禁带：两个相邻的能带间不被允许的能量间隔。
不满带满带满带禁带满带中电子不能形成定向电流不满带的电子可在外场作用下跃迁到高一级的能级形成电流。
能带的性质：
满带不满带空带导带激发到空带中的电子在空带中形成电流
2p
满带禁带
r
E
o
1s
2s
空带满带有些金属结合成晶体时，能级分裂大，价电子能带与空带发生重叠，共同组成不满带。
共同组成不满带二、绝缘体、半导体和导体
1,绝缘体只有满带和空带，并且禁带宽度较大。
2,半导体能带结构同绝缘体，但禁带较窄。
满带导带（空带）
E
eV5.1~1.0Δ g?E
E
满带导带（空带）
eV3Δ g?E
3,导体
（ 1）不满带
（ 2）满带空带相接或部分重叠
（ 3）不满带、空带相接或部分重叠
E
满带导带（不满带）
满带导带（空带）
导带（不满带）
E
满带导带（空带）
E
三、半导体的导电机构
1,本征半导体 纯净无杂质 如硅、锗空带满带禁带?
本征激发电子和空穴的混合导电载流子,空穴 电子
2,杂质半导体 掺入少量杂质的半导体
（ 1） n型半导体在纯净半导体中掺入少量可提供导电电子的杂质所形成的半导体。
例：在四价锗元素半导体中掺入五价砷
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
Ge
掺入砷以后，五价原子替代四价元素锗构成与锗相同的四电子结构，多余一个价电子在杂质离子的电场范围内运动。
AS
AS
+5
+5
满带空带
gΔE
理论证明,掺入这种杂质后，电子处于靠近空带下沿处的一个能级中，称为,施主能级,。
dΔE
gd ΔΔ EE <<
由于 较小，施主能级中的电子很容易跃迁到导带中，导带中自由电子的浓度大了很多。 d
ΔE
n型半导体又称电子型半导体施主能级
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
Ge
（ 2） p型导体（受主杂质半导体）
在纯净半导中掺入少量可提供导电空穴的杂质所形成的半导体。
例：在四价锗元素半导体中掺入三价硼掺入硼以后，三价原子替代四价元素锗构成与锗相同的四电子结构，缺少一个电子，
形成一个空穴，此空穴处于特殊的能级。
B
B
+3
+3
理论证明,掺入这种杂质后，空穴处于靠近满带上沿处的一个能级中，称为,受主能级,。
p型半导体又称空穴型半导体满带空带
gΔE
aΔE
ga ΔΔ EE <<
由于 较小，满带中的电子很容易激发到受主能级中而在满带中留下空穴，满带中孔穴的浓度大了很多。
aΔE
满 带空 带导带 空 带满 带导 带
p型半导体与 n型半导体接触，交界处形成的偶电层结构。
3,p-n 结
U
x
p型衬底
n型杂质扩散
E
x0eU
电子势能空穴势能
P型 N型
E?
半导体二级管符号
p n
0eU
0eU
n区p区能带的弯曲对 n
区的电子和 p区的孔穴都形成一个势垒，它阻碍着 n 区的电子进入 p 区，同时也阻碍着 p区的空穴进入 n区，通常把这一势垒区称为 阻挡层 。
U
x
E
x0eU
电子势能空穴势能
n型p型 n型p型
)( 0 UUe?
)( 0 UUe?
E?
E?
U U
正i
反i
形成 p区流向 n区的宏观正向电流
)( 0 UUe?
)( 0 UUe?
单向导电性晶体二级管,三级管
dY8087
大规模集成电路 信息时代半导体在工业上广泛地用于制作整流器、调制器、
探测器、光电管、晶体管和大规模集成电路等等。
1927年，量子力学开始应用于固体物理，并导致了半导体、激光、超导研究的发展，此后由此又导致了半导体集成电路、电子、通信、电子计算机的发展，使人类进入信息时代 ……
1900年,普朗克,量子” 黑体辐射
1905年,爱因斯坦,光子” 光电效应
1913年,玻尔 氢原子理论
1924年,德布罗意,物质波”
1925年,薛定谔等 量子力学一、热辐射
1,定义
§ 20.1 热辐射的量子性
2,特点
（ 1）任何温度的物体都有热辐射。
（ 2）辐射电磁波的总能量与温度有关。
（ 3）辐射能按波长的分布与温度有关。
（ 4）物质辐射电磁波的同时，也吸收电磁波。
由于物体内部带电粒子热运动而引起辐射电磁波（各种频率）的现象。
3,平衡热辐射吸收的辐射能等于发射的辐射能，它的温度维持不变。
二、热辐射的几个物理量
1,单色辐出度（单色发射本领）
T,dS dt d E
T：单位面积 单位时间 d
Md
dd?M
d
d)( MTM?
温度 T 时，在波长 附近单位波长间隔内的辐射强度。
Md
随波长变
（ 1） T 一定：
（ 2） T 改变：
反映了辐射能按波长的分布与 T
的关系。
讨论
d
d)( MTM?
反映了该温度下辐射能按波长的分布。
（ 3）与材料有关
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
20
30
10
40
50
60
(nm)
)(TM?
2200K
2000K
1800K
1600K
0 2 4 6 8 10 12
2
12
10
4
6
8
可见光区太阳
（ 5800K）
钨丝
（ 5800K）
)(TM?
)(TM λ
2,辐出度（总发射本领）
温度 T 时，单位面积单位时间所发射的各种波长的 总辐射能 。
)(TM
两者关系：
0 d)()( TMTM —曲线下面积
3,吸收比与反射比入射总能量吸收能量?)( T
入射总能量反射能量?)( Tr
1)()( TrT对不透明物体：
（ 2）一个开有小孔的空腔，小孔可近似看成理想黑体。
三、黑体的热辐射
1,黑体能全部吸收任何波长的热辐射而不反射和透射的一类物体。
0)(,1)( TrT bb
（ 1）理想模型说明
（ 3）基尔霍夫定律同样温度下，不同物体对同一波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等，
好的吸收体也是好的辐射体绝热恒温体
A1
A2 A
3
真空
)(b TM
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
Ta
TM
Ta
TM
Ta
TM
b
b
研究热辐射的中心问题是研究黑体的辐射问题且等于在该温度下黑体对同一波长的单色辐出度。
三棱镜A黑体
C
测量系统
（ 2）实验曲线：
(nm)
)(TM b?
