第六章 扩散
Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散来进行，因而研究扩散特别重要。物质内部的原子依靠热运动使其中能量高的部分脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。
大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律
Fick’s First Law
一、扩散现象两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间，
发现浓度分布发生变化。
浓度距离 x
x
C=C2 C=C1
C2>C1
C1
C2 原始状态二、菲克第一定律 （ Fick –1855）
菲克（ A,Fick）于 1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散流量 J与浓度梯度 dC/dx成正比。其数学表达式为：
式中,J为扩散流量； D为扩散系数； dC/dx为体积浓度梯度；
负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反。
dx
dCDJ
第二节 扩散的原子模型
Diffusion Model
如图,设 1面和 2面的横截面积均为 A,分别含溶质原子 n1和 n2，
原子跳动频率均为 v,1,2之间晶面间距为 a,而且由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的几率 P相同,（ 如对简单立方 P=1/6）
则在时间间隔 dt内由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的溶质原子数分别为
N1-2=n1Pvdt N2-1= n2Pvdt
1 2
设 n1>n2,则及 2净增加的溶质原子摩尔数为
Jdt=（ n1－ n2） Pvdt 所以,J=（ n1－ n2） Pv
选用体积浓度 C=溶质摩尔数 /体积,所以,1面和 2面上的溶质原子体积浓度分别为,C1=n1/a； C2=n2/a
而从连续分布来看,2面上的溶质体积浓度又可表示为：
代入前面式中,有：
所以：
与菲克第一定律对比，可知,D=－ a2Pv
adxdCCC 12
2
12 adx
dCnn
dx
dCPvaPv)nn(J 2
21
第三节 扩散第二定律
Fick’s Second Law
一、随时间变化的扩散方程如图,某一时间间隔 dt内流入和流出微小体积的物质扩散流量分别为 J1和 J2，
横截面积为 A,由于：
物质在微小体积内的积存速率 =
也可用体积浓度的变化率来表示,在微小体积 Adx内的物质积存速率为：
dx
J1 J2
12 Jdxx
JJ?
A d xxJAJAJ 21
A d xtCt )C A d x(
代入前式,约去 Adx,有：
将扩散第一定律代入,有：
若 D为常数，则：
这就是一维条件下的菲克第二定律。
对于三维问题,有：
通常将扩散系数 D看成常数。
x
J
t
C
)xCD(ttC
2
2
x
CD
t
C
)zCD(z)yCD(y)xCD(xtC zyx
扩散第二方程的解主要介绍误差函数解。主要适用于无限长棒或半无限长棒的扩散问题。
如图，其初始条件为：
t=0,x>0,C=C1，
x<0,C=C2，
边界条件为：
x=+∞ C=C1；
x=-∞ C=C2
浓度距离 x
x
C=C2 C=C1C2>C1
C1
C2 原始状态
0
由用特殊函数方法解偏微分 方程。假定所以代入：
解：
则：
上述积分函数称为误差函数 erf（ β ），其定义为：
2
2
x
CD
t
C
)z(C)Dtx(CC 2
t
xz?
dz
dC
t
z
ttD
x
z
C
t
z
z
C
t
C
22
1
2
tdz
Cd)
x
z(
z
C
x
C 1
2
22
2
2
2
2?
tdz CdDdzdCtz 12 22
BzdeAC z )D/z(0 42
0 20 222 Dt/x' BdeABdeDAC
0 22 de)(e r f
可以证明,erf（ ∞ ） =1； erf（ － β ） =－ erf（ β ）
代入初始条件：
t=0,x>0,C=C1,β =∞ ； x<0,C=C2,β =－ ∞
∵ erf(∞ )=1； ∴
代入：
解得：
代入原式：
式中可以看出,在 x=0处,保持不变 。
若考虑半无限长,一端为固定浓度 C0,棒的原始浓度为 0,则该式变为：
举例：钢的渗碳
0 22 de
BAC ' 21? BAC ' 22?
