第四单元函数的极值、最大值与最小值一、本单元的内容要点
1.函数的极值与极值点的定义若存在点x
0
的去心领域，使得?x
0
∈
有，则称f (x
0
)是f (x)的一个极大(小)值，x
0
是f (x)的极大(小)值点．
0
(,)Uxδ
D
0
(,)Uxδ
D
00
() ( )( () ( ))f x f x f x f x><
2.函数的极值的判别法必要条件：若函数f (x)在x
0
处可导，且在x
0
处取得极值则．
0
()0fx
′
=
充分条件第一充分条件若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，
x∈(x
0
,x
0
+δ)时，，则f (x)是极大(小)值；
若不变号，则f (x
0
)不是极值．
( ) 0( 0)fx
′
><
( ) 0( 0)fx
′
< >
()f x
′
第二充分若，，则x
0
为极值点．
当，f (x
0
)为极小值；当，f (x
0
)
为极大值．
0
()0fx
′
=
0
()0fx
′′
≠
0
()0fx
′′
>
0
()0fx
′′
<
3.最大值与最小值
⑴某些优化问题可归结为求函数f (x)在区间I上的最大值与最小值．而由闭区间上连续函数的性质知：在闭区间上的连续函数一定可取到最大值和最小值．问题是如何求出闭区间[a,b]上函数f (x)的最大值和最小值．先将求解此问题的一般步骤表述如下：
①求出f (x)在(a,b)内的全部驻点和不可导点x
1
,x
2
,
…
,x
n;
②计算函数值f (x
1
),f (x
2
),
…
,f (x
n
)及f (a),f (b);
③则函数f (x)在区间(a,b)上的最大值M和最小值m由下面计算公式得到：
{ }
12
[,]
max ( ) max ( ),( ),,( ),( ),( ),
n
xab
Mfx f x f x f x f a f b
∈
== "
{ }
12
[,]
min () min (),(),,(),(),().
n
xab
mfx fxfxfxfafb
∈
== "
⑵有关最大值和最小值的应用问题，其关键是建立目标函数，该函数的实际意义下的定义域称为约束域或可行域．
若f (x)在约束集I内有唯一的驻点，又根据问题的实际意义知f (x)的最大(小)值存在，则该驻点即为最大(小)值不必另外讨论．
二、本单元的教学要求
1.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法；
2.会求闭区间上可导函数的最大最小值；
3.会利用函数单调性与函数图形的凹凸性求函数的极值和解决有关最大值与最小值的应用问题；
4.根据实际问题，会建立目标函数与约束集，从而解决有关的优化问题．
三、本单元教学的重点与难点
1.正确理解函数的极值与最大值、最小值这两个不同的概念，以及相互间的关系；
2.正确理解函数的极值点与驻点的概念，特别要注意的是：驻点是相对于可导函数而言，只有可导函数的极值点才是驻点，而可导函数的驻点是可疑极值点；
3.掌握用多种方法去求函数的极值，但要注意的是，
用求导的方法来讨论函数的极值仅仅是充分而不是必要条件．
本单元课时安排2～3课时．
函数的极值及其求法定义设函数的定义域为D，x
0
∈D，若存在x
0
的某个空心领域?D，使得对于该空心领域中的一切x，
都有
0
(,)Uxδ
D
( )
00
( ) ( ) ( ( )),f x f x f x f x≤≥
就称f (x
0
)是函数f (x)的一个极大值(或极小值)．
值得注意的是，对函数f (x)而言，极大值和极小值可能存在多个，并且相互之间不存在一定的大小关系．
x
y
oabx
1
x
1
x
3
x
4
x
i
y=f (x)