2200K
2000K
1800K
1600K
平行光管峰值波长：
对应最大单色幅出度的波长
（ 1）实验装置：
2,黑体辐射的实验研究
m?
（ 3）实验规律：
① 斯特藩 --玻尔兹曼定律：
4b )( TTM
② 维恩位移定律：
bmT
斯 特 蕃 --玻尔兹曼常数
428 KmW1067.5
Km108 9 7.2 3b
温度越高,Mb(T)越大，且随 T 增高而迅速增大。
黑体温度增高，峰值波长向短波方向移动。 火炉
1000度2000度800度炉火纯青例,太阳可以看成黑体，地球上测出其峰值波长为?m = 510nm，则其表面温度和辐出度为多少？
bmT
K5 7 0 0
105 1 0 0
108 9 7.2b
10
3
m
T
484
b )5700(1067.5)(
TTM?
-27 mW1000.6
解：
四、经典物理的公式
TCTM 41b )(1,瑞利 – 金斯公式
2,维恩公式 TCeCTM?
3
5
2b )(
热辐射实 验
)(b TM?
(nm)
在长波方面与实验数据不符在短波区域明显与实验不符 紫外灾难
M.V.普朗克
研究辐射的量子理论，发现基本量子，提出能量量子化的假设，
获得 1918诺贝尔物理学奖。
五、普朗克的能量子假设和公式
1,普朗克能量子假设
（ 1）黑体是由带电的谐振子组成；
（ 3）谐振子吸收和辐射电磁波时，只能以最小能量 h? 的整数倍进行。
sJ1063.6 34h
h? 能量子（量子）
（ 2）谐振子所具有的能量不是任意的、连续的，
而是某一最小能量?的整数倍。
nE?
n =1,2,3…..,量子数普朗克恒量
nh? E
h1
h2
h3
h4
h5
h6
2,普朗克公式
1
1
π2)( 52b
Tk
hc
e
hcTM
―在好几年内我花费了很大的劳动，徒劳地去尝试如何将量子引入到经典理论中去,我的一些同事把这看成是悲剧。但我有自已的看法,在这种深入剖析过程中，起初我只是倾向于认为，
而现在是确切地知道量子将在物理中发挥出巨大作用”。
事实上正是这一理论导致了量子力学的诞生，
普朗克也成为了量子力学的开山鼻祖,1918年因此而获得诺贝尔奖。
例,频率?=0.5Hz，振辐 A=10cm,k=3.0N/m的弹簧振子 作阻尼振动时，能量的减小是否连续？
J105.11.032121 222 kAE
J103.35.01063.6 3434 h
比率：
32
2
34
102.2
105.1
103.3?
E
30
34
2
1045
103.3
105.1
EN
E
宏观看连续解,谐 振子的最小能量：
初始能量：
经典物理可以看作量子物理在量子数很大时的特殊情况。
事实上，第一个认识到普朗克假说伟大意义的是爱因斯坦。
只有 N 很小时，能量的不连续才显得很明显。
阴极 K 阳极 A
一、光电效应光照到金属表面时，金属中有电子逸出的现象。
§ 20.2 光的二象性所逸出的 电子称为 光电子光电管光电流
1887年赫兹发现
I
o
aU
U
1,实验装置
R
E
G
V
光电管
K
A
2,实验曲线
m1I
m2I
12 SS?
Ua：遏止电压
Im：饱和光电流
aUem?
2
m2
1 v
1S
2S
0?
Cs
aU
m1I
I
o
aU
U
m2I
12 SS?
2S
1S
（ 2）遏止电压与最大初动能：
3,实验规律：
（ 1）饱和光电流,与入射光强成正比与入射光 频率 成正比，与光强无关
0?
1?
21
1aU
2?
aUem?
2
m2
1 v )(
0 KU a)( 0 eK
0
K
01?
Cu
02?
（ 3）存在红限频率?0
（ 4）光电效应具有瞬时性
<?0 无光电效应结论
② 产生的光电子的多少由入射光强度决定。
从光照到电子逸出,时间间隔极短 （ 10-9s）
红限频率 与材料有关
① 能否产生光电子及光电子的最大初动能由入射光频率决定；
0
Cs
aU
K
01?
Cu
02?
二、经典物理遇到的困难光强越大，受迫的电子振动动能越大，能获得足够能量逸出金属表面的电子越多。
按经典理论，电子逸出金属所需的能量，需要有一定的时间来积累，一直积累到足以使电子逸出金属表面为止。
红限问题瞬时性问题按经典理论,无论何种频率的入射光，只要其强度足够大，就能使电子具有足够的能量逸出金属。
初动能问题按经典理论，光电子的初动能应决定于入射光的光强，而不决定于光的频率。
三,爱因斯坦的光子假说第一个意识到量子概念的普遍意义，并将其用于其它问题上的是爱因斯坦。他建立了光量子论以解释光电效应中出现的新现象。光量子论的提出使光的本性的历史争论进入了一个新的阶段。由于对光电效应的理论解释和对理论物理学的贡献，获得 1921
年诺贝尔物理学奖。
-
金属
-
-
1,光子假说光是在真空中以 c运动着的粒子流，称为 光量 子 。 频率 为?的光子的能量 为?= h?，它不能再分割,只能整个地被吸收或产生。
2,光子假说对光电效应的解释
Amh 2m21 v? 光电效应方程最大初动能 逸出功电子吸收光子后，一部分能量用于逸出作功，一部分变为初动能。
h?
A
-
v?
饱和光电流与光强成正比光强：
N：单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子数。
SN? Im = Ne?