2
2 21'
CCA
2
21 CCB
)2(22222 2/0 21212121 2Dtx Dtxer fCCCCdeCCCCC
2 21
CCC
)]2(1[2 0 Dtxer fCC
前面介绍扩散的原子模型时,只考虑了原子跳动频率,但是原子跳动是与温度有关的,本节就是考虑原子跳动与温度的关系 。
考虑间隙固溶体的情况，
间隙原子扩散一般都是从一个间隙位置跳动到另一个间隙位置，即发生间隙扩散。
从 1跳到 2位置，需要挤开旁边的两个原子，所以产生阻力，形成所谓,能垒,,只有部分自由能超过 G2-G1的原子才能发生跳动。
第四节 扩散与温度的关系
The Relation Between Diffusion and Temperature
1
2
根据麦克斯韦 —波尔兹曼定律,在 N个溶质原子中,自由能大于
G2的原子数为：
n（ G>G2） =Ne－ G2/kT
同样,自由能大于 G1的原子数为：
n（ G>G1） = Ne － G1/kT
则：
由于 G1是处于平衡位置即最低自由能,所以 n（ G>G1） = N,则上式可以写成,n（ G>G2） =e－ （ G2-G1） /kT=e－ ΔG/kT
综合前面扩散第一定律的公式,有,D=D0e－ ΔE/kT
这就是扩散系数与温度之间的关系。
G2
G1
1 2
位置
kTGGe
GGn
GGn /)(
1
2 12
)(
)(
Diffusion
在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散来进行，因而研究扩散特别重要。物质内部的原子依靠热运动使其中能量高的部分脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。
大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁移现象，是物质传输的一种形式。
第一节 扩散第一定律
Fick’s First Law
一、扩散现象两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间，
发现浓度分布发生变化。
浓度距离 x
x
C=C2 C=C1
C2>C1
C1
C2 原始状态二、菲克第一定律 （ Fick –1855）
菲克（ A,Fick）于 1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散流量 J与浓度梯度 dC/dx成正比。其数学表达式为：
式中,J为扩散流量； D为扩散系数； dC/dx为体积浓度梯度；
负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反。
dx
dCDJ
第二节 扩散的原子模型
Diffusion Model
如图,设 1面和 2面的横截面积均为 A,分别含溶质原子 n1和 n2，
原子跳动频率均为 v,1,2之间晶面间距为 a,而且由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的几率 P相同,（ 如对简单立方 P=1/6）
则在时间间隔 dt内由晶面 1跳到晶面 2及由晶面 2跳到晶面 1的溶质原子数分别为
N1-2=n1Pvdt N2-1= n2Pvdt
1 2
设 n1>n2,则及 2净增加的溶质原子摩尔数为
Jdt=（ n1－ n2） Pvdt 所以,J=（ n1－ n2） Pv
选用体积浓度 C=溶质摩尔数 /体积,所以,1面和 2面上的溶质原子体积浓度分别为,C1=n1/a； C2=n2/a
而从连续分布来看,2面上的溶质体积浓度又可表示为：
代入前面式中,有：
所以：
与菲克第一定律对比，可知,D=－ a2Pv
adxdCCC 12
2
12 adx
dCnn
dx
dCPvaPv)nn(J 2
21
第三节 扩散第二定律
Fick’s Second Law
一、随时间变化的扩散方程如图,某一时间间隔 dt内流入和流出微小体积的物质扩散流量分别为 J1和 J2，
横截面积为 A,由于：
物质在微小体积内的积存速率 =
也可用体积浓度的变化率来表示,在微小体积 Adx内的物质积存速率为：
dx
J1 J2
12 Jdxx
JJ?
A d xxJAJAJ 21
A d xtCt )C A d x(
代入前式,约去 Adx,有：
将扩散第一定律代入,有：
若 D为常数，则：
这就是一维条件下的菲克第二定律。
对于三维问题,有：
通常将扩散系数 D看成常数。
x
J
t
C
)xCD(ttC
2
2
x
CD
t
C
)zCD(z)yCD(y)xCD(xtC zyx
扩散第二方程的解主要介绍误差函数解。主要适用于无限长棒或半无限长棒的扩散问题。
如图，其初始条件为：
t=0,x>0,C=C1，
x<0,C=C2，
边界条件为：
x=+∞ C=C1；
x=-∞ C=C2
浓度距离 x
x
C=C2 C=C1C2>C1
C1
C2 原始状态
0
由用特殊函数方法解偏微分 方程。假定所以代入：
解：
则：
上述积分函数称为误差函数 erf（ β ），其定义为：
2
2
x
CD
t
C
)z(C)Dtx(CC 2
t
xz?
dz
dC
t
z
ttD
x
z
C
t
z
z
C
t
C
22
1
2
tdz
Cd)
x
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z
C
x
C 1
2
22
2
2
2
2?
tdz CdDdzdCtz 12 22
BzdeAC z )D/z(0 42
0 20 222 Dt/x' BdeABdeDAC
0 22 de)(e r f
可以证明,erf（ ∞ ） =1； erf（ － β ） =－ erf（ β ）
代入初始条件：
t=0,x>0,C=C1,β =∞ ； x<0,C=C2,β =－ ∞
∵ erf(∞ )=1； ∴
代入：
解得：
代入原式：
式中可以看出,在 x=0处,保持不变 。
若考虑半无限长,一端为固定浓度 C0,棒的原始浓度为 0,则该式变为：
举例：钢的渗碳
0 22 de
BAC ' 21? BAC ' 22?
2
2 21'
CCA
2
21 CCB
)2(22222 2/0 21212121 2Dtx Dtxer fCCCCdeCCCCC
2 21
CCC
)]2(1[2 0 Dtxer fCC
前面介绍扩散的原子模型时,只考虑了原子跳动频率,但是原子跳动是与温度有关的,本节就是考虑原子跳动与温度的关系 。
考虑间隙固溶体的情况，
间隙原子扩散一般都是从一个间隙位置跳动到另一个间隙位置，即发生间隙扩散。
从 1跳到 2位置，需要挤开旁边的两个原子，所以产生阻力，形成所谓,能垒,,只有部分自由能超过 G2-G1的原子才能发生跳动。
第四节 扩散与温度的关系
The Relation Between Diffusion and Temperature
1
2
根据麦克斯韦 —波尔兹曼定律,在 N个溶质原子中,自由能大于
G2的原子数为：
n（ G>G2） =Ne－ G2/kT
同样,自由能大于 G1的原子数为：
n（ G>G1） = Ne － G1/kT
则：
由于 G1是处于平衡位置即最低自由能,所以 n（ G>G1） = N,则上式可以写成,n（ G>G2） =e－ （ G2-G1） /kT=e－ ΔG/kT
综合前面扩散第一定律的公式,有,D=D0e－ ΔE/kT
这就是扩散系数与温度之间的关系。
G2
G1
1 2
位置
kTGGe
GGn
GGn /)(
1
2 12
)(
)(
