第二单元 极限一、本单元的内容要点
1.数列的极限的定义，极限的证明方法；
2.函数的极限，极限的证明方法；
3,左右极限，极限存在的判定准则；
4.极限的几何意义；
5.函数极限的性质．
二、本单元的教学要求
1.理解数列极限的定义；
2.掌握证明 的基本方法；
3.理解函数极限的定义，与数列极限的差别；
4.掌握证明 的基本方法；
5.掌握极限的基本性质，并加一简单应用．
lim
n
n
xa
→∞
=
lim ( ),lim ( )
xa x
fx a fx a
→→∞
= =
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.极限的分析定义；
2.极限的几何意义；
3.证明极限存在的基本方法及说明极限不存在的方法；
4.左右极限及应用；
5.极限的性质及应用．
难点：
1.极限的分析定义中 ε的任意性及 n(数列 ),δ(函数 )与 ε的关系；
2.证明极限存在的方法；
3.极限存在的几何描述；
4.极限的性质几证明．
教学时数 4课时．
数列的极限
1.数列定义 正整数集 N
*
上的函数称为数列．
由定义，对每个正整数 n,数列都确定了一个相应的实数 x
n
，这些 x
n
可按下标从小到大依次排成一个序列
12
,,,,,
n
xx x " "
⑴
()
1
n
n
x
∞
=
记为,
数列中的第 n个数又称为数列的第 n项，又叫作一般项．
例 1 一般项
11 1
1,,,,,,
23 n
" "
1;
n
x
n
=
例 2 一般项,
1
143 (1)
2,,,,,1,,
234
n
n
+
+ " "
1
(1)
1
n
n
x
n
+
=+
例 3 一般项,
1
11 1
1,,,,,,
24 2
n?
" "
1
1
2
n
n
x
=
例 4 一般项,
1
1,1,1,1,,( 1),,
n?
" "
1
(1)
n
n
x
=?
2.极限的描述在上面的这些例中，我们发现例 1,2,3都有明确的变化趋势．例 1中,；例 2中；例3中
．而例 4中的数列却没有明确的变化趋势．
lim 0
n
n
x
→∞
= lim 1
n
n
x
→∞
=
lim 0
n
n
x
→∞
=
上面仅仅是通过观察的方法得到数列的极限．如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？从本质上看，数列的极限反映了数列当 n 趋于无穷大时，数列中的项和某一个定数充分接近．
我们知道：两个数 a 和 b 的接近程度可用两数差的绝对值来刻画．
对数列,,故只要 n充分大，
就充分小．例如要使
1
(1)
1
n
n
x
n
+
=+
1
1
n
x
n
=
1
n
x?
2
1
1
10
n
x?<
只要 n>100即可．即从第 101项开始的以后所有项都满足这一要求；
再如，要使
4
1
1
10
n
x?<
只要 n>10000即可．即从第 10001项开始的以后所有项都满足这一要求．
一般：要使
1
1
10
n
k
x?<
只要 n>10
k
即可．即从第 (10
k
+1)项开始的以后所有项都满足这一要求．
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么小，总可以找到自然数 n，在这项以后的所有项与 1的距离都可以小于该数．数学上用 ε 来表示一个任意小的正数．由此得到极限的精确定义：
3.极限的定义定义 设数列,如果存在常数 a，使得对任意给定的正数 ε (不论它多么小 )，总存在自然数 N，只要 N>n,
不等式
()
1
n
n
x
∞
=
n
xaε? <
lim,
n
n
xa
→∞
=
都成立，那么称常数 a 是数列 的极限，，或则称数列 收敛于 a，记为
()
1
n
n
x
∞
=
()
1
n
n
x
∞
=
或则
( )
n
xan→→∞
如果这样的常数 a 不存在，就说数列没有极限，或称数列是发散的．
注 定义中的正数 ε是一个任意小的数，不能把它和一个很小的数混为一谈．
注 定义中的自然数 N，实际上是某一项的序号，
n>N，
表示自该项以后的所有项．
4.数列极限的几何意义设数列 收敛于 a，则由定义，对任意给定的正数 ε,一定存在正整数 N，当 n>N 时，所有的 x
n
都落在一个以 a 为中心,ε 为半径的空心邻域中．
()
1
n
n
x
∞
=
a
a+εa-ε
x
1
x
2
x
3
x
N+1
x
N+2
x
N+3
x
N
x
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法：
即对给定的任意正数 ε，去寻找满足不等式的 N．寻找办法是从 |x
n
-a| 经过不等式的变形，逐步解出 N．
例 1 证明数列 的极限是 1．
1
143 (1)
2,,,,,,
234
n
n
n
+?
" "
证记,a=1,?ε >0
1
(1)
n
n
n
x
n
+?
