习题课一、本章要点
1.极限；
2.极限的运算法则，两个重要极限；
3.无穷小与无穷小的比较；
4.连续函数．
1.极限数列的极限当有lim 0,,
n
n
xa NnNε
→∞
= >? >
.
n
xaε? <
函数的极限
( )
.fx A ε? <
0
lim ( ) 0,,0 -
xx
fx A xxε δδ
→
=>? < <
当有⑴
( )
.fx A ε? <
lim ( ) 0,,
x
fx A X x Xε
→∞
=>? >
当有
⑵
单侧极限
0
0
lim ( ) 0,,0
xx
fx A x xε δδ
→
=>? <? <当有
( )
.fx A ε? <
0
0
lim ( ) 0,,0
xx
fx A x xε δδ
+
→
= >? <? <当有
( )
.fx A ε? <
定理
( )()( )
0
00
lim lim lim,
xx
xx xx
fx A fx fx A
+
→
→→
=?==
lim ( ) 0,0,
x
fx A X x Xε
→?∞
=>? > <?当有
( )
.fx A ε? <
lim ( ) 0,0,
x
fx A X x Xε
→+∞
=>? > >
当有
( )
.fx A ε? <
定理
( ) ( ) ( )
lim lim lim,
xxx
fx A fx fx A
→∞ →?∞ →+∞
=?==
2.极限运算法则，两个重要极限设则
( ) ( )
lim,lim,
xx
fx A gx B= =
⑴
( ) ( )()( )
lim lim lim,
x
fx gx fx gx AB± =±=±

⑵
() () () ()
lim lim lim,
xx
f x g x f x g xAB

=?=


⑶若0,B ≠
()
()
()
()
lim
lim,
lim
x
x
x
fx
fx
A
gx gx B
= =
( )
00
xx x u?≠? ≠
⑷设且
( ) ( )
0
0
lim,lim,
uu x
f uA xu?
→
==
，则
( )
0
lim,
xx
f xA?
→
=

极限存在准则准则1(夹逼定理) 设函数在的某一邻域内满足：
⑴
⑵则
( ) ( ) ( )
,,fxgxhx
0
x
( ) ( ) ( )
,fx gx hx≤≤
( ) ( )
lim lim,
xx
fx hx A= =
( )
lim,
x
fx A=
准则2 单调有界必有极限．
两个重要极限极限1
0
sin 1
lim lim sin 1.
xx
x
x
xx
→→∞
= =
极限2
()
1
0
1
lim 1 lim 1,
x
x
xx
xe
x
→∞ →

+ =+=


3.无穷小与无穷小的比较无穷小若则称为无穷小．
lim 0,
x
α = α
设为无穷小，若
⑴为的高阶无穷小，记作
,α β
lim 0,
x
α
α β
β
=
( )
.oα β=
⑵则称是的同阶无穷小；
lim 0,
x
c
α
β
= ≠ α β
⑶则称是的等价无穷小,记作．
lim 1,
x
α
β
=
α β～
α β
当时，常用的等价无穷小：0x →
sin tan arcsin
arctan 1 ln(1 ).
x
xxx x
xe x? +
～～～
～～～
()
2
1
1cos,1 1,
2
xx x x
α
α?+?
4.连续函数
⑴函数在处连续
( )
fx
0
x
( ) ( )
0
lim ;
x
fx fx
→∞
=
0
lim 0;
x
y
→
=
0
0,0,xxε δδ >? >? <当有
( )
lim,
x
fx A=
⑵单侧连续左连续
( ) ( )
0
0
lim,
xx
fx fx
→
=
右连续
( ) ( )
0
0
lim,
xx
fx fx
+
→
=
定理函数在点连续在点既是左连续的又是右连续的．
( )
0
fx x
( )
0
fx x
⑶间断点及间断点的分类若函数在点不连续，则称为函数的间断点．( )
0
fx x
0
x
设为的间断点：
0
x
( )
fx
①存在为可去间断点；( )
0
0
lim,
xx
f xx
→
②
( ) ( )
00;fx fx?≠ +
第一类间断点．
③至少有一不存在．第二类间断点．
( ) ( )
00
0,0fx fx? +
定理初等函数在定义域内为连续函数．
闭区间上连续函数的性质设则
( ) [ ]
,,f xCab∈
①在闭区间上可取到最大值和最小值，从而有界．
()
f x
②在闭区间上可取到介于最大值和最小值中的一切值．
()
f x
③若
()( )()( )
0,,0.fafb ab fξξ< ∈ ∧ =
二、例题选讲例1 证明
2
2
5
lim 1.
1
n
nn
nn
→∞
+
=
+?
2
222
526 2
1,
11
nn n n
nn nn n n
ε
+?
=<=<
+? +?
证因
0,ε?>
故，取当时，有
1
,3,NnN
ε