图中可以看到，函数y=f (x)取到若干个极大值和极小值，并且某些极小值比某些极大值还要大．由此说明函数的极值是一个领域性的概念．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，而使函数取得极值的点统称为函数的极值点．
定理1 设函数f (x)在x
0
处可导，且在x
0
处取得极值，则
．
0
() 0fx
′
=
定理1实际上就是费马引理,它告诉我们，如果函数
f (x)可导，并且x
0
是它的极值点，那么点x
0
必然是它的驻点．即：可导的极值点必为驻点．
值得注意的是，驻点不一定是极值点．例如函数y=x
3
,
点x=0是驻点，但非极值点；反过来，极值点也并非一定是驻点，例如函数y=|x|,点x=0是极值点，但不是驻点，事实上，函数在该点不可导．
() 0fx
′
>
() 0fx
′
<
() 0fx
′
>() 0fx
′
<
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x
0
处连续，在点x
0
处的某去心领域内可导；
⑴若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，而x∈(x
0
,x
0
+δ),,
则f (x)在x
0
处取得极大值；
⑵若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，而x∈(x
0
,x
0
+δ),,
则f (x)在x
0
处取得极小值；
⑶若x∈，不变号，x
0
不是极值点．
0
(,)Uxδ
D
0
(,)Uxδ
D
()f x
′
证对情形⑴，由函数单调性的判定法则知，函数f (x)
在(x
0
-δ,x
0
)内单调上升，在(x
0
,x
0
+δ)内单调下降，
又因函数在点x
0
是连续的，所以f (x
0
)是f (x)的一个极大值点．
类似可证明情形⑵和⑶．
g
定理2的几何描述：
x
y
o x
0 x
y
o
y=f (x)
y=f (x)
x
0
定理3(第二充分条件) 设函数f (x)在点处有二阶导数，
并且，则
⑴当时，函数f (x)在x
0
处取得极大值；
⑵当时，函数f (x)在x
0
处取得极小值．
00
()0,() 0fx fx
′′′
= ≠
0
() 0fx
′′
>
0
()0fx
′′
<
证对情形⑴，由二阶导数的定义，注意到，
0
() 0fx
′
=
()
( )() ( )
0
0
0
0
00
lim lim 0,
xx x
fx fx fx
fx
xx xx
→?→
′ ′′
′′
= <
由极限的保号性，当x在x
0
的足够小的领域内，并且
x≠x
0
时，有
( )
0
0,
fx
xx
′
<
因而当x<x
0
时，,当x
0
>x
0
时，,由定理2
知，f (x)在x
0
处取得极大值．
同理可证情形⑵和⑶的情形．
() 0fx
′
> () 0fx
′
<
g
值得注意的是：如果函数f (x)在驻点处的二阶导数
，那么驻点必定是极值点，并且可以通过的符号来判定f (x
0
)是极大值还是极小值；但要注意的是，定理3没有就的情形进行讨论．事实上，当时，f (x
0
)可能是极大值，也可能是极小值，甚至可能不是极值．例如：
0
() 0fx
′′
≠
0
()fx
′′
() 0fx
′′
=
() 0fx
′′
=
443
123
(),(),(),f xxf xxf xx=? = =
这三个函数在x
0
=0处分别属于这三个情况．此时，只能用定理2来判定点x
0
是否为极值点．
例1 求函数的极值．
432
() 3 8 6 1fx x x x=?++
解∵
()
2
32
( ) 12 24 12 12 1,fx x x x xx
′
=?+=?