=
令,则当 n>N 时，有
1
N
ε
=
1
(1)
1,
n
n
n
xa
n
ε
+?
=?<
所以,
1
(1)
lim 1
n
n
n
n
→∞
+?
=
g
1
(1) 1
1
n
n
n
xa
nn
ε
+?
=?=<要使,
例 2 证明,
212
lim
323
n
n
n
→∞
+
=
+
证?ε >0
212 6364
,
323 3(32)
111
3(32)(32)
n
nnn
xa
nnn
+ +
=?=
++
=<<
++
令,则当 n>N 时，有
1
N
ε
=
2121
.
323
n
n
xa
nn
ε
+
=?<<
+
所以：
212
lim,
323
n
n
n
→∞
+
=
+
g
例 3 证明,
22
lim( 1 1) 0
n
nn
→∞
+=
证?ε >0
∵
22
22
2
2
11
11
22
,
1
n
xa n n
nn
n
n
= +=
+ +?
<<
+
∴ 令,则当 n>N 时，有
2
N
ε
=
22
2
11,
n
xa n n
n
ε? =+<<
∴
22
lim( 1 1) 0.
n
nn
→∞
+=
g
收敛数列的性质定理 1(极限的唯一性 ) 如果数列 {x
n
}收敛，那么它的极限唯一．
证 用反证法．假设同时有 x
n
→a,x
n
→b,且 a<b,取
,
2
ba
ε
=
因,故存在正整数 N
1
，当 n>N
1
时，有lim
n
n
xa
→∞
=
又因,故存在正整数 N
2
，当 n>N
2
时，有lim
n
n
xb
→∞
=
,
2
n
ba
xa
<
⑵
,
2
n
ba
xb
<
⑶
由 (3)得,而这是不可能的，由此得到,a=b．
取 N=max{N
1
,N
2
},当 n>N时，上两式都成立，由 (2)得；
,
2
n
ab
x
+
<,
2
n
ab
x
+
>
g
数列的有界性对于数列 {x
n
}，若存在正数 M，使得对于一切的 x
n
，
都有 |x
n
|≤M，则称数列 {x
n
}是有界的．
例 数 列 是有界的，因此时取 M=1即可．
1
1
n
x
n
=
+
例 数 列 则是一个无界数列．2
n
n
x =
定理 2(收敛数列的有界性 ) 如果数列 {x
n
}收敛，则数列
{x
n
}一定有界．
证 因数列 {x
n
}收敛，设,由极限的定义，对
ε=1,$正整数 N，当 n>N时，有
lim
n
n
xa
→∞
=
1,
n
xa? <
从而当 n>N时，有
( )
1,
nn n
xxaaxaa a=?+≤?+≤+
取
12
max{,,,1 },
N
M xx x a=+ "
则数列 {x
n
}中的一切 x
n
，都有
,
n
xM≤
故数列 {x
n
}是有界的．
g
收敛数列有界性的几何意义：
a
a+1a-1
x
1
x
2
x
3
x
N+1
x
N+2
x
N+3
x
N
x
M
+M
定理 3(收敛数列的保号性 ) 若且,则存在正整数 N>0，当 n>N时，有 x
n
>0．
lim
n
n
xa
→∞
= 0a >
证 因,由数列极限的定义，对
$正整数 N>0,当 n>N时，有
lim 0
n
n
xa
→∞
= >
0
2
a
ε= >
,
2
n
a
xa?<
从而
0.
22
n
aa
xa>?=>
g
注 1.若将定理 3中的 a> 0改为 a <0，则有平行的结论．
2.作为定理 3的一个重要应用，我们有推论 如果数列 {x
n
}自某项起有 x
n
≥0，且,则
a ≥ 0．
lim
n
n
xa
→∞
=
在 {x
n
}中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列
{x
n
}中的先后次序，如此得到的数列称为原数列 {x
n
}的子数列 (或子列 )．
数列 {x
n
}的子列一般记为 { },即
k
n
x
12
,,,,.
k
nn n
xx x " "
例 设数列 {x
n
}，则由奇数项和偶数项构成的子列分别记为 {x
2n-1
},{x
2n
}．
定理 4(收敛数列与其子列的关系 ) 如果数列 {x
n
}收敛于
a，则它的任一子列也收敛，且极限也是 a．
函数的极限函数极限的定义数列 {x
n
}可看成是自变量为 n的函数,x
n
= f(n),n∈N
*
．
所以数列 {x
n
}的极限为 a,就是当自变量取正整数而趋于无限大 (即 n→∞)时，对应的函数值 f(n)无限接近于某一个确定的数 a．把离散变量 n换成连续变量 x，就得到函数的极限，所不同的是，连续变量 x有两种变化趋势：定值 x
0
及无穷大 ∞,
1.自变量趋于有限值时函数的极限引例 设函数
2
1
()
1
x
fx
x
=
x1
2
y
o
2+ε
2-ε
1+ d
1- d
2
1
()
1
x
fx
x
=
从图形中可以看出：尽管函数在点 x=1处没有定义，但当
x 趋近于 1而不等于 1时，相应的曲线上的点趋进于直线 y=2.
