第三单元函数的单调性与曲线的凹凸性一、本单元的内容要点
1.函数单调性的判别法设,若?x∈(a,b),有则 f (x)在 [a,b]上是单调增加 (减少 )．
[,] (,)f Ca b Da b∈ ∩
( )
() 0 0fx
′
><
若当 x∈I 时，有,且使得 的点 (驻点 )在 I的任何有界子区间内只有有限多个，则 f (x)
在 I上单调增加 (减少 )．
( )
() 0 0fx
′
≥≤ () 0fx
′
=
2.函数图形凹凸性及其判别法
⑴定义 设 I 是一个区间，若对任意的 x
1
,x
2
∈I (x
1
≠x
2
)成立不等式
12 1 2 12 1 2
() () () ()
,
22 22
x x fx fx x x fx fx
ff
++?++?
<>
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是凹 (凸 )弧．
⑵判别法 设函数在区间上二阶可导，且则 f (x)的图形是凹 (凸 )弧．
( )
() 0 0fx
′′
><
⑶拐点 曲线 y=f (x)在经过点 (x
0
,f (x
0
))时，曲线的凹凸性发生改变，称 (x
0
,f (x
0
))为曲线的拐点．
二、本单元的教学要求
1.理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数单调性的方法．
2.利用导数判断函数图形的凹凸性,
三、本单元教学的重点与难点
1.在讨论函数形态（单调性与凹凸性）时要注意一阶导数和二阶导数所起的作用，并进行比较以加理解，简言之：一阶导数的符号决定函数的单调性，二阶导数的符号决定函数的凹凸性．
2.通常用 的点 (函数的驻点 )和导数不存在的点来划分并讨论函数的单调区间； 用 的点和二阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间,
() 0fx
′
=
() 0fx
′′
=
本单元课时数,2-3课时．
函数的单调性设函数 f∈C[a,b]，且 f∈D(a,b),如果函数 y=f(x)在 [a,b]
单调增加，那么它的图形是一条沿 x轴正向上升的曲线，
这时曲线上各点处的切线斜率非负，即 ; 如果函数 y=f(x)在 [a,b]上单调减少，那么它的图形是一条沿 x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线斜率非正，
即,由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系,
() 0fx
′
≥
() 0fx
′
≤
y
x
o ab
y= f (x)
θθ
单调上升单调下降
x
y
o
a
y= f (x)
b
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结论，即有定理 (可导函数单调的必要条件) 设函数 f ∈C[a,b]，并且
f ∈D(a,b)，若在区间 [a,b]上单调增加(减少)，则对任意的 x∈(a,b),有,
( )
() 0 0fx
′
≥≤
反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即有下面的判定定理：
定理 1（函数单调性的判定法） 设函数 f∈C[a,b],并且
f∈D(a,b)，并且,
⑴如果,?x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调增加；
⑵如果,?x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调减少．
() 0fx
′
>
() 0fx
′
<
证在 [a,b]任取两点 x
1
,x
2
,其中 x
1
<x
2
，在区间 [x
1
,x
2
]上使用拉格朗日中值定理，得到
21 21
() () ()( )fx fx f x xξ
′
=?
由条件，若,则有 f (x
2
)- f (x
1
)>0,即
() 0fx
′
≥
12
() (),fx fx<
此即说明 f (x)在 [a,b]上单调增加；同理可证：若
x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调减少．
() 0fx
′
<
g
注 如果把判定法中的闭区间换成其他各种类型的区间
(包括无穷区间 )，结论也是成立的．
例 1 判定函数 y=x-sinx在 [0,2π]上的单调性．
解 因,由判定定理得函数 y=x-sinx在 [0,2π]上是单调增加的．
( )( )
1cos 0 0,2yxxπ
′
=? > ∈
注 对无穷区间，相应的定理为定理 若当 x∈(-∞,+∞) 时，有,且使得的点(驻点 )在 (-∞,+∞)的任何有界子区间内只有有限多个，则 f (x)在 (-∞,+∞)上单调增加 (减少 )．
1
′ ( )
() 0 0fx
′
≥≤
() 0fx
′
=
由此得到，函数 y=x-sinx在 (-∞,+∞)上是单调增加的．
有些函数在它的整个定义区间上不是单调的，对于在定义区间上具有连续导数的函数，用函数的驻点来划分定义区间后，则函数在各个部分区间上是单调的．
例 2 讨论函数 的单调性．() 1
x
f xex=
解 函 数 的定义域为 (-∞,+∞)，并且() 1
x
f xex=
() 1,
x
fx e
′
=?
