前进水静力学的任务 是研究液体平衡的规律及其实际应用。
液体平衡静止状态相对平衡状态工程应用 主要是确定水对水工建筑物的表面上的作用力。
主要内容,?静水压强及其特性
液体平衡微分方程式
重力作用下静水压强的基本公式
压强的计示、单位及量测
作用于平面上的静水总压力
作用于曲面上的静水总压力结束静水压强及其特性静止液体作用在与之接触的表面上的水压力称为 静水压力,用 FP表示。
T
G
FP
FP
面平均静水压强 PFp
A?
静水压强
0lim
P
A
Fp
A
单位,N/m2,kN/m2,Pa,kPa
前进静水压强的特性
1．静水压强垂直指向受压面
2,作用于同一点上各方向的静水压强的大小相等
M
×
B
证明表明任一点的静水压强仅是空间坐标的函数，
压强 p是一个标量，即 p = p ( x,y,z )
返回液体平衡微分方程式表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式形心点 A的压强为 p ( x,y,z )
dx
dz
dy
x
z
y
A
表面力：
2p dxp x 2p dxp xdydzdxxp )2( dydzdxxpp )2(
质量力：
ρfxdxdydz
ρfydxdydz
ρfzdxdydz
依平衡条件,0 xF
( ) ( ) 022 xp d x p d xp d y d z p d y d z f d x d y d zxx则整理化简得,xp fx
前进
x
p f
x?
y
p f
y?
z
p fz
Euler平衡微分方程式静水压强沿某一方向的变化率与该方向的单位体积质量力相等。
静水压强的分布规律是由单位质量力所决定的
()x y zdp f dx f dy f dzEuler平衡微分方程式返回重力作用下静水压强的基本公式只受重力作用,fx=0,fy=0,fz=-g
x
z
y
p0
A Z0
Z
()x y zdp f dx f dy f dz gd z
积分得,p
zcg
在液面上,z=z0,p=p0，则 0
0
pcz
g
故有 00()p p g z z
h
0p p gh
压强由两部分组成：
静水压强的基本公式液面上的气体压强 p0
单位面积上高度为 h的水柱重 ρgh举例返回压强的计示、单位及测量压强的计示绝对压强相对压强
ap p p
若将当地大气压强用 pa表示，则有
—— 指绝对压强小于大气压强的数值，
用 pk来表示
kap p p
举例举例
—— 以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，用 p′ 表示
—— 以当地大气压作为零点计量的压强，
用 p表示。
真空度（或真空压强）
压强的单位应力单位：
工程大气压单位：
液柱高度：
1个工程大气压
=98kN/m2
=10m水柱压
=736mm水银柱压前进等压面的概念由压强相等的点连成的面，称为等压面。等压面可以是平面，也可以是曲面。
等压面必与质量力正交
只受重力作用的连通的同一种液体内，等压面为水平面；反之，水平面为等压面。
可以 证明,
连通容器 连通容器 连通器被隔断前进水头和单位势能的概念前进
pzc
g
x
z
y
p0
A
Z
Z—— 位置水头，
p
g?
pz
g
—— 压强水头，
—— 测压管水头，
Apg?
静止液体内各点的测压管水头等于常数。
单位位能单位压能单位势能静止液体内各点的单位势能相等。
压强的测量 —— 利用静水力学原理设计的液体测压计
1.测压管
A
h
pa
B
ABp p gh sinAp gL
A h
L
α
2.U形水银测压计
A
ρ
ρm
h
b
Ap gb
3.差压计
A
B
s
△ h
()AAp g x h ()B B mp g s x g h=
A
Bs
△ h
油
()A A np g s x g h ()BBp g x h=
返回
mgh
作用于平面上的静水总压力图解法解析法 —— 适用于任意形状平面
0p p gh
—— 适用于矩形平面返回图解法 —— 作用于矩形平面上的静水总压力的计算静水压强分布图把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图。
的绘制规则：
1.按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小
2.用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直 举例静水总压力的大小,PFb
其中 b为矩形受压面的宽度；
Ω为静水压强分布图形的面积；
静水总压力的方向：垂直并指向受压面静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）
举例返回解析法 —— 作用于任意形状平面上的静水总压力
α
hc
C
bC LCL
O （ b）
M（ b,L）dA
h
dFPsinPd F g h d A g L d A
s in
s in
PP
AA
A
F d F g L d A
g L d A
其中 为平面对 Ob轴的面积矩
sinP c cF g L A gh A
所以静水总压力的大小为
PcF p A?