更进一步的可以看到，对于 y
轴上的任何一个以 2为中心,ε 为半径的邻域，在 x轴上都可以找到一个相应的以 1为中心,d为半径的空心邻域，在该邻域中的点所对应的图形上的点都落在
y= 2 - ε,y= 2+ε 的带形区域中．
x1
2
y
o
2+ε
2-ε
1+ d
1- d
2
1
()
1
x
fx
x
=
抽去函数 f(x)的具体表达式即得到函数 f(x)当 x→x
0
时的极限的定义．
定义 设函数 f (x)在点 x
0
的某个空心邻域中有定义，如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 d,对于满足 0<|x-x
0
|< d的一切 x，都有
()fx A ε? <
那么常数 A就称作函数 f (x)当 x→x
0
时的极限，记为
0
lim ( ),
xx
f xA
→
=
或
( )
0
( ),fx A x x→→
值得注意的是，在极限的定义中，关系表示 x≠x
0
，所以函数 f(x)在点 x
0
处的极限存在与否，与函数 f(x)在点 x
0
处是否有定义无关．
0
0 xx ε<?<
函数 f(x)在点 x
0
处的极限定义可以简单地表达为：
0
lim ( ) 0,0,
xx
fx A ε δ
→
= >? >
当 时，有
0
0 xx δ<?<
(),fx A ε? <
函数 f (x) 在点 x
0
处的极限的几何意义．
A+ ε
A- ε
x
0
x
0
+ dx
0
- d
A
x
y
()yfx=
o
例 1 证明下列极限
(1)
(2)
2
lim(2 1) 5;
x
x
→
+ =
0
limsin 0.
x
x
→
=
证 (1) ∵
() 2 1 5 2 4 2 2fx A x x x? =+?=?=?
∴
0,,0 2,
2
x
ε
εδ δ?> = <?<取当 有
() 2 1 5 2 2fx A x x ε? =+?=?<
∴
2
lim(2 1) 5.
x
x
→
+ =
(2) ∵ () sin 0 sinfx A x x?=?=
欲使
sin x ε<
即
sin xε ε? <<
∴
0ε? >
不妨取
01,ε< <
此时令,当
arcsinδ ε=
0 x δ< <
即有
() sin 0fx A x ε? =?<
∴
0
limsin 0.
x
x
→
=
g
例 2 证明
1
2
2
14
lim 2
21
x
x
x
→?
=
+
证 ∵
22
14 (2 1) 1
() 2 2
21 21 2
xx
fx A x
+
=?= =+
++
∴
1
0,,0 ( ),
22
x
ε
εδ δ?> = < <取当 有
2
14 1
() 2 2
21 2
x
fx A x
x
ε
=?=+<
+
1
2
2
14
lim 2.
21
x
x
x
→?
=
+
∴
g
例 3 证明
2
2
lim 4.
x
x
→
=
证 ∵
2
() 4 2 2fx A x x x? =?=+?
为能解出不等式 M | x-2|,要对 x 进行适当的控制，
为此限定 x 的变化范围是 1< x <3，所以 | x+2 |<5
∴
0,min{1,},0 2,
5
x
ε
εδ δ?> = <?<取当 有
2
() 4 2 2 5 2fx A x x x x ε? =?=+?<?<
∴
2
2
lim 4.
x
x
→
=
g
通过上面的几个例子，我们得到证明极限
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
的一般方法：考虑 |f (x)-A|，经过不等式的变形得到关系 | f (x)-A|<M | x-x
0
|,对任意正数 ε,取 d= ε/M．
例 4 证明
2
1
23
lim,
12
x
x
x
→
+
=
+
证 ∵
2
21
23
() 1
12 2(1)
x
x
fx A x
xx
+
=?=?
++
取 d
1
=1，即 0< x <2,所以
21
1
22
x
x
<
+
∴ 0,min{1,},0 1,xεδε δ?> = <?<取当 有
2
23
() 1
12
x
fx A x
x
ε
+
=?<?<
+
∴
g
2
1
23
lim,
12
x
x
x
→
+
=
+
例 5 设 x
0
>0，证明
0
0
lim,
xx
xx
→
=
证 ∵
0
00
00
1
()
xx
fx A x x xx
xx x
=? = <?