令?x=0,且当
x∈(-∞,0)时，,当
x∈(0,+∞)时，,即
f (x)在 (-∞,0)内单调下降，
在 (0,+∞)内单调上升．
() 0fx
′
=
() 0fx
′
<
() 0fx
′
>
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
() 1
x
fx e x=
如果函数在定义区间内某些点处不可导，那么在划分定义区间时，分点还应包括这些导数不存在的点．
例 3 确定函数 的单调区间．
1
3
() ( 1)fx x x=?
解 f (x)的定义域是 (-∞,+∞)，并且在 (-∞,+∞)中连续当 x≠0时，有
2
3
41
(),
x
fx
x
′
=
当时，,当x=0时，导数不存在，用
1
4
x= () 0fx
′
=
x=0,即 将定义域区间划分成三个部分小区间：
1
4
x=
11
(,0),(0,),(,),
44
∞+∞
现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下 (表中 ê表示单调增加, ì表示单调减少 )：
x
(,)?∞ 00
4
1
,0
4
1
+∞,
4
1
′fx()
+
0+fx()
ê ì ê
+0-不存在+
0x
(,0)?∞
1
0,
4
1
4
1
,
4
+∞
()f x
′
()fx
利用函数的单调性，可证明某些不等式例 4 证明：当 x>1时,．
1
23x
x
>?
证令,则 f∈C[1,+∞)?D(1,+∞),
且 f (1)=0，又
1
() 2 3,fx x
x
=
22
111
() ( 1)fx xx
xx
x
′
=?=?
当 x>1时，有,故 f (x)在 [1,+∞)上单调增加，从而当 x>1时，有 f (x)> f (1)=0，即有
() 0fx
′
>
()
1
23 1.xx
x
>? >
函数的凹凸性及其判定法在上一目中，我们研究了函数的单调性和单调性的判别法，那就是通过一阶导函数的符号，可以判定函数是单调上升的还是单调下降的．但是，即使是在函数的上升或下降过程中，函数的图象也会呈现出截然不同的情况．
x
y
o
A
B
C
D
在图中，两条曲线均为上升曲线，但曲线弧 是向上凸的曲线弧，而曲线弧是向上凹的弧．
null
ACB
null
ADB
定义 设 I 是一个区间，若对任意的 x
1
,x
2
∈I (x
1
≠x
2
)成立不等式
12 1 2
() ()
,
22
xx fx fx
f
++
<
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是 (向上 )凹的 (或弧弧 ); 若有不等式
12 1 2
() ()
,
22
xx fx fx
f
++
>
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )．
图形上任意弧段位于所张弦的下方
()yfx=
x
y
ox
1
x
2
x
1
+x
2
2
图形上任意弧段位于所张弦的上方
()yfx=
y
xx
2
x
1
ox
1
+x
2
2
定理 2(函数图形的凹凸性判别法 ) 若?x∈I，
则函数 f (x)在 I的图形是凹的；若?x∈I，则
f (x)在 I的图形是凹的．
() 0,fx
′′
>
() 0,fx
′′
<
例 5 讨论下列函数的凹凸性：
⑴
4
3;yx=
⑵
3;yx=
⑶
3
.yx=
解 三个函数的定义域为 (-∞,+∞)，
⑴ 所以函数图形在整个定义域上是凹的；
12
33
44
,0,
39
yxyx
′′′
==>
⑵ 所以在 (-∞,0)内，,曲线为凹弧； (0,+∞)内,曲线为凸弧；
2
3,6,yxyx
′′′
== 0y
′′
<
0y
′′
>
在 (-∞,0),因而曲线的图形是凹的；在 (0,+∞)内因而曲线的图形是凸的．
⑶当 x≠0时,在 x=0处,不存在，
25
33
12
,,
39
yxy x
′′′
==? y
′′
0y
′′
>
0y
′′
<
在上例的后两个例中，可以看到，曲线弧在 (0,0)点的两侧有不同的凹凸向，我们把曲线上这样的点称为曲线弧的拐点．
-1 -0.5 0.5 1
-0.02
-0.01
0.01
0.02
3;yx=
( )
0,0
凹凸拐点由此有如下求曲线拐点的方法：
1.求；
2.令 解出该方程在区间 I内的一切实根，并求出在该区间内 不存在的点；
3.对于 2中求出的一切解以及二阶导数不存在的点 x
0
，检查在x
0
左右两侧附近的符号，若符号相反，则
(x
0
,f (x
0
))为曲线的怪点；否则 (x
0
,f (x
0
))不是曲线的怪点．
()fx
′′
() 0,fx
′′
=
()fx
′′
()fx
′′
例 6 求曲线 的凹凸区间与怪点．
43
341yx x=?+
解 函数的定义域为 (-∞,+∞)，
2
36 24,yxx
′′
=?
