§ 3.1 概述地震作用结构的地震反应结构、构件的地震作用效应第三章 地震作用和结构抗震验算地震作用和结构抗震验算是建筑抗震设计的重要环节，是确定所设计的结构满足最低抗震设防安全要求的关键步骤。
由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。
底部剪力法振型分解反应谱法时程分析法静力弹塑性方法一、结构抗震理论的发展
1.静力理论阶段 ---静力法
1920年，日本大森房吉提出。
假设建筑物为绝对刚体。
)(txg
m
)(txm g
地震作用
GkxgGxmF gg m a xm a x
g
xk g m a x ---地震系数将 F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
2.定函数理论
tatx g?c o s)(?
苏联扎夫里耶夫首先提出的，他认为地震地面运动可用余弦函数来描述，也即地面位移为
teatx
n
i
i
t
ig
i?
1
s in)(
苏联的柯尔琴斯基提出地面运动可用若干个不同振幅、不同阻尼和不同频率的衰减正弦函数的和来表示，也即
3.反应谱理论 ---反应谱法
1940年，美国皮奥特提出。
地震作用
GkF
G
k
---重力荷载代表值
---地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）
---动力系数 (反映结构的特性,如周期、阻尼等的影响 )
按静力计算方法计算结构的地震效应目前，世界上普遍采用的方法。
4.直接动力分析理论 ---时程分析法将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-
quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。
此外，有用随机振动理论来分析结构地震响应统计特征的，有以地震时输入结构的能量进行设计，使结构所吸收的能量不致造成结构破坏的理论等。但这些方法还没有进入抗震设计规范，因此未被抗震设计使用 。
5.非线性静力分析方法（ Push Over Analysis)
二、与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过 40m的规则结构：底部剪力法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法
8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度的高层建筑：
考虑竖向地震作用特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：
一维或二维时程分析法的补充计算
§ 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析一、地震作用下单自由度体系的运动方程
)(tx
)(txg
m
m)( gxxm
kxxc?
质点位移 )()()( txtxtX
g
质点加速度 )()()( txtxtX
g
惯性力 )()(
gxmxmtI
弹性恢复力 kxtS?)(
阻尼力 xctR)(
gxmkxxcxm运动方程二、单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动
（ 1）无阻尼时 0 kxxm
02 xx
m
k?2?
)s inc o s()( 00 txtxtx
mcmk 2,2
0 kxxcxm
02 2 xxx
)s inc o s()( d
d
000 txxtxetx dt1 时
（ 2）有阻尼时
m
)(tP )(tx )(tP
t
t?
t
将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。
2.单自由度体系受迫振动
---冲量法
m
)(tP )(tx
0xmP
（ 1）,瞬时冲量的反应
)(tP
t
t
P
a.t=0 时作用瞬时冲量
mS
mPx /0
2
0 )(2
1
m
Px 0?
txtxtx s inc o s)( 00
tmP s in
b,时刻作用瞬时冲量? )(tP
t
t
P
)(s in)( tmPtx
(2).动荷载的位移反应 m
)(tP
)(ty
)(tP
t
t
)(?P
dt
m
Pty t )(s i n)()(
0
---杜哈美积分
d)(s i n)()( 0 )(t Dt
D
temPty
计阻尼时若 t=0 时体系有初位移、初速度
d)(s i n)()s i n ()( 0 )( t Dt
D
D
t te
m
PtAety
b,时刻作用瞬时冲量? )(tP
t
t
P
)(s in)( tmPtx
三、单自由度体系地震作用分析
gxmkxxcxm
运动方程
mtFxxx e /)(2 2或
m
c
m
k
2,2
其中
ge xmtF)(
t t teFmtx 0 d)(E
d
d)(s i n)(1)(
由 Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为
t t tex0 d)(g
d
d)(s i n)(1
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)(
1)(t t
d textxS
最大位移反应质点相对于地面的速度为
t
d
t
g
d
t
t
dtex
tex
dt
dx
tx
0
)(
0
d
)(
g
)(s i n)(
d)(c o s)()(
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
质点相对于地面的最大速度反应为
xxxx g 22
质点的绝对加速度为
t t tex0 d)(g
d
2
d)(s i n)(
t
d
t
g
d
t t
dtex
tex
0
)(
22
0 d
)(
g
)(s i n)(
2
d)(c o s)(2
质点相对于地面的最大加速度反应为
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
四、地震反应谱最大相对速度最大加速度最大反应之间的关系 dva SSS 2
在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。
单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)(
1)(t t
d textxS
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
最大相对位移
m a x0
)(
g d)(s i n)(
1t t
d texS
位移反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
相对速度反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
绝对加速度反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
相对位移反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点
1.阻尼比对反应谱影响很大
2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，
大于某个值时，快速下降。
3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。
4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。
不同场地条件对反应谱的影响将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。
gSa/
周期（ s)
岩石坚硬场地厚的无粘性土层软土层结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。
由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方法是不同的。可分为简化方法和较复杂的精细方法。
底部剪力法振型分解反应谱法时程分析法静力弹塑性方法一、结构抗震理论的发展
1.静力理论阶段 ---静力法
1920年，日本大森房吉提出。
假设建筑物为绝对刚体。
)(txg
m
)(txm g
地震作用
GkxgGxmF gg m a xm a x
g
xk g m a x ---地震系数将 F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
2.定函数理论
tatx g?c o s)(?