其中 pc为受压面形心点的压强；
A为受压面的面积。
依力矩定理，
FP
D
D
2s i n s i nP D P
A A A
F L L d F L g L d A g L d A
其中 为平面对 Ob轴的面积惯性矩，记为
2
A
LdA?
2b c cI I L A
整理可得静水总压力的压心位置,c
Dc
c
ILL
LA
其中 Ic表示平面对于通过其形心点且与
Ob轴平行的轴线的面积惯性矩。
举例 返回作用于曲面上的静水总压力
h
水平分力 FPx
FPz铅直分力静水总压力
FP
b
大小,22P P x P zF F F
方向,与水平方向的夹角a rc ta n Pz
Px
F
F
作用点,过 FPx和 FPzx的交点，作与水平方向成 α角的线延长交曲面于 D点举例返回
曲面上静水总压力的水平分力等于曲面在铅垂投影面上的静水总压力。
A
B
A′
B′
A A A A A A A A E Fp A g h A g V
F E
c ABpA
RF
PF
B B B B B B B B F Gp A g h A g V
G
AABBgV
RxF
RzF
曲面上静水总压力的垂直压力等于压力体内的水体重。
压力体
P x c A B c A BF p A g h A
PzF gV
返回压力体应由下列周界面所围成：
（ 1）受压曲面本身
（ 2）自由液面或液面的延长面
（ 3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面
A
B
A
B
A
B
C
举例返回证明：取微小四面体，各直角边长分别为,dx,dy,dz
设四个面形心点的压强为单位质量力在三坐标上的分力为,fx,fy,fz
质量为：
依平衡条件：
11 c o s (,) 0
26x x n np d y d z f d x d y d z p A n x
1 1 1 0
2 6 2x x np d y d z f d x d y d z p d y d z
1 0
3x x np f d x p
nx pp?
同理有,ny pp?
nzx ppp,,p,y
dxdydz?61
nzyx pppp
nz pp?
当 dx,dy,dz均 → 0时
nzyz pppp
返回返回
p0=pa
已知,p0=98kN/m2，
h=1m，
求：该点的静水压强
h
解：
0
2 3 2
2
9 8 / 1 0 0 0 / 9,8 / 1 1 0 0 0
1 0 7,8 /
p p g h
k N m k g m m s m
k N m
p pa
在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？
该点所受到的有效作用力有多大？
例 1：如图已知,p0=98kN/m2,h=1m，
求：该点的绝对压强及相对压强
p0=pa
h
20 98 1 9.8 1 107.8 /p p gh k N m解：
2107.8 98 9.8 /ap p p k N m
例 2：如图已知,p0=50kN/m2,h=1m，
求：该点的绝对压强及相对压强
p0
h
解：
20 50 1 9,8 1 59,8 /p p gh k N m
259.8 98 38.2 /ap p p k N m
pa
相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？
返回
298 59,8 38,2 /kap p p k N m
依等压面的概念，在某等压面上必有 0dp?
