第三单元极限运算法则一、本单元的内容要点
1.无穷小与无穷大的概念；
2.极限的运算法则；
3.两个重要极限
4.无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则．
二、本单元的教学要求
1.理解无穷小和无穷大的概念；
2.掌握极限的运算法则
3.掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限；
4.理解无穷小阶的概念，熟记几个常用的等价无穷小并由此去求一些复杂的极限．
三、本单元教学的重点与难点重点
1.无穷小的概念，无穷小与极限的关系；
2.极限的运算法则，尤其是复合函数极限的运算法则；
3.两个重要极限；
4.无穷小的阶与等价无穷小的替换．
难点
1.要区别无穷小与“很小”的数的差别，注意到无穷小是一类以零为极限的变量；
2.注意无穷大与无界函数的差别．无穷大并不是极限，
但却有明显的变化趋势，为了指出这类特殊的变化形式才引入了无穷大的概念；
3.理解无穷小的阶的概念及本质，掌握用等价无穷小替换方法去求某些复杂极限的方法，尤其是使用等价无穷小替换的条件．
本单元教学时数：6课时无穷小与无穷大
1.无穷小定义如果x→x
0
(x→∞)时函数f(x)的极限为零，那么函数f (x)就叫做x→x
0
(x→∞)时的无穷小．
注1.无穷小是以零为极限的变量，不能把它混同于一个很小的数；
2.变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关．
例1 因，所以变量是当x→0时的无穷小量．
0
1
lim sin 0
x
x
x
→
=
1
sinx
x
定理1在自变量的同一变化过程x→x
0
(x→∞)中，函数
f (x)有极限A的充分必要条件是f (x)=A+ α，其中α是无穷小．
证?：若，则?ε>0,?δ>0,当0<|x-x
0
|<δ
时，有
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
(),fx A ε? <
令α= f(x)?A,则，上式为
() () 0 0,fx A fx A α ε? ==?<
即，变量α是无穷小量；
：若α= f(x)?A是当x→x
0
时的无穷小，则?ε>0,
δ>0,当0<|x-x
0
|<δ时，有
0() 0()0,fx A fxα ε? ==?<
即：
0
lim ( ),
xx
f xA
→
=
同理可讨论x→∞的情形．
2.无穷大定义2 设函数f(x)在x
0
的某一个空心领域中有定义(或
|x|大于某一个正数)，若对于任意给定的正数M，总存在正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0<|x-x
0
|<δ(|x|>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式
(),fx M>
则称函数f(x)为当x→x
0
(x→∞)时的无穷大．记为
lim ( ),
x
fx
→∞
=∞
注1.记号并不是表明函数f(x)当x→x
0
(x→∞)时极限存在，而仅是为了表明函数f(x)当自变量在变化的过程中，有确定的变化趋势；
2.无穷大(∞)不是一个数．
lim ( )
x
fx
→∞
=∞
例2 证明，即函数当x→1时为无穷大．
1
1
lim
1
x
x
→
=∞
1
()
1
fx
x
=
证?M>0，要使，即故取
1
,
1
M
x
>
1
1,x
M
<
1
M
δ =
当0<|x-x
0
|<,有
1
M
δ =
1
,
1
M
x
>
即：
1
1
lim,
1
x
x
→
=∞
x
y
o 1
1
1
y
x
=
定理2 在自变量的某一个变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且
1
()fx
f(x)≠0,则为无穷大．
1
()fx
证设，?ε>0，由无穷大的定义，
δ>0，当0<|x-x
0
|< δ时，有
0
lim ( )
xx
fx
→
=∞
1
(),f xM
ε
>=
即，
1
,
()fx
ε<
即，
0
1
lim 0.
()
xx
fx
→
=
反之，设则由无穷小的定义，对
δ>0,当0<|x-x
0
|<δ时，有
0
lim ( ) 0,
xx
fx
→
=
1
M
ε =
1
(),fx
M
ε<=
因当0<|x-x
0
|<δ时，f(x)≠0，从而
11
,
()fx M
>
即，
0
lim ( ) 0.
xx
fx
→
=
类似，可证的情形．
0
lim ( ) 0
xx
fx
→
=
极限运算法则利用函数极限与无穷小的关系(定理1)，我们导出如下的极限运算法则．为了简化起见，我们以记号表示当自变量在某一个变化过程中的极限，这里变量
x可以x→x
0
,也可以x→∞．在相关的证明过程中，只要把0<|x-x
0
|<δ改换成相应的|x|>X即可．
lim ( )
x
f x
定理3 有限个无穷小的和是无穷小．
证考虑两个无穷小的情形．
设当x→x
0
时，α,β是无穷小，考虑变量γ=α+β，由条件，故对?ε>0,?δ
1
>0,当0<|x-x
0
|<δ
1
时，有
0
lim 0
xx
α
→
=
,
2
ε
α <
同理，因，对对此ε>0,?δ
2
>0,当0<|x-x
0
|<δ
2
时，有
0
lim 0
xx
β
→
=
,
2
ε
β <
取，当0<|x-x
0
|<δ时，有
12
min{,}δ δδ=
,
22
ε ε
γ αβ α β ε= +≤+<+=
即，
0
lim 0.
