第二单元二重积分的计算一、本单元的内容要点
1.直角坐标下二重积分的计算；
2.极坐标下二重积分的计算；
3.二重积分的换元法。
二、本单元的教学要求掌握二重积分在各种坐标下的积分方法。
利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分的关键是将二重积分化为二次积分。
由二重积分的几何意义知：当f (x,y)>0 时，二重积分表示为曲顶柱体的体积。若立体在xoy平面上的投影为
D，则由平行截面面积为以知的体积计算公式，得
(),
b
a
VAxdx=
∫
其中a,b为区域D在x轴上投影的左、右端点，而A(x)为过x而垂直于x轴的平面与立体的截面。而截面面积为
2
1
()
()
() (,),
x
x
A xfxyd
=
∫
从而
2
1
()
()
() (,),
bbx
aa
VAxdxdx fxydy
==
∫∫∫
1.先y后x的积分在上面的讨论中，看到一个二重积分可以化为二次积分，一般情况如何？
设区域D满足如下条件：过区域D的内部而平行于y轴的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为
X型区域。非x型区域可以转化成若干个x型区域的并，故只需讨论
x型区域的积分问题。如图是一个
x型区域.
y
x
o
D
而下图的区域是非x型区域，但可以划分成三个x型区域。
y D
D
1
D
2
D
3
o
x
积分方法：1.将区域投影至x轴，得区间[a,b];
2.以x=a,x=b将区域的边界分割成曲线y=?
1
(x),y=?
2
(x);
则
y
x
o
D
ab
y=?
1
(x)
y=?
2
(x)
2
1
()
()
(,) (,),
bx
ax
D
f x y ddxf x y dy
σ =
∫∫ ∫ ∫
2.先x后y的积分同理，将区域投影至y轴上，得区间[c,d]，以及左、
右曲线x=φ
1
(y)，x=φ
2
(y)，则
2
1
()
()
(,) (,),
dx
cx
D
f x y ddyfx y dx
φ
φ
σ =
∫∫ ∫ ∫
y
x
o
D
c
d
x= φ
1
(y)
x= φ
2
(y)
例化下列积分为两个二次积分。
{ }
1,(,) (,),.
D
fxydxdy D xya x bc y d=≤≤≤≤
∫∫
解如图所示，区间为[a,b]，左、右曲线为y=c，y=d，
故：
(,) (,)
(,)
bd
ac
D
db
ca
f x y ddxf x y dy
dy f x y dx
σ =
=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
oa b
c
d
{ }
2,(,) (,)0 1,0 1,
D
fxydxdy D xy x y x=≤≤≤≤?
∫∫
解将区域投影至x上,得区间[0,1],及曲线y=0,y=1-x。
因而积分为：
11
00
(,) (,),
x
D
f x y ddxf x y dyσ
=
∫∫ ∫ ∫
y
11
00
(,),
y
dyfx y dx
=
∫∫
x+y=1
o x
{ }
3,(,) (,) 0 1,0,
D
fxydxdy D xy x y x=≤≤≤≤
∫∫
解由投影得
1
00
1
00
(,) (,)
(,),
x
D
y
f x y ddxf x y dy
dy f x y dx
σ =
=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
o 1
y=x
{ }
3,(,) (,) 1,
D
fxydxdy D xy x y= +≤
∫∫
y
x
o
1xy+ =
1xy+ =? 1xy? =
1xy? =?
01
11
11
01
01
11
11
01
(,) (,)
(,)
(,)
(,),
x
x
D
x
x
y
y
y
y
f x y ddxf x y dy
dx f x y dy
dy f x y dx
dy f x y dx
σ
+
+
=
+
=
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
∫∫
4,(,),
D
f x y dxdy
∫∫
D由x+1=2y
2
，x=2-y
2
围成的。
解为求出投影区域，先求出交点坐标。联立方程得
2
2
12
,1,1.
