第一单元向量代数一、本单元的内容要点
1.向量及向量的基本运算；
2.向量的数量积；
向量的向量积；
3.混合积。
二、本单元的教学要求
1.了解空间直角坐标系及点的坐标；
2.了解空间向量的定义及分量表示；
3.掌握向量的基本运算；
4.掌握向量的数量积、几何意义及几何应用；
5.掌握向量的向量积、几何意义及几何应用；
6.掌握向量的混合积、几何意义及几何应用。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.空间直角坐标系统的建立；
2.向量的分量表示法；
3.向量的数量积、向量积、混合积及几何上的应用。
难点：
1.空间的直角坐标系统；
2.向量的向量积、混合积的引入，计算方法、应用。尤其是要突出的是：两向量垂直?向量的数量积=0；两向量平行?向量的向量积=0；三向量共面?向量的混合积=0。
本单元教学时数：4课时。
空间直角坐标系
1.空间直角坐标系统的建立取空间中的一个点——称为坐标原点，过该点引三条相互垂直的数轴——分别称为x、
y、和z轴并满足右手法则。由此建立了三维空间中的直角坐标系统。
y
z
x
o
过两两垂直的坐标轴，可以得到三个互相垂直的平面，分别称为xoy平面、yoz平面、xoz平面，这三个平面把整个空间分成八个部分——
卦限。
z
x
o
Ⅰ
ⅡⅢ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
y
2.点的坐标
y
z
x
o
M(x,y,z)
x
y
z
取空间中的点M，过M 向三坐标轴引垂线，得投影
x,y,z，由此得到三维数组(x,y,z);
反之，对任何一个三维数组，在空间也得到一个点与之对应。如此建立了空间的点和三维数组的一个一一对应关系。称(x,y,z)为点M 的坐标，记为M (x,y,z)。
点的性质从下面的图中可以看到：
z
x
o
Ⅰ
ⅡⅢ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
y
点M∈Ⅰ?(x>0,y>0,z>0)
点M∈Ⅵ?(x<0,y>0,z<0).
点M(x,y,z)关于xoy平面的对称点是(x,y,-z)；关于y
轴的对称点是(-x,y,-z)。
3.两点的距离设空间的两点为：P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)，P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)，
则两点间的距离公式为：
( ) ( )
()
22
12 1 2 1 2
2
1/ 2
12
[
]
dPP xx yy
zz
==?+?
+?
y
z
x
o
P
1
P
2
z
1
z
1
x
1
x
2
y
1
y
2
例1 证明以A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形为等腰三角形。
证
222
1
623 7dAB= =++=∵
222
2
236 7dAC= =++=∵
即：d
1
=d
2
,所以该三角形为等腰三角形。
例2求到点A (1,2,1)，B (2,-1,3)等距离的轨迹。
解设动点坐标为M(x,y,z)，则由条件得：
()()()
()()()
()()()()()()
222
1
222
2
222222
12
121,
213,
121213
dMA x y z
dMA x y z
dd x y z x y z
==?+?+?
==?+++?
=+?+?=?+++?
即：214 421442169,xyz xyz?+?+?+=?+++?+
324.xyz? +=
以后可以看到，该轨迹为一平面。
向量与向量的表示
1.向量及几何表示定义既有大小又有方向的量称为向量。
一般用等来表示一个向量。,,ab
null
null
null
a
null
b
null
a
null
定义如果两个向量和的大小相同，
方向相同，就称和相等，记为
a
null
b
null
.ab=
null
null
由此可以看到：决定一个向量的要素是向量的大小和向量的方向。所以在这里讨论的向量都是自由向量：即可以放在空间的任何位置，只要不改变向量的大小和它的方向。
向量的夹角：设向量和，将它们的起点重合，由此得到的夹角定义为向量的夹角。记为
a
null
b
null
θ
null
(,) (0 ).abθ θπ=≤≤
null
null
由此可以看到，若两向量有相同的方向，
则夹角为0；方向相反，则夹角为π。
2.向量的坐标表示在三维空间中，设向量，起点M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),
终点M=(x,y,z)，x-x
0
,y-y
0
,z-z
0
分别称为在x轴,y
轴,z轴上的投影，记为
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0
0
0
x
y
z
axx
ayy
azz
=?
=?
=? y
z
x
o
a
M
0
M
y
0
y
由此得到向量的模a
null
222
.
x y z
a aaa=++
null
设向量与三个坐标轴的夹角分别为α,β,γ则a
null
222
cos
x
x yz
a
aaa
α=
++
222
cos
y
x yz
a
aaa
β=
+ +
222
cos
z
x yz
a
aaa
γ=
+ +
x
y
z
o
α
γ
a
null
由此建立向量与三维数组的对应关系。故此将这三维数组称为向量的坐标，记为
(,,).