xx
γ
→
=
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
证设函数u在x
0
的某一个空心领域内是有界的，即?M>0，使得对一切的有|u|≤M，
又设α是当x→x
0
时的无穷小量，即?ε>0,?δ
2
>0，当
0<|x-x
0
|<δ
2
时，有
()
01
,
o
Uxδ
01
(,)
o
xUxδ∈
,
M
ε
α ≤
取，当0<|x-x
0
|<δ时，有
12
min{,}δ δδ=
,,uM
M
ε
α≤≤
同时成立，从而
,uu M
M
ε
α αε= <=
即，uα是x→x
0
的无穷小．
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小．
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
定理5 如果，则
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
()
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),
xxx
fx gx fx gx A B± =±=±
⑴
⑵
[]
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),f x g x f x g xAB=?=
⑶若B≠0，则
lim ( )
()
lim,
() lim ()
x
x
x
fx
f xA
g x g xB
= =
证⑴设则由定理1，有lim(),lim(),
xx
fx A gx B= =
(),(),fx A gx Bα β= +=+
其中，α,β均为无穷小，于是
( ) ( )
() (),fx gx A B A Bα βαβ± =+±+= ± + ±
这里，α±β是无穷小，所以由定理1，得
()
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
xxx
fx gx A B fx gx±=±= ±
⑵因，故在x
0
的某个空心领域内，函数f(x),g(x)有界，又因
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
01
(,)
o
Uxδ
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
故从而在x
0
的某个领域内有
(),(),fx A gx Bα β=+ =+
0
(,)
o
Uxδ
[ ] [ ]
()()
() ()
fxgx A B
AB fx gx
αβ
β βαβ
=+?+
=?+?+ +
注意到，在该领域中，f(x),g(x)为有界变量，故
() ()fx gxα βαβ? +?+
为无穷小，所以由定理3，得
[ ]
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
xxx
f x g xAB f x g x==?
⑶因则由定理1，得
lim ( ),lim ( ) 0,
xx
fx A gx B= =≠
(),(),fx A gx Bα β= +=+
其中，α,β为无穷小，令
()
,
()
fx A
gx B
γ =?
则
()
()
1
,
AA
BA
BBBB
α
γ αβ
ββ
+
=?=?
++
因故由第二单元第四目的定理3，存在点
x
0
的某一个空心领域，当时，有
lim ( ) 0,
x
gx B= ≠
0
()
o
Ux
0
()
o
xUx∈
(),
2
B
gx >
∴
()
2
111121
,
()BB B gx B B
B
β
=? <?=
+
由此说明，在点x
0
的某个空心领域中有界，由本节定理2，知γ为无穷小．又因
()
1
BB β+
0
()
o
Ux
()
,
()
fx A
gx B
γ= +
故由定理1，得
lim ( )
()
lim,
() lim ()
x
x
x
f x
fx A
g xB g x
==
由此定理得如下推论：
推论1 若存在，c为常数，则
lim ( )
x
fx
lim ( ) lim ( ).
xx
cf x c f x=
推论2 若存在，n是正整数，则lim ( )
x
fx
[]
lim ( ) lim ( ),
n
n
xx
fx fx
=
将数列视为特殊的函数，由此得到：
定理6 设有数列{x
n
},{y
n
}，若
lim,lim,
nn
nn
xa yb
→∞ →∞
= =
则，
⑴( )
lim,
nn
n
xy ab
→∞
± =±
⑵( )
lim,
nn
n
xy ab
→∞
=
⑶若y
0
≠0,且b≠0，则
lim,
n
n
n
xa
yb
→∞
=
定理7 若而则() (),xx? φ≥
lim ( ),lim ( ),
xx
xa xb? φ= =
.ab≥
例1 求
( )
2
2
lim 3 2,
x
xx
→
+?
解
( )
()
22
22
2
2
222
lim 3 2 lim lim3 lim 2
lim 3lim lim 2 2 3 2 2 8.
xxxx
xxx
xx x x
xx
→→→→
→→→
+?= +?
=+?=+=
一般，对多项式函数
1
110
(),
nn
f xaxax axa
=+ + +null
有
0
1
010100 0
lim ( ) ( ).
nn
xx
fx ax a x ax a fx
→
=+ ++=
例2 求
2
32
1
21
lim,
32 1
x
xx
xxx
→
++
+?+
解∵
( )
32
1
lim 3 2 1 5 0,
x
xxx
→
+?+=≠
∴
()
2
32
1
2
1
32
1
21
lim
32 1
lim 2 1
4
.
5
lim 3 2 1
x
x
x
xx
xxx
xx
xxx
→
→
→
++
+?+
++
==
+?+
一般，若
1
110
0
1
()
(),( ) 0,
()
nn
n
m
mm
mm m
ax a x ax a P x
fx Px
bx b x bx b P x
++++
==≠
++++
null
null
则，
()
0
0
0
()
lim ( ),
n
xx
m
P x
fx
P x
→
=
例3 求
2
2
1
1
lim,
32
x
x
xx
→
+
解当x→1时，分子和分母的极限为零，故不能用上面的方法求极限．
( )( )
()()
2
2
11 1
11
lim lim lim 2.
32 2 1 2
xx x
xx
xx x x x
→→ →
+
+
= ==?
+
例4 求
2
1
23
lim,
54
x
x
xx
→
+
2
1
54
lim 0,
23
x
xx
x
→
+
=
解∵故不能商的求极限的方法．考虑
( )
()
2
11
lim 5 4 0,lim 2 3 0,xx x
→→
+=?≠
由无穷大与无穷小的关系，得
2
1
23
lim,
54
x
x
xx
→
=∞
+
例5 求极限
32
32
2321
lim,
3
x
xxx
xx x
→∞
+?+
+?
解分子分母均除以x
3
,得
32
23
32
3
111
23 2
2321 2
lim lim,
111
3 3
323
xx
xxx
xxx
xx x
xxx
→∞ →∞
+? +
+?+
= =
+?