2
xy
xy
xy
+=
= =±
=?
x
y
o 1
x+1=2y
2
x=2-y
2
-12
所以
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
22 12
12 1 1
(,) (,)
(,) (,),
x
x
D
xy
fxydxdy dx fxydy
dx f x y dy dyfx y dx
+
+
=
+=
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
例交换下列积分次序
2
1
00
1,(,),
x
dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
1
00
11
0
(,)
(,),
x
y
dx f x y dy
dy f x y dx=
∫∫
∫∫
x
y
o
D
2
,yxx y==
1
2
22
1
61
4
2,(,),
x
x
dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
22
1
61
4
021
121
82
021
(,)
(,)
(,),
x
x
y
y
y
y
dx f x y dy
dy f x y dx
dy f x y dx
+
+
+
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
x+y=2
2
1
1,2 1
4
yxx y=?=± +
8
-1
-6
132
0
3,(,),
y
y
dy f x y dσ
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
132
0
1
00
1
3(3)
2
10
(,)
(,)
(,),
y
y
x
x
dy f x y d
dx f x y dy
dx f x y dy
σ
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
(1,1) x
+
2
y
=
3
y
=
x
2
例3 求下列二重积分
1,其中D由x-y=0,x+y =0,x=1围成。()
D
xy x y dσ?
∫∫
x
y
o
x-y
=0
x+y
=0
解由对称性得。
2
0
D
xydσ =
∫∫
故原积分为
1
2
00
1
4
0
() 2
22
.
315
x
D
xy x y ddy dy
xdx
σ?=
==
∫∫ ∫ ∫
∫
2.求，其中D由x=2,y=x,xy=1围成。
2
2
D
x
d
y
σ
∫∫
解
22
2
1
1
x
x
D
xx
dddy
yy
σ =
∫∫ ∫ ∫
x
y
o
1xy =
2x =
yx=
()
2
22
3
11
1
x
x
x
dx x x dx
y
=? =?+
∫∫
2
42
1
11 119
42,
42 422
xx
=? =+=
3,()
{}
2
,,1 1,0 2,
D
yxd D xy x xσ?=?≤≤
∫∫
x
y
o
2
yx=
1
D
2
D
解
12
222
DDD
y xd y xd y xdσ σσ?=?+?
∫∫ ∫∫ ∫∫
()
2
2
1
2
3
12 1
2
22
00
4
2
3
x
D
x
yxd dx yxdy yx dxσ?=?=?
∫∫ ∫ ∫ ∫
()
3
1
2
224
4
00
44
cos
33
xdx tdt
π
=?=
∫∫
()
2
2
44
00
16 1 cos 2 4
1cos2
32 3
t
dt t dt
ππ
+
==+
∫∫
4
4
0
0
43 cos4 43
2cos2 sin2
32 2 324
1
2
t
td t
π
π
π
π
=++ =+
=+
∫
()
2
2
2
3
11
2
22
00 0
0
4
2
3
x
x
D
yxd dx xydy yx dxσ?=?=
∫∫ ∫ ∫ ∫
1
3
0
41
.
33
xdx= =
∫
2
5
,
23
D
yxd
π
σ∴?=+
∫∫
4.
()
{ }
sin
,0 1,.
D
y
dD xy x xy x
y
σ =≤≤≤≤
∫∫
解由于函数的原函数不是初等函数，故不能使用Newton-Leibnize公式。为此先对x进行积分。
sin y
y
x
y
o
y x=
yx=
2
1
00
11
1
0
00
1
0
sin sin
sin cos cos
sin cos1 sin1 cos1
y
D
yy
ddy dx
yydyyy ydy
y
σ =
==?+
=?=?
∫∫ ∫ ∫
x
y
o
例5D由y=x,y=1,x=0围成。
2
2
y
D
xe dσ
∫∫
y x=
1y =
D
解同样函数的原函数不是初等函数，故先对x积分。
2
y
e
22
22
1
00
11
322
00
1
0
1
36
11
666
11
63
y
yy
D
yy
ttt
xe d dy xe dx
ye dy ye dy
te dt te e dt
e
σ
=
==
==?+
=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
利用极坐标计算二重积分设区域D满足条件：从极点O出发且穿过D的内部的射线与D的边界最多只有两个交点。如此，
用同心圆常数及射线常数将区域D分成若干个小区域，在不计搞阶无穷小的情况下，有
dρ σ
d+
ρ
ρ =? =
ddσ ρρ ≈
由此得到极坐标面积元素为
.dddσ ρ?ρ=
又由直角坐标与极坐标的转换关系
cos
,
sin
x
y
ρ?
ρ?