令，得驻点为x
1
=0，x
2
=1，又因() 0fx
′
=
() ( )( )
2
36 48 12 12 3 1 1,fx x x x x
′′
=?+=
得，故f (0)=1为极小值；因，
故不能使用定理3来判别．当x∈(0,1)时，，
x∈(1,2)时,，由定理2知：x
2
=1非极值点．
()
0120f
′′
=>
( )
10f
′′
=
() 0fx
′
>
() 0fx
′
>
最大值与最小值问题人们做任何事情，小至日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出．这类问题在数学上往往可以归结为求函数f (x)在某个集合D内的最大值或最小值的问题．
这个函数f (x
0
)称为目标函数，集合称为约束集或可行域．
这类问题统称为优化问题．
设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，除有限个点外可导并且至多在有限个点处导数为零．在这一条件下，根据闭区间上连续函数的性质可知，f (x)在[a,b]上的最大值最小值必定存在.如果最大值(或最小值)在开区间(a,b)内的某点x
0
处取得，那么x
0
必定是f (x)的驻点或不可导点．
然而f (x)的最大值(或最小值)也可能在x=a或x=b处取得．
因此，我们可以用下述方法求出f (x)在[a,b]上的最大值与最小值：
⑴求出f (x)在(a,b)内的驻点x
1
,x
2
,…,x
s
,和不可导点
⑵计算及；
⑶比较上述函数值的大小：得
12
,,,;
t
xx x
′ ′′
"
( )
() 1,2,,,( )( 1,2,,)
ij
f xi sf x j t
′
== " "(),()f a f b
12
[,]
12
max ( ) max{ (),(),,(),
( ),( ),,( ) ( ),( ),}
s
xab
t
Mfx f x f x f x
fx fx fxfafb
∈
==
′′ ′
"
"
12
[,]
12
min () min{{(),(),,(),
( ),( ),,( ) ( ),( ),}.
s
xab
t
mfx fxfxfx
fx fx fxfa fb
∈
= =
′′ ′
"
"
例2 求函数在闭区间[0,3]上的最大值与最小值．
() 2
x
fx x e=?
解
02
(2),
(),
23
(2),
x
x
x
xe
fx
x
xe
≤≤?
=
<≤
02
(1),
(),
23
(1),
x
x
x
xe
fx
x
xe
<<?
′
=
<<
可见，在(0,3)内，x=1是f (x)的驻点；又x=2是f (x)不可导点，因
3
(0) 2,(1),(2) 0(3),ffeffe====
故f (x)在x=2时取得最小值0，在x=3时取得最大值．
3
e
例3 铁路线上AB段的距离为100 km．工厂C距A处
20km，并且AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路,已知铁路每km货运的运费与公路每km货运的运费之比为3:5,为了使货物从供应站B运到工厂的运费最省，问D点应选在何处？
解设AD=x(km),DB=100-x,
A
D
C
B
100
x
20
22 2
20 400,CD x x=+=+
设铁路上每km的运费为3k，公路上每km的运费为5k，则总运费为
()
2
5 3 [5 400 3(100 )]
0 100,
ykCDkDBk x x
x
=? +? = ++?
≤≤
于是问题就归结为求函数y在闭区间[0,100]上的最小值点,对x求导,
2
5
3,
400
x
yk
x
′
=?
+
得x =15是函数y在(0,100)中唯一的驻点，因
2
01510
1
400,380,500 1,
5
xx x
ykyky k
== =
+
由此可知，当x=15时运费y=380k为最省．
例4 设x
1
与x
2
是两个任意正数，满足条件：x
1
+x
2
=a,
(a是正数)，求的最大值．
12
mn
xx?
解设，则由题意，问题转变为求f (x)在(0,a)内的最大值．
()( )
() 0
n
m
fx x a x x a=?<<
11
() ( ) [ ( )],
mn
fx x ax ma mnx
′
=+
令是区间内唯一驻点，故f (x
0
)
即为f (x)在区间内的最大值．
0
() 0,
ma
fx x
mn
′
=? =
+
.
mn
mn
ma a
fmn
mn mn
+
=
++
注当m=n=1时的特殊情况为我们所熟知的．
注如果f (x)在区间I(开或闭，有限或无限)内连续、可导，x
0
为f (x)在I内部的唯一驻点．若x
0
是f (x)的极大(小)
值点，则它必是f (x)在I内的最大(小)值．
作业
1.求下列函数的极值：
⑴
32
26187;yx x x=+
⑵
( )
ln 1,yx x=? +
2.试问：a为何值时，函数在
1
() sin sin3
3
fx a x x=+
3
x
π
=
处取得极值？是极大值还是极小值，并求极值．
3.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值．
32
2 6 18 7,[ 5,1];yx x x x=∈?