+?
2
32
1
lim,
221
x
xx
xxx
→∞
++
+
例6 求极限解分子分母均除以x
2
，得
2
23
32
23
11 1
1
lim lim 0.
111
221
12 2
xx
xx
xx x
xxx
xxx
→∞ →∞
++
++
= =
+
+
例7 求极限
42
32
321
lim,
324
x
xxx
xx
→∞
+?
+ +
解考虑极限：
32
42
324
lim,
321
x
xx
xxx
→∞
++
+?
同例6，得该极限为0，故原式的极限
42
32
321
lim,
324
x
xxx
xx
→∞
+?
=∞
+ +
对上面几个例子的分析，得到有理函数f(x)当x→∞时的极限公式：
1
110
1
()
lim
()
0,
nn
nnn
mm
x
mmm
n
m
Px ax a x ax a
Px bx b x bxb
a
nm
b
nm
nm
→∞
+ ++ +
=
+ ++ +
=
=>
∞<
null
null
定理6(复合函数极限的运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数f(u)与函数u=g(x)复合函数，y=f[g(x)]在点x
0
的某空心领域内有定义，且存在
δ
0
>0，当0<|x- x
0
|< δ
0
时，有g(x)≠g(x
0
)，则
00
0
lim ( ),lim ( ),
xx uu
g xu f uA
→→
= =
00
lim [()] lim (),
xx uu
fgx f uA
→→
= =
证由函数极限的定义，因
0
lim ( ),
uu
fu A
→
=
故，对?ε>0,?η>0,当0<|u-u
0
|<η,有
(),fu A ε? <
又因为故对此η>0,?δ
1
>0,当0<|x-x
0
|<δ
1
,
有|g(x)-g(x
0
)|<η,又由假设，当0<|x-x
0
|<δ
1
，有g(x)≠u
0
，
取δ=max{δ
1
,δ
2
}，则当0<|x-x
0
|<δ
1
时，有
0
0
lim ( ),
xx
gx u
→
=
0
0(),gx u η<?<
从而，有
[()] (),fgx A fu A ε? =?<
即，
00
lim [()] lim (),
xx uu
fgx f uA
→→
= =
例8 求
1
lim 2 1.
x
x
→
+
解令u=2x+1，则，而当u
0
>0时，
1
lim 3
x
u
→
=
0
0
lim,
uu
uu
→
=
故由定理6，得：
1
lim 2 1.
x
x
→
+
极限存在准则在这一目中，我们主要讨论极限存在的两个重要准则，及利用这两个准则所得到的两个重要极限．
lim lim,
nn
nn
y za
→∞ →∞
= =
准则1 如果数列(x
n
),(y
n
),(z
n
)满足下列条件：
⑴y
n
≤ x
n
≤ z
n
(n=1,2,3,
…
)，
⑵
则数列(x
n
)的极限存在，且.lim
n
n
xa
→∞
=
证因x
n
→a,y
n
→a,由数列极限的定义，?ε >0?N
1
>0,
当n>N
1
时,有|x
n
-a|<ε,对此ε>0,?N
2
>0,当n>N
2
时，有
|z
n
-a|<ε，取N=max{N
1
,N
2
}，则当n>N时关系式
,,
nn
ya zaε ε? <?<
同时成立，即有
,
nnn
ayxzaε ε? <<<<+
即
,
n
xaε? <
此即说明
lim,
n
n
xa
→∞
=
准则1的函数形式为准则如果
⑴当(或|x|>M)时，
1
′
0
(,)
o
xUxδ∈
() () (),gx fx hx≤ ≤
⑵
( )
00
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ),
xx xx x x
gx hx A gx hx A
→ → →∞ →∞
== ==
则：
( )
0
lim ( ) lim ( ),
xx x
f xA f xA
→→∞
==
重要极限1
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
证首先注意到函数对一切x≠0都有定义，并且为偶函数，故仅需证明对x>0时关系成立即可．
sin x
x
如图所示，在单位圆中，记圆心角
AO
D
C
B
x
0,
2
AOB x x
π
∠=<<
点A处的切线与OB的连长线交于D，
BC⊥OA，则
null
sin,,tan,xCBxAB xAD== =
∵DAOB的面积<扇形AOB< DAOD的面积，
111
sin tan,
222
xx x<<
∴
sin tan,xx x< <
即，
不等式两边都除以sinx，得
1
1,
sin cos
x
xx
<<
变形为
sin
cos 1,
x
x
x
< <
因，由准则1，得
0
limcos 1
x
x
→
=
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
注
0
limcos 1.
x
x
→
=
∵当时，有不等式0
2
x
π
<<
2
2
0cos 11cos 2sin,
22
xx
xx<?=?= <
即：
2
01cos,
2
x
x<? <
当x→0时，由准则得
2
0,
2
x
→
1
′
( )
0
lim 1 cos 0,
x
x
→
=
即
0
limcos 1.
x
x
→
=
例9 求
0
tan
lim,
x
x
x
→
解
00 00
tan sin 1 sin 1
lim lim lim lim 1.
cos cos
xx xx
xx
xxx
→→ →→
=?=?=
例10 求
3
0
sin tan
lim,
x
xx
x
→
解
33
00
2
22
00
2
2
0
sin tan sin (cos 1)
lim lim
cos
2sin
1sincos 1
2
lim lim
cos
2
1
2
lim,
2
xx
xx
x
xx xx
x
xx
xx x x
x
x
→→
→→
→
=
==
=? =?