+
∴
00 0
0,min{,},0,xx xxεδ ε δ?> = <? <取当 有
00
0
1
()fx A x x xx
x
ε? =? =<?<
∴
0
0
lim,
xx
xx
→
=
g
左右极限前面讨论的是函数 f (x)在某一点 x
0
的极限，它反映的是当 x 在该点两侧趋近于 x
0
时，函数有一个确定的变化趋势，但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论．考虑函数：
x
y
o
y=x+1
y=x -1
1
-1
1 0
( ) 0 0
1 0
xx
fx x
xx
+ >
==
<
该函数在点 x=0两侧的变化趋势是不同的：当 x在 0的右侧趋近于 0时,f (x) → 1；而当 x在 0的左侧趋近于 0时，
f (x) → -1．这就导出左右极限的概念．
x
y
o
y=x+1
y=x -1
1
-1
定义 设函数 f (x)在 x
0
的某个左 (右 )邻域内有定义，如果果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 d，只 要 x 满足
0
0
0
(0 )
xx
xx
δ
δ
<?<
<?<
对应的函数值 f (x)就满足
()fx A ε? <
那么常数 A就称作函数 f (x)在 x
0
处的左 (右 )极限．
左极限记为
0
0
0
lim ( ) ( 0),
xx
fx fx
→?
或右极限记为
0
0
0
lim ( ) ( 0).
xx
fx fx
→+
+或容易验证：
定理 极限 存在的充分必要条件是 f (x)在点 x
0
处的左右极限存在并且相等．
0
lim ( )
xx
f x
→
例 6 符号函数 y =sgnx：
1 0
sgn 0 0
1 0
x
yx x
x
>
== =
<
则
00
lim ( ) lim1 1
xx
fx
→+ →+
= =
00
lim ( ) lim( 1) 1
xx
fx
→? →?
=?=?
∴ 不存在,
0
lim ( )
x
f x
→
x
y
y=sgn x
o
2.函数在无穷大处的极限定义 设函数 f (x)当 |x| >M 时有定义，如果存在常数 A
使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 X，只要 x 满足
|x|>X，对应的函数值 f (x)都满足
(),fx A ε? <
那么常数 A就叫做函数 f (x) 当 x→∞ 时的极限，记为
lim ( ),
x
f xA
→∞
=
函数 f(x)在点 ∞处的极限定义可以简单地表达为：
(),fx A ε? <
lim ( ) 0,0,
x
fx A Xε
→∞
= >? > 当 |x|>X时有函数在无穷大处的极限的几何意义
y
x
o
A- ε
A+ ε
A
y=f (x)
X-X
单侧极限：
将上述定义中 x 的取值范围限定在一侧，就得到单侧极限的定义，分别记为
lim ( )
x
f xA
→+∞
= lim ( )
x
f xA
→?∞
=和定理
( )
lim ( ) lim ( ) lim ( ),
xxx
fx A fx A fx A
→∞ →?∞ →+∞
=? =∧ =
例 7 证明
( )
22
lim 1 1 0.
x
xx
→∞
+=
证 ∵
22
22
22
() 1 1
11
fx A x x
x
xx
= +=
++?
≤
2
0,,,XxXε
ε
> = >取当 有
∴
22
() 1 1fx A x x ε?= +<
∴
( )
22
lim 1 1 0.
x
xx
→∞
+=
函数极限的性质由于数列极限可以看作是函数极限的一个特殊形式，
故数列极限中的许多性质可以平行地搬到函数极限的性质中．
定理 1(极限的唯一性 ) 如果极限
0
lim ( )(lim ( ),lim )
n
xx x n
f x f xx
→→∞→∞
存在，则极限是唯一的．
定理 2(局部有界性 ) 如果极限 存在,那么在
x
0
的某个空心邻域内，函数 f (x)有界．
0
lim ( )
xx
f x
→
证 设,由定义，对 ε =1，存在 d>0,当
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
0
(,),
o
xUxδ∈
() 1,fx A? <
() () 1,fx fx A A A∴ ≤?+<+
即,f (x)在 x
0
的某个空心邻域内有界．
g
局部有界的几何意义
x
y
o
A+1
A-1
A
x
0
- d x
0
+dx
0
y=f (x)
定理 (局部有界性 ) 如果极限 存在,那么存在 X>0，当 |x|>X，函数 f (x)有界．
lim ( )
x
fx
→∞
2
′
定理 3(极限的保号性 ) 如果,则在点
x
0
的某个空心邻域内，使函数 f (x)>0．
0
lim ( ) 0
xx
fx A
→
= >
证 设,由定义，对 ε =A/2，存在 d>0,当
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
0
(,)
o
xUxδ∈
时，有
() 0.