1.函数的极值与极值点的定义若存在点x
0
的去心领域，使得?x
0
∈
有，则称f (x
0
)是f (x)的一个极大(小)值，x
0
是f (x)的极大(小)值点．
0
(,)Uxδ
D
0
(,)Uxδ
D
00
() ( )( () ( ))f x f x f x f x><
2.函数的极值的判别法必要条件：若函数f (x)在x
0
处可导，且在x
0
处取得极值则．
0
()0fx
′
=
充分条件第一充分条件若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，
x∈(x
0
,x
0
+δ)时，，则f (x)是极大(小)值；
若不变号，则f (x
0
)不是极值．
( ) 0( 0)fx
′
><
( ) 0( 0)fx
′
< >
()f x
′
第二充分若，，则x
0
为极值点．
当，f (x
0
)为极小值；当，f (x
0
)
为极大值．
0
()0fx
′
=
0
()0fx
′′
≠
0
()0fx
′′
>
0
()0fx
′′
<
3.最大值与最小值
⑴某些优化问题可归结为求函数f (x)在区间I上的最大值与最小值．而由闭区间上连续函数的性质知：在闭区间上的连续函数一定可取到最大值和最小值．问题是如何求出闭区间[a,b]上函数f (x)的最大值和最小值．先将求解此问题的一般步骤表述如下：
①求出f (x)在(a,b)内的全部驻点和不可导点x
1
,x
2
,
…
,x
n;
②计算函数值f (x
1
),f (x
2
),
…
,f (x
n
)及f (a),f (b);
③则函数f (x)在区间(a,b)上的最大值M和最小值m由下面计算公式得到：
{ }
12
[,]
max ( ) max ( ),( ),,( ),( ),( ),
n
xab
Mfx f x f x f x f a f b
∈
== "
{ }
12
[,]
min () min (),(),,(),(),().
n
xab
mfx fxfxfxfafb
∈
== "
⑵有关最大值和最小值的应用问题，其关键是建立目标函数，该函数的实际意义下的定义域称为约束域或可行域．
若f (x)在约束集I内有唯一的驻点，又根据问题的实际意义知f (x)的最大(小)值存在，则该驻点即为最大(小)值不必另外讨论．
二、本单元的教学要求
1.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法；
2.会求闭区间上可导函数的最大最小值；
3.会利用函数单调性与函数图形的凹凸性求函数的极值和解决有关最大值与最小值的应用问题；
4.根据实际问题，会建立目标函数与约束集，从而解决有关的优化问题．
三、本单元教学的重点与难点
1.正确理解函数的极值与最大值、最小值这两个不同的概念，以及相互间的关系；
2.正确理解函数的极值点与驻点的概念，特别要注意的是：驻点是相对于可导函数而言，只有可导函数的极值点才是驻点，而可导函数的驻点是可疑极值点；
3.掌握用多种方法去求函数的极值，但要注意的是，
用求导的方法来讨论函数的极值仅仅是充分而不是必要条件．
本单元课时安排2～3课时．
函数的极值及其求法定义设函数的定义域为D，x
0
∈D，若存在x
0
的某个空心领域?D，使得对于该空心领域中的一切x，
都有
0
(,)Uxδ
D
( )
00
( ) ( ) ( ( )),f x f x f x f x≤≥
就称f (x
0
)是函数f (x)的一个极大值(或极小值)．
值得注意的是，对函数f (x)而言，极大值和极小值可能存在多个，并且相互之间不存在一定的大小关系．
x
y
oabx
1
x
1
x
3
x
4
x
i
y=f (x)
