一、能量法计算基本周期
§ 3.7 结构自振周期的计算
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为
)co s ()( iiii tXty
应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。
计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。
t时刻的位移为一、能量法计算基本周期
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为 )co s ()(
iiii tXty
t时刻的位移为动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi
)()(21 tymty T
)(c o s21 22 iiiiTi tXmX势能为
)(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU
一、能量法计算基本周期
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为 )co s ()(
iiii tXty
t时刻的位移为动能为 )(c o s
2
1)( 22
iiii
T
ii tXmXtT
势能为
)(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU
最大动能为
2m a x 21 iiTii XmXT
iTii XkXU 21m a x?最大势能为由能量守恒，有 m a xm a x ii UT?
iTi i
T
i
i XmX
XkX?2?
通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。
1m
Nm
1G 1u
2G
nG nu
2u
n
i
iii
n
i
i um
guGU
11
m a x 22
1
n
i
ii umT
1
2
1m a x )(2
1?
m a xm a x UT?
n
i
i
n
i
ii
i
um
umg
1
2
12
1?
11 /2T 2m /s8.9?g
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求结构的基本频率（第一振型的频率）。
本方法常用于求解以剪切型为主的框架结构。由于框架结构可以用 D值法直接求得层间变形，所以这一方法应用十分方便。
解,
例,已知：
k N/ m10720,k N/ m14280
kN300,kN400
21
21
kk
GG
求结构的基本周期。 2k
G2
1k
G1
1G
2G 2u
1u（ 1）计算各层层间剪力
kNV 7 0 03 0 04 0 01
kNV 3002?
（ 2）计算各楼层处的水平位移
mkVu 0 4 9.01 4 2 8 0/7 0 0/ 111
mkVkVu 077.010720/300049.0// 22112
（ 3）计算基本周期
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
s5 0 8.00 7 7.03 0 00 4 9.04 0 0 0 7 7.03 0 00 4 9.04 0 02 22
基本频率及振型。
构的。试用能量法计算该结，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N / m108,2 3K N / m1003.9
K N / m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（ b）
（ a） （ b）
m101 4 5,4 9m10792.61 3 8,7 0X
m101 3 8,7 0m1037.3433.104X
m1033.104
m1033.104
1043.5
25612545559
m1037.34
1003.9
2545559
m10792.6
1023.8
559
44
323
44
212
4
11
4
5
1
123
1
4
5
2
23
2
4
5
3
3
3
ggXX
ggXX
gXX
g
g
k
gmmm
X
g
g
k
gmm
X
g
g
k
gm
X
各层位移为：
：结构的层间相对位移为
000.1
953.0
717.0
10g
49.145
70.138
33.104
s/8 9 r a d.8
10g49.14555970.1382 5 4 533.1042 5 6 1
10g49.14555970.1382 5 4 533.1042 5 6 1
4
13
12
11
2
4222
4
1
2
1
X
X
X
g
Xm
Xmg
n
i
ii
n
i
ii
相应的基本振型为：
则体系的基本频率为：
二、等效质量法（折算质量法）
1m
Nm
1x
nx
eqM
mx
将多质点体系用单质点体系代替。
多质点体系的最大动能为
n
i ii
xmT
1
21m a x1 )(
2
1?
单质点体系的最大动能为
21m a x2 )(21 meq xMT
m a x2m a x1 TT?
mx ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
2
1
2
m
n
i
i
eq x
xm
M
i?
eqM
1
1?
eqMT 21?