2
A
fx Aε>?=>
g
x
y
o
A
A/2
3A/2
x
0
x
0
+ dx
0
- d
y=f (x)
右图说明保号性的几何意义．
定理 4(函数极限的归并性 ) 设 存在，又设
{x
n
}是函数 f (x)定义域中的一个任意数列,x
n
≠ x
0
，且
0
lim ( )
xx
f x
→
0,
lim
n
n
xx
→∞
=
则相应的函数数列 {f (x
n
)}收敛，且
0
lim ( ) lim ( ).
n
nxx
f xA fx
→∞ →
= =
0
(,),
o
Uxδ
证 设,则存在 当 有
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
0
(,),
o
xUxδ∈
()fx A ε? <
又因 故存在 N，当 n>N时，有
0,
lim
n
n
xx
→∞
=
0
(,),
o
n
xUxδ∈
因而 ()
n
fx A ε? <
即
0
lim ( ) lim ( ).
n
nxx
f xA fx
→∞ →
= =
g
此定理的一个实际意义是：对函数 f (x)，如果能够找到两个不同的子列，是函数收敛到两个不同的值，则说明函数在这一点无极限．
例 8 证明函数 在 x =0 处极限不存在．() sinfx
x
π
=
证令
11
22
22
,,
nn
nn
xy
++
==
则 lim lim 0,0,
nnnn
nn
xyxy
→∞ →
= =∧≠≠
但 lim ( ) 1,lim ( ) 0,
nn
nn
fx fy
→∞ →∞
= =
所以 不存在．
0
lim sin
x
x
π
→
g
1.数列的极限的定义，极限的证明方法；
2.函数的极限，极限的证明方法；
3,左右极限，极限存在的判定准则；
4.极限的几何意义；
5.函数极限的性质．
二、本单元的教学要求
1.理解数列极限的定义；
2.掌握证明 的基本方法；
3.理解函数极限的定义，与数列极限的差别；
4.掌握证明 的基本方法；
5.掌握极限的基本性质，并加一简单应用．
lim
n
n
xa
→∞
=
lim ( ),lim ( )
xa x
fx a fx a
→→∞
= =
三、本单元教学的重点与难点重点：
1.极限的分析定义；
2.极限的几何意义；
3.证明极限存在的基本方法及说明极限不存在的方法；
4.左右极限及应用；
5.极限的性质及应用．
难点：
1.极限的分析定义中 ε的任意性及 n(数列 ),δ(函数 )与 ε的关系；
2.证明极限存在的方法；
3.极限存在的几何描述；
4.极限的性质几证明．
教学时数 4课时．
数列的极限
1.数列定义 正整数集 N
*
上的函数称为数列．
由定义，对每个正整数 n,数列都确定了一个相应的实数 x
n
，这些 x
n
可按下标从小到大依次排成一个序列
12
,,,,,
n
xx x " "
⑴
()
1
n
n
x
∞
=
记为,
数列中的第 n个数又称为数列的第 n项，又叫作一般项．
例 1 一般项
11 1
1,,,,,,
23 n
" "
1;
n
x
n
=
例 2 一般项,
1
143 (1)
2,,,,,1,,
234
n
n
+
+ " "
1
(1)
1
n
n
x
n
+
=+
例 3 一般项,
1
11 1
1,,,,,,
24 2
n?
" "
1
1
2
n
n
x
=
例 4 一般项,
1
1,1,1,1,,( 1),,
n?
" "
1
(1)
n
n
x
=?
2.极限的描述在上面的这些例中，我们发现例 1,2,3都有明确的变化趋势．例 1中,；例 2中；例3中
．而例 4中的数列却没有明确的变化趋势．
lim 0
n
n
x
→∞
= lim 1
n
n
x
→∞
=
lim 0
n
n
x
→∞
=
上面仅仅是通过观察的方法得到数列的极限．如何用定量化的数学方法来刻画数列的极限？从本质上看，数列的极限反映了数列当 n 趋于无穷大时，数列中的项和某一个定数充分接近．
我们知道：两个数 a 和 b 的接近程度可用两数差的绝对值来刻画．
对数列,,故只要 n充分大，
就充分小．例如要使
1
(1)
1
n
n
x
n
+
=+
1
1
n
x
n
=
1
n
x?