令,故在在 (-∞,0)，
12
2
00,
3
yxx
′′
=?= =
0,y
′′
>
曲线弧是凹的；在,,曲线弧是凹的；在
2
0,
3
0y
′′
<
,曲线弧是凹的．
2
,
3
+∞
0,y
′′
>
由此，曲线有两 怪点：
()
211
0,1,,.
327
作业
1.研究下列函数的单调性
⑴ ( )
arctan ;fx x x=?
⑵
() ()
1
1,0.
x
fx x
x
=+ >
2.确定下列函数的单调区间：
⑴
32
29123;yx x x=?+?
⑵
2;
1
x
y
x
=
+
3.证明下列不等式
⑴
()
1
23,1;xx
x
>? > ⑵
sin tan 2,0 ;
2
xxx x
π
+> <<
⑶,
e
e
π
π>
4.求下列函数的凹凸区间和怪点：
⑴
1;yx
x
=+
⑵
32
535.yx x x=? ++
5.利用函数的凹凸性，证明下列不等式：
⑴
()
1
() 0,0,,1.
22
n
nn
xy
xy x y xyn
+
+> >>≠>
1.函数单调性的判别法设,若?x∈(a,b),有则 f (x)在 [a,b]上是单调增加 (减少 )．
[,] (,)f Ca b Da b∈ ∩
( )
() 0 0fx
′
><
若当 x∈I 时，有,且使得 的点 (驻点 )在 I的任何有界子区间内只有有限多个，则 f (x)
在 I上单调增加 (减少 )．
( )
() 0 0fx
′
≥≤ () 0fx
′
=
2.函数图形凹凸性及其判别法
⑴定义 设 I 是一个区间，若对任意的 x
1
,x
2
∈I (x
1
≠x
2
)成立不等式
12 1 2 12 1 2
() () () ()
,
22 22
x x fx fx x x fx fx
ff
++?++?
<>
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是凹 (凸 )弧．
⑵判别法 设函数在区间上二阶可导，且则 f (x)的图形是凹 (凸 )弧．
( )
() 0 0fx
′′
><
⑶拐点 曲线 y=f (x)在经过点 (x
0
,f (x
0
))时，曲线的凹凸性发生改变，称 (x
0
,f (x
0
))为曲线的拐点．
二、本单元的教学要求
1.理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数单调性的方法．
2.利用导数判断函数图形的凹凸性,
三、本单元教学的重点与难点
1.在讨论函数形态（单调性与凹凸性）时要注意一阶导数和二阶导数所起的作用，并进行比较以加理解，简言之：一阶导数的符号决定函数的单调性，二阶导数的符号决定函数的凹凸性．
2.通常用 的点 (函数的驻点 )和导数不存在的点来划分并讨论函数的单调区间； 用 的点和二阶导数不存在的点来划分并讨论函数图形的凹凸区间,
() 0fx
′
=
() 0fx
′′
=
本单元课时数,2-3课时．
函数的单调性设函数 f∈C[a,b]，且 f∈D(a,b),如果函数 y=f(x)在 [a,b]
单调增加，那么它的图形是一条沿 x轴正向上升的曲线，
这时曲线上各点处的切线斜率非负，即 ; 如果函数 y=f(x)在 [a,b]上单调减少，那么它的图形是一条沿 x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点处的切线斜率非正，
即,由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系,
() 0fx
′
≥
() 0fx
′
≤
y
x
o ab
y= f (x)
θθ
单调上升单调下降
x
y
o
a
y= f (x)
b
上述关于函数单调性的图象性质，可以得到一般的结论，即有定理 (可导函数单调的必要条件) 设函数 f ∈C[a,b]，并且
f ∈D(a,b)，若在区间 [a,b]上单调增加(减少)，则对任意的 x∈(a,b),有,
( )
() 0 0fx
′
≥≤
反之，可以通过导数的符号来判定函数的单调性，即有下面的判定定理：
定理 1（函数单调性的判定法） 设函数 f∈C[a,b],并且
f∈D(a,b)，并且,
⑴如果,?x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调增加；
⑵如果,?x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调减少．
() 0fx
′
>
() 0fx
′
<
证在 [a,b]任取两点 x
1
,x
2
,其中 x
1
<x
2
，在区间 [x
1
,x
2
]上使用拉格朗日中值定理，得到
21 21
() () ()( )fx fx f x xξ
′
=?