依平衡微分方程即有,( ) 0x y zdp f dx f dy f dz
其中 x y zf d x f d y f d z f d s
所以在等压面上有 0f ds? f ds
即：等压面必与质量力正交返回依静水压强的基本公式,设某液体中有任意两点 1,2，则
0p p gh
2 0 2p p g h1 0 1p p g h
若这两点在同一等压面上，即 p1=p2,则必有 h1=h2
若这两点在同一水平面上，即 h1=h2,则必有 p1=p2
A
B
pa
Pa+ρgh
画出下列 AB或 ABC面上的静水压强分布图
0p p gh
相对 压强分布图
A
B
A
B
C
A
B
A
B
前进画出下列容器左侧壁面上的压强分布图返回返回如图所示，某挡水矩形闸门，门宽 b=2m，一侧水深 h1=4m，另一侧水深 h2=2m，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。
h1
h2
解法一,首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。
11
11 1 0 0 0 9,8 4 4 2 1 5 6 8 0 0 1 5 6,8
22PF b g h h b N k N左左
22
11 1 0 0 0 9,8 2 2 2 3 9 2 0 0 3 9,2
22PF b g h h b N k N右右
h1/3 h2/3
1 5 6,8 3 9,2 1 1 7,6P PPF F F k N左右 方向向右 →
e
依力矩定理,12
33P PP
hhF e F F
左右可解得,e=1.56m
答,该闸门上所受的静水总压力大小为 117.6kN，方向向右，
作用点距门底 1.56m处。 前进合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。
h1
h2
解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力
2 1 1 2( ) ( ) 1 1 7,6
2P
h h g h g hF b b k N方向向右依力矩定理：
e
1 2 22 ()[]
32P
h h hF e F h F
可解得,e=1.56m
1 2 1 2
1 ( ) ( ) 3 9,2
2F b g h h h h b k N
1 2 2( ) 7 8,4F b g h h h b k N
返回答：略返回一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径 R=1m，形心在水下的淹没深度 hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。
hchD
FP
解：
2 246P c cF p A gh R k N
4
4 8.03C
D C C
CC
R
IL L h m
L A h A
L
O
答：该闸门上所受静水总压力的大小为 246kN，方向向右，
在水面下 8.03m处。
一弧形闸门如图所示，闸门宽度 b=4m，圆心角 φ=45°,
半径 R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。
解：闸门前水深为
A
B
φ
h
O
R
s in 2 s in 4 5 1,4 1 4h R m
水平分力,1,4 1 4
9,8 1,4 1 4 4 3 9,1 92P x c x c xF p A g h A k N
铅直分力,211( ) 2 2,3 4
82PzF g V g R h h b k N
静水总压力的大小,22 4 5,1 1
P P x P zF F F k N
静水总压力与水平方向的夹角,a r c t a n 2 9,6 8Pz
Px
F
F?
α
静水总压力的作用点：
ZD
D
sin 2 sin 29,6 8 1DZ R m
答：略。 返回结束
液体平衡静止状态相对平衡状态工程应用 主要是确定水对水工建筑物的表面上的作用力。
主要内容,?静水压强及其特性
液体平衡微分方程式
重力作用下静水压强的基本公式
压强的计示、单位及量测
作用于平面上的静水总压力
作用于曲面上的静水总压力结束静水压强及其特性静止液体作用在与之接触的表面上的水压力称为 静水压力,用 FP表示。
T
G
FP
FP
面平均静水压强 PFp
A?
静水压强
0lim
P
A
Fp
A
单位,N/m2,kN/m2,Pa,kPa
前进静水压强的特性
1．静水压强垂直指向受压面
2,作用于同一点上各方向的静水压强的大小相等
M
×
B
证明表明任一点的静水压强仅是空间坐标的函数，
压强 p是一个标量，即 p = p ( x,y,z )
返回液体平衡微分方程式表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式形心点 A的压强为 p ( x,y,z )
dx
dz
dy
x
z
y
A
表面力：
2p dxp x 2p dxp xdydzdxxp )2( dydzdxxpp )2(
质量力：
ρfxdxdydz
ρfydxdydz
ρfzdxdydz
依平衡条件,0 xF
( ) ( ) 022 xp d x p d xp d y d z p d y d z f d x d y d zxx则整理化简得,xp fx
前进
x
p f
x?
y
p f
y?
z
p fz
Euler平衡微分方程式静水压强沿某一方向的变化率与该方向的单位体积质量力相等。
静水压强的分布规律是由单位质量力所决定的
()x y zdp f dx f dy f dzEuler平衡微分方程式返回重力作用下静水压强的基本公式只受重力作用,fx=0,fy=0,fz=-g
x
z
y
p0
A Z0
Z
()x y zdp f dx f dy f dz gd z
积分得,p
zcg
在液面上,z=z0,p=p0，则 0
0
pcz
g
故有 00()p p g z z
h
0p p gh
压强由两部分组成：
静水压强的基本公式液面上的气体压强 p0
单位面积上高度为 h的水柱重 ρgh举例返回压强的计示、单位及测量压强的计示绝对压强相对压强
ap p p
若将当地大气压强用 pa表示，则有
—— 指绝对压强小于大气压强的数值，
用 pk来表示
kap p p
举例举例
—— 以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，用 p′ 表示
—— 以当地大气压作为零点计量的压强，
用 p表示。
真空度（或真空压强）
压强的单位应力单位：
工程大气压单位：
液柱高度：
1个工程大气压
=98kN/m2
=10m水柱压
=736mm水银柱压前进等压面的概念由压强相等的点连成的面，称为等压面。等压面可以是平面，也可以是曲面。
等压面必与质量力正交
只受重力作用的连通的同一种液体内，等压面为水平面；反之，水平面为等压面。
可以 证明,
连通容器 连通容器 连通器被隔断前进水头和单位势能的概念前进
pzc
g
x
z
y
p0
A
Z
Z—— 位置水头，
p
g?