=
=
则，函数f(x,y)在区域D上的极坐标积分形式为
(,) ( cos,sin ),
DD
fxyd f ddσ ρ?ρ?ρ?ρ=
∫∫ ∫∫
若积分区域D可以用不等式组
12
() (),,ρ?ρρ?α?β≤ ≤≤≤
来表示，则极坐标下二次积分的形式为
α
β
( )
2
ρ ρ?=
( )
1
ρ ρ?=
ρ
D
2
1
()
()
(cos,sin)
(cos,sin),
D
fdd
df d
βρ?
αρ?
ρ?ρ?ρ?ρ
ρ?ρ?ρρ=
∫∫
∫∫
例1 将下列积分化为极坐标下的积分
11
00
1,(,),dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，在D
1
中，边界方程为x=1，代入极坐标的变换公式
cos,1,sec,xxrρ θθ==?=
x
y
o
1
D
2
D
同理，在D
2
中，边界方程为y=1，
sin,1,csc,yyrρ θθ==?=
11 sec
4
00 0 0
csc
2
0
4
(,) ( cos,sin )
( cos,sin ),
dx f x y dy d f d
df d
π
θ
π
θ
π
θ ρθρθρ
θ ρθρθρ
∴ =
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
{ }
22
2,(,),,2,
D
fxydxdy D xyx y x=+≤
∫∫
解由边界方程。
22
2,2cosxy xρ θ+=?=
x
y
o
2cos
2
0
2
(,)
(cos,sin),
D
fxydxdy
df d
π
θ
π
θ ρρ θρθρ
=
∫∫
∫∫
()
{ }
22
3,(,),,1,1,
D
fxydxdy D xyx y x y= +≤+≥
∫∫
22
1
11,1,
sin cos
xy xyρρ
θ θ
+=?=+=?=
+
解边界方程
x
y
o
1
2
1
0
sin cos
(,)
(cos,sin)
D
fxydxdy
df d
π
θθ
θ ρρ θρθρ
+
∴
=
∫∫
∫∫
例2 求下列二重积分
( )
22
1.
D
xydσ+
∫∫
其中D由x
2
+y
2
=2x,x=0,y=0围成。
解引入极坐标，则
()
2cos
22 3
2
00
44
22
00
88
cos sin
33
831
.
3422 2
D
xyd d d
dd
π
θ
ππ
σ θρρ
θ θθθ
ππ
+=
==
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
()
{ }
32 22
2,4 2,,2,
D
x y dD xy x yyσ = +≤
∫∫
解设D为区域在第一象限部分由对称性，则积分
( ) ( )
1
32 2
0,4 2 4,
DD D
xd y d y dσ σσ=?=?
∫∫ ∫∫ ∫∫
由极坐标积分
() ( )
11
22 2
1
42482.
DD D
y d y dS y dσ σσ?=?=?
∫∫ ∫∫ ∫∫
1
2sin
2326
22
00 0
531 5
sin 4 sin 4
6422 8
D
yd d d d
ππ
θ
π
σ θρθρ θθ π====
∫∫ ∫ ∫ ∫
()
32
1
511
,42 4,
244
D
Sxyd
π
σ ππ π= =? =
∫∫
∵
22
3.
D
xydσ+
∫∫
其中D由x
2
+y
2
=2x,y=0,y=x围成。
解积分区域如图所示，则
x
y
o
D
22
2xy x+ =
y x=
()
2cos
22 2
4
00
32
44
00
4
3
0
88
cos 1 sin
33
81 10
sin sin 2.
33 9
D
xyd d d
dd
π
θ
ππ
π
σ θρρ
θ θθθ
θθ
+=
=?
=? =
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
22
4.
D
x y dσ+
∫∫
其中D由
22 22
2,4,3 0,xy yxy yx y+ =+=?=
30xy?=
围成。
解积分区域如图所示，则
x
y
o
D
6
π
()
4sin
22 3
3
2sin
6
42
33
66
60 sin 15 (1 2cos cos 2 )
15 3 15 3,
63 2
D
xyd d d
dd
π
θ
π
θ
ππ
σθρρ
θ θθθ
ππ π
+=
==?+
=+?=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
{}
22
22
22
1
5.,,1,.
1
D
xy
dD xyxy yx
xy
σ
=+≤≥
++
∫∫
解积分区域如图所示，由对称性
22 2
1
4
22 2
00
2
11
2
2
00
111
222000
2
41 41
44
D
xy
dd d
xy
t
dd
t
tt
dt dt dt
t
π
ρ
σθρ ρ
ρ
πρπ
ρ
ρ
ππ
=
++ +
==
++
==?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫∫
x
y
o
( )
1
2
0
arcsin 1 1,
442
tt
πππ
= +? =?