光电子的初动能（遏止电压）与光的频率成正比，与光强无关。
Amh 2m
2
1 v? 2
m2
1 vmUe
a?
AhUe a
NhS?
红限频率的存在：
吸收光子是一次性的，勿需能量的积累过程。
0
材料不同,A不同，因而?0与材料有关讨论对比得,eKh? 可测普朗克常数
0?eKA?
可测逸出功
AhUe a
0 eKeKUe a
Ahm2m21 v
)( 0 KU a
0? Ah
h
A
测出 h = 6.56?10-34 J.s
这和当时用其他方法定出的 h
符合得很好,从而进一步证实了爱因斯坦的光子理论。
密立根由于研究基本电荷和光电效应，特别是通过著名的油滴实验，证明电荷有最小单位，
获得 1923年诺贝尔物理学奖。
1916年密立根做了精确的光电效应实验。
例,从钠中脱出一个电子至少需要 2.38eV的能量。用 430nm的光投射到钠表面上，
求,(1)红限频率； (2)遏止电压。
h
A?
0?
由光电效应方程：解,(1)
令：
Hz1055.5 14
(2)
e
AhU
a
V59.0?
e
Ach
Amh 2m
2
1 v? 0
2
1 2
m?vm
2
m2
1 vmUe
a?
四、光电效应的应用光电倍增管光控继电器可以用于自动控制，自动计数、自动报警、
自动跟踪等。
五、光的二象性
光的干涉、衍射、偏振证明了光的波动性；
黑体辐射、光电效应、康普顿效应证明了光的粒子性。
光具有波粒二 象 性波动性：
粒子性, h?
2mc
2mch
2c
hm 质量和频率的关系
,
pEm,,
2c
hm 质量和频率的关系
mcp? c
c
h
2
c
h
h?
hp? 动量和波长的关系
（能量） （频率）
（动量） （波长）
p
h
一般地：
在涉及与光传播有关的现象时用波动理论；
在涉及光与物质作用的问题时用光子理论。
概率波美国物理学家
( 1892 – 1962 )
因发现康普顿效应而获得 1927年诺贝尔物理学奖
§ 20.3 康普顿效应一,康普顿效应
1,实验装置
X射线散射实验
2,实验结果
0
o45
o90
o135
0
（ 2）?随散射角?增大而增大。
（ 1）除原波长?0 外，出现了移向长波方面的新的散射波长?。这种波长变长的散射称为康普顿散射。
20世纪 50年代的吴有训吴有训 （ 1897-1977）
物理学家、教育家,中国科学院副院长,1928年被聘为清华大学物理系教授，
曾任清华大学物理系主任、理学院院长。
对证实康普顿效应作出了重要贡献！
（ 3） 波长偏移量仅与散射角?有关,与散射物质无关 。
（ 4）轻元素,重元素
0 II? 0 II <
。
康普顿和吴有训 1924年发表的实验曲线散射光频率等于入射光频率。
二、经典理论的解释散射,X光使物体中的带电粒子做受迫振动波长不变三、光子理论的解释
X光子与之碰撞，散射 X射线波长大于?0，
产生 康普顿散射 。
散射,X光子与物体中电子弹性碰撞的结果，
碰撞中能量和动量守恒。
原子中外层电子被原子核束缚较 弱可看作 静止的自由电子
Ve
x
y碰撞前：
h?0
光子
0?h
c
h 0?
20cm 0电子碰撞后,光子电子
h
c
h?
2mc mV
e?q
能量守恒,22
00 mchcmh
0202,hcmmc即动量守恒,q c o sc o s0 mV
c
h
c
h
q s i ns i n0 mV
c
h
0
0
c?
c?
2
0
)(1
c
V
m
m
（ 1）与散射物质无关，仅与?有关。
2
s i n2 2
0
cm
h?
说明
)c o s1(
0
0 cm
h
（ 2）与?0无关
（ 3）原子量小的物质中，康普顿散射较强；
原子量大的物质中，康普顿散射较弱。
解释 散射中还有原波长?0？
光子和束缚很强的电子相互作用的结果。
相当于光子和整个原子碰撞。
碰撞中，入射光子几乎不损失能量，散射光子波长不变。
例,已知 X光子的能量为 0.60MeV，在康普顿散射后，波长变化了 20%，求反冲电子能量。
解：
0
00
chhE
00 2.0
0
0 E
hc
反冲电子能量：
hhEEE 00e
196
834
1060.11060.0
1031063.6
J1060.11060.0 196
入射的 X射线能量,
chch
0
m1048.22.1 120
m1007.2 12
0
0
hc
0
12
0834
1048.2
2.01031063.6
J1060.1 14
M e V10.0?
EEE e 0
chch
0
反冲电子能量：
因为自由电子若吸收光子，就无法同时满足能量守恒和动量守恒。
1,为什么康普顿效应中的电子不能像光电效应那样吸收光子而是散射光子？
违反相对论 ！
∴ 自由电子不可能吸收光子，只能散射光子
c v
自吸由收电光子子
2200 mccmh
vmch?0?
2
2
11
cc
vv
讨论
m,vh?0 e0m
22
0 1 cmm v
2,为什么可见光观察不到康普顿效应？
因为可见光光子能量不够大，原子内的电子不能视为自由，所以可见光不能产生康普顿效应。
比较,X光（ 5nm） 和紫光（ 400nm）
p时 康普顿散射的情况
2
s i n2 2
0
cm
h nm48.0?
X光,%6.9
5
48.0
紫光,%0 0 1 2.0
4 9 9
48.0
康普顿效应与光电效应的异同康普顿效应与光电效应都涉及光子与电子的相互作用。
光电效应中，入射光为可见光或紫外线，其光子能量为 ev数量级，与原子中电子的束缚能相差不远，光子能量全部交给电子使之逸出，并具有初动能。光电效应证实了此过程服从能量守恒定律。
康普顿效应中，入射光为 X 射线或 g 射线，光子能量为 104ev数量级甚至更高，远大于散射物质中电子的束缚能，原子中的外层电子可视为自由电子，
光子能量只被自由电子吸收一部分并发生散射。 康普顿效应证实了此过程可视为弹性碰撞过程，能量、
动量均守恒，更有力地证实了光的粒子性。
康普顿散射实验的意义
▲ 支持了“光量子”概念，进一步证实了光子理论。▲ 首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。
▲ 证实了动量守恒和能量守恒在微观领域同样严格遵守。
康普顿 获得 1927年诺贝尔物理学奖。
p =? /c = h? /c = h /?