由条件，若,则有 f (x
2
)- f (x
1
)>0,即
() 0fx
′
≥
12
() (),fx fx<
此即说明 f (x)在 [a,b]上单调增加；同理可证：若
x∈(a,b)有，则f (x)在 [a,b]上单调减少．
() 0fx
′
<
g
注 如果把判定法中的闭区间换成其他各种类型的区间
(包括无穷区间 )，结论也是成立的．
例 1 判定函数 y=x-sinx在 [0,2π]上的单调性．
解 因,由判定定理得函数 y=x-sinx在 [0,2π]上是单调增加的．
( )( )
1cos 0 0,2yxxπ
′
=? > ∈
注 对无穷区间，相应的定理为定理 若当 x∈(-∞,+∞) 时，有,且使得的点(驻点 )在 (-∞,+∞)的任何有界子区间内只有有限多个，则 f (x)在 (-∞,+∞)上单调增加 (减少 )．
1
′ ( )
() 0 0fx
′
≥≤
() 0fx
′
=
由此得到，函数 y=x-sinx在 (-∞,+∞)上是单调增加的．
有些函数在它的整个定义区间上不是单调的，对于在定义区间上具有连续导数的函数，用函数的驻点来划分定义区间后，则函数在各个部分区间上是单调的．
例 2 讨论函数 的单调性．() 1
x
f xex=
解 函 数 的定义域为 (-∞,+∞)，并且() 1
x
f xex=
() 1,
x
fx e
′
=?
令?x=0,且当
x∈(-∞,0)时，,当
x∈(0,+∞)时，,即
f (x)在 (-∞,0)内单调下降，
在 (0,+∞)内单调上升．
() 0fx
′
=
() 0fx
′
<
() 0fx
′
>
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
() 1
x
fx e x=
如果函数在定义区间内某些点处不可导，那么在划分定义区间时，分点还应包括这些导数不存在的点．
例 3 确定函数 的单调区间．
1
3
() ( 1)fx x x=?
解 f (x)的定义域是 (-∞,+∞)，并且在 (-∞,+∞)中连续当 x≠0时，有
2
3
41
(),
x
fx
x
′
=
当时，,当x=0时，导数不存在，用
1
4
x= () 0fx
′
=
x=0,即 将定义域区间划分成三个部分小区间：
1
4
x=
11
(,0),(0,),(,),
44
∞+∞
现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下 (表中 ê表示单调增加, ì表示单调减少 )：
x
(,)?∞ 00
4
1
,0
4
1
+∞,
4
1
′fx()
+
0+fx()
ê ì ê
+0-不存在+
0x
(,0)?∞
1
0,
4
1
4
1
,
4
+∞
()f x
′
()fx
利用函数的单调性，可证明某些不等式例 4 证明：当 x>1时,．
1
23x
x
>?
证令,则 f∈C[1,+∞)?D(1,+∞),
且 f (1)=0，又
1
() 2 3,fx x
x
=
22
111
() ( 1)fx xx
xx
x
′
=?=?