pz
g
—— 压强水头，
—— 测压管水头，
Apg?
静止液体内各点的测压管水头等于常数。
单位位能单位压能单位势能静止液体内各点的单位势能相等。
压强的测量 —— 利用静水力学原理设计的液体测压计
1.测压管
A
h
pa
B
ABp p gh sinAp gL
A h
L
α
2.U形水银测压计
A
ρ
ρm
h
b
Ap gb
3.差压计
A
B
s
△ h
()AAp g x h ()B B mp g s x g h=
A
Bs
△ h
油
()A A np g s x g h ()BBp g x h=
返回
mgh
作用于平面上的静水总压力图解法解析法 —— 适用于任意形状平面
0p p gh
—— 适用于矩形平面返回图解法 —— 作用于矩形平面上的静水总压力的计算静水压强分布图把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形，称为静水压强分布图。
的绘制规则：
1.按一定比例,用线段长度代表该点静水压强的大小
2.用箭头表示静水压强的方向,并与作用面垂直 举例静水总压力的大小,PFb
其中 b为矩形受压面的宽度；
Ω为静水压强分布图形的面积；
静水总压力的方向：垂直并指向受压面静水总压力的作用点（压力中心或压心）：通过压强分布体的重心（或在矩形平面的纵对称轴上，且应通过压强分布图的形心点）
举例返回解析法 —— 作用于任意形状平面上的静水总压力
α
hc
C
bC LCL
O （ b）
M（ b,L）dA
h
dFPsinPd F g h d A g L d A
s in
s in
PP
AA
A
F d F g L d A
g L d A
其中 为平面对 Ob轴的面积矩
sinP c cF g L A gh A
所以静水总压力的大小为
PcF p A?
其中 pc为受压面形心点的压强；
A为受压面的面积。
依力矩定理，
FP
D
D
2s i n s i nP D P
A A A
F L L d F L g L d A g L d A
其中 为平面对 Ob轴的面积惯性矩，记为
2
A
LdA?
2b c cI I L A
整理可得静水总压力的压心位置,c
Dc
c
ILL
LA
其中 Ic表示平面对于通过其形心点且与
Ob轴平行的轴线的面积惯性矩。
举例 返回作用于曲面上的静水总压力
h
水平分力 FPx
FPz铅直分力静水总压力
FP
b
大小,22P P x P zF F F
方向,与水平方向的夹角a rc ta n Pz
Px
F
F
作用点,过 FPx和 FPzx的交点，作与水平方向成 α角的线延长交曲面于 D点举例返回
曲面上静水总压力的水平分力等于曲面在铅垂投影面上的静水总压力。
A
B
A′
B′
A A A A A A A A E Fp A g h A g V
F E
c ABpA
RF
PF
B B B B B B B B F Gp A g h A g V
G
AABBgV
RxF
RzF
曲面上静水总压力的垂直压力等于压力体内的水体重。
压力体
P x c A B c A BF p A g h A
PzF gV
返回压力体应由下列周界面所围成：
（ 1）受压曲面本身
（ 2）自由液面或液面的延长面
（ 3）通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面
A
B
A
B
A
B
C
举例返回证明：取微小四面体，各直角边长分别为,dx,dy,dz
设四个面形心点的压强为单位质量力在三坐标上的分力为,fx,fy,fz
质量为：
依平衡条件：
11 c o s (,) 0
26x x n np d y d z f d x d y d z p A n x
1 1 1 0
2 6 2x x np d y d z f d x d y d z p d y d z
1 0
3x x np f d x p
nx pp?
同理有,ny pp?
nzx ppp,,p,y
dxdydz?61
nzyx pppp
nz pp?