= h?
一、氢原子光谱的实验规律
1,巴尔末公式
42
2
n
nB?
§ 20.4 玻尔氢原子理论
nm57.3 6 4?B,,,6,5,4,3?n
nm28.656
nm13.486
nm05.434
nm17.410
c? 2
2 4
n
n
B
c )1
2
1(4
22 nB
c
1~?
频率：
令：
波数：
里德堡常数
2,广义巴尔末公式
n = m+1,m+2,..
m = 1,2,3,.,决定谱线系决定各谱线系中的谱线
BR
4? )1
2
1(
22 nRc
)121( 22 nR
17 m100 9 6 7 7 6.1R
)11( 22 nmRc
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
m n 光 谱 系 区域 日期莱曼 （ Lyman）系巴尔末（ Balmer）系帕邢（ paschen）系布喇开（ Brackett）系普芳德（ Pfund）系紫外可见紫外红外红外红外
1916年
1885年
1908年
1922年
1924年氢原子光谱的特点：
非连续的线状光谱、光谱状态稳定、谱线分布有规律可循二、经典理论解释氢原子光谱
1911年卢瑟福的原子有核模型：
1,绕核运动的电子不断辐射电磁波，轨道半径随能耗而连续变小，其光谱应是连续光谱。
2,绕核运动的电子因轨道半径变小必迅速落入原子核。因此，
原子及其光谱应是不稳定的。
e?
+e?
+
1913年玻尔将普朗克、爱因斯坦的量子理论推广到卢瑟福的原子有核模型中，并结合原子光谱的实验规律，提出他的氢原子理论，奠定了原子结构的量子理论基础。
为此他获得 1922年诺贝尔物理学奖。
三、玻尔氢原子理论
1,玻尔氢原子假设
（ 1）定态假设：
原子系统只能存在于一系列不连续的能量状态中，在这些状态中，电子绕核作加速运动而不辐射能量，这种状态称为原子系统的稳定状态（ 定态 ）。
在定态轨道上运动的电子，其角动量必须等于 h/2p 的整数倍。
（ 2）量子化条件：
n=1,2,3..,量子数?nhnL
π2
（ 3）跃迁假设：
h
EE fi?
Ei?
原子从一个定态 (Ei)跃迁到另一定态 (Ef)
时，辐射或吸收具有一定频率的光子。
Ei > Ef时：
原子发射一个光子
Ei < Ef时：
原子吸收一个光子
2,氢原子轨道半径和能量的计算
（ 1）定态轨道半径：
(n = 1,2…)
轨道半径是量子化的玻尔半径：
量子数为 n的轨道半径为：
r
m
r
e 2
2
0
2
π4
v?
π2
hnL? vrm?
π2
0
2
2
me
hnr
m105 2 9.0 101r
12 rnr n?
+ F?
v?
r me,?
（ 2）定态能量：
(n = 1,2,3…)
n = 1：
以,?” 为势能零点
+ F?
v?
r me,?
pk EEE r
em
0
2
2
π42
1
v
r
e
r
e
0
2
0
2
π4π42
1
r
e
0
2
π8?
222
0
4 1
8 nh
me
eV6.13
8 220
4
1 h
meE
22
1 eV6.13
nn
EE
n
氢原子能级图
eV/E(n = 1,2,3…)
1?n基态 6.13?
激发态
2?n 4.3?
3?n 51.1?
4?n 85.0?
n 0
自由态电离能：
能量是量子化的。
这种不连续的能量状态称为能级。
22
1 eV6.13
nn
EE
n
1EEE
eV6.13?
（ 3）氢原子光谱规律：
实验值：
广义巴尔末公式,
与实验公式对比：
h
EE mn )11(
8 22320
4
nmh
me
)11( 22 nmRc
ch
meR
32
0
4
8?
17 m100 9 7 3 7 3.1
17 m100 9 6 7 7 6.1R
氢原子能级跃迁图
-13.6
-3.39
-1.51
-0.54
-0.85
1
2
3
4
5
8
n E(eV)
0
四、玻尔理论对 H原子光谱的解释赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系普芳德系
+
n=1n=2
n=3
n=4
n=6
n=5
赖曼系巴尔末系帕邢系布喇开系普芳德系五、玻尔理论的成功与局限玻尔的氢原子理论开创了运用量子概念研究原子光谱的先河，同时这一理论也面临着新的困难与考验。
玻尔理论能成功地求出氢原子谱线的频率，但无法计算谱线的强度、宽度和偏振等一系列问题。
玻尔理论能成功解释了 H原子光谱，推广到类 H原子也获得成功，但对复杂原子的光谱结构，用玻尔的理论和方法计算的结果与实验值不符。
是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又赋予它们量子化的特征。
定态 能级 跃迁例,用动能 12.2eV的电 子轰击基态氢原子问：能发出哪些波长的谱线。
解,设氢原子能跃迁到 的最高能级 为 En
取,n=3
n=3 E3
n=2 E2
n=1 E121nEE n?
1Δ EEE n eV2.12?