2
1
1
10
n
x?<
只要 n>100即可．即从第 101项开始的以后所有项都满足这一要求；
再如，要使
4
1
1
10
n
x?<
只要 n>10000即可．即从第 10001项开始的以后所有项都满足这一要求．
一般：要使
1
1
10
n
k
x?<
只要 n>10
k
即可．即从第 (10
k
+1)项开始的以后所有项都满足这一要求．
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么小，总可以找到自然数 n，在这项以后的所有项与 1的距离都可以小于该数．数学上用 ε 来表示一个任意小的正数．由此得到极限的精确定义：
3.极限的定义定义 设数列,如果存在常数 a，使得对任意给定的正数 ε (不论它多么小 )，总存在自然数 N，只要 N>n,
不等式
()
1
n
n
x
∞
=
n
xaε? <
lim,
n
n
xa
→∞
=
都成立，那么称常数 a 是数列 的极限，，或则称数列 收敛于 a，记为
()
1
n
n
x
∞
=
()
1
n
n
x
∞
=
或则
( )
n
xan→→∞
如果这样的常数 a 不存在，就说数列没有极限，或称数列是发散的．
注 定义中的正数 ε是一个任意小的数，不能把它和一个很小的数混为一谈．
注 定义中的自然数 N，实际上是某一项的序号，
n>N，
表示自该项以后的所有项．
4.数列极限的几何意义设数列 收敛于 a，则由定义，对任意给定的正数 ε,一定存在正整数 N，当 n>N 时，所有的 x
n
都落在一个以 a 为中心,ε 为半径的空心邻域中．
()
1
n
n
x
∞
=
a
a+εa-ε
x
1
x
2
x
3
x
N+1
x
N+2
x
N+3
x
N
x
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法：
即对给定的任意正数 ε，去寻找满足不等式的 N．寻找办法是从 |x
n
-a| 经过不等式的变形，逐步解出 N．
例 1 证明数列 的极限是 1．
1
143 (1)
2,,,,,,
234
n
n
n
+?
" "
证记,a=1,?ε >0
1
(1)
n
n
n
x
n
+?
=
令,则当 n>N 时，有
1
N
ε
=
1
(1)
1,
n
n
n
xa
n
ε
+?
=?<
所以,
1
(1)
lim 1
n
n
n
n
→∞
+?
=
g
1
(1) 1
1
n
n
n
xa
nn
ε
+?
=?=<要使,
例 2 证明,
212
lim
323
n
n
n
→∞
+
=
+
证?ε >0
212 6364
,
323 3(32)
111
3(32)(32)
n
nnn
xa
nnn
+ +
=?=
++
=<<
++
令,则当 n>N 时，有
1
N
ε
=
2121
.
323
n
n
xa
nn
ε
+
=?<<
+
所以：
212
lim,
323
n
n
n
→∞
+
=
+
g
例 3 证明,
22
lim( 1 1) 0
n
nn
→∞
+=
证?ε >0
∵
22
22
2
2
11
11
22
,
1
n
xa n n
nn
n
n
= +=
+ +?
<<
+
∴ 令,则当 n>N 时，有
2
N
ε
=
22
2
11,
n
xa n n
n
ε? =+<<
∴
22
lim( 1 1) 0.
n
nn
→∞
+=
g
收敛数列的性质定理 1(极限的唯一性 ) 如果数列 {x
n
}收敛，那么它的极限唯一．
证 用反证法．假设同时有 x
n
→a,x
n
→b,且 a<b,取
,
2
ba
ε
=
因,故存在正整数 N
1
，当 n>N
1
时，有lim
n
n
xa
→∞
=
又因,故存在正整数 N
2
，当 n>N
2
时，有lim
n
n
xb
→∞
=
,
2
n
ba
xa
<
⑵
,
2
n
ba
xb
<
⑶
由 (3)得,而这是不可能的，由此得到,a=b．
取 N=max{N
1
,N
2
},当 n>N时，上两式都成立，由 (2)得；
,
2
n
ab
x
+
<,
2
n
ab
x
+
>
g
数列的有界性对于数列 {x
n
}，若存在正数 M，使得对于一切的 x
n
，
都有 |x
n
|≤M，则称数列 {x
n
}是有界的．
例 数 列 是有界的，因此时取 M=1即可．
1
1
n
x
n
=
+
例 数 列 则是一个无界数列．2
n
n
x =
定理 2(收敛数列的有界性 ) 如果数列 {x
n
}收敛，则数列
{x
n
}一定有界．
证 因数列 {x
n
}收敛，设,由极限的定义，对
ε=1,$正整数 N，当 n>N时，有
lim
n
n
xa
→∞
=
1,
n
xa? <
从而当 n>N时，有
( )
1,
nn n
xxaaxaa a=?+≤?+≤+
取
12
max{,,,1 },
N
M xx x a=+ "
则数列 {x
n
}中的一切 x
n
，都有
,
n
xM≤
故数列 {x
n
}是有界的．
g
收敛数列有界性的几何意义：
a
a+1a-1
x
1
x
2
x
3
x
N+1
x
N+2
x
N+3
x
N
x
M
+M
定理 3(收敛数列的保号性 ) 若且,则存在正整数 N>0，当 n>N时，有 x
n
>0．
lim
n
n
xa
→∞
= 0a >
证 因,由数列极限的定义，对
$正整数 N>0,当 n>N时，有
lim 0
n
n
xa
→∞
= >
0
2
a
ε= >
,
2
n
a
xa?<
从而
0.