---单位水平力作用下顶点位移。
三,顶点位移法用“换算体系”方法可以把一多质点体系用一等效的单质点体系来代替，从而将多自由度体系求周期问题简化为相应的单自由度问题。
顶点位移法是根据 在重力荷载水平作用时算得的顶点位移 来求解基本频率的一种方法。
悬臂型剪切型 弯剪型抗震墙结构可视为弯曲型杆，即悬臂型结构。
框架结构可近似视为剪切型杆。
框架 -抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。
6 8 s.01049.1 4 58.18.1
m1049.1 4 5
3,2
3,2
7.1
8.1
6.1
4
4
3
gT
gX
T
T
T
ss
s
bs
ss
bb
则该结构的基本周期：
结构）的顶点位移：知该框架结构（剪切型解：由例所示结构的基本周期。算例例：试用顶点位移法计的任何体系结构。度沿高度分布比较均匀本方法适用于质量及刚位移，单位为ｍ。
得的顶点水平作为各楼层水平荷载求—相应结构在重力荷载—
对弯剪型结构：
对剪切型结构：
对弯曲型结构：
结构变形的三种形式框架结构在水平力作用下的受力特点如下图所示。
其侧移有两部分组成：
第一部分侧移由柱和梁的弯曲变形产生。梁、柱都有反弯点，形成侧向变形。框架下部的梁、柱内力大，
层间变形也大，愈到上部层间变形愈小，使整个结构呈 剪切型变形,如图（ a）。
第二部分侧移由柱的轴向变形产生，在水平荷载作用下，柱的拉伸和压缩使结构出现侧移。这种侧移在上部各层较大，愈到底部层间变形愈小，使整个结构呈 弯曲型 变形，如图（ b)所示。
框架结构中第一部分侧移是主要的，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但合成以后框架仍然呈剪切型变形特征，如图（ c）。
（ a） （ b） （ c）
框架结构的侧向变形四、自振周期的经验公式根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算
（ 1）高度低于 25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期
（ 2）高度低于 50m的钢筋混凝土框架 -抗震墙结构的基本周期
31 /35.022.0 BHT
H---房屋总高度； B---所考虑方向房屋总宽度。
321 /0 0 0 6 9.033.0 BHT
（ 3）高度低于 50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期
31 /038.004.0 BHT
（ 4）高度低于 35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期
35.21 /0015.029.0 BHT
在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，
有下列更粗略的公式
（ 1）钢筋混凝土框架结构
（ 2）钢筋混凝土框架 -抗震墙或钢筋混凝土框架 -筒体结构
NT )10.0~08.0(1?
N---结构总层数。
NT )08.0~06.0(1?
（ 3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构
NT )05.0~04.0(1?
（ 4）钢 -钢筋混凝土混合结构
NT )08.0~06.0(1?
（ 5）高层钢结构
NT )12.0~08.0(1?
矩阵迭代法（ Stodola法）
§ 3.8 结构振型的计算有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。
柔度法建立的振型方程
XmX 2?
令mD ---动力矩阵
XDX?21? ---标准特征值问题刚度法建立的振型方程
XmXk 2 ---广义特征值问题迭代式为 nn XmX 21
例,用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型,
假设第一振型解,
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 6?
1
1
1
13
12
11
0
x
x
x
X
mMNk /1952?
mMNk /2451?
mMNk /983?
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?（ 1）求柔度矩阵
（ 2）求第一振型第一次迭代近似值
000.1
740.0
415.0
104.7070
1
1
1
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
1
13
12
11
1
x
x
x
nn XmX 21
第一次迭代近似值
000.1
740.0
415.0
104.7070
1
1
1
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
1
13
12
11
1
x
x
x
第二次迭代近似值
000.1
682.0
347.0
107.5781
000.1
740.0
415.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
2
13
12
11
1
x
x
x
第三次迭代近似值
000.1
670.0
336.0
105.5562
000.1
682.0
347.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
3
13
12
11
1
x
x
x
第四次迭代近似值
000.1
667.0
334.0
100.5521
000.1
670.0
336.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
4
13
12
11
1
x
x
x
第四次迭代近似值
000.1
667.0
334.0
100.5521
000.1
670.0
336.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
4
13
12
11
1
x
x
x
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
XmX 2?
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
100.5 5 2 1
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
62
1?