二重积分的换元法前面讨论的二重积分在极坐标下的计算方法，实际上是引入了变换
cos
.
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
这样变换确定了xoy平面到极坐标平面的一个点的一一对应，如此方法做进一步的推广，就是下面的：
定理设f (x,y)在xoy平面的闭区域D上连续，如果变换
:(,),(,)Tx xuvyyuv= =
将uov平面上的闭区域D’变为xoy上的闭区域D，且满足
1.x(u,v),y(u,v)在D’上有连续的一阶偏导数；
2.在D’上，Jacobi行列式
(,)
(,) 0 ;
(,)
xy
Juv
uv
= ≠
3.变换T是一个一一对应，则有
[ ]
(,) (,),(,) (,),
DD
f xyd f xuv yuv Juv dudvσ
′
=
∫∫ ∫∫
由此可以看到，对于极坐标变换
cos
,
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
相应的Jacobi行列式为
cos sin
(,)
(,) 0 ;
sin cos(,)
xy
J
θρθ
θρ ρ
θρθθρ
== =≠
即有
(,) ( cos,sin ),
DD
fxyd f ddσ ρ?ρ?ρ?ρ=
∫∫ ∫∫
例求由直线x+y=c,x+y=d,y=ax,y=bx(0<c<d,0<a<b)所围成的区域的面积。
解由题设，记D为
()
,,,
y
Dxycxyda b
x
=≤+≤≤≤
令相应的D’为,,,,
11
yuuv
uxyv x y
xv
=+ =?= =
+ +
( ){ }
,,,Duvcudavb
′
=≤≤≤≤
()
2
(,)
0,
(,)
1
xy u
uv
v
= ≠
+
设区域D的面积为S，则
22
2
()( )
.
(1 ) 2(1 )(1 )
bd
ac
D
ubadc
S d du dv
vab
σ
== =
+++
∫∫ ∫ ∫
1.直角坐标下二重积分的计算；
2.极坐标下二重积分的计算；
3.二重积分的换元法。
二、本单元的教学要求掌握二重积分在各种坐标下的积分方法。
利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分的关键是将二重积分化为二次积分。
由二重积分的几何意义知：当f (x,y)>0 时，二重积分表示为曲顶柱体的体积。若立体在xoy平面上的投影为
D，则由平行截面面积为以知的体积计算公式，得
(),
b
a
VAxdx=
∫
其中a,b为区域D在x轴上投影的左、右端点，而A(x)为过x而垂直于x轴的平面与立体的截面。而截面面积为
2
1
()
()
() (,),
x
x
A xfxyd
=
∫
从而
2
1
()
()
() (,),
bbx
aa
VAxdxdx fxydy
==
∫∫∫
1.先y后x的积分在上面的讨论中，看到一个二重积分可以化为二次积分，一般情况如何？
设区域D满足如下条件：过区域D的内部而平行于y轴的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为
X型区域。非x型区域可以转化成若干个x型区域的并，故只需讨论
x型区域的积分问题。如图是一个
x型区域.
y
x
o
D
而下图的区域是非x型区域，但可以划分成三个x型区域。
y D
D
1
D
2
D
3
o
x
积分方法：1.将区域投影至x轴，得区间[a,b];
2.以x=a,x=b将区域的边界分割成曲线y=?
1
(x),y=?
2
(x);
则
y
x
o
D
ab
y=?
1
(x)
y=?
2
(x)
2
1
()
()
(,) (,),
bx
ax
D
f x y ddxf x y dy
σ =
∫∫ ∫ ∫
2.先x后y的积分同理，将区域投影至y轴上，得区间[c,d]，以及左、
右曲线x=φ
1
(y)，x=φ
2
(y)，则
2
1
()
()
(,) (,),
dx
cx
D
f x y ddyfx y dx
φ
φ
σ =
∫∫ ∫ ∫
y
x
o
D
c
d
x= φ
1
(y)
x= φ
2
(y)
例化下列积分为两个二次积分。
{ }
1,(,) (,),.