x y z
aaaa=
null
又向量，起点M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),终点=(x,y,z)，则
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0000
(,,).aMM xxyyzz==
nullnullnullnullnullnullnull
null
3.向量的模与方向角设向量，M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),M=(x,y,z),α,β,
γ为向量与三个坐标轴正向的夹角，则方向余弦为
0
0aMM= ≠
nullnullnullnullnullnullnull null
null
a
null
cos,cos,cos,
y
x z
a
a a
aa
αβγ===
null nullnull
其中为向量的模。方向余弦满足关系
a
null
222
cos cos cos 1αβγ+ +=
若则方向为任意。0a =
null
null
例1 求向量的模和方向余弦。
(6,7,6)a=
null
22 2
67(6)1a =++?=
null
解
7
cos
11
y
a
a
β= =
null
6
cos
11
x
a
a
α= =
null
6
cos
11
z
a
a
γ
==
null
例2 若点M 的向径与x 轴成45
0
角，与y 轴成60
0
角，模为6，在z 轴上的投影是负值，求点M 的坐标。
解设M 的坐标为(x,y,z )，则
(,,)aOM xyz==
nullnullnullnullnull
null
2
6,cos,3 2;
26
x
axα===?=
null 1
cos,3;
26
y
yβ= =?=
2
11 1
cos 1,cos 0,cos,3
24 2
zλγγ= <? ==?
(3 2,3,3).M∴?
向量的加法与数乘运算
1.向量的加法设向量和,以,为邻边构造一平行四边形，其中的一条对角边称为与之和，记为
a
null
b
null
a
null
b
null
b
null
a
null
.cab= +
null
null null
a
null
cab= +
null
null null
b
null
该法则称为向量和的平行四边形法则。
向量和的三角形法则。
a
null
cab= +
null
null null
b
null
设向量和,将的起点移至的终点，从的起点向的终点引一向量，所得之向量也为向量与之和。
a
null
b
null
a
null
b
null
b
null
a
null
a
null
b
null
向量加法的坐标表示法设向量
( )
,,,
xyz
aOA aaa==
nullnullnullnull
null
( )
,,,
xyz
bABbbb==
nullnullnullnullnull
y
z
x
o
a
null
b
null
ab+
null
null
A
B
∵ A的坐标为(a
x
,a
y
,a
z
)
B的坐标为(x,y,z)，
∴
( )
,,,
xyz
ABxay aza=
nullnullnullnull
∴
,,
x xxx
bxa xab==+
同理可得：
,,
yy zz
ya bzab= +=+
∴
( )
,,.
xxyyzz
ab a ba ba b+= + + +
null
null
2.数乘设数λ及向量，定义数λ与的数乘为向量λ,
a
null
a
null
a
null
aaλ λ=
null null
其中
λ的方向：λ >0，同向；λ <0，反向。
a
null
a
null
aλ
null
λ>0
a
null
aλ
null
λ<0
数乘的坐标表示设，，α,β,γ
为向量与三个坐标轴正向的夹角，(1),当λ>0时，α,
β,γ也是与三个坐标轴正向的夹角，
(,,)
xyz
aaaa=
null
(,,)
xyz
aaaaλ
′ ′′
=
null
a
null
aλ
null
cos cos,
xx
aa a aλ αλ αλ
′
∴ ===
null
(2)当λ>0时，是与三个坐标轴正向的夹角，
则，
,,α βγ
′ ′′
aλ
null
a π α
′
=?
cos cosα α
′
=?
cos cos cos,aa a a aλ αλ αλ αλ
′′ ′
∴ ==?==
null
同理：
cos,cos,
yy zz
aa aaβ γ
′ ′
= =
即：
( )
,,.
xyz
aaaaλλλλ=
null
当λ=-1时，λ称为的负向量。
a
null
a
null
运算性质：;
()();
() ;
()().
abba
abc abc
ab a b
aa
λλλ
λμ λμ
+=+
+ +=++
+=+
=
null null
null null
nullnull
null nullnull null
nullnull
nullnull
nullnull
三角不等式：
.ab abab?≤+≤+
null nullnull
null nullnull
单位向量：模为1的向量称为单位向量。
单位化：设向量，定义向量
0a ≠
null
null
a
a
e
a
=
null
null
null
为的单位化。
a
null
定理：设是向量，，则?。
,ab
null
null
0a ≠
null
null
ab
null
null
null abλ=
null
null
证?：
0,b =
null
null
取λ=0，即可。
,
ab
eeabλ∴ =±? =
null
null nullnull
0,b ≠
null
null
则，由
,,
ab
ab e e?
null
null nullnull
nullnull
：，则由定义?。
abλ=
null
null
ab
null
null
null
g
由此定理直接得到：
定理：设是向量，，则?
,ab
null
null
0a ≠
null
null
ab
null
null
null
,
y
x z
xyz
b
b b
aaa
λ===
即：对应的分量成比例。
向量的分量表达式设，
(,,)
xyz
aaaa=
null
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),ijk===
null
null null
则：(,,)
x y zxy z
ijkaaaa a a a==++
null
null null
null
上式称为向量的分量表达式。
y
z
x
o
i
null
k
null
j
null
a
null
例1 设求向量在x 轴上的投影以及在z 轴上的分向量。
,47,,358 2 358ijk ijk ijkabc=++ = =++
null nullnull
null nullnullnullnullnull
null
nullnull
233labc=+?
nullnull
null null
17 2333 59ijklabc?=+?= +
null
null null
null null
null null
∵
解
∴投影a
x
=3,分向量为。
59k
null
例2 设，
求z。
(3,5,6),( 1,1,),abzabab=?=? +=?