12.3 n
)11(1 22 nmR
nm3.6 5 623
nm6.10213
nm5.12112
§ 20.5 德布罗意物质波假设法国人
（ 1892 – 1986）
1929年获诺贝尔物理奖一、德布罗意假设 (1924年 )
不仅光具有波粒二象性，而且一切实物粒子也具有波粒二象性。
hmcE 2
hmp v
vm
h
p
h
质量为 m 的粒子以速度 v 匀速运动时，具有确定的能量 E 和动量 p,它也可看成一单色平面波,频率为?，波长为?。
h
mc
h
E 2
2
2
0
1
c
m
m
v
（ 1）在非相对论条件下（ v << c）
h
cm 20
v0m
h
p
h
注意
（ 2）德布罗意波只与运动粒子相联系
（ 3）德布罗意波长和频率的乘积不等于相应粒子的运动速度，即：
（ 4） 宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
v
例,一质量 m0 = 0.05Kg 的子弹,v = 300m/s。
求：其物质波的波长。
解：
v0m
h
c<<v?
m104.4
30005.0
1063.6 3534
例,讨论经过 U加速的电子的波长。
解,2
2
1 vmeU?
m
eU2 v
:时讨论 c<<v
0
2
m
eU
v0m
h nm225.1
U
U=1V,nm225.1
U=100V,nm1 2 2 5.0 m / s109.5 6v
二、假设的证实 — 电子衍射实验
1,戴维逊 – 革末实验 (1927年 )
K D
U
B
G
Ni单晶?
电子X射线劳厄相
kd?s i n2
2,汤姆逊实验 (1927年 )
电子X射线 中子德拜相
K D
U 铝箔结论：自然界的一切粒子，不论其静止质量是否为零，都具有波粒二象性。
3,电子双缝实验（ 1961年）
大量电子一次入射单个粒子多次入射底片上出现一个个的斑点?电子具有粒子性
来源于,一个电子”所具有的波动性而不是电子间相互作用的结果随着电子增多，逐渐形成衍射图样
q 22.1
1 D?
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜例,在一束电子中，电子的动能为 。
求：此电子的德布罗意波长。
eV200
解,因电子动能很小，故可用非相对论公式
2
0k 2
1 vv mEc<<?
0
k2
m
E
v 131
19
sm
101.9
106.12002?
nm1067.8 2
v0m
h
-16 sm104.8
例,设光子和电子的 德布罗意波波长相等。
求：光子与电子的质量之比。
解,光子动量?/hcmp
pp
22
0
/1 c
mm
e v
电子的动质量为电子动量?/hmp
ee v
两者波长相等，有 v
ep mcm?
2222
0 /1 hcm
c
v
2222
0 /1
1
hcmcm
m
e
p
v
v
h
em?
cm
m
e
p v
三、物质波的波函数经典平面波,)(π2c o s),(
0
xtytxy
)(π2i
0),(
xt
eytxy
)(π2i
0),(
xt
etx
hphE
自由粒子的波函数：
沿 x轴匀速直线运动，动量、能量保持恒定恒定！
复数形式：
自由粒子的物质波对应于单色平面波只能是复数！
p
h
h
E
)(π2i
0),(
h
pxt
h
E
etx
)(i
0
pxEte
)(i
0),(
pxEtetx
沿 方向：r?
,能量为 E，动量为 的自由粒子的德布罗意波的波函数
p?
0?,波函数的振幅四、波函数的统计解释
)]([i
0),(
zpypxpEt zyxetr )(i
0
rpEte
沿 x方向：
玻恩 (1882～ 1970),德国理论物理学家，
量子力学的奠基人之一。 1920年后，玻恩对原子结构和它的理论进行了长期而系统的研究。 1925年，玻恩和海森伯等人创立了矩阵力学。 1926年薛定谔提出波动力学后，玻恩通过自己的研究对波函数的物理意义作出了统计解释，发表了,对波函数的统计诠释,一文，荣获
1954年度诺贝尔物理学奖。
此外，玻恩对固体理论进行过比较系统的研究。
1925年玻恩开创了一门新学科 —晶格动力学。 1954年和我国著名物理学家黄昆合著,晶格动力学,一书，
被国际学术界誉为有关理论的经典著作。他培养出的学生，有不少人成为有名的物理学家，如泡利、海森伯和我国的黄昆等。
一个电子通过单缝后，落在何处，不知道，但在电子波强度大处，出现的概率大。
电子双缝实验大量电子一次入射单个粒子多次入射
1927年玻恩提出,德布罗意波 并不像经典波那样代表实在物理量的波动,而是描述粒子在空间的概率分布的“概率波”。
1,波函数的统计解释极大值极小值中间值较多电子到达较少电子到达介于二者之间波强度大波强度小
2小波强介于二者之间粒子观点 波动观点 统计观点电子 出现的概率大电子 出现的概率小概率介于二者之间
|? |2大在某一时刻、在空间某处，粒子出现的概率正比于该时刻、该处波函数振幅的平方。
某处单位体积内粒子出现的概率
*22,概率密度
V VW Δ 2 dΔ?:V?
VW d,d 2 VW dd 2:dV
*22
0?
)(i
0),(
pxEtetx
在某一时刻、在空间某处，粒子出现的概率正比于该时刻、该处波函数振幅的平方。
某时刻 粒子在空间某体元 dV中出现的概率：
波函数只给出到达各点的统计分布：在
|? |2大的地方 微观粒子出现 多,|?|2小的地方粒子出现少； 单个粒子何时在何处出现并不确定，但出现的概率是确定的； 波函数按波的形式去分配粒子出现的概率。
德布罗意波与机械波的区别德布罗意波是概率波，波函数不代表某实在物理量在空间的波动,其振幅无实在物理意义,也不能从实验直接测得其本身的值； 有实际物理意义的是波函数的模的平方,它代表任意时刻在某处单位体积内粒子出现的几率。
3,波函数的标准条件
（ 1）单值：因任一体积元内粒子出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；
（ 2）有限：因粒子出现的概率不可能为无限大，
故波函数必须是有限的；
（ 3）连续：因粒子出现的概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续。
4,波函数的归一化条件一维,1dd 2
xW?
1
VV VW dd
2?
例,一粒子沿 x方向运动，可用以下波函数描述,
（ 1）由归一化条件决定常数 C；
（ 2）画出概率密度与 x的函数关系；
（ 3）什么地方粒子出现的概率最大？
（ 4）在 x=0到 x=1之间粒子出现的概率。
xCx i1
1)(
解：
xCx i1
1)(*
xxCxCx di1i1d2 xxC d1 2
2
2
π2 2C?