D
fxydxdy D xya x bc y d=≤≤≤≤
∫∫
解如图所示，区间为[a,b]，左、右曲线为y=c，y=d，
故：
(,) (,)
(,)
bd
ac
D
db
ca
f x y ddxf x y dy
dy f x y dx
σ =
=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
oa b
c
d
{ }
2,(,) (,)0 1,0 1,
D
fxydxdy D xy x y x=≤≤≤≤?
∫∫
解将区域投影至x上,得区间[0,1],及曲线y=0,y=1-x。
因而积分为：
11
00
(,) (,),
x
D
f x y ddxf x y dyσ
=
∫∫ ∫ ∫
y
11
00
(,),
y
dyfx y dx
=
∫∫
x+y=1
o x
{ }
3,(,) (,) 0 1,0,
D
fxydxdy D xy x y x=≤≤≤≤
∫∫
解由投影得
1
00
1
00
(,) (,)
(,),
x
D
y
f x y ddxf x y dy
dy f x y dx
σ =
=
∫∫ ∫ ∫
∫∫
x
y
o 1
y=x
{ }
3,(,) (,) 1,
D
fxydxdy D xy x y= +≤
∫∫
y
x
o
1xy+ =
1xy+ =? 1xy? =
1xy? =?
01
11
11
01
01
11
11
01
(,) (,)
(,)
(,)
(,),
x
x
D
x
x
y
y
y
y
f x y ddxf x y dy
dx f x y dy
dy f x y dx
dy f x y dx
σ
+
+
=
+
=
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫
∫∫
4,(,),
D
f x y dxdy
∫∫
D由x+1=2y
2
，x=2-y
2
围成的。
解为求出投影区域，先求出交点坐标。联立方程得
2
2
12
,1,1.
2
xy
xy
xy
+=
= =±
=?
x
y
o 1
x+1=2y
2
x=2-y
2
-12
所以
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
22 12
12 1 1
(,) (,)
(,) (,),
x
x
D
xy
fxydxdy dx fxydy
dx f x y dy dyfx y dx
+
+
=
+=
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
例交换下列积分次序
2
1
00
1,(,),
x
dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
1
00
11
0
(,)
(,),
x
y
dx f x y dy
dy f x y dx=
∫∫
∫∫
x
y
o
D
2
,yxx y==
1
2
22
1
61
4
2,(,),
x
x
dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
22
1
61
4
021
121
82
021
(,)
(,)
(,),
x
x
y
y
y
y
dx f x y dy
dy f x y dx
dy f x y dx
+
+
+
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
x+y=2
2
1
1,2 1
4
yxx y=?=± +
8
-1
-6
132
0
3,(,),
y
y
dy f x y dσ
∫∫
解积分区域如图所示，所以
2
132
0
1
00
1
3(3)
2
10
(,)
(,)
(,),
y
y
x
x
dy f x y d
dx f x y dy
dx f x y dy
σ
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
x
y
o
(1,1) x
+
2
y
=
3
y
=
x
2
例3 求下列二重积分
1,其中D由x-y=0,x+y =0,x=1围成。()
D
xy x y dσ?
∫∫
x
y
o
x-y
=0
x+y
=0
解由对称性得。
2
0
D
xydσ =
∫∫
故原积分为
1
2
00
1
4
0
() 2
22
.
315
x
D
xy x y ddy dy
xdx
σ?=
==
∫∫ ∫ ∫
∫
2.求，其中D由x=2,y=x,xy=1围成。
2
2
D
x
d
y
σ
∫∫
解
22
2
1
1
x
x
D
xx
dddy
yy
σ =
∫∫ ∫ ∫
x
y
o
1xy =
2x =
yx=
()
2
22
3
11
1
x
x
x
dx x x dx
y
=? =?+
∫∫
2
42
1
11 119
42,
42 422
xx
=? =+=
3,()
{}
2
,,1 1,0 2,
D
yxd D xy x xσ?=?≤≤
∫∫
x
y
o
2
yx=
1
D
2
D
解
12
222
DDD
y xd y xd y xdσ σσ?=?+?
∫∫ ∫∫ ∫∫
()
2
2
1
2
3
12 1
2
22
00
4
2
3
x
D
x
yxd dx yxdy yx dxσ?=?=?