null nullnull
nullnullnull
(2,4,8 ),(4,6,8 ),ab zab z+ =?+?=
null null
nullnull
∵
解
2
22
416(8 ) 20(8 )ab z z+=+++=++∴
null
null
() ()
2
16 36 8 52 8ab z z?=++?=+?∴
null
null
() ()
22
20 8 52 8,1.zzz+ +=+=∴
例3 在DABC中若D是BC上的一点，若
( )
1
2
ADABAC=+
nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
证明D是BC的中点。
B
C
D
A
证
()
1
2
BD BA AD AB AB AC=+=?+ +
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
( )
1
,
2
ACAB=?
nullnullnullnull nullnullnullnull
( )
1
2
CD CA AD AC AB AC=+=?+ +
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
( )
1
.
2
ABAC BD=?=?
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
所以，D是BC 的中点。
g
向量的数量积设是向量，，定义,ab
null
null
null
(,)abθ=
null
null
cosab a b θ?=?
null null
null null
称其为向量的数量积。
,ab
null
null
在物理学中，我们知道常力作功
θ
F
null
S
null
cos,WFS θ=
nullnull
即：WFS=?
nullnull
由数量积的定义，易得
0ab ab⊥=
null null
null null
性质：
2
(1) ;
(2) ;
(3) 0;
(4) 1.
ab ba
aa a
ij jk ik
ii jj kk
=?
=
=?=?=
=?=?=
null null
null null
nullnull null
nullnull
nullnull null null
nullnull
nullnull nullnull
向量的投影设向量，，定义
,ab
null
null null
(,)abθ=
null
null
Pr j cos
a
bb θ=
null
null null
称为向量在向量上的投影。由此得到
b
null
a
null
Pr j,
a
ab a b?=
null
null null
null null
Pr j ( ) Pr j Pr j,
aaa
bc b c+= +
null nullnull
null null
null null
定理(投影定理)
向量数量积的坐标表达式
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
设，则
.
xx yy zz
ab ab ab ab?= + +
null
null
证
,
xx yy zz
ab ab ab ab?= + +∴
null
null
)( )
(
,
xyzxyz
xx xy zz
xx yy zz
ijkbijkab a a a b b
abi i abi j abk k
ab ab ab
= + + + +
=?+?+ +?
=++
null null
null nullnullnull
null
null
null null
nullnull nullnull
null
∵
g
证二由余弦定理
a
null
b
null
ab?
null
null
2
2
221
cos
2
ab a b a bθ
=+
nullnullnull
nullnullnull
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
()()
()
()
()
222 222
2
22
1
cos {
2
[ ]}
,
xyz xyz
xx yy zz
xx yy zz
ab aaa bbb
ab ab ab
ab ab ab
θ∴?=+++++
+?+?
=++
null
null
g
由数量积的定义得两向量的夹角的计算公式：
设向量，，则
,ab
null
null null
(,)abθ=
null
null
cos,
x xyyzz
ab ab ab
ab
ab ab
θ
++
==
null
null
nullnull
nullnull
及在上的投影。
例1 已知求向量
( ) ( ) ( )
1,1,1,1,2,2,3,5,4,ab c==?=?
null
null null
()()dacbabc=?+?
null nullnull
nullnull null null
d
null
a
null
()()2 (5,1,0),dacbabcbc=? +? =+=?
nullnullnullnull
null nullnullnull null
3,a =
null
1
Pr 4.
3
a
ad
jd
a
==∴
null
null
null
null
null
解例2 设为相互垂直的单位向量，求
,mn
null null
10 2amn= +
null nullnull
在上的投影。
512bm n=?
null
null null
( ) ( )
10 2 5 12 50 24 26,ab m n m n?= + =? =
null
nullnullnullnullnull
104,169,ab==
null
null
26
Pr 2.
13
b
ab
ja
b
= ==∴
null
null
null
null
null
解向量的向量积
1.定义设向量，由此确定新向量，其中,ab
null
null
c
null
null
(,)baθ=
null
null
sinbca θ=
null
null null
的方向满足从到的右手法则。记为
a
null
b
null
c
null
a
null
b
null
c
null
.bca= ×
null
null null
称为向量的向量积(叉积)。c
null
,ab
null
null
注1,向量的向量积是一个向量而不是数；
2,向量的向量积不满足交换性。
3.
4,向量积的几何意义：向量的模为以和为邻边的平行四边形面积，即：
.,bbbaaa⊥ ⊥××
null nullnull
nullnullnull
ab×
null
null
a
null
b
null
.
ABCD
s ab= ×
null
null
null
A
B
C
D
a
null
b
null
()
()
() ( );
3,
0
1,;
2,;
4,;
5,0 ;
6.,,.
bb
bbc
bb b
bb
aa
acac
aa a
aa
ii jjkk
ijkjkikij
λ λλ
=? ×
×
=
=
×
+×=×+
××=×
×
×=×=×=
×= ×= ×=
null null
nullnull
null
null nullnull
nullnullnull
null null
nullnullnullnull
nullnull null
nullnull
null
nullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnull
null nullnull nullnullnull
2.性质注向量的向量积不满足结合律，即
( )
( )
bbacac× ×= ××
null null
null nullnullnull
一般不成立。
()
()
,
00.
iij ik j
ii j j
××=×=?