当 x>1时，有,故 f (x)在 [1,+∞)上单调增加，从而当 x>1时，有 f (x)> f (1)=0，即有
() 0fx
′
>
()
1
23 1.xx
x
>? >
函数的凹凸性及其判定法在上一目中，我们研究了函数的单调性和单调性的判别法，那就是通过一阶导函数的符号，可以判定函数是单调上升的还是单调下降的．但是，即使是在函数的上升或下降过程中，函数的图象也会呈现出截然不同的情况．
x
y
o
A
B
C
D
在图中，两条曲线均为上升曲线，但曲线弧 是向上凸的曲线弧，而曲线弧是向上凹的弧．
null
ACB
null
ADB
定义 设 I 是一个区间，若对任意的 x
1
,x
2
∈I (x
1
≠x
2
)成立不等式
12 1 2
() ()
,
22
xx fx fx
f
++
<
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是 (向上 )凹的 (或弧弧 ); 若有不等式
12 1 2
() ()
,
22
xx fx fx
f
++
>
则称函数 f (x)(x∈I )的图形是 (向上 )凸的 (或凸弧 )．
图形上任意弧段位于所张弦的下方
()yfx=
x
y
ox
1
x
2
x
1
+x
2
2
图形上任意弧段位于所张弦的上方
()yfx=
y
xx
2
x
1
ox
1
+x
2
2
定理 2(函数图形的凹凸性判别法 ) 若?x∈I，
则函数 f (x)在 I的图形是凹的；若?x∈I，则
f (x)在 I的图形是凹的．
() 0,fx
′′
>
() 0,fx
′′
<
例 5 讨论下列函数的凹凸性：
⑴
4
3;yx=
⑵
3;yx=
⑶
3
.yx=
解 三个函数的定义域为 (-∞,+∞)，
⑴ 所以函数图形在整个定义域上是凹的；
12
33
44
,0,
39
yxyx
′′′
==>
⑵ 所以在 (-∞,0)内，,曲线为凹弧； (0,+∞)内,曲线为凸弧；
2
3,6,yxyx
′′′
== 0y
′′
<
0y
′′
>
在 (-∞,0),因而曲线的图形是凹的；在 (0,+∞)内因而曲线的图形是凸的．
⑶当 x≠0时,在 x=0处,不存在，
25
33
12
,,
39
yxy x
′′′
==? y
′′
0y
′′
>
0y
′′
<
在上例的后两个例中，可以看到，曲线弧在 (0,0)点的两侧有不同的凹凸向，我们把曲线上这样的点称为曲线弧的拐点．
-1 -0.5 0.5 1
-0.02
-0.01
0.01
0.02
3;yx=
( )
0,0
凹凸拐点由此有如下求曲线拐点的方法：
1.求；
2.令 解出该方程在区间 I内的一切实根，并求出在该区间内 不存在的点；
3.对于 2中求出的一切解以及二阶导数不存在的点 x
0
，检查在x
0
左右两侧附近的符号，若符号相反，则
(x
0
,f (x
0
))为曲线的怪点；否则 (x
0
,f (x
0
))不是曲线的怪点．
()fx
′′
() 0,fx
′′
=
()fx
′′
()fx
′′
例 6 求曲线 的凹凸区间与怪点．
43
341yx x=?+
解 函数的定义域为 (-∞,+∞)，
2
36 24,yxx
′′
=?
令,故在在 (-∞,0)，
12
2
00,
3
yxx
′′
=?= =
0,y
′′
>
曲线弧是凹的；在,,曲线弧是凹的；在
2
0,
3
0y
′′
<
,曲线弧是凹的．
2
,
3
+∞
0,y
′′
>
由此，曲线有两 怪点：
()
211
0,1,,.
327
作业
1.研究下列函数的单调性
⑴ ( )
arctan ;fx x x=?
⑵
() ()
1
1,0.
x
fx x
x
=+ >
2.确定下列函数的单调区间：
⑴
32
29123;yx x x=?+?
⑵
2;
1
x
y
x
=
+
3.证明下列不等式
⑴
()
1
23,1;xx
x
>? > ⑵
sin tan 2,0 ;
2
xxx x
π
+> <<
⑶,
e
e
π
π>
4.求下列函数的凹凸区间和怪点：
⑴
1;yx
x
=+
⑵
32
535.yx x x=? ++
5.利用函数的凹凸性，证明下列不等式：
⑴
()
1
() 0,0,,1.
22
n
nn
xy
xy x y xyn
+
+> >>≠>