= >


2
2
5
1,
1
nn
nn
ε
+
<
+?
即
2
2
5
lim 1.
1
n
nn
nn
→∞
+
=
+?
例2 证明
2
2
219
lim,
24
x
xx
x
→
++
=
+
证因0,ε?>
()
( )( )
()
22
47 2
219 4 14
2 4 42 42
xx
xx xx
x
+?
++
= =
+
取当即时，有
1
1,δ = 021,13xx<?< <<
( )( )
()
47 2
52,
42
xx
x
x
ε
+?
<?<
+
令当时，有
min 1,,
5
ε
δ

=


02x δ<?<
( )( )
()
2
47 2
219
,
24 42
xx
xx
ε
+?
++
=<
即：
2
2
219
lim,
24
x
xx
x
→
++
=
+
例3 设证明
lim,
n
n
xa
→∞
=
12
lim,
n
n
xx x
a
n
→∞
+ ++
=
null
证因故当时，有
lim,
n
n
xa
→∞
=
11
0,0,NnNε? >?> >
,
2
n
xa
ε
<
12
12
n
n
xx xna
xx x
a
nn
+++?
+++
=
null
null
11
12
12 1
n
NN n
xaxa xa
n
xaxa x a x a xa
nn
+
+?++?
≤
+?++++?
=+
…
……
因为有界量，故可取当时，有
12 N
xaxa x a?+?++?…
22
,NnN>
1
12
,
2
N
xaxa x a
n
ε
+?++?
<
…
由此，取当时有
{ }
12
max,,NNNnN= >
11
12
12 1
1
22
n
NN n
xx x
a
n
xaxa x a x a xa
nn
nN
n
εε
ε
+
+++
+?++++?
≤+
≤+ <
……
即
12
lim,
n
x
xx x
a
n
→∞
+ ++
=
null
例4 设数列满足其中证明：
{ }
n
x ( )
1
1,2,,
nn
xqxn
+
≤=null
01,q<<
lim 0.
n
n
x
→∞
=
证由条件，得令则有
11
,,
nn
nn
xqx y qx

≤=
0,
nn
xy≤≤
又因，
lim 0,
n
n
y
→∞
=
由夹逼定理，得，
lim 0.
n
n
x
→∞
=
例5 求常数
2
2
2
lim 2,
2
x
xaxb
xx
→
++
=

,.ab
解令( )()
2
,20 2 4,fx x axbf b a= ++ =?=
故
( ) ( )( )
22,fx x x a=? ++
原式为
2
2
22
24
lim lim 2,
213
xx
xaxb x a a
xx x
→→
++ ++ +
= ==
+
2,8.ab?==?
例6 求
( )
2
lim 1 1,,.
x
xaxbx ab
→+∞
++=
解
( )
22
2
2
1
lim 1 lim 1,
1
xx
xaxbx
xaxbx
xaxbx
→+∞ →+∞