0
arcsin
lim,
x
x
x
→
例11 求解令t=arc sinx,则x=sin t,当x→0时，t→0,则由复合函数的极限运算法则，得
00
arcsin
lim lim 1.
sin
xt
xt
→→
= =
准则2 单调有界数列必有极限．
作为这个准则的应用，我们来讨论极限
1
lim 1,
x
x
x
→∞
+
设，今证数列(x
n
)单调增加且有界．
1
1
n
n
x
x
=+
()
23
1
1
1(1)1 (1)(2)1
1
1! 2! 3!
(1) 1
1
!
1111 2
11 1 1 1
2! 3!
11 2 1
111,
!
n
n
n
x
n
nnn nnn
nn n
nn n n
nn
nnn
n
nnn n
=+
=+ + + +
+
+
=++? + +
+
null
null
null
类似地有
()
1
1111 2
11 1 1 1
2! 1 3! 1 1
11 2 1
111
!111
112
111.
1! 1 1 1
n
x
nnn
n
nn n n
n
nnnn
+
=++? + +
++
+
+++
+
++++
null
比较x
n
,x
n+1
的展开式，可以看到除前两项外，x
n
的每一项都小于x
n+1
的每一项，且还多了最后的一项，其值大于零，所以
x
n
< x
n+1
,
由此说明数列(x
n
)是单调增加上升的．又因
21
1
11 1 11 1
11 11
2! 3! ! 2 2 2
1
1
1
2
1 3 3.
1
2
1
2
n
n
n
n
x
n
<++ + + + <++ + + +
=+ =? <
nullnull
此说明数列(x
n
)是有界的，由极限存在准则2，知数列
(x
n
)的极限存在，以数e表示，即
1
lim 1,
n
n
e
n
→∞
+ =
可以证明，当x→+∞,x→?∞时，函数的极限均存在，且都等于e，即有
1
1
x
x
+
1
lim 1,
x
x
e
x
→∞
+ =
例12 求
1
lim 1,
x
x
x
→∞
解
1
1
11
lim 1 lim 1,
xn
xx
e
xx
→∞ →∞
=? =
例13 求
1
2
1
2
2
222
lim 1 lim 1 / 1
111
2
lim 1,
1
xx
xx
x
x
x
e
x
+
→∞ →∞
+
→∞
+=+ +
++
=+ =
+
此例说明，对于任何整数k，总有
1
lim 1,
xk
x
e
x
+
→∞
+ =
例14 求
2
lim,
2
x
x
x
x
→∞
+
解
4
2
4
4
224 4
lim lim lim 1
2
4
lim 1,
2
xxx
xx x
x
x
xx
x
e
x
→∞ →∞ →∞
→∞
+?+
==+
=+ =
无穷小的比较在本节的第一目中，我们看到有限个无穷小的和、积仍然是无穷小，但无穷小的商却会出现多种情况．例如：
2
2
00
3sin
lim 0,lim 0,lim 1.
3
xxx
x
xx
→→→
= ==
可以看到，当x→0时，x
2
→0比x→0的速度更快；而
sin x→0与x→0的速度大致相同．在这个过程中，可以看到“阶”起了一个比较重要的作用．为此，我们引入：
定义：设α,β是两个无穷小，
⑴若则称α是β的高阶无穷小，记作lim 0,
x
α
β
=
( )
oα β=
⑵若则称α是β的低阶无穷小；
lim,
x
α
β
=∞
⑶若则称α是β的同阶无穷小；lim 0,
x
c
α
β
= ≠
⑷若则称α是β的k阶无穷小;
lim 0,
k
x
α
β
=
⑸若则称α是β的等价无穷小，记作．lim 1,
x
α
β
=
α β=～
由前面的例中可以看到：tan,xx～
2
1
1cos,
2
xx? ～
例15 证明：当x→0时，
1
11.
n
xx
n
+?～
证因为
()
() ()
() ()
0
12
12
0
11
11
lim lim
11 1
lim 1.
11
n
n
n
xx
nn
nn
nn
x
nn
x
x
xxxx
nn
n
xx
→→∞
→
+?
+?
=
+ ++ ++
==
+++++
null
null
定理1 α,β是等价无穷小的充分必要条件为α=β+o(β).
证?：设，则
α β=～
lim lim 0,
xx
αβ αβ
ββ
=?=
即，α?β=o(β)；
：α=β+o(β)，则
()
lim lim 1,
xx
oα ββ
ββ
+
= =
即：．α β=～
定理2 设且存在，则,,α αβ β
′ ′
～～
lim
x
α
β
′
′
lim lim,
xx
α α
β β
′
=
′
证
lim lim lim,
xx x
α ααβ α
β αββ β
′′ ′
==
′
此定理又称为等价无穷小的替换准则．
例16 求极限
0
ln(1 )
lim,
x
x
x
→
+
解
1
00
ln(1 )
lim limln(1 ) ln 1.
x
xx
x
xe
x
→→
+
= +==
例17 求
1
lim,
x
x
e
x
解令1,ln(1 ),0 0,
x
ye x yx y=? = + →?→
则，
0
1
lim lim 1.
ln(1 )
x
xy
ey
→
= =
+
由此得到，当x→0时，1.
x
ex? ～
等价无穷小的基本性质：设α,β,γ是无穷小，
⑴自身性：α~α；
⑵对称性：若α~β，则β~α；
⑶传递性：若α~β，β~γ，则α~γ．
由此得到当x→0时，常见的一些等价无穷小：
sin tan arcsin
arctan 1 ln(1 ).