π
1 C
（ 1）
1?
（ 2）
2
2
2
1
)(
x
Cx
)1(π 1 2x
（ 3） x=0处粒子出现的概率最大。
x
2)( x?
π
1
0d/)(d 2?xx?令
（ 4） xxW d21
0?
1
0 2
d
)1(π
1 x
x4
1?
五、对波粒二象性的理解粒子性
◆ ―原子性”或“整体性”
◆ 具有集中的能量 E 和动量 p?
◆ 不是经典粒子！抛弃了“轨道”概念！
波动性
◆ ―弥散性,,可叠加性”，干涉、衍射、偏振
◆ 不是经典波！不代表实在的物理量的波动
▲ 微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一客体中，却不能同时表现出来。
◆ 具有波长?
少女？
老妇？
两种图象不会同时出现在你的视觉中。
一、不确定关系电子束通过单缝的例子：
U
§ 20.6 不确定关系海森堡 （ 1901-1976）,德国理论物理学家，矩阵力学的创建者。 1925年海森堡发表第一篇矩阵力学的论文，
和玻恩、约尔丹一起创立了矩阵力学。
1927年，年仅 26岁的海森堡发表了著名的测不准关系，为人们能够理解深奥的微观物理奠定了基础。 1932年，
海森堡因对量子力学的建立有杰出贡献获得诺贝尔物理学奖。
第二次世界大战期间，海森堡参加了德国原子能反应堆的制造，而且是技术上的主要负责人。战争结束后,
他被盟军俘虏。一年后被释放回德国，担任普朗克物理研究所的领导工作，直到 1976年逝世。主要著作有：
,量子论的物理学原理,,,原子核物理,,,物理学与哲学,等。
通过缝的瞬时：
电子在 x方向位置的不确定量,ax?Δ
动量在 x方向上分量的不确定量：
x p
av?
x
y
xp
1s i nΔ?pp x?
a
1s in app x
Δ
a
h?
a
h?
hpx x
π2
h
2
xpx
2
ypy 2
zpz
海森伯不确定关系：
对三维直角坐标系：
a
s in hpx
x
还存在1方向的电子，这些方向电子的动量不确定量还要大。
对于微观粒子,同一方向上的动量和位置不可能同时准确测定 。
1,不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的，更确切地反映了微观粒子的本质。
不能理解为仪器的精度不够。
3,划出了经典力学适用的范围二、关于不确定性关系的讨论
2,不确定性关系是一普适原理：
微观粒子的力学量不可能全部有确定的值
2
tE能量和时间的不确定关系：
h不起显著作用时例,电子射线管中电子束的速度一般为 105m/s，
测得速度精度为 1/10000，即?v =10m/s，
求：电子位置的不确定量。 能否用经典的方法处理电子的运动？
解,m / s10 5?v
v?
m2
能用经典方法处理
m /s10 v
10101.9
π4/1063.6
31
34
m103.6 6
2
xpx
xp
x
2
对宏观粒子,?x << x,?p<<p,可视为位置和动量能同时准确测量。
例,原子线度为 10-10m，求原子中电子速度的不确定度。 电子能否当作经典粒子？
解,m10 10 r
m
p v
xm?
2
m /s106 5
不能当作经典粒子
r
p
2
2
xpx
不能用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观粒子只能用量子力学理论来处理。
v~
证明：
例,证明自由粒子的不确定度关系式：
,?是粒子的德布罗意波长。2 x
例,一微观粒子平均寿命为 10-8 s，求其能量。
解：
EE
s10 8 t
J1063.6 26 th
hp
2
hp
h
pxx
2?
2
p
h
2?
4,微观领域,?x~x,?p~p,?E~E,可用不确定关系估算微观粒子动量、能量。
例,钠原子在某激发态的平均寿命为 10-8秒，当它跃迁到基态时发出 580nm的光子。
求：光子波长的不确定范围。
解,s10 8 t
E
En
ch?
s1091.8 14
tc?
2?
hE?
nm580
2hcE
thctE
2
h?
能级宽度导致能级跃迁产生的谱线有一 定宽度。
E越小，谱线的单色性越好。
§ 20.7 定态薛定谔方程
1926年奥地利物理学家薛定谔在德布罗意物质波的基础上，提出了势场中微观粒子的动力学方程：
薛定谔方程 。
后来证明 薛定谔方程 与海森堡、狄拉克等人提出的 矩阵力学 是完全等价的，共同奠定了 量子力学 的基础。
获得 1933诺贝尔物理学奖。
一、定态薛定谔方程
1,定态定态波函数：描述定态的波函数
2,定态的特点
)(i
0
pxEte Etpx
ee
ii
0
Etextx?i)(),(
一维自由粒子：
pxex?i
0)(
r?
作用在粒子上的力场不随时间变化，只是位置 的函数，此时粒子可能处的状态。
r?
自由粒子的定态波函数
2i
2
)(),(
Et
ertr?
2)( r
3,建立定态薛定谔方程
px
ep
x
x?
i
0
i
d
)(d )(i xp?
)(i
d
)(d
2
2
2
2
2
xp
x
x
Etertr i)(),(定态波函数：
概率密度在空间形成稳定分布
pxex?i
0)(
)(2
2
xp?
一维自由粒子：
kEE? 2
2
2
1
m
pm?
m
p
2
2
mEp 22
0)(2
d
)(d
22
2
xmE
x
x
对一般的定态,U (x) = U UEE k
)(22 UEmp
0)()(2
d
)(d
22
2
xUEm
x
x
2
2
1 vm?