++= =
+++
1,a?=
( )
2
2
1
lim 1 lim 1.
1
xx
bx
xaxbx
xxbx
→+∞ →∞

++= =
+++
2.b?=?
例7 求极限
() ()
222
11 1
lim,
12
n
n
nn
→∞

+++

+


null
解令
() ()
222
11 1
,
12
n
S
n
nn

=+ ++

+


null
则，
() ()
222
1
,lim lim 0,
n
nn
nnn
S
→∞ →∞
< ≤==
得
lim 0.
n
n
S
→∞
=
例8 设求
12
0,lim,
nn n
n
km
n
aaaa
→∞
≥++null
解设{ }
12
max,,,
sm
aaaa= null
则：
12
,
nn n n
n
s
aaa aam≤+++≤null
又
12
lim 1,lim,
nn nn
n
ms
nn
maaaa
→∞ →∞
=?++=
例9 设数列满足
{ }
n
x
( )
22
1
01,21,2,
nn nn
xx xxn
+
<< =?+ = null
证由条件
( )( )
()
22
111
2
22 2 10,
nnnnnn
nn nn
xxxxxx
xx xx
+++
= +?
=? + = >
证明：存在，并求此极限．
lim
n
x
x
→∞
即：数列是单调上升的．又故数列的极限存在，设其为
{ }
n
x
1,
n
x <
,0.aa?≥
原式两边取极限，得
22
2,1,0aaaaa=?+?= =
(舍去)．
即：
lim 1.
n
x
x
→∞
=
例10 设
()
11
1
0,0,1,2,,
2
nn
n
A
Ax x x n
x
+

>> = + =


null
⑴证明数列单调下降且有下界；
⑵求
{ }
n
x
lim,
n
n
x
→∞
证先证
( )
2,3,.
n
xAn≥=null
因：
2
11
21
11 1
1112
,
22
AxAxA
xx A
xx x

+
=+= ≥ =


若设
,
n
xA≥
则
2
1
1112
,
22
nn
nn
nn n
AxAxA
xx A
xx x
+

+
=+= ≥ =


所以，
( )
2,3,.
n
xAn≥=null
2
1
11
0,
22
n
nn n
nn
AAx
xx x
xx
+

=?= <


即，数列单调下降且有下界，故存在，设其为,则
{ }
n
x
lim
n
n
x
→∞
a
由两边取极限，得
1
1
,
2
nn
n
A
xx
x
+

=+


1
,.
2
A
aa aA
a

=+?=


lim,
n
n
xA
→∞
=
即：
例11
3
12cos
lim,
sin
3
x
x
x
π
π
→



解因
1
1 2cos 2 cos 2 cos cos
23
33
22sin sin,
22
xx x
xx
π
ππ

=?=?



+?

=?


故，原式为
()
33
sin / 2
12cos
3
3
lim lim 2sin
2
sin sin / 2
33
2sin 3.
3
xx
x
x
x
ππ
π
π
ππ
π
→→

+


=




==
例12 求极限
2
2
2
1
lim,
1
x
x
x
x
→∞


+

解2
2
2
2
22
2
1
2
2
2
12
lim lim 1
11
2
lim 1,
1
x
x
xx
x
x
x
e
x
→∞ →∞
+
→∞


=?


++





=? =

+


例13 求极限
()
1
2
/2
lim 1 cos,
x
x
x
π
π
→
+
解令
,,0,cossin sin,
22 2
xtx t x t t
ππ π

=+ →?→ = +=?


故原式为
() ()
11
1
2
/2
lim 1 cos lim 1 sin,
xt
xx
e
π
π
→→∞
+=?=
例14 求极限
()
1
0
lim sin cos,
x
x
xx
→
+
解因
11
sin cos 2 cos sin 2sin
4
22
1cos2,1cos2 1sin2,
42
xx x x x
xxx
π
ππ


+= + = +




=? + =? + =+



所以，原式的极限为
()()
()
11
2
00
sin 2
1
2
sin 2
0
lim sin cos lim 1 sin 2
lim 1 sin 2,
xx
xx
x
x
x
x
xx x
xe
→→
→
+=+

=+ =


例15 求极限
()
1/
0
lim 0,0,0,
3
x
xxx
x
abc
abc
→

++
>>>


解
1/ 1/
00
111
3
3
111
0
111
lim lim 1
33
111
lim 1,
3
xxx
xxx
xx
xxx x x x
abc
x
xxx
abc
x
abc a b c
abc
→→
+?+?
+?+?
→

++?+?+?
=+




+?+?