621 100.5 5 2 11
r a d /s46.13100.5 5 2 1 1 61
例,用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型,
解,
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 6? mMNk /1952?
mMNk /2451?
mMNk /983?
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
（ 1）求柔度矩阵
（ 2）求第一振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
r a d /s46.13100.5 5 2 1 1 61
（ 3）求第二振型
23
22
21
62
2
23
22
21
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 0
21?xMx T
0
18 000
027 00
0027 0
00 0.1
66 7.0
33 4.0
23
22
21
x
x
xT
01 8 009.1 8 018.90 232221 xxx
)09.18018.90(1801 222123 xxx
22
2162
2
22
21
4.8 2 57.2 7 3
8.3 6 67.7 3 310
x
x
x
x?
（ 3）求第二振型
23
22
21
62
2
23
22
21
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 0
21?xMx T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
23
22
21
x
x
x
01 8 009.1 8 018.90 232221 xxx
)09.18018.90(1801 222123 xxx
假设
1
1
22
21
x
x
第一次迭代近似值
000.1
001.1105.1100
1
1
4.8257.273
8.3667.73310 62
2
62
2
1
22
21
x
x
)09.18018.90(1801 222123 xxx
22
2162
2
22
21
4.8 2 57.2 7 3
8.3 6 67.7 3 310
x
x
x
x?
假设
1
1
22
21
x
x
第一次迭代近似值
000.1
001.1105.1100
1
1
4.8257.273
8.3667.73310 62
2
62
2
1
22
21
x
x
000.1
001.11
22
21
x
x
501.1)09.18018.90(180 1 222123 xxx
5 0 1.1
0 0 0.1
0 0 1.1
23
22
21
2
x
x
x
x
0 0.
6 6 6.
6 6 7.0
2x
622 105.11001
r a d /s14.30105.1 1 0 0 1 62
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2x
（ 3）求第三振型
33
32
31
62
3
33
32
31
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 03
1?xMx
T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
33
32
31
x
x
x
032?xMx T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
33
32
31
x
x
x
01 8 009.1 8 018.90 333231 xxx
018082.17909.180 333231 xxx
3331 995.3 xx? 3332 000.3 x
假设 000.133?x 995.331?x 000.332x
000.1
000.3
995.3
3x
000.1
036.3
020.4
103.455
000.1
000.3
995.3
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 623623
1
33
32
31
x
x
x
假设 000.133?x 995.331?x 000.332x
000.1
000.3
995.3
3x
第一次迭代近似值
0 0 0.1
0 3 6.3
0 2 0.4
33
32
31
3
x
x
x
x
623 103.4 5 51
r a d /s87.46103.455 1 63
最终结果：
000.1
000.3
995.3
3x
000.1
036.3
020.4
103.455
000.1
000.3
995.3
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 623623
1
33
32
31
x
x
x
第一次迭代近似值
0 0 0.1
0 3 6.3
0 2 0.4
33
32
31
3
x
x
x
x
623 103.4 5 51
r a d /s87.46103.455 1 63
最终结果：
000.1
667.0
334.0
1x
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2x
rad/s46.131
rad /s14.302
rad /s87.463
雅可比法
(Jacbi)
§ 3.7 结构自振周期的计算
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为
)co s ()( iiii tXty
应用抗震设计反应谱计算地震作用下的结构反应，除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法不需要计算自振周期外，其余均需计算自振周期。
计算方法：矩阵位移法解特征问题、近似公式、经验公式。
t时刻的位移为一、能量法计算基本周期
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为 )co s ()(
iiii tXty
t时刻的位移为动能为
)(21)(21)(21)( 2222211 tymtymtymtT NNi
)()(21 tymty T
)(c o s21 22 iiiiTi tXmX势能为
)(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU
一、能量法计算基本周期
)s i n ()( iii tXty
1m
Nm
)(1 ty
)(2 ty
)(tyN设体系按 i振型作自由振动。
速度为 )co s ()(
iiii tXty
t时刻的位移为动能为 )(c o s
2
1)( 22
iiii
T
ii tXmXtT
势能为
)(s i n21)( 2 iiiTii tXkXtU
最大动能为
2m a x 21 iiTii XmXT
iTii XkXU 21m a x?最大势能为由能量守恒，有 m a xm a x ii UT?
iTi i
T
i
i XmX
XkX?2?