∫∫ ∫ ∫ ∫
()
3
1
2
224
4
00
44
cos
33
xdx tdt
π
=?=
∫∫
()
2
2
44
00
16 1 cos 2 4
1cos2
32 3
t
dt t dt
ππ
+
==+
∫∫
4
4
0
0
43 cos4 43
2cos2 sin2
32 2 324
1
2
t
td t
π
π
π
π
=++ =+
=+
∫
()
2
2
2
3
11
2
22
00 0
0
4
2
3
x
x
D
yxd dx xydy yx dxσ?=?=
∫∫ ∫ ∫ ∫
1
3
0
41
.
33
xdx= =
∫
2
5
,
23
D
yxd
π
σ∴?=+
∫∫
4.
()
{ }
sin
,0 1,.
D
y
dD xy x xy x
y
σ =≤≤≤≤
∫∫
解由于函数的原函数不是初等函数，故不能使用Newton-Leibnize公式。为此先对x进行积分。
sin y
y
x
y
o
y x=
yx=
2
1
00
11
1
0
00
1
0
sin sin
sin cos cos
sin cos1 sin1 cos1
y
D
yy
ddy dx
yydyyy ydy
y
σ =
==?+
=?=?
∫∫ ∫ ∫
x
y
o
例5D由y=x,y=1,x=0围成。
2
2
y
D
xe dσ
∫∫
y x=
1y =
D
解同样函数的原函数不是初等函数，故先对x积分。
2
y
e
22
22
1
00
11
322
00
1
0
1
36
11
666
11
63
y
yy
D
yy
ttt
xe d dy xe dx
ye dy ye dy
te dt te e dt
e
σ
=
==
==?+
=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
利用极坐标计算二重积分设区域D满足条件：从极点O出发且穿过D的内部的射线与D的边界最多只有两个交点。如此，
用同心圆常数及射线常数将区域D分成若干个小区域，在不计搞阶无穷小的情况下，有
dρ σ
d+
ρ
ρ =? =
ddσ ρρ ≈
由此得到极坐标面积元素为
.dddσ ρ?ρ=
又由直角坐标与极坐标的转换关系
cos
,
sin
x
y
ρ?
ρ?
=
=
则，函数f(x,y)在区域D上的极坐标积分形式为
(,) ( cos,sin ),
DD
fxyd f ddσ ρ?ρ?ρ?ρ=
∫∫ ∫∫
若积分区域D可以用不等式组
12
() (),,ρ?ρρ?α?β≤ ≤≤≤
来表示，则极坐标下二次积分的形式为
α
β
( )
2
ρ ρ?=
( )
1
ρ ρ?=
ρ
D
2
1
()
()
(cos,sin)
(cos,sin),
D
fdd
df d
βρ?
αρ?
ρ?ρ?ρ?ρ
ρ?ρ?ρρ=
∫∫
∫∫
例1 将下列积分化为极坐标下的积分
11
00
1,(,),dx f x y dy
∫∫
解积分区域如图所示，在D
1
中，边界方程为x=1，代入极坐标的变换公式
cos,1,sec,xxrρ θθ==?=
x
y
o
1
D
2
D
同理，在D
2
中，边界方程为y=1，
sin,1,csc,yyrρ θθ==?=
11 sec
4
00 0 0
csc
2
0
4
(,) ( cos,sin )
( cos,sin ),
dx f x y dy d f d
df d
π
θ
π
θ
π
θ ρθρθρ
θ ρθρθρ
∴ =
+
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
{ }
22
2,(,),,2,
D
fxydxdy D xyx y x=+≤
∫∫
解由边界方程。
22
2,2cosxy xρ θ+=?=
x
y
o
2cos
2
0
2
(,)
(cos,sin),
D
fxydxdy
df d
π
θ
π
θ ρρ θρθρ
=
∫∫
∫∫
()
{ }
22
3,(,),,1,1,
D
fxydxdy D xyx y x y= +≤+≥
∫∫
22
1
11,1,
sin cos
xy xyρρ
θ θ
+=?=+=?=
+
解边界方程
x
y
o
1
2
1
0
sin cos
(,)
(cos,sin)
D
fxydxdy
df d
π
θθ
θ ρρ θρθρ
+
∴
=
∫∫
∫∫
例2 求下列二重积分
( )
22
1.
D
xydσ+
∫∫
其中D由x
2
+y
2
=2x,x=0,y=0围成。
解引入极坐标，则
()
2cos
22 3
2
00
44
22
00
88
cos sin
33
831
.