22
n
aa
xa>?=>
g
注 1.若将定理 3中的 a> 0改为 a <0，则有平行的结论．
2.作为定理 3的一个重要应用，我们有推论 如果数列 {x
n
}自某项起有 x
n
≥0，且,则
a ≥ 0．
lim
n
n
xa
→∞
=
在 {x
n
}中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列
{x
n
}中的先后次序，如此得到的数列称为原数列 {x
n
}的子数列 (或子列 )．
数列 {x
n
}的子列一般记为 { },即
k
n
x
12
,,,,.
k
nn n
xx x " "
例 设数列 {x
n
}，则由奇数项和偶数项构成的子列分别记为 {x
2n-1
},{x
2n
}．
定理 4(收敛数列与其子列的关系 ) 如果数列 {x
n
}收敛于
a，则它的任一子列也收敛，且极限也是 a．
函数的极限函数极限的定义数列 {x
n
}可看成是自变量为 n的函数,x
n
= f(n),n∈N
*
．
所以数列 {x
n
}的极限为 a,就是当自变量取正整数而趋于无限大 (即 n→∞)时，对应的函数值 f(n)无限接近于某一个确定的数 a．把离散变量 n换成连续变量 x，就得到函数的极限，所不同的是，连续变量 x有两种变化趋势：定值 x
0
及无穷大 ∞,
1.自变量趋于有限值时函数的极限引例 设函数
2
1
()
1
x
fx
x
=
x1
2
y
o
2+ε
2-ε
1+ d
1- d
2
1
()
1
x
fx
x
=
从图形中可以看出：尽管函数在点 x=1处没有定义，但当
x 趋近于 1而不等于 1时，相应的曲线上的点趋进于直线 y=2.
更进一步的可以看到，对于 y
轴上的任何一个以 2为中心,ε 为半径的邻域，在 x轴上都可以找到一个相应的以 1为中心,d为半径的空心邻域，在该邻域中的点所对应的图形上的点都落在
y= 2 - ε,y= 2+ε 的带形区域中．
x1
2
y
o
2+ε
2-ε
1+ d
1- d
2
1
()
1
x
fx
x
=
抽去函数 f(x)的具体表达式即得到函数 f(x)当 x→x
0
时的极限的定义．
定义 设函数 f (x)在点 x
0
的某个空心邻域中有定义，如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 d,对于满足 0<|x-x
0
|< d的一切 x，都有
()fx A ε? <
那么常数 A就称作函数 f (x)当 x→x
0
时的极限，记为
0
lim ( ),
xx
f xA
→
=
或
( )
0
( ),fx A x x→→
值得注意的是，在极限的定义中，关系表示 x≠x
0
，所以函数 f(x)在点 x
0
处的极限存在与否，与函数 f(x)在点 x
0
处是否有定义无关．
0
0 xx ε<?<
函数 f(x)在点 x
0
处的极限定义可以简单地表达为：
0
lim ( ) 0,0,
xx
fx A ε δ
→
= >? >
当 时，有
0
0 xx δ<?<
(),fx A ε? <
函数 f (x) 在点 x
0
处的极限的几何意义．
A+ ε
A- ε
x
0
x
0
+ dx
0
- d
A
x
y
()yfx=
o
例 1 证明下列极限
(1)
(2)
2
lim(2 1) 5;
x
x
→
+ =
0
limsin 0.
x
x
→
=
证 (1) ∵
() 2 1 5 2 4 2 2fx A x x x? =+?=?=?
∴
0,,0 2,
2
x
ε
εδ δ?> = <?<取当 有
() 2 1 5 2 2fx A x x ε? =+?=?<
∴
2
lim(2 1) 5.
x
x
→
+ =
(2) ∵ () sin 0 sinfx A x x?=?=
欲使
sin x ε<
即
sin xε ε? <<
∴
0ε? >
不妨取
01,ε< <
此时令,当
arcsinδ ε=
0 x δ< <
即有
() sin 0fx A x ε? =?<
∴
0
limsin 0.
x
x
→
=
g
例 2 证明
1
2
2
14
lim 2
21
x
x
x
→?
=
+
证 ∵
22
14 (2 1) 1
() 2 2
21 21 2
xx
fx A x
+
=?= =+
++
∴
1
0,,0 ( ),
22
x
ε
εδ δ?> = < <取当 有
2
14 1
() 2 2
21 2
x
fx A x
x
ε
=?=+<
+
1
2
2
14
lim 2.