通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。
1m
Nm
1G 1u
2G
nG nu
2u
n
i
iii
n
i
i um
guGU
11
m a x 22
1
n
i
ii umT
1
2
1m a x )(2
1?
m a xm a x UT?
n
i
i
n
i
ii
i
um
umg
1
2
12
1?
11 /2T 2m /s8.9?g
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求结构的基本频率（第一振型的频率）。
本方法常用于求解以剪切型为主的框架结构。由于框架结构可以用 D值法直接求得层间变形，所以这一方法应用十分方便。
解,
例,已知：
k N/ m10720,k N/ m14280
kN300,kN400
21
21
kk
GG
求结构的基本周期。 2k
G2
1k
G1
1G
2G 2u
1u（ 1）计算各层层间剪力
kNV 7 0 03 0 04 0 01
kNV 3002?
（ 2）计算各楼层处的水平位移
mkVu 0 4 9.01 4 2 8 0/7 0 0/ 111
mkVkVu 077.010720/300049.0// 22112
（ 3）计算基本周期
n
i
i
n
i
i
i
i
uG
uG
T
1
1
2
1 2
s5 0 8.00 7 7.03 0 00 4 9.04 0 0 0 7 7.03 0 00 4 9.04 0 02 22
基本频率及振型。
构的。试用能量法计算该结，
，。各层刚度分别为，，
质量为：梁刚度为无限大。各层层框架结构，假定其横为图例
K N / m108,2 3K N / m1003.9
K N / m1043.55 5 9 t2 5 4 5 t2 5 6 1 t
33,1 53,2
5
3
5
2
5
1321
kk
kmmm
解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如上图（ b）
（ a） （ b）
m101 4 5,4 9m10792.61 3 8,7 0X
m101 3 8,7 0m1037.3433.104X
m1033.104
m1033.104
1043.5
25612545559
m1037.34
1003.9
2545559
m10792.6
1023.8
559
44
323
44
212
4
11
4
5
1
123
1
4
5
2
23
2
4
5
3
3
3
ggXX
ggXX
gXX
g
g
k
gmmm
X
g
g
k
gmm
X
g
g
k
gm
X
各层位移为：
：结构的层间相对位移为
000.1
953.0
717.0
10g
49.145
70.138
33.104
s/8 9 r a d.8
10g49.14555970.1382 5 4 533.1042 5 6 1
10g49.14555970.1382 5 4 533.1042 5 6 1
4
13
12
11
2
4222
4
1
2
1
X
X
X
g
Xm
Xmg
n
i
ii
n
i
ii
相应的基本振型为：
则体系的基本频率为：
二、等效质量法（折算质量法）
1m
Nm
1x
nx
eqM
mx
将多质点体系用单质点体系代替。
多质点体系的最大动能为
n
i ii
xmT
1
21m a x1 )(
2
1?
单质点体系的最大动能为
21m a x2 )(21 meq xMT
m a x2m a x1 TT?
mx ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移；
2
1
2
m
n
i
i
eq x
xm
M
i?
eqM
1
1?
eqMT 21?