××=×=
null
nullnullnullnull null
null null
nullnull null null
例1
3.向量积的坐标表达式设，则
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
.
xyz
xyz
b
ijk
aaaa
bbb
×=
null
null
null null
null
例2
(3,2,1),(1,1,2),.bab a==?×
null
null
nullnull
求
32 14 3 2 6
112
3 7 5,
b
ijk
aikj ki j
ijk
×=?=
=
null
null
null null
nullnull
null nullnullnull
null
null
nullnull
解例3设不共线，问λ为多少时，共线。
,ba
null
null
,5,3bbpa qaλ= +=?
null null
null nullnullnull
,pq
nullnull
解共线
,pq
nullnull
0,pq? ×=
null
null null
( ) ( )
15 0
53
15 5
(15),
bb
bbb
bb b
pq a a
aa a ba
aa a
λ
λλ ×
×= + ×?
=×?×+×? =
=? × ×= ×=
null null
nullnullnull
nullnull nullnull
nullnull null null
∵
null
nullnull null null
nullnull null
15,λ =?∴
解由已知条件，
( )
,bca×
null
null null
null
3 2 2 34 51 104
18 22 5
ijk
bij ka +?
×= =
null
null null
null null
nullnull
null
取
(2,3,6),7 14,2,cc λλλ? ==?=±=
null
null
cos 0,2,β λ<?=?∵
例4 设，已知，
3,2,2 18,22,5(),( )ab==
null
null
14,,cbc⊥ =
null
null null
且与y 轴正向的夹角为钝角，求。
c
null
c
null
ca⊥
null null
(4,6,12),c=∴
null
4.应用
⑴.求以向量为邻边的平行四边形的面积。,ba
null
null
a
null
b
null
h
θ
如图所示，设面积为S，则
sin,bbSa a θ=×=
null null
null null
,ba
null
null
⑵.求以向量为邻边的三角形对某一边的高。
由前面的讨论知，以为邻边的平行四边形面积为
,ba
null
null
.
ba
h
a
×
=
null
null
null
,bSa= ×
null
null
故底边的高h为：
a
null
b
null
h
例4 设l 是过空间A(1,1,1),B(1,-1,2)的直线，C(2,1,1)为直线外的一点，求点C到直线的距离。
解如图所示，有
A B
C
d
,
ABAC
d
AB
×
=
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
(0,2,1),(1,0,0),AB AC=? =
nullnullnullnull nullnullnullnull
∵
(0,1,2),AB AC×=
nullnullnullnull nullnullnullnull
5,AB AB AC?=×=
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
1,d∴ =
向量的混合积
1.定义设为向量，定义
,,bac
null
nullnull
( )
,bbac a c
= ×?
null null
null nullnullnull
称为的混合积。
,,bac
null
nullnull
混合积的坐标表示设向量,则
( ) ( ) ( )
,,,,,,,,
x y zxy zxy z
aaaabbbbbccc===
null null
null
,,,
yz xy
zx
yz xy
zx
aa aa
aa
ab
bb bb
bb
×=
null
null
()
,
yz xy
zx
x yz
yz xy
zx
aa aa
aa
abc c c c
bb bb
bb
×?=?+?+?
null
nullnull
由三阶行列式的计算，得到：
()
,
x y z
x y z
x y z
bb
aaa
ac a cbbb
ccc
=×?=
nullnull
nullnullnull null
由行列式的性质，得到：若为三向量，则有
,,bca
null
null
null
,bb ba c ca ca
==
null nullnull
null nullnullnullnullnull
3.几何意义设为三向量，则混合积的绝对值表示为以为邻边的平行六面体的体积。事实上，由定义得
,,bca
null
null
null
,,bca
null
null
null
a
null
c
null
b
null
ba×
null
null
θ
( )
[ ] cos,bbac a cabcθ=×?=×
null null
null
nullnull null nullnullnull
其中S= 为底面的面积，而h= 为高。即有
ab×
null
null
cosc θ
null
cos
[ ].b
VShabc
ac
θ==×
=
null
null
null null
nullnull
,,bca
null
null
null
0.bac
=
null
null null
从而有共面?
例1 证明点A (1,1,1)，B (4,5,6)，C (2,3,3)，D (10,15,17)
四点共面。
证四点共面?三向量共面。即
34 5
1 2 2 0.
91416
AB AC AD
= =
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
∵
∴ A，B，C，D 四点共面。
g
例2 证明向量共面。
,,bbma n apca=?=?=?
null null
null nullnull nullnullnullnull
证向量共面?