0)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x
非相对论条件下：
三维空间：
0)(2 22
2
2
2
2
2
UEm
zyx
0)(2 22
UEm
（ 1）地位和牛顿定律在经典力学中相同。
（ 2）方程的每一个解表示粒子的某一稳定状态,E是粒子在该状态时的能量。
说明
（ 1）在一维无限深势阱中运动的粒子：
粒子的势能：
二、定态薛定谔方程的应用
1,一维无限深势阱
（ 2）求解：求波函数和能量 E
0)(2
d
d
22
2
UEm
x
x
U(x)
a0
<<?
axx
axxU
,0
00
势阱外,0)(?x?
势阱内：
势阱内：
2
2 2
mEK?令 0
d
d 2
2
2
K
x
KxBKxAx s i nc o s)(
:0?x
:ax?
0s in?Ka πnKa
a
nK π? n=1,2…
x
a
nBx πs i n)(
通解：
边界条件的限制：
0)0( A?
x
U(x)
a0
0s i n)( KaBa?
02
d
d
22
2
mE
x
由归一化条件：
xx
a
nBa d)π(s i n
0
22
2
2 aB
a
B 2
x
a
n
a
x πs i n2)( n=1,2,3…..
2
2
2 )π(2
a
nmEK
2
222
2
π
ma
nE
n
)π(s i n2)( 22 x
a
n
a
x
（ 1）波函数：
（ 3）概率密度：
（ 2）能量：
结论
1?
（ 1）粒子的能量：
① 能量量子化
②
nn EEE 1Δ 2
22
2
π)12(
ma
n增加,增加。E?
12 EnE n?
讨论
③ 粒子的最小能量为 E1，不为零
2
222
2
π
ma
nE
n
粒子能量是 E1的整数倍
（ 2）波函数：
描述处于束缚态粒子的波函数是实函数零点能图示结果：
n=1
n=2
n=3
n=4
（ 3）概率密度：
粒子在势阱中各处出现的概率不同。
)π(s i n2)( 22 xanax
x
a
n
a
x πs i n2)(
（ 4）以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波
Et
n xea
n
a
tx?
iπ
s i n2),(
][
2i
1 )π(i)π(i tExantExan nn ee
a
右行波 左行波
（ 5）当 n时，回到经典情况
2
22
1 2
π)12(Δ
ma
nEEE nn
a = 1 m时,?E = 3.76(2n+1)?10-26 eV
能量可看成连续的
2
2
2
2
ii
2
i2
s i n
pmE
k
ee
kx
kxkx
02
d
d
22
2
mE
x
x< 0,x >a:
2,势垒和隧道效应
0)(2
d
d
2
0
2
2
UEm
x
0 < x< a:
<
<<?
axx
axUxU
,00
00
E
U(x)
xU=0
U0
a U=0
)( x?
E < U0时，仍有一定概率穿过势垒 隧道效应
r
erU
0
2
π4
)(
一、定态薛定谔方程
0)
π4
(2
0
2
22
2
2
2
2
2
r
eEm
zyx?
§ 20.8 氢原子二、结论氢原子中电子的运动状态由四个量子化条件决定。
+ r
e
-e
1,能量量子化条件电子能量：
222
0
2
4 1
π32 n
meE
n 222
0
4 1
8 nh
me
（ 1）能量是量子化的
（ 2）
2
1
nE n? nEΔ
随 n增大而减小
n=1,2,3..,主量子数讨论
n = 1基态 eV6.131E
2
eV6.13
nE n
激发态与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设。
副（角）量子数
（ 1） L是量子化的，不独立，受 n限制。
2,角动量量子化条件电子运动的角动量：
l =0,1,2....(n-1)
)1( llL
（ 2）对一确定的能量，角动量只有 n个 可能的 取值。
通常用小写字母 s,p,d,f,g表示这些状态。
s p d f g
0 1 2 3 4
120?6?2?20
角量子数 l
角动量 L
与玻尔的人为假设 有所区别，实验证明，
量子力学的结果更为准确。
nL?
3,角动量的空间量子化条件磁量子数
lz mL? lm l2,1,0
（ 1） L? 在空间的取向是量子化的。
（ 2）不独立，受 l 的限制，共有 （ 2l+1） 值。
以外磁场方向为 z 轴，角动量在 z 轴上的分量：
（ 3）和外磁场方向的夹角：
L
L z?qc o s
)1(?
ll
m l
3,2,1,0lm
6,2 Ll
2,1,0lm
32,3 Ll
用图表示：
如 n=4,l =0,1,2,3?2,1 Ll
B?
0?lm
1?lm
1lm
1,0lm
B?
0?l 0?L
磁场?偏转轨道运动?磁矩基态银原子 l = 0? 应 无偏转斯特恩 -盖拉赫实验：
(2l＋ 1)条目的：验证角动量的空间量子化一束银原子分裂成两束银原子发射源狭缝的银原子束
l= 0,ml = 0
非 均磁 场匀
1925年，荷兰物理学家乌仑贝克和古兹密特提出 电子自旋的概念。
s —自旋量子数,s =1/2
)1( ssS?
2
3?
B?
S?
S?
sz mS?
sm —自旋磁量子数
2
1
sm
2
2
2
4,电子自旋角动量的量子化条件电子的自旋角动量：
5,四个量子数：
（ 1）主量子数 n,n=1,2,3…
（ 2）角量子数 l,l =0,1,2… n-1
决定电子运动的角动量
（ 3）磁量子数,
lm lm l,2,1,0?
决定电子运动的角动量在外磁场中的取向
（ 4）自旋磁量子数,
sm 2
1
sm
决定电子自旋角动量在外磁场的取向决定电子能量
(n,l,m,ms)
§ 20.9 原子中的电子分布一、原子的壳层结构 (1916 柯塞尔 )
二、电子分布必须遵守的两个基本原理主量子数 n
主壳层符号
1 2 3 4
K L M N
5
O
6
P
副量子数 l
支壳层符号
1 2 3 4
p d f g
0
s h
5
代号 s,p,d,f,是沿用早期光谱学对某一谱线状况的称呼,s（ strong 强的）,p( principal主要的） d
（ dispersive弥散的） f ( fundamental 基本的）,f 后面则接着按字母顺序排列。
共有 n个不同的 l 值当 n一定,l =0,1,2… n-1
对任一给定的 l 值,lm
l,2,1,0?