苏联扎夫里耶夫首先提出的，他认为地震地面运动可用余弦函数来描述，也即地面位移为
teatx
n
i
i
t
ig
i?
1
s in)(
苏联的柯尔琴斯基提出地面运动可用若干个不同振幅、不同阻尼和不同频率的衰减正弦函数的和来表示，也即
3.反应谱理论 ---反应谱法
1940年，美国皮奥特提出。
地震作用
GkF
G
k
---重力荷载代表值
---地震系数（反映震级、震中距、地基等的影响）
---动力系数 (反映结构的特性,如周期、阻尼等的影响 )
按静力计算方法计算结构的地震效应目前，世界上普遍采用的方法。
4.直接动力分析理论 ---时程分析法将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-
quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。
此外，有用随机振动理论来分析结构地震响应统计特征的，有以地震时输入结构的能量进行设计，使结构所吸收的能量不致造成结构破坏的理论等。但这些方法还没有进入抗震设计规范，因此未被抗震设计使用 。
5.非线性静力分析方法（ Push Over Analysis)
二、与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过 40m的规则结构：底部剪力法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法
8,9度时的大跨、长悬臂结构和 9度的高层建筑：
考虑竖向地震作用特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：
一维或二维时程分析法的补充计算
§ 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析一、地震作用下单自由度体系的运动方程
)(tx
)(txg
m
m)( gxxm
kxxc?
质点位移 )()()( txtxtX
g
质点加速度 )()()( txtxtX
g
惯性力 )()(
gxmxmtI
弹性恢复力 kxtS?)(
阻尼力 xctR)(
gxmkxxcxm运动方程二、单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动
（ 1）无阻尼时 0 kxxm
02 xx
m
k?2?
)s inc o s()( 00 txtxtx
mcmk 2,2
0 kxxcxm
02 2 xxx
)s inc o s()( d
d
000 txxtxetx dt1 时
（ 2）有阻尼时
m
)(tP )(tx )(tP
t
t?
t
将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。
2.单自由度体系受迫振动
---冲量法
m
)(tP )(tx
0xmP
（ 1）,瞬时冲量的反应
)(tP
t
t
P
a.t=0 时作用瞬时冲量
mS
mPx /0
2
0 )(2
1
m
Px 0?
txtxtx s inc o s)( 00
tmP s in
b,时刻作用瞬时冲量? )(tP
t
t
P
)(s in)( tmPtx
(2).动荷载的位移反应 m
)(tP
)(ty
)(tP
t
t
)(?P
dt
m
Pty t )(s i n)()(
0
---杜哈美积分
d)(s i n)()( 0 )(t Dt
D
temPty
计阻尼时若 t=0 时体系有初位移、初速度
d)(s i n)()s i n ()( 0 )( t Dt
D
D
t te
m
PtAety
b,时刻作用瞬时冲量? )(tP
t
t
P
)(s in)( tmPtx
三、单自由度体系地震作用分析
gxmkxxcxm
运动方程
mtFxxx e /)(2 2或
m
c
m
k
2,2
其中
ge xmtF)(
t t teFmtx 0 d)(E
d
d)(s i n)(1)(
由 Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为
t t tex0 d)(g
d
d)(s i n)(1
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)(
1)(t t
d textxS
最大位移反应质点相对于地面的速度为
t
d
t
g
d
t
t
dtex
tex
dt
dx
tx
0
)(
0
d
)(
g
)(s i n)(
d)(c o s)()(
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
质点相对于地面的最大速度反应为
xxxx g 22
质点的绝对加速度为
t t tex0 d)(g
d
2
d)(s i n)(
t
d
t
g
d
t t
dtex
tex
0
)(
22
0 d
)(
g
)(s i n)(
2
d)(c o s)(2
质点相对于地面的最大加速度反应为
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
四、地震反应谱最大相对速度最大加速度最大反应之间的关系 dva SSS 2
在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。
单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)(
1)(t t
d textxS
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
最大相对位移
m a x0
)(
g d)(s i n)(
1t t
d texS
位移反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
相对速度反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
v textxS
绝对加速度反应谱
t
)(tyg
Elcentro 1940 （ N-S） 地震记录
)(ms2?
)(s
m a x0
)(
gm a x d)(s i n)()(
t t
ga texxtxS
相对位移反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点
1.阻尼比对反应谱影响很大
2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，
大于某个值时，快速下降。
3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。
4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。
不同场地条件对反应谱的影响将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。
gSa/
周期（ s)
岩石坚硬场地厚的无粘性土层软土层结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。