,,mnp
null nullnull
[ ]
0mnp=
null nullnull
[ ]
( ) ( )
( )
()
()
()()
( )
0.
bb
bb
bb
mnp a c c a
aaccca
ac ca
=?×
= ×?×+×
=×?+×
=
null null
nullnull
nullnull
null nullnull null null null null
null null
null nullnull null nullnull
nullnullnull
∵
∴向量共面。
g
1.向量及向量的基本运算；
2.向量的数量积；
向量的向量积；
3.混合积。
二、本单元的教学要求
1.了解空间直角坐标系及点的坐标；
2.了解空间向量的定义及分量表示；
3.掌握向量的基本运算；
4.掌握向量的数量积、几何意义及几何应用；
5.掌握向量的向量积、几何意义及几何应用；
6.掌握向量的混合积、几何意义及几何应用。
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.空间直角坐标系统的建立；
2.向量的分量表示法；
3.向量的数量积、向量积、混合积及几何上的应用。
难点：
1.空间的直角坐标系统；
2.向量的向量积、混合积的引入，计算方法、应用。尤其是要突出的是：两向量垂直?向量的数量积=0；两向量平行?向量的向量积=0；三向量共面?向量的混合积=0。
本单元教学时数：4课时。
空间直角坐标系
1.空间直角坐标系统的建立取空间中的一个点——称为坐标原点，过该点引三条相互垂直的数轴——分别称为x、
y、和z轴并满足右手法则。由此建立了三维空间中的直角坐标系统。
y
z
x
o
过两两垂直的坐标轴，可以得到三个互相垂直的平面，分别称为xoy平面、yoz平面、xoz平面，这三个平面把整个空间分成八个部分——
卦限。
z
x
o
Ⅰ
ⅡⅢ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
y
2.点的坐标
y
z
x
o
M(x,y,z)
x
y
z
取空间中的点M，过M 向三坐标轴引垂线，得投影
x,y,z，由此得到三维数组(x,y,z);
反之，对任何一个三维数组，在空间也得到一个点与之对应。如此建立了空间的点和三维数组的一个一一对应关系。称(x,y,z)为点M 的坐标，记为M (x,y,z)。
点的性质从下面的图中可以看到：
z
x
o
Ⅰ
ⅡⅢ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
y
点M∈Ⅰ?(x>0,y>0,z>0)
点M∈Ⅵ?(x<0,y>0,z<0).
点M(x,y,z)关于xoy平面的对称点是(x,y,-z)；关于y
轴的对称点是(-x,y,-z)。
3.两点的距离设空间的两点为：P
1
(x
1
,y
1
,z
1
)，P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)，
则两点间的距离公式为：
( ) ( )
()
22
12 1 2 1 2
2
1/ 2
12
[
]
dPP xx yy
zz
==?+?
+?
y
z
x
o
P
1
P
2
z
1
z
1
x
1
x
2
y
1
y
2
例1 证明以A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形为等腰三角形。
证
222
1
623 7dAB= =++=∵
222
2
236 7dAC= =++=∵
即：d
1
=d
2
,所以该三角形为等腰三角形。
例2求到点A (1,2,1)，B (2,-1,3)等距离的轨迹。
解设动点坐标为M(x,y,z)，则由条件得：
()()()
()()()
()()()()()()
222
1
222
2
222222
12
121,
213,
121213
dMA x y z
dMA x y z
dd x y z x y z
==?+?+?
==?+++?
=+?+?=?+++?
即：214 421442169,xyz xyz?+?+?+=?+++?+
324.xyz? +=
以后可以看到，该轨迹为一平面。
向量与向量的表示
1.向量及几何表示定义既有大小又有方向的量称为向量。
一般用等来表示一个向量。,,ab
null
null
null
a
null
b
null
a
null
定义如果两个向量和的大小相同，
方向相同，就称和相等，记为
a
null
b
null
.ab=
null
null
由此可以看到：决定一个向量的要素是向量的大小和向量的方向。所以在这里讨论的向量都是自由向量：即可以放在空间的任何位置，只要不改变向量的大小和它的方向。
向量的夹角：设向量和，将它们的起点重合，由此得到的夹角定义为向量的夹角。记为
a
null
b
null
θ
null
(,) (0 ).abθ θπ=≤≤
null
null
由此可以看到，若两向量有相同的方向，
则夹角为0；方向相反，则夹角为π。
2.向量的坐标表示在三维空间中，设向量，起点M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),
终点M=(x,y,z)，x-x
0
,y-y
0
,z-z
0
分别称为在x轴,y
轴,z轴上的投影，记为
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0
0
0
x
y
z
axx
ayy
azz
=?
=?
=? y
z
x
o
a
M
0
M
y
0
y
由此得到向量的模a
null
222
.
x y z
a aaa=++
null
设向量与三个坐标轴的夹角分别为α,β,γ则a
null
222
cos
x
x yz
a
aaa
α=
++
222
cos
y
x yz
a
aaa
β=
+ +
222
cos
z
x yz
a
aaa
γ=
+ +
x
y
z
o
α
γ
a
null
由此建立向量与三维数组的对应关系。故此将这三维数组称为向量的坐标，记为
(,,).