---单位水平力作用下顶点位移。
三,顶点位移法用“换算体系”方法可以把一多质点体系用一等效的单质点体系来代替，从而将多自由度体系求周期问题简化为相应的单自由度问题。
顶点位移法是根据 在重力荷载水平作用时算得的顶点位移 来求解基本频率的一种方法。
悬臂型剪切型 弯剪型抗震墙结构可视为弯曲型杆，即悬臂型结构。
框架结构可近似视为剪切型杆。
框架 -抗震墙结构可近似视为剪弯型杆。
6 8 s.01049.1 4 58.18.1
m1049.1 4 5
3,2
3,2
7.1
8.1
6.1
4
4
3
gT
gX
T
T
T
ss
s
bs
ss
bb
则该结构的基本周期：
结构）的顶点位移：知该框架结构（剪切型解：由例所示结构的基本周期。算例例：试用顶点位移法计的任何体系结构。度沿高度分布比较均匀本方法适用于质量及刚位移，单位为ｍ。
得的顶点水平作为各楼层水平荷载求—相应结构在重力荷载—
对弯剪型结构：
对剪切型结构：
对弯曲型结构：
结构变形的三种形式框架结构在水平力作用下的受力特点如下图所示。
其侧移有两部分组成：
第一部分侧移由柱和梁的弯曲变形产生。梁、柱都有反弯点，形成侧向变形。框架下部的梁、柱内力大，
层间变形也大，愈到上部层间变形愈小，使整个结构呈 剪切型变形,如图（ a）。
第二部分侧移由柱的轴向变形产生，在水平荷载作用下，柱的拉伸和压缩使结构出现侧移。这种侧移在上部各层较大，愈到底部层间变形愈小，使整个结构呈 弯曲型 变形，如图（ b)所示。
框架结构中第一部分侧移是主要的，随着建筑高度加大，第二部分变形比例逐渐加大，但合成以后框架仍然呈剪切型变形特征，如图（ c）。
（ a） （ b） （ c）
框架结构的侧向变形四、自振周期的经验公式根据实测统计，忽略填充墙布置、质量分布差异等，初步设计时可按下列公式估算
（ 1）高度低于 25m且有较多的填充墙框架办公楼、旅馆的基本周期
（ 2）高度低于 50m的钢筋混凝土框架 -抗震墙结构的基本周期
31 /35.022.0 BHT
H---房屋总高度； B---所考虑方向房屋总宽度。
321 /0 0 0 6 9.033.0 BHT
（ 3）高度低于 50m的规则钢筋混凝土抗震墙结构的基本周期
31 /038.004.0 BHT
（ 4）高度低于 35m的化工煤炭工业系统钢筋混凝土框架厂房的基本周期
35.21 /0015.029.0 BHT
在实测统计基础上，再忽略房屋宽度和层高的影响等，
有下列更粗略的公式
（ 1）钢筋混凝土框架结构
（ 2）钢筋混凝土框架 -抗震墙或钢筋混凝土框架 -筒体结构
NT )10.0~08.0(1?
N---结构总层数。
NT )08.0~06.0(1?
（ 3）钢筋混凝土抗震墙或筒中筒结构
NT )05.0~04.0(1?
（ 4）钢 -钢筋混凝土混合结构
NT )08.0~06.0(1?
（ 5）高层钢结构
NT )12.0~08.0(1?
矩阵迭代法（ Stodola法）
§ 3.8 结构振型的计算有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。
柔度法建立的振型方程
XmX 2?
令mD ---动力矩阵
XDX?21? ---标准特征值问题刚度法建立的振型方程
XmXk 2 ---广义特征值问题迭代式为 nn XmX 21
例,用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型,
假设第一振型解,
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 6?
1
1
1
13
12
11
0
x
x
x
X
mMNk /1952?
mMNk /2451?
mMNk /983?
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?（ 1）求柔度矩阵
（ 2）求第一振型第一次迭代近似值
000.1
740.0
415.0
104.7070
1
1
1
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
1
13
12
11
1
x
x
x
nn XmX 21
第一次迭代近似值
000.1
740.0
415.0
104.7070
1
1
1
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
1
13
12
11
1
x
x
x
第二次迭代近似值
000.1
682.0
347.0
107.5781
000.1
740.0
415.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
2
13
12
11
1
x
x
x
第三次迭代近似值
000.1
670.0
336.0
105.5562
000.1
682.0
347.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
3
13
12
11
1
x
x
x
第四次迭代近似值
000.1
667.0
334.0
100.5521
000.1
670.0
336.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
4
13
12
11
1
x
x
x
第四次迭代近似值
000.1
667.0
334.0
100.5521
000.1
670.0
336.0
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 62162
4
13
12
11
1
x
x
x
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
XmX 2?