x
xxx x
xe x? +
～～～
～～～
1.无穷小与无穷大的概念；
2.极限的运算法则；
3.两个重要极限
4.无穷小的阶与等价无穷小及等价无穷小的替换准则．
二、本单元的教学要求
1.理解无穷小和无穷大的概念；
2.掌握极限的运算法则
3.掌握两个重要极限并由此去计算比较复杂的极限；
4.理解无穷小阶的概念，熟记几个常用的等价无穷小并由此去求一些复杂的极限．
三、本单元教学的重点与难点重点
1.无穷小的概念，无穷小与极限的关系；
2.极限的运算法则，尤其是复合函数极限的运算法则；
3.两个重要极限；
4.无穷小的阶与等价无穷小的替换．
难点
1.要区别无穷小与“很小”的数的差别，注意到无穷小是一类以零为极限的变量；
2.注意无穷大与无界函数的差别．无穷大并不是极限，
但却有明显的变化趋势，为了指出这类特殊的变化形式才引入了无穷大的概念；
3.理解无穷小的阶的概念及本质，掌握用等价无穷小替换方法去求某些复杂极限的方法，尤其是使用等价无穷小替换的条件．
本单元教学时数：6课时无穷小与无穷大
1.无穷小定义如果x→x
0
(x→∞)时函数f(x)的极限为零，那么函数f (x)就叫做x→x
0
(x→∞)时的无穷小．
注1.无穷小是以零为极限的变量，不能把它混同于一个很小的数；
2.变量是否为无穷小与自变量的变化过程有关．
例1 因，所以变量是当x→0时的无穷小量．
0
1
lim sin 0
x
x
x
→
=
1
sinx
x
定理1在自变量的同一变化过程x→x
0
(x→∞)中，函数
f (x)有极限A的充分必要条件是f (x)=A+ α，其中α是无穷小．
证?：若，则?ε>0,?δ>0,当0<|x-x
0
|<δ
时，有
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
(),fx A ε? <
令α= f(x)?A,则，上式为
() () 0 0,fx A fx A α ε? ==?<
即，变量α是无穷小量；
：若α= f(x)?A是当x→x
0
时的无穷小，则?ε>0,
δ>0,当0<|x-x
0
|<δ时，有
0() 0()0,fx A fxα ε? ==?<
即：
0
lim ( ),
xx
f xA
→
=
同理可讨论x→∞的情形．
2.无穷大定义2 设函数f(x)在x
0
的某一个空心领域中有定义(或
|x|大于某一个正数)，若对于任意给定的正数M，总存在正数δ(或正数X)，只要x适合不等式0<|x-x
0
|<δ(|x|>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式
(),fx M>
则称函数f(x)为当x→x
0
(x→∞)时的无穷大．记为
lim ( ),
x
fx
→∞
=∞
注1.记号并不是表明函数f(x)当x→x
0
(x→∞)时极限存在，而仅是为了表明函数f(x)当自变量在变化的过程中，有确定的变化趋势；
2.无穷大(∞)不是一个数．
lim ( )
x
fx
→∞
=∞
例2 证明，即函数当x→1时为无穷大．
1
1
lim
1
x
x
→
=∞
1
()
1
fx
x
=
证?M>0，要使，即故取
1
,
1
M
x
>
1
1,x
M
<
1
M
δ =
当0<|x-x
0
|<,有
1
M
δ =
1
,
1
M
x
>
即：
1
1
lim,
1
x
x
→
=∞
x
y
o 1
1
1
y
x
=
定理2 在自变量的某一个变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且
1
()fx
f(x)≠0,则为无穷大．
1
()fx
证设，?ε>0，由无穷大的定义，
δ>0，当0<|x-x
0
|< δ时，有
0
lim ( )
xx
fx
→
=∞
1
(),f xM
ε
>=
即，
1
,
()fx
ε<
即，
0
1
lim 0.
()
xx
fx
→
=
反之，设则由无穷小的定义，对
δ>0,当0<|x-x
0
|<δ时，有
0
lim ( ) 0,
xx
fx
→
=
1
M
ε =
1
(),fx
M
ε<=
因当0<|x-x
0
|<δ时，f(x)≠0，从而
11
,
()fx M
>
即，
0
lim ( ) 0.
xx
fx
→
=
类似，可证的情形．
0
lim ( ) 0
xx
fx
→
=
极限运算法则利用函数极限与无穷小的关系(定理1)，我们导出如下的极限运算法则．为了简化起见，我们以记号表示当自变量在某一个变化过程中的极限，这里变量
x可以x→x
0
,也可以x→∞．在相关的证明过程中，只要把0<|x-x
0
|<δ改换成相应的|x|>X即可．
lim ( )
x
f x
定理3 有限个无穷小的和是无穷小．
证考虑两个无穷小的情形．
设当x→x
0
时，α,β是无穷小，考虑变量γ=α+β，由条件，故对?ε>0,?δ
1
>0,当0<|x-x
0
|<δ
1
时，有
0
lim 0
xx
α
→
=
,
2
ε
α <
同理，因，对对此ε>0,?δ
2
>0,当0<|x-x
0
|<δ
2
时，有
0
lim 0
xx
β
→
=
,
2
ε
β <
取，当0<|x-x
0
|<δ时，有
12
min{,}δ δδ=
,
22
ε ε
γ αβ α β ε= +≤+<+=
即，
0
lim 0.