x y z
aaaa=
null
又向量，起点M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),终点=(x,y,z)，则
0
aMM=
nullnullnullnullnullnullnull
null
0000
(,,).aMM xxyyzz==
nullnullnullnullnullnullnull
null
3.向量的模与方向角设向量，M
0
=(x
0
,y
0
,z
0
),M=(x,y,z),α,β,
γ为向量与三个坐标轴正向的夹角，则方向余弦为
0
0aMM= ≠
nullnullnullnullnullnullnull null
null
a
null
cos,cos,cos,
y
x z
a
a a
aa
αβγ===
null nullnull
其中为向量的模。方向余弦满足关系
a
null
222
cos cos cos 1αβγ+ +=
若则方向为任意。0a =
null
null
例1 求向量的模和方向余弦。
(6,7,6)a=
null
22 2
67(6)1a =++?=
null
解
7
cos
11
y
a
a
β= =
null
6
cos
11
x
a
a
α= =
null
6
cos
11
z
a
a
γ
==
null
例2 若点M 的向径与x 轴成45
0
角，与y 轴成60
0
角，模为6，在z 轴上的投影是负值，求点M 的坐标。
解设M 的坐标为(x,y,z )，则
(,,)aOM xyz==
nullnullnullnullnull
null
2
6,cos,3 2;
26
x
axα===?=
null 1
cos,3;
26
y
yβ= =?=
2
11 1
cos 1,cos 0,cos,3
24 2
zλγγ= <? ==?
(3 2,3,3).M∴?
向量的加法与数乘运算
1.向量的加法设向量和,以,为邻边构造一平行四边形，其中的一条对角边称为与之和，记为
a
null
b
null
a
null
b
null
b
null
a
null
.cab= +
null
null null
a
null
cab= +
null
null null
b
null
该法则称为向量和的平行四边形法则。
向量和的三角形法则。
a
null
cab= +
null
null null
b
null
设向量和,将的起点移至的终点，从的起点向的终点引一向量，所得之向量也为向量与之和。
a
null
b
null
a
null
b
null
b
null
a
null
a
null
b
null
向量加法的坐标表示法设向量
( )
,,,
xyz
aOA aaa==
nullnullnullnull
null
( )
,,,
xyz
bABbbb==
nullnullnullnullnull
y
z
x
o
a
null
b
null
ab+
null
null
A
B
∵ A的坐标为(a
x
,a
y
,a
z
)
B的坐标为(x,y,z)，
∴
( )
,,,
xyz
ABxay aza=
nullnullnullnull
∴
,,
x xxx
bxa xab==+
同理可得：
,,
yy zz
ya bzab= +=+
∴
( )
,,.
xxyyzz
ab a ba ba b+= + + +
null
null
2.数乘设数λ及向量，定义数λ与的数乘为向量λ,
a
null
a
null
a
null
aaλ λ=
null null
其中
λ的方向：λ >0，同向；λ <0，反向。
a
null
a
null
aλ
null
λ>0
a
null
aλ
null
λ<0
数乘的坐标表示设，，α,β,γ
为向量与三个坐标轴正向的夹角，(1),当λ>0时，α,
β,γ也是与三个坐标轴正向的夹角，
(,,)
xyz
aaaa=
null
(,,)
xyz
aaaaλ
′ ′′
=
null
a
null
aλ
null
cos cos,
xx
aa a aλ αλ αλ
′
∴ ===
null
(2)当λ>0时，是与三个坐标轴正向的夹角，
则，
,,α βγ
′ ′′
aλ
null
a π α
′
=?
cos cosα α
′
=?
cos cos cos,aa a a aλ αλ αλ αλ
′′ ′
∴ ==?==
null
同理：
cos,cos,
yy zz
aa aaβ γ
′ ′
= =
即：
( )
,,.
xyz
aaaaλλλλ=
null
当λ=-1时，λ称为的负向量。
a
null
a
null
运算性质：;
()();
() ;
()().
abba
abc abc
ab a b
aa
λλλ
λμ λμ
+=+
+ +=++
+=+
=
null null
null null
nullnull
null nullnull null
nullnull
nullnull
nullnull
三角不等式：
.ab abab?≤+≤+
null nullnull
null nullnull
单位向量：模为1的向量称为单位向量。
单位化：设向量，定义向量
0a ≠
null
null
a
a
e
a
=
null
null
null
为的单位化。
a
null
定理：设是向量，，则?。
,ab
null
null
0a ≠
null
null
ab
null
null
null abλ=
null
null
证?：
0,b =
null
null
取λ=0，即可。
,
ab
eeabλ∴ =±? =
null
null nullnull
0,b ≠
null
null
则，由
,,
ab
ab e e?
null
null nullnull
nullnull
：，则由定义?。
abλ=
null
null
ab
null
null
null
g
由此定理直接得到：
定理：设是向量，，则?
,ab
null
null
0a ≠
null
null
ab
null
null
null
,
y
x z
xyz
b
b b
aaa
λ===
即：对应的分量成比例。
向量的分量表达式设，
(,,)
xyz
aaaa=
null
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),ijk===
null
null null
则：(,,)
x y zxy z
ijkaaaa a a a==++
null
null null
null
上式称为向量的分量表达式。
y
z
x
o
i
null
k
null
j
null
a
null
例1 设求向量在x 轴上的投影以及在z 轴上的分向量。
,47,,358 2 358ijk ijk ijkabc=++ = =++
null nullnull
null nullnullnullnullnull
null
nullnull
233labc=+?
nullnull
null null
17 2333 59ijklabc?=+?= +
null
null null
null null
null null
∵
解
∴投影a
x
=3,分向量为。
59k
null
例2 设，
求z。
(3,5,6),( 1,1,),abzabab=?=? +=?
null nullnull
nullnullnull
(2,4,8 ),(4,6,8 ),ab zab z+ =?+?=
null null
nullnull
∵
解
2
22
416(8 ) 20(8 )ab z z+=+++=++∴
null
null
() ()
2
16 36 8 52 8ab z z?=++?=+?∴
null
null
() ()
22
20 8 52 8,1.zzz+ +=+=∴
例3 在DABC中若D是BC上的一点，若
( )
1
2
ADABAC=+
nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
证明D是BC的中点。
B
C
D
A
证
()
1
2
BD BA AD AB AB AC=+=?+ +
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
( )
1
,
2
ACAB=?
nullnullnullnull nullnullnullnull
( )
1
2
CD CA AD AC AB AC=+=?+ +
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull
( )
1
.