图中可以看到，函数y=f (x)取到若干个极大值和极小值，并且某些极小值比某些极大值还要大．由此说明函数的极值是一个领域性的概念．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，而使函数取得极值的点统称为函数的极值点．
定理1 设函数f (x)在x
0
处可导，且在x
0
处取得极值，则
．
0
() 0fx
′
=
定理1实际上就是费马引理,它告诉我们，如果函数
f (x)可导，并且x
0
是它的极值点，那么点x
0
必然是它的驻点．即：可导的极值点必为驻点．
值得注意的是，驻点不一定是极值点．例如函数y=x
3
,
点x=0是驻点，但非极值点；反过来，极值点也并非一定是驻点，例如函数y=|x|,点x=0是极值点，但不是驻点，事实上，函数在该点不可导．
() 0fx
′
>
() 0fx
′
<
() 0fx
′
>() 0fx
′
<
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x
0
处连续，在点x
0
处的某去心领域内可导；
⑴若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，而x∈(x
0
,x
0
+δ),,
则f (x)在x
0
处取得极大值；
⑵若x∈(x
0
-δ,x
0
)时，，而x∈(x
0
,x
0
+δ),,
则f (x)在x
0
处取得极小值；
⑶若x∈，不变号，x
0
不是极值点．
0
(,)Uxδ
D
0
(,)Uxδ
D
()f x
′
证对情形⑴，由函数单调性的判定法则知，函数f (x)
在(x
0
-δ,x
0
)内单调上升，在(x
0
,x
0
+δ)内单调下降，
又因函数在点x
0
是连续的，所以f (x
0
)是f (x)的一个极大值点．
类似可证明情形⑵和⑶．
g
定理2的几何描述：
x
y
o x
0 x
y
o
y=f (x)
y=f (x)
x
0
定理3(第二充分条件) 设函数f (x)在点处有二阶导数，
并且，则
⑴当时，函数f (x)在x
0
处取得极大值；
⑵当时，函数f (x)在x
0
处取得极小值．
00
()0,() 0fx fx
′′′
= ≠
0
() 0fx
′′
>
0
()0fx
′′
<
证对情形⑴，由二阶导数的定义，注意到，
0
() 0fx
′
=
()
( )() ( )
0
0
0
0
00
lim lim 0,
xx x
fx fx fx
fx
xx xx
→?→
′ ′′
′′
= <
由极限的保号性，当x在x
0
的足够小的领域内，并且
x≠x
0
时，有
( )
0
0,
fx
xx
′
<
因而当x<x
0
时，,当x
0
>x
0
时，,由定理2
知，f (x)在x
0
处取得极大值．
同理可证情形⑵和⑶的情形．
() 0fx
′
> () 0fx
′
<
g
值得注意的是：如果函数f (x)在驻点处的二阶导数
，那么驻点必定是极值点，并且可以通过的符号来判定f (x
0
)是极大值还是极小值；但要注意的是，定理3没有就的情形进行讨论．事实上，当时，f (x
0
)可能是极大值，也可能是极小值，甚至可能不是极值．例如：
0
() 0fx
′′
≠
0
()fx
′′
() 0fx
′′
=
() 0fx
′′
=
443
123
(),(),(),f xxf xxf xx=? = =
这三个函数在x
0
=0处分别属于这三个情况．此时，只能用定理2来判定点x
0
是否为极值点．
例1 求函数的极值．
432
() 3 8 6 1fx x x x=?++
解∵
()
2
32
( ) 12 24 12 12 1,fx x x x xx
′
=?+=?