xx
γ
→
=
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
证设函数u在x
0
的某一个空心领域内是有界的，即?M>0，使得对一切的有|u|≤M，
又设α是当x→x
0
时的无穷小量，即?ε>0,?δ
2
>0，当
0<|x-x
0
|<δ
2
时，有
()
01
,
o
Uxδ
01
(,)
o
xUxδ∈
,
M
ε
α ≤
取，当0<|x-x
0
|<δ时，有
12
min{,}δ δδ=
,,uM
M
ε
α≤≤
同时成立，从而
,uu M
M
ε
α αε= <=
即，uα是x→x
0
的无穷小．
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小．
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
定理5 如果，则
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
()
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),
xxx
fx gx fx gx A B± =±=±
⑴
⑵
[]
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ),f x g x f x g xAB=?=
⑶若B≠0，则
lim ( )
()
lim,
() lim ()
x
x
x
fx
f xA
g x g xB
= =
证⑴设则由定理1，有lim(),lim(),
xx
fx A gx B= =
(),(),fx A gx Bα β= +=+
其中，α,β均为无穷小，于是
( ) ( )
() (),fx gx A B A Bα βαβ± =+±+= ± + ±
这里，α±β是无穷小，所以由定理1，得
()
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
xxx
fx gx A B fx gx±=±= ±
⑵因，故在x
0
的某个空心领域内，函数f(x),g(x)有界，又因
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
01
(,)
o
Uxδ
lim ( ),lim ( )
xx
fx A gx B= =
故从而在x
0
的某个领域内有
(),(),fx A gx Bα β=+ =+
0
(,)
o
Uxδ
[ ] [ ]
()()
() ()
fxgx A B
AB fx gx
αβ
β βαβ
=+?+
=?+?+ +
注意到，在该领域中，f(x),g(x)为有界变量，故
() ()fx gxα βαβ? +?+
为无穷小，所以由定理3，得
[ ]
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
xxx
f x g xAB f x g x==?
⑶因则由定理1，得
lim ( ),lim ( ) 0,
xx
fx A gx B= =≠
(),(),fx A gx Bα β= +=+
其中，α,β为无穷小，令
()
,
()
fx A
gx B
γ =?
则
()
()
1
,
AA
BA
BBBB
α
γ αβ
ββ
+
=?=?
++
因故由第二单元第四目的定理3，存在点
x
0
的某一个空心领域，当时，有
lim ( ) 0,
x
gx B= ≠
0
()
o
Ux
0
()
o
xUx∈
(),
2
B
gx >
∴
()
2
111121
,
()BB B gx B B
B
β
=? <?=
+
由此说明，在点x
0
的某个空心领域中有界，由本节定理2，知γ为无穷小．又因
()
1
BB β+
0
()
o
Ux
()
,
()
fx A
gx B
γ= +
故由定理1，得
lim ( )
()
lim,
() lim ()
x
x
x
f x
fx A
g xB g x
==
由此定理得如下推论：
推论1 若存在，c为常数，则
lim ( )
x
fx
lim ( ) lim ( ).
xx
cf x c f x=
推论2 若存在，n是正整数，则lim ( )
x
fx
[]
lim ( ) lim ( ),
n
n
xx
fx fx
=
将数列视为特殊的函数，由此得到：
定理6 设有数列{x
n
},{y
n
}，若
lim,lim,
nn
nn
xa yb
→∞ →∞
= =
则，
⑴( )
lim,
nn
n
xy ab
→∞
± =±
⑵( )
lim,
nn
n
xy ab
→∞
=
⑶若y
0
≠0,且b≠0，则
lim,
n
n
n
xa
yb
→∞
=
定理7 若而则() (),xx? φ≥
lim ( ),lim ( ),
xx
xa xb? φ= =
.ab≥
例1 求
( )
2
2
lim 3 2,
x
xx
→
+?
解
( )
()
22
22
2
2
222
lim 3 2 lim lim3 lim 2
lim 3lim lim 2 2 3 2 2 8.
xxxx
xxx
xx x x
xx
→→→→
→→→
+?= +?
=+?=+=
一般，对多项式函数
1
110
(),
nn
f xaxax axa
=+ + +null
有
0
1
010100 0
lim ( ) ( ).
nn
xx
fx ax a x ax a fx
→
=+ ++=
例2 求
2
32
1
21
lim,
32 1
x
xx
xxx
→
++
+?+
解∵
( )
32
1
lim 3 2 1 5 0,
x
xxx
→
+?+=≠
∴
()
2
32
1
2
1
32
1
21
lim
32 1
lim 2 1
4
.
5
lim 3 2 1
x
x
x
xx
xxx
xx
xxx
→
→
→
++
+?+
++
==
+?+
一般，若
1
110
0
1
()
(),( ) 0,
()
nn
n
m
mm
mm m
ax a x ax a P x
fx Px
bx b x bx b P x
++++
==≠
++++
null
null
则，
()
0
0
0
()
lim ( ),
n
xx
m
P x
fx
P x
→
=
例3 求
2
2
1
1
lim,
32
x
x
xx
→
+
解当x→1时，分子和分母的极限为零，故不能用上面的方法求极限．
( )( )
()()
2
2
11 1
11
lim lim lim 2.
32 2 1 2
xx x
xx
xx x x x
→→ →
+
+
= ==?
+
例4 求
2
1
23
lim,
54
x
x
xx
→
+
2
1
54
lim 0,
23
x
xx
x
→
+
=
解∵故不能商的求极限的方法．考虑
( )
()
2
11
lim 5 4 0,lim 2 3 0,xx x
→→
+=?≠
由无穷大与无穷小的关系，得
2
1
23
lim,
54
x
x
xx
→
=∞
+
例5 求极限
32
32
2321
lim,
3
x
xxx
xx x
→∞
+?+
+?
解分子分母均除以x
3
,得
32
23
32
3
111
23 2
2321 2
lim lim,
111
3 3
323
xx
xxx
xxx
xx x
xxx
→∞ →∞
+? +
+?+
= =
+?