3422 2
D
xyd d d
dd
π
θ
ππ
σ θρρ
θ θθθ
ππ
+=
==
==
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
()
{ }
32 22
2,4 2,,2,
D
x y dD xy x yyσ = +≤
∫∫
解设D为区域在第一象限部分由对称性，则积分
( ) ( )
1
32 2
0,4 2 4,
DD D
xd y d y dσ σσ=?=?
∫∫ ∫∫ ∫∫
由极坐标积分
() ( )
11
22 2
1
42482.
DD D
y d y dS y dσ σσ?=?=?
∫∫ ∫∫ ∫∫
1
2sin
2326
22
00 0
531 5
sin 4 sin 4
6422 8
D
yd d d d
ππ
θ
π
σ θρθρ θθ π====
∫∫ ∫ ∫ ∫
()
32
1
511
,42 4,
244
D
Sxyd
π
σ ππ π= =? =
∫∫
∵
22
3.
D
xydσ+
∫∫
其中D由x
2
+y
2
=2x,y=0,y=x围成。
解积分区域如图所示，则
x
y
o
D
22
2xy x+ =
y x=
()
2cos
22 2
4
00
32
44
00
4
3
0
88
cos 1 sin
33
81 10
sin sin 2.
33 9
D
xyd d d
dd
π
θ
ππ
π
σ θρρ
θ θθθ
θθ
+=
=?
=? =
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
22
4.
D
x y dσ+
∫∫
其中D由
22 22
2,4,3 0,xy yxy yx y+ =+=?=
30xy?=
围成。
解积分区域如图所示，则
x
y
o
D
6
π
()
4sin
22 3
3
2sin
6
42
33
66
60 sin 15 (1 2cos cos 2 )
15 3 15 3,
63 2
D
xyd d d
dd
π
θ
π
θ
ππ
σθρρ
θ θθθ
ππ π
+=
==?+
=+?=?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
()
{}
22
22
22
1
5.,,1,.
1
D
xy
dD xyxy yx
xy
σ
=+≤≥
++
∫∫
解积分区域如图所示，由对称性
22 2
1
4
22 2
00
2
11
2
2
00
111
222000
2
41 41
44
D
xy
dd d
xy
t
dd
t
tt
dt dt dt
t
π
ρ
σθρ ρ
ρ
πρπ
ρ
ρ
ππ
=
++ +
==
++
==?
∫∫ ∫ ∫
∫∫
∫∫∫
x
y
o
( )
1
2
0
arcsin 1 1,
442
tt
πππ
= +? =?
二重积分的换元法前面讨论的二重积分在极坐标下的计算方法，实际上是引入了变换
cos
.
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
这样变换确定了xoy平面到极坐标平面的一个点的一一对应，如此方法做进一步的推广，就是下面的：
定理设f (x,y)在xoy平面的闭区域D上连续，如果变换
:(,),(,)Tx xuvyyuv= =
将uov平面上的闭区域D’变为xoy上的闭区域D，且满足
1.x(u,v),y(u,v)在D’上有连续的一阶偏导数；
2.在D’上，Jacobi行列式
(,)
(,) 0 ;
(,)
xy
Juv
uv
= ≠
3.变换T是一个一一对应，则有
[ ]
(,) (,),(,) (,),
DD
f xyd f xuv yuv Juv dudvσ
′
=
∫∫ ∫∫
由此可以看到，对于极坐标变换
cos
,
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
相应的Jacobi行列式为
cos sin
(,)
(,) 0 ;
sin cos(,)
xy
J
θρθ
θρ ρ
θρθθρ
== =≠
即有
(,) ( cos,sin ),
DD
fxyd f ddσ ρ?ρ?ρ?ρ=
∫∫ ∫∫
例求由直线x+y=c,x+y=d,y=ax,y=bx(0<c<d,0<a<b)所围成的区域的面积。
解由题设，记D为
()
,,,
y
Dxycxyda b
x
=≤+≤≤≤
令相应的D’为,,,,
11
yuuv
uxyv x y
xv
=+ =?= =
+ +
( ){ }
,,,Duvcudavb
′
=≤≤≤≤
()
2
(,)
0,
(,)
1
xy u
uv
v
= ≠
+
设区域D的面积为S，则
22
2
()( )
.
(1 ) 2(1 )(1 )
bd
ac
D
ubadc
S d du dv
vab
σ
== =
+++
∫∫ ∫ ∫