令，得驻点为x
1
=0，x
2
=1，又因() 0fx
′
=
() ( )( )
2
36 48 12 12 3 1 1,fx x x x x
′′
=?+=
得，故f (0)=1为极小值；因，
故不能使用定理3来判别．当x∈(0,1)时，，
x∈(1,2)时,，由定理2知：x
2
=1非极值点．
()
0120f
′′
=>
( )
10f
′′
=
() 0fx
′
>
() 0fx
′
>
最大值与最小值问题人们做任何事情，小至日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出．这类问题在数学上往往可以归结为求函数f (x)在某个集合D内的最大值或最小值的问题．
这个函数f (x
0
)称为目标函数，集合称为约束集或可行域．
这类问题统称为优化问题．
设函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，除有限个点外可导并且至多在有限个点处导数为零．在这一条件下，根据闭区间上连续函数的性质可知，f (x)在[a,b]上的最大值最小值必定存在.如果最大值(或最小值)在开区间(a,b)内的某点x
0
处取得，那么x
0
必定是f (x)的驻点或不可导点．
然而f (x)的最大值(或最小值)也可能在x=a或x=b处取得．
因此，我们可以用下述方法求出f (x)在[a,b]上的最大值与最小值：
⑴求出f (x)在(a,b)内的驻点x
1
,x
2
,…,x
s
,和不可导点
⑵计算及；
⑶比较上述函数值的大小：得
12
,,,;
t
xx x
′ ′′
"
( )
() 1,2,,,( )( 1,2,,)
ij
f xi sf x j t
′
== " "(),()f a f b
12
[,]
12
max ( ) max{ (),(),,(),
( ),( ),,( ) ( ),( ),}
s
xab
t
Mfx f x f x f x
fx fx fxfafb
∈
==
′′ ′
"
"
12
[,]
12
min () min{{(),(),,(),
( ),( ),,( ) ( ),( ),}.
s
xab
t
mfx fxfxfx
fx fx fxfa fb
∈
= =
′′ ′
"
"
例2 求函数在闭区间[0,3]上的最大值与最小值．
() 2
x
fx x e=?
解
02
(2),
(),
23
(2),
x
x
x
xe
fx
x
xe
≤≤?
=
<≤
02
(1),
(),
23
(1),
x
x
x
xe
fx
x
xe
<<?
′
=
<<
可见，在(0,3)内，x=1是f (x)的驻点；又x=2是f (x)不可导点，因
3
(0) 2,(1),(2) 0(3),ffeffe====
故f (x)在x=2时取得最小值0，在x=3时取得最大值．
3
e
例3 铁路线上AB段的距离为100 km．工厂C距A处
20km，并且AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路,已知铁路每km货运的运费与公路每km货运的运费之比为3:5,为了使货物从供应站B运到工厂的运费最省，问D点应选在何处？
解设AD=x(km),DB=100-x,
A
D
C
B
100
x
20
22 2
20 400,CD x x=+=+
设铁路上每km的运费为3k，公路上每km的运费为5k，则总运费为
()
2
5 3 [5 400 3(100 )]
0 100,
ykCDkDBk x x
x
=? +? = ++?
≤≤
于是问题就归结为求函数y在闭区间[0,100]上的最小值点,对x求导,
2
5
3,
400
x
yk
x
′
=?
+
得x =15是函数y在(0,100)中唯一的驻点，因
2
01510
1
400,380,500 1,
5
xx x
ykyky k
== =
+
由此可知，当x=15时运费y=380k为最省．
例4 设x
1
与x
2
是两个任意正数，满足条件：x
1
+x
2
=a,
(a是正数)，求的最大值．
12
mn
xx?
解设，则由题意，问题转变为求f (x)在(0,a)内的最大值．
()( )
() 0
n
m
fx x a x x a=?<<
11
() ( ) [ ( )],
mn
fx x ax ma mnx
′
=+
令是区间内唯一驻点，故f (x
0
)
即为f (x)在区间内的最大值．
0
() 0,
ma
fx x
mn
′
=? =
+
.
mn
mn
ma a
fmn
mn mn
+
=
++
注当m=n=1时的特殊情况为我们所熟知的．
注如果f (x)在区间I(开或闭，有限或无限)内连续、可导，x
0
为f (x)在I内部的唯一驻点．若x
0
是f (x)的极大(小)
值点，则它必是f (x)在I内的最大(小)值．
作业
1.求下列函数的极值：
⑴
32
26187;yx x x=+
⑵
( )
ln 1,yx x=? +
2.试问：a为何值时，函数在
1
() sin sin3
3
fx a x x=+
3
x
π
=
处取得极值？是极大值还是极小值，并求极值．
3.求下列函数在指定区间上的最大值和最小值．
32
2 6 18 7,[ 5,1];yx x x x=∈?