+?
2
32
1
lim,
221
x
xx
xxx
→∞
++
+
例6 求极限解分子分母均除以x
2
，得
2
23
32
23
11 1
1
lim lim 0.
111
221
12 2
xx
xx
xx x
xxx
xxx
→∞ →∞
++
++
= =
+
+
例7 求极限
42
32
321
lim,
324
x
xxx
xx
→∞
+?
+ +
解考虑极限：
32
42
324
lim,
321
x
xx
xxx
→∞
++
+?
同例6，得该极限为0，故原式的极限
42
32
321
lim,
324
x
xxx
xx
→∞
+?
=∞
+ +
对上面几个例子的分析，得到有理函数f(x)当x→∞时的极限公式：
1
110
1
()
lim
()
0,
nn
nnn
mm
x
mmm
n
m
Px ax a x ax a
Px bx b x bxb
a
nm
b
nm
nm
→∞
+ ++ +
=
+ ++ +
=
=>
∞<
null
null
定理6(复合函数极限的运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数f(u)与函数u=g(x)复合函数，y=f[g(x)]在点x
0
的某空心领域内有定义，且存在
δ
0
>0，当0<|x- x
0
|< δ
0
时，有g(x)≠g(x
0
)，则
00
0
lim ( ),lim ( ),
xx uu
g xu f uA
→→
= =
00
lim [()] lim (),
xx uu
fgx f uA
→→
= =
证由函数极限的定义，因
0
lim ( ),
uu
fu A
→
=
故，对?ε>0,?η>0,当0<|u-u
0
|<η,有
(),fu A ε? <
又因为故对此η>0,?δ
1
>0,当0<|x-x
0
|<δ
1
,
有|g(x)-g(x
0
)|<η,又由假设，当0<|x-x
0
|<δ
1
，有g(x)≠u
0
，
取δ=max{δ
1
,δ
2
}，则当0<|x-x
0
|<δ
1
时，有
0
0
lim ( ),
xx
gx u
→
=
0
0(),gx u η<?<
从而，有
[()] (),fgx A fu A ε? =?<
即，
00
lim [()] lim (),
xx uu
fgx f uA
→→
= =
例8 求
1
lim 2 1.
x
x
→
+
解令u=2x+1，则，而当u
0
>0时，
1
lim 3
x
u
→
=
0
0
lim,
uu
uu
→
=
故由定理6，得：
1
lim 2 1.
x
x
→
+
极限存在准则在这一目中，我们主要讨论极限存在的两个重要准则，及利用这两个准则所得到的两个重要极限．
lim lim,
nn
nn
y za
→∞ →∞
= =
准则1 如果数列(x
n
),(y
n
),(z
n
)满足下列条件：
⑴y
n
≤ x
n
≤ z
n
(n=1,2,3,
…
)，
⑵
则数列(x
n
)的极限存在，且.lim
n
n
xa
→∞
=
证因x
n
→a,y
n
→a,由数列极限的定义，?ε >0?N
1
>0,
当n>N
1
时,有|x
n
-a|<ε,对此ε>0,?N
2
>0,当n>N
2
时，有
|z
n
-a|<ε，取N=max{N
1
,N
2
}，则当n>N时关系式
,,
nn
ya zaε ε? <?<
同时成立，即有
,
nnn
ayxzaε ε? <<<<+
即
,
n
xaε? <
此即说明
lim,
n
n
xa
→∞
=
准则1的函数形式为准则如果
⑴当(或|x|>M)时，
1
′
0
(,)
o
xUxδ∈
() () (),gx fx hx≤ ≤
⑵
( )
00
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ),
xx xx x x
gx hx A gx hx A
→ → →∞ →∞
== ==
则：
( )
0
lim ( ) lim ( ),
xx x
f xA f xA
→→∞
==
重要极限1
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
证首先注意到函数对一切x≠0都有定义，并且为偶函数，故仅需证明对x>0时关系成立即可．
sin x
x
如图所示，在单位圆中，记圆心角
AO
D
C
B
x
0,
2
AOB x x
π
∠=<<
点A处的切线与OB的连长线交于D，
BC⊥OA，则
null
sin,,tan,xCBxAB xAD== =
∵DAOB的面积<扇形AOB< DAOD的面积，
111
sin tan,
222
xx x<<
∴
sin tan,xx x< <
即，
不等式两边都除以sinx，得
1
1,
sin cos
x
xx
<<
变形为
sin
cos 1,
x
x
x
< <
因，由准则1，得
0
limcos 1
x
x
→
=
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
注
0
limcos 1.
x
x
→
=
∵当时，有不等式0
2
x
π
<<
2
2
0cos 11cos 2sin,
22
xx
xx<?=?= <
即：
2
01cos,
2
x
x<? <
当x→0时，由准则得
2
0,
2
x
→
1
′
( )
0
lim 1 cos 0,
x
x
→
=
即
0
limcos 1.
x
x
→
=
例9 求
0
tan
lim,
x
x
x
→
解
00 00
tan sin 1 sin 1
lim lim lim lim 1.
cos cos
xx xx
xx
xxx
→→ →→
=?=?=
例10 求
3
0
sin tan
lim,
x
xx
x
→
解
33
00
2
22
00
2
2
0
sin tan sin (cos 1)
lim lim
cos
2sin
1sincos 1
2
lim lim
cos
2
1
2
lim,
2
xx
xx
x
xx xx
x
xx
xx x x
x
x
→→
→→
→
=
==
=? =?