=+



注意到：
000
111
lim ln,lim ln,lim ln,
xxx
abc
abc
→→→

===
故原极限为
1
ln
3
3
0
lim,
3
x
xxx
abc
x
abc
e abc
→

++
==


例16 确定使
,α
1
1tan 1sin,
4
xxx
α
+?+～
解
()
()
()
00
0
2
1
1
00
1 tan 1 sin tan sin
lim lim
1tan 1sin
sin 1 cos
lim
cos 1 tan 1 sin
1
1cos
1
2
lim lim,
24
1tan 1sin
xx
x
xx
xx xx
x
xxx
xx
xx x x
x
x
x
x
α
α
α
α
α
→→
→
→→
+?+?
=
+++
=
+++
===
+ ++
由此得
3.α =
例17 指出当时，是的几阶无穷小？
0x→+
xxx++
x
解考虑极限
1
1/4
4
00
1/8 1/4 1/4
0
1
lim lim
1
lim 1,
xx
x
xxx xx x
xx
xx x
x
αα
α
→+ →+
→+
++ + +
=
++
==
1
.
8
α?=
例18 设
1
1 0
( ) 2 0,
1
1 sin 0
x
ex
fx x
xx
x
+ <
= =
+>
讨论的连续性．
()
f x
解当时，显然为连续函数；又因
0x ≠ ( )
f x
() ()
1
00
0lim lim 11,
x
xx
ffxe
→? →?

==+=


()
00
11
lim 1 sin 1 lim sin 1 0,
xx
xxf
→+ →+

+=+ =≠


所以为第一类可去间断点．0x =
例19 设函数在内连续，求
()
21 2
2
lim
1
n
n
n
xaxbx
fx
x
→∞
++
=
+
,.ab
( )
,?∞+∞
解当时，1x >
()
21 2
2
1
lim,
1
n
n
n
xaxbx
fx
xx
→∞
++
= =
+
当时，
1x <
()
21 2
2
2
lim,
1
n
n
n
xaxbx
f x ax bx
x
→∞
++
==+
+
将代入到的表达式中，得
1,1xx==?
( )
f x
( )
()
11,
0,1.
fab
ab
fab
=+=?
= =
=?=?
在定义域内是否连续？
例20 设函数，问
()
( )
()
ln
lim 0
nn
n
xe
fx x
n
→∞
+
= >
( )
f x
解当时，1x >
()
()
ln ln 1
ln
lim lim
ln,
n
n
nn
nn
e
x
xe x
fx
x
→∞ →∞


++


+


==
=
当时，
xe<
()
()
ln ln 1
ln
lim lim
1,
n
n
nn
nn
x
e
xe e
fx
→∞ →∞


++


+


==
=
()
( )
ln
ln 2 ln
lim lim 1,
nn
n
nn
ee
e
fe
→∞ →∞
+
+
= ==
故为定义域内的连续函数．
()
f x
例21 若函数在闭区间上连续，且证明：至少存在一点使得
( )
f x
[ ]
,ab
( )
,f aa<
( )
,fb b>
( )
,,abξ∈
( )
.f ξ ξ=
证做函数
( ) ( ) ( ) [ ]
,,,Fx f xxFxCab=∈
因
() ( )()( )
0,0,Fa fa a Fb fb b=?< =?>
由零点定理，知存在使得即
( )
,,abξ∈
( )
0,F ξ =
( )
.f ξ ξ=
例22 设函数且存在，证明：可以取到介于和之间但不等于和之间的一切值．
( ) ( )
,,f xCab∈
( ) ( )
0,0fa fb+?
( )
f x
( ) ( )
0 0fa fb+?
( ) ( )
0 0fa fb+?
证令并设定义
( ) ( )
0,0,fa Afb B+ =?=
,A B<
()
( ),
Bxb
F x f xaxb
Axa
=
= <<
=
则由介值定理，知
()
[,],F xCab∈
,cA c B? <<
( ) ( )
,,,ab F cξξ? ∈=
因( ) ( ) ( )
,,,ab F fξ ξξ∈?=
即：
( )
.fcξ =