2
ABAC BD=?=?
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
所以，D是BC 的中点。
g
向量的数量积设是向量，，定义,ab
null
null
null
(,)abθ=
null
null
cosab a b θ?=?
null null
null null
称其为向量的数量积。
,ab
null
null
在物理学中，我们知道常力作功
θ
F
null
S
null
cos,WFS θ=
nullnull
即：WFS=?
nullnull
由数量积的定义，易得
0ab ab⊥=
null null
null null
性质：
2
(1) ;
(2) ;
(3) 0;
(4) 1.
ab ba
aa a
ij jk ik
ii jj kk
=?
=
=?=?=
=?=?=
null null
null null
nullnull null
nullnull
nullnull null null
nullnull
nullnull nullnull
向量的投影设向量，，定义
,ab
null
null null
(,)abθ=
null
null
Pr j cos
a
bb θ=
null
null null
称为向量在向量上的投影。由此得到
b
null
a
null
Pr j,
a
ab a b?=
null
null null
null null
Pr j ( ) Pr j Pr j,
aaa
bc b c+= +
null nullnull
null null
null null
定理(投影定理)
向量数量积的坐标表达式
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
设，则
.
xx yy zz
ab ab ab ab?= + +
null
null
证
,
xx yy zz
ab ab ab ab?= + +∴
null
null
)( )
(
,
xyzxyz
xx xy zz
xx yy zz
ijkbijkab a a a b b
abi i abi j abk k
ab ab ab
= + + + +
=?+?+ +?
=++
null null
null nullnullnull
null
null
null null
nullnull nullnull
null
∵
g
证二由余弦定理
a
null
b
null
ab?
null
null
2
2
221
cos
2
ab a b a bθ
=+
nullnullnull
nullnullnull
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
()()
()
()
()
222 222
2
22
1
cos {
2
[ ]}
,
xyz xyz
xx yy zz
xx yy zz
ab aaa bbb
ab ab ab
ab ab ab
θ∴?=+++++
+?+?
=++
null
null
g
由数量积的定义得两向量的夹角的计算公式：
设向量，，则
,ab
null
null null
(,)abθ=
null
null
cos,
x xyyzz
ab ab ab
ab
ab ab
θ
++
==
null
null
nullnull
nullnull
及在上的投影。
例1 已知求向量
( ) ( ) ( )
1,1,1,1,2,2,3,5,4,ab c==?=?
null
null null
()()dacbabc=?+?
null nullnull
nullnull null null
d
null
a
null
()()2 (5,1,0),dacbabcbc=? +? =+=?
nullnullnullnull
null nullnullnull null
3,a =
null
1
Pr 4.
3
a
ad
jd
a
==∴
null
null
null
null
null
解例2 设为相互垂直的单位向量，求
,mn
null null
10 2amn= +
null nullnull
在上的投影。
512bm n=?
null
null null
( ) ( )
10 2 5 12 50 24 26,ab m n m n?= + =? =
null
nullnullnullnullnull
104,169,ab==
null
null
26
Pr 2.
13
b
ab
ja
b
= ==∴
null
null
null
null
null
解向量的向量积
1.定义设向量，由此确定新向量，其中,ab
null
null
c
null
null
(,)baθ=
null
null
sinbca θ=
null
null null
的方向满足从到的右手法则。记为
a
null
b
null
c
null
a
null
b
null
c
null
.bca= ×
null
null null
称为向量的向量积(叉积)。c
null
,ab
null
null
注1,向量的向量积是一个向量而不是数；
2,向量的向量积不满足交换性。
3.
4,向量积的几何意义：向量的模为以和为邻边的平行四边形面积，即：
.,bbbaaa⊥ ⊥××
null nullnull
nullnullnull
ab×
null
null
a
null
b
null
.
ABCD
s ab= ×
null
null
null
A
B
C
D
a
null
b
null
()
()
() ( );
3,
0
1,;
2,;
4,;
5,0 ;
6.,,.
bb
bbc
bb b
bb
aa
acac
aa a
aa
ii jjkk
ijkjkikij
λ λλ
=? ×
×
=
=
×
+×=×+
××=×
×
×=×=×=
×= ×= ×=
null null
nullnull
null
null nullnull
nullnullnull
null null
nullnullnullnull
nullnull null
nullnull
null
nullnullnull
nullnullnullnull
nullnullnull
null nullnull nullnullnull
2.性质注向量的向量积不满足结合律，即
( )
( )
bbacac× ×= ××
null null
null nullnullnull
一般不成立。
()
()
,
00.
iij ik j
ii j j
××=×=?