当 dx,dy,dz均 → 0时
nzyz pppp
返回返回
p0=pa
已知,p0=98kN/m2，
h=1m，
求：该点的静水压强
h
解：
0
2 3 2
2
9 8 / 1 0 0 0 / 9,8 / 1 1 0 0 0
1 0 7,8 /
p p g h
k N m k g m m s m
k N m
p pa
在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大？
该点所受到的有效作用力有多大？
例 1：如图已知,p0=98kN/m2,h=1m，
求：该点的绝对压强及相对压强
p0=pa
h
20 98 1 9.8 1 107.8 /p p gh k N m解：
2107.8 98 9.8 /ap p p k N m
例 2：如图已知,p0=50kN/m2,h=1m，
求：该点的绝对压强及相对压强
p0
h
解：
20 50 1 9,8 1 59,8 /p p gh k N m
259.8 98 38.2 /ap p p k N m
pa
相对压强为什么是负值？ 什么位置处相对压强为零？
返回
298 59,8 38,2 /kap p p k N m
依等压面的概念，在某等压面上必有 0dp?
依平衡微分方程即有,( ) 0x y zdp f dx f dy f dz
其中 x y zf d x f d y f d z f d s
所以在等压面上有 0f ds? f ds
即：等压面必与质量力正交返回依静水压强的基本公式,设某液体中有任意两点 1,2，则
0p p gh
2 0 2p p g h1 0 1p p g h
若这两点在同一等压面上，即 p1=p2,则必有 h1=h2
若这两点在同一水平面上，即 h1=h2,则必有 p1=p2
A
B
pa
Pa+ρgh
画出下列 AB或 ABC面上的静水压强分布图
0p p gh
相对 压强分布图
A
B
A
B
C
A
B
A
B
前进画出下列容器左侧壁面上的压强分布图返回返回如图所示，某挡水矩形闸门，门宽 b=2m，一侧水深 h1=4m，另一侧水深 h2=2m，试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力。
h1
h2
解法一,首先分别求出两侧的水压力，然后求合力。
11
11 1 0 0 0 9,8 4 4 2 1 5 6 8 0 0 1 5 6,8
22PF b g h h b N k N左左
22
11 1 0 0 0 9,8 2 2 2 3 9 2 0 0 3 9,2
22PF b g h h b N k N右右
h1/3 h2/3
1 5 6,8 3 9,2 1 1 7,6P PPF F F k N左右 方向向右 →
e
依力矩定理,12
33P PP
hhF e F F
左右可解得,e=1.56m
答,该闸门上所受的静水总压力大小为 117.6kN，方向向右，
作用点距门底 1.56m处。 前进合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和。
h1
h2
解法二：首先将两侧的压强分布图叠加，直接求总压力
2 1 1 2( ) ( ) 1 1 7,6
2P
h h g h g hF b b k N方向向右依力矩定理：
e
1 2 22 ()[]
32P
h h hF e F h F
可解得,e=1.56m
1 2 1 2
1 ( ) ( ) 3 9,2
2F b g h h h h b k N
1 2 2( ) 7 8,4F b g h h h b k N
返回答：略返回一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径 R=1m，形心在水下的淹没深度 hc=8m，试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力。
hchD
FP
解：
2 246P c cF p A gh R k N
4
4 8.03C
D C C
CC
R
IL L h m
L A h A
L
O
答：该闸门上所受静水总压力的大小为 246kN，方向向右，
在水面下 8.03m处。
一弧形闸门如图所示，闸门宽度 b=4m，圆心角 φ=45°,
半径 R=2m，闸门旋转轴恰与水面齐平。求水对闸门的静水总压力。
解：闸门前水深为
A
B
φ
h
O
R
s in 2 s in 4 5 1,4 1 4h R m
水平分力,1,4 1 4
9,8 1,4 1 4 4 3 9,1 92P x c x c xF p A g h A k N
铅直分力,211( ) 2 2,3 4
82PzF g V g R h h b k N
静水总压力的大小,22 4 5,1 1
P P x P zF F F k N
静水总压力与水平方向的夹角,a r c t a n 2 9,6 8Pz
Px
F
F?
α
静水总压力的作用点：
ZD
D
sin 2 sin 29,6 8 1DZ R m
答：略。 返回结束