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
100.5 5 2 1
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
62
1?
621 100.5 5 2 11
r a d /s46.13100.5 5 2 1 1 61
例,用迭代法计算图示体系的各阶自振频率和振型,
解,
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 6? mMNk /1952?
mMNk /2451?
mMNk /983?
tm 2701?
tm 2702?
tm 1803?
（ 1）求柔度矩阵
（ 2）求第一振型
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
r a d /s46.13100.5 5 2 1 1 61
（ 3）求第二振型
23
22
21
62
2
23
22
21
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 0
21?xMx T
0
18 000
027 00
0027 0
00 0.1
66 7.0
33 4.0
23
22
21
x
x
xT
01 8 009.1 8 018.90 232221 xxx
)09.18018.90(1801 222123 xxx
22
2162
2
22
21
4.8 2 57.2 7 3
8.3 6 67.7 3 310
x
x
x
x?
（ 3）求第二振型
23
22
21
62
2
23
22
21
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 0
21?xMx T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
23
22
21
x
x
x
01 8 009.1 8 018.90 232221 xxx
)09.18018.90(1801 222123 xxx
假设
1
1
22
21
x
x
第一次迭代近似值
000.1
001.1105.1100
1
1
4.8257.273
8.3667.73310 62
2
62
2
1
22
21
x
x
)09.18018.90(1801 222123 xxx
22
2162
2
22
21
4.8 2 57.2 7 3
8.3 6 67.7 3 310
x
x
x
x?
假设
1
1
22
21
x
x
第一次迭代近似值
000.1
001.1105.1100
1
1
4.8257.273
8.3667.73310 62
2
62
2
1
22
21
x
x
000.1
001.11
22
21
x
x
501.1)09.18018.90(180 1 222123 xxx
5 0 1.1
0 0 0.1
0 0 1.1
23
22
21
2
x
x
x
x
0 0.
6 6 6.
6 6 7.0
2x
622 105.11001
r a d /s14.30105.1 1 0 0 1 62
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
13
12
11
1
x
x
x
x
0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2x
（ 3）求第三振型
33
32
31
62
3
33
32
31
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10
x
x
x
x
x
x
由振型正交性 03
1?xMx
T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 7.0
3 3 4.0
33
32
31
x
x
x
032?xMx T
0
1 8 000
02 7 00
002 7 0
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
33
32
31
x
x
x
01 8 009.1 8 018.90 333231 xxx
018082.17909.180 333231 xxx
3331 995.3 xx? 3332 000.3 x
假设 000.133?x 995.331?x 000.332x
000.1
000.3
995.3
3x
000.1
036.3
020.4
103.455
000.1
000.3
995.3
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 623623
1
33
32
31
x
x
x
假设 000.133?x 995.331?x 000.332x
000.1
000.3
995.3
3x
第一次迭代近似值
0 0 0.1
0 3 6.3
0 2 0.4
33
32
31
3
x
x
x
x
623 103.4 5 51
r a d /s87.46103.455 1 63
最终结果：
000.1
000.3
995.3
3x
000.1
036.3
020.4
103.455
000.1
000.3
995.3
18000
02700
00270
39.1918.908.4
18.918.908.4
08.408.408.4
10 623623
1
33
32
31
x
x
x
第一次迭代近似值
0 0 0.1
0 3 6.3
0 2 0.4
33
32
31
3
x
x
x
x
623 103.4 5 51
r a d /s87.46103.455 1 63
最终结果：
000.1
667.0
334.0
1x
0 0 0.1
6 6 6.0
6 6 7.0
2x
rad/s46.131
rad /s14.302
rad /s87.463
雅可比法
(Jacbi)