××=×=
null
nullnullnullnull null
null null
nullnull null null
例1
3.向量积的坐标表达式设，则
,
x y zxy z
ijkbbijkaa a a b b==++ ++
null nullnull
null nullnullnull
null
.
xyz
xyz
b
ijk
aaaa
bbb
×=
null
null
null null
null
例2
(3,2,1),(1,1,2),.bab a==?×
null
null
nullnull
求
32 14 3 2 6
112
3 7 5,
b
ijk
aikj ki j
ijk
×=?=
=
null
null
null null
nullnull
null nullnullnull
null
null
nullnull
解例3设不共线，问λ为多少时，共线。
,ba
null
null
,5,3bbpa qaλ= +=?
null null
null nullnullnull
,pq
nullnull
解共线
,pq
nullnull
0,pq? ×=
null
null null
( ) ( )
15 0
53
15 5
(15),
bb
bbb
bb b
pq a a
aa a ba
aa a
λ
λλ ×
×= + ×?
=×?×+×? =
=? × ×= ×=
null null
nullnullnull
nullnull nullnull
nullnull null null
∵
null
nullnull null null
nullnull null
15,λ =?∴
解由已知条件，
( )
,bca×
null
null null
null
3 2 2 34 51 104
18 22 5
ijk
bij ka +?
×= =
null
null null
null null
nullnull
null
取
(2,3,6),7 14,2,cc λλλ? ==?=±=
null
null
cos 0,2,β λ<?=?∵
例4 设，已知，
3,2,2 18,22,5(),( )ab==
null
null
14,,cbc⊥ =
null
null null
且与y 轴正向的夹角为钝角，求。
c
null
c
null
ca⊥
null null
(4,6,12),c=∴
null
4.应用
⑴.求以向量为邻边的平行四边形的面积。,ba
null
null
a
null
b
null
h
θ
如图所示，设面积为S，则
sin,bbSa a θ=×=
null null
null null
,ba
null
null
⑵.求以向量为邻边的三角形对某一边的高。
由前面的讨论知，以为邻边的平行四边形面积为
,ba
null
null
.
ba
h
a
×
=
null
null
null
,bSa= ×
null
null
故底边的高h为：
a
null
b
null
h
例4 设l 是过空间A(1,1,1),B(1,-1,2)的直线，C(2,1,1)为直线外的一点，求点C到直线的距离。
解如图所示，有
A B
C
d
,
ABAC
d
AB
×
=
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnullnullnullnull
(0,2,1),(1,0,0),AB AC=? =
nullnullnullnull nullnullnullnull
∵
(0,1,2),AB AC×=
nullnullnullnull nullnullnullnull
5,AB AB AC?=×=
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
1,d∴ =
向量的混合积
1.定义设为向量，定义
,,bac
null
nullnull
( )
,bbac a c
= ×?
null null
null nullnullnull
称为的混合积。
,,bac
null
nullnull
混合积的坐标表示设向量,则
( ) ( ) ( )
,,,,,,,,
x y zxy zxy z
aaaabbbbbccc===
null null
null
,,,
yz xy
zx
yz xy
zx
aa aa
aa
ab
bb bb
bb
×=
null
null
()
,
yz xy
zx
x yz
yz xy
zx
aa aa
aa
abc c c c
bb bb
bb
×?=?+?+?
null
nullnull
由三阶行列式的计算，得到：
()
,
x y z
x y z
x y z
bb
aaa
ac a cbbb
ccc
=×?=
nullnull
nullnullnull null
由行列式的性质，得到：若为三向量，则有
,,bca
null
null
null
,bb ba c ca ca
==
null nullnull
null nullnullnullnullnull
3.几何意义设为三向量，则混合积的绝对值表示为以为邻边的平行六面体的体积。事实上，由定义得
,,bca
null
null
null
,,bca
null
null
null
a
null
c
null
b
null
ba×
null
null
θ
( )
[ ] cos,bbac a cabcθ=×?=×
null null
null
nullnull null nullnullnull
其中S= 为底面的面积，而h= 为高。即有
ab×
null
null
cosc θ
null
cos
[ ].b
VShabc
ac
θ==×
=
null
null
null null
nullnull
,,bca
null
null
null
0.bac
=
null
null null
从而有共面?
例1 证明点A (1,1,1)，B (4,5,6)，C (2,3,3)，D (10,15,17)
四点共面。
证四点共面?三向量共面。即
34 5
1 2 2 0.
91416
AB AC AD
= =
nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull
∵
∴ A，B，C，D 四点共面。
g
例2 证明向量共面。
,,bbma n apca=?=?=?
null null
null nullnull nullnullnullnull
证向量共面?
,,mnp
null nullnull
[ ]
0mnp=
null nullnull
[ ]
( ) ( )
( )
()
()
()()
( )
0.
bb
bb
bb
mnp a c c a
aaccca
ac ca
=?×
= ×?×+×
=×?+×
=
null null
nullnull
nullnull
null nullnull null null null null
null null
null nullnull null nullnull
nullnullnull
∵
∴向量共面。
g