0
arcsin
lim,
x
x
x
→
例11 求解令t=arc sinx,则x=sin t,当x→0时，t→0,则由复合函数的极限运算法则，得
00
arcsin
lim lim 1.
sin
xt
xt
→→
= =
准则2 单调有界数列必有极限．
作为这个准则的应用，我们来讨论极限
1
lim 1,
x
x
x
→∞
+
设，今证数列(x
n
)单调增加且有界．
1
1
n
n
x
x
=+
()
23
1
1
1(1)1 (1)(2)1
1
1! 2! 3!
(1) 1
1
!
1111 2
11 1 1 1
2! 3!
11 2 1
111,
!
n
n
n
x
n
nnn nnn
nn n
nn n n
nn
nnn
n
nnn n
=+
=+ + + +
+
+
=++? + +
+
null
null
null
类似地有
()
1
1111 2
11 1 1 1
2! 1 3! 1 1
11 2 1
111
!111
112
111.
1! 1 1 1
n
x
nnn
n
nn n n
n
nnnn
+
=++? + +
++
+
+++
+
++++
null
比较x
n
,x
n+1
的展开式，可以看到除前两项外，x
n
的每一项都小于x
n+1
的每一项，且还多了最后的一项，其值大于零，所以
x
n
< x
n+1
,
由此说明数列(x
n
)是单调增加上升的．又因
21
1
11 1 11 1
11 11
2! 3! ! 2 2 2
1
1
1
2
1 3 3.
1
2
1
2
n
n
n
n
x
n
<++ + + + <++ + + +
=+ =? <
nullnull
此说明数列(x
n
)是有界的，由极限存在准则2，知数列
(x
n
)的极限存在，以数e表示，即
1
lim 1,
n
n
e
n
→∞
+ =
可以证明，当x→+∞,x→?∞时，函数的极限均存在，且都等于e，即有
1
1
x
x
+
1
lim 1,
x
x
e
x
→∞
+ =
例12 求
1
lim 1,
x
x
x
→∞
解
1
1
11
lim 1 lim 1,
xn
xx
e
xx
→∞ →∞
=? =
例13 求
1
2
1
2
2
222
lim 1 lim 1 / 1
111
2
lim 1,
1
xx
xx
x
x
x
e
x
+
→∞ →∞
+
→∞
+=+ +
++
=+ =
+
此例说明，对于任何整数k，总有
1
lim 1,
xk
x
e
x
+
→∞
+ =
例14 求
2
lim,
2
x
x
x
x
→∞
+
解
4
2
4
4
224 4
lim lim lim 1
2
4
lim 1,
2
xxx
xx x
x
x
xx
x
e
x
→∞ →∞ →∞
→∞
+?+
==+
=+ =
无穷小的比较在本节的第一目中，我们看到有限个无穷小的和、积仍然是无穷小，但无穷小的商却会出现多种情况．例如：
2
2
00
3sin
lim 0,lim 0,lim 1.
3
xxx
x
xx
→→→
= ==
可以看到，当x→0时，x
2
→0比x→0的速度更快；而
sin x→0与x→0的速度大致相同．在这个过程中，可以看到“阶”起了一个比较重要的作用．为此，我们引入：
定义：设α,β是两个无穷小，
⑴若则称α是β的高阶无穷小，记作lim 0,
x
α
β
=
( )
oα β=
⑵若则称α是β的低阶无穷小；
lim,
x
α
β
=∞
⑶若则称α是β的同阶无穷小；lim 0,
x
c
α
β
= ≠
⑷若则称α是β的k阶无穷小;
lim 0,
k
x
α
β
=
⑸若则称α是β的等价无穷小，记作．lim 1,
x
α
β
=
α β=～
由前面的例中可以看到：tan,xx～
2
1
1cos,
2
xx? ～
例15 证明：当x→0时，
1
11.
n
xx
n
+?～
证因为
()
() ()
() ()
0
12
12
0
11
11
lim lim
11 1
lim 1.
11
n
n
n
xx
nn
nn
nn
x
nn
x
x
xxxx
nn
n
xx
→→∞
→
+?
+?
=
+ ++ ++
==
+++++
null
null
定理1 α,β是等价无穷小的充分必要条件为α=β+o(β).
证?：设，则
α β=～
lim lim 0,
xx
αβ αβ
ββ
=?=
即，α?β=o(β)；
：α=β+o(β)，则
()
lim lim 1,
xx
oα ββ
ββ
+
= =
即：．α β=～
定理2 设且存在，则,,α αβ β
′ ′
～～
lim
x
α
β
′
′
lim lim,
xx
α α
β β
′
=
′
证
lim lim lim,
xx x
α ααβ α
β αββ β
′′ ′
==
′
此定理又称为等价无穷小的替换准则．
例16 求极限
0
ln(1 )
lim,
x
x
x
→
+
解
1
00
ln(1 )
lim limln(1 ) ln 1.
x
xx
x
xe
x
→→
+
= +==
例17 求
1
lim,
x
x
e
x
解令1,ln(1 ),0 0,
x
ye x yx y=? = + →?→
则，
0
1
lim lim 1.
ln(1 )
x
xy
ey
→
= =
+
由此得到，当x→0时，1.
x
ex? ～
等价无穷小的基本性质：设α,β,γ是无穷小，
⑴自身性：α~α；
⑵对称性：若α~β，则β~α；
⑶传递性：若α~β，β~γ，则α~γ．
由此得到当x→0时，常见的一些等价无穷小：
sin tan arcsin
arctan 1 ln(1 ).
x
xxx x
xe x? +
～～～
～～～