共有 (2l +1)个不同的 ml 值对任一给定的 ml 值：
2
1
sm
有 2个不同的 ms 值个)12(2?l
在一个原子系统中不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态，即任何两个电子不可能有完全相同的一组量子数 )(
sl mmln,，，
1,泡利不相容原理（ 1925年）
同一支壳层容纳电子数,
同一主壳层容纳电子数,
1
0
)12(2
n
l
n lN
)]12(531[2 n?
)(2 2 个n?
2,能量最小原理当原子处在正常状态时，电子尽可能地占据未被填充的最低能级。
fspdspdspspss 4,6,5,4,5,4,3,4,3,3,2,2,1
徐光宪定则,能量高低按（ n+0.7l ) 确定例,试确定处于基态的氦原子中电子的量子数。
解,氦原子处于基态,n = 1
l = 0 ml = 0
则基态氦原子的电子的量子数分别为：
)
2
1001()
2
1001(?，，，，，，，
ms =?1/2
例,分别计算量子数 n = 2,l =1和 n = 2的电子的可能状态数。
解,(1) 对 n =2,l = 1 的电子有 2（ 2× 1+1） = 6 种状态
(2) 对 n = 2 的电子共有 2n2 = 8 种状态
K
2 He
K
L
3 Li
KL
10 Ne
KL
M
11 Na
KL
M
17 Cl
KL
8 O
对单原子而言，电子能量是不连续的。
仅有一个价电子的原子：
1,能带的形成
U r
单个电子与原子实的势能曲线：
一、固体的能带
1s
2s
2p
3s
3p
§ 20-10 固体的能带大量原子有规则地排列成晶体时：
原子实相互影响，形成周期性势场 。
每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动。
电子不再分属各个原子所有，而是属于整个原子所共有，称为 电子的共有化 。
+ + + ++
E2
E1
原来处于相同能级上的电子不再具有相同的能量，分裂成 N个非常靠近的新能级（ 10-23ev）
能带：由原子的某个能级分裂形成的能量呈准连续分布的新能级
1s
2p
2s
r
E
o
能带
2,满带、不满带、空带、禁带常温下电子填充能带有如下几种情况：
禁带禁带禁带禁带空带满带满带禁带：两个相邻的能带间不被允许的能量间隔。
不满带满带满带禁带满带中电子不能形成定向电流不满带的电子可在外场作用下跃迁到高一级的能级形成电流。
能带的性质：
满带不满带空带导带激发到空带中的电子在空带中形成电流
2p
满带禁带
r
E
o
1s
2s
空带满带有些金属结合成晶体时，能级分裂大，价电子能带与空带发生重叠，共同组成不满带。
共同组成不满带二、绝缘体、半导体和导体
1,绝缘体只有满带和空带，并且禁带宽度较大。
2,半导体能带结构同绝缘体，但禁带较窄。
满带导带（空带）
E
eV5.1~1.0Δ g?E
E
满带导带（空带）
eV3Δ g?E
3,导体
（ 1）不满带
（ 2）满带空带相接或部分重叠
（ 3）不满带、空带相接或部分重叠
E
满带导带（不满带）
满带导带（空带）
导带（不满带）
E
满带导带（空带）
E
三、半导体的导电机构
1,本征半导体 纯净无杂质 如硅、锗空带满带禁带?
本征激发电子和空穴的混合导电载流子,空穴 电子
2,杂质半导体 掺入少量杂质的半导体
（ 1） n型半导体在纯净半导体中掺入少量可提供导电电子的杂质所形成的半导体。
例：在四价锗元素半导体中掺入五价砷
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
Ge
掺入砷以后，五价原子替代四价元素锗构成与锗相同的四电子结构，多余一个价电子在杂质离子的电场范围内运动。
AS
AS
+5
+5
满带空带
gΔE
理论证明,掺入这种杂质后，电子处于靠近空带下沿处的一个能级中，称为,施主能级,。
dΔE
gd ΔΔ EE <<
由于 较小，施主能级中的电子很容易跃迁到导带中，导带中自由电子的浓度大了很多。 d
ΔE
n型半导体又称电子型半导体施主能级
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
+4
Ge
（ 2） p型导体（受主杂质半导体）
在纯净半导中掺入少量可提供导电空穴的杂质所形成的半导体。
例：在四价锗元素半导体中掺入三价硼掺入硼以后，三价原子替代四价元素锗构成与锗相同的四电子结构，缺少一个电子，
形成一个空穴，此空穴处于特殊的能级。
B
B
+3
+3
理论证明,掺入这种杂质后，空穴处于靠近满带上沿处的一个能级中，称为,受主能级,。
p型半导体又称空穴型半导体满带空带
gΔE
aΔE
ga ΔΔ EE <<
由于 较小，满带中的电子很容易激发到受主能级中而在满带中留下空穴，满带中孔穴的浓度大了很多。
aΔE
满 带空 带导带 空 带满 带导 带
p型半导体与 n型半导体接触，交界处形成的偶电层结构。
3,p-n 结
U
x
p型衬底
n型杂质扩散
E
x0eU
电子势能空穴势能
P型 N型
E?
半导体二级管符号
p n
0eU
0eU
n区p区能带的弯曲对 n
区的电子和 p区的孔穴都形成一个势垒，它阻碍着 n 区的电子进入 p 区，同时也阻碍着 p区的空穴进入 n区，通常把这一势垒区称为 阻挡层 。
U
x
E
x0eU
电子势能空穴势能
n型p型 n型p型
)( 0 UUe?
)( 0 UUe?
E?
E?
U U
正i
反i
形成 p区流向 n区的宏观正向电流
)( 0 UUe?
)( 0 UUe?
单向导电性晶体二级管,三级管
dY8087
大规模集成电路 信息时代半导体在工业上广泛地用于制作整流器、调制器、
探测器、光电管、晶体管和大规模集成电路等等。