21
x
x
x
→?
=
+
∴
g
例 3 证明
2
2
lim 4.
x
x
→
=
证 ∵
2
() 4 2 2fx A x x x? =?=+?
为能解出不等式 M | x-2|,要对 x 进行适当的控制，
为此限定 x 的变化范围是 1< x <3，所以 | x+2 |<5
∴
0,min{1,},0 2,
5
x
ε
εδ δ?> = <?<取当 有
2
() 4 2 2 5 2fx A x x x x ε? =?=+?<?<
∴
2
2
lim 4.
x
x
→
=
g
通过上面的几个例子，我们得到证明极限
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
的一般方法：考虑 |f (x)-A|，经过不等式的变形得到关系 | f (x)-A|<M | x-x
0
|,对任意正数 ε,取 d= ε/M．
例 4 证明
2
1
23
lim,
12
x
x
x
→
+
=
+
证 ∵
2
21
23
() 1
12 2(1)
x
x
fx A x
xx
+
=?=?
++
取 d
1
=1，即 0< x <2,所以
21
1
22
x
x
<
+
∴ 0,min{1,},0 1,xεδε δ?> = <?<取当 有
2
23
() 1
12
x
fx A x
x
ε
+
=?<?<
+
∴
g
2
1
23
lim,
12
x
x
x
→
+
=
+
例 5 设 x
0
>0，证明
0
0
lim,
xx
xx
→
=
证 ∵
0
00
00
1
()
xx
fx A x x xx
xx x
=? = <?
+
∴
00 0
0,min{,},0,xx xxεδ ε δ?> = <? <取当 有
00
0
1
()fx A x x xx
x
ε? =? =<?<
∴
0
0
lim,
xx
xx
→
=
g
左右极限前面讨论的是函数 f (x)在某一点 x
0
的极限，它反映的是当 x 在该点两侧趋近于 x
0
时，函数有一个确定的变化趋势，但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，这就需要分别加以讨论．考虑函数：
x
y
o
y=x+1
y=x -1
1
-1
1 0
( ) 0 0
1 0
xx
fx x
xx
+ >
==
<
该函数在点 x=0两侧的变化趋势是不同的：当 x在 0的右侧趋近于 0时,f (x) → 1；而当 x在 0的左侧趋近于 0时，
f (x) → -1．这就导出左右极限的概念．
x
y
o
y=x+1
y=x -1
1
-1
定义 设函数 f (x)在 x
0
的某个左 (右 )邻域内有定义，如果果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 d，只 要 x 满足
0
0
0
(0 )
xx
xx
δ
δ
<?<
<?<
对应的函数值 f (x)就满足
()fx A ε? <
那么常数 A就称作函数 f (x)在 x
0
处的左 (右 )极限．
左极限记为
0
0
0
lim ( ) ( 0),
xx
fx fx
→?
或右极限记为
0
0
0
lim ( ) ( 0).
xx
fx fx
→+
+或容易验证：
定理 极限 存在的充分必要条件是 f (x)在点 x
0
处的左右极限存在并且相等．
0
lim ( )
xx
f x
→
例 6 符号函数 y =sgnx：
1 0
sgn 0 0
1 0
x
yx x
x
>
== =
<
则
00
lim ( ) lim1 1
xx
fx
→+ →+
= =
00
lim ( ) lim( 1) 1
xx
fx
→? →?
=?=?
∴ 不存在,
0
lim ( )
x
f x
→
x
y
y=sgn x
o
2.函数在无穷大处的极限定义 设函数 f (x)当 |x| >M 时有定义，如果存在常数 A
使得对于任意给定的正数 ε,总存在正数 X，只要 x 满足
|x|>X，对应的函数值 f (x)都满足
(),fx A ε? <
那么常数 A就叫做函数 f (x) 当 x→∞ 时的极限，记为
lim ( ),
x
f xA
→∞
=
函数 f(x)在点 ∞处的极限定义可以简单地表达为：
(),fx A ε? <
lim ( ) 0,0,
x
fx A Xε
→∞
= >? > 当 |x|>X时有函数在无穷大处的极限的几何意义
y
x
o
A- ε
A+ ε
A
y=f (x)
X-X
单侧极限：
将上述定义中 x 的取值范围限定在一侧，就得到单侧极限的定义，分别记为
lim ( )
x
f xA
→+∞
= lim ( )
x
f xA
→?∞
=和定理
( )
lim ( ) lim ( ) lim ( ),
xxx
fx A fx A fx A
→∞ →?∞ →+∞
=? =∧ =
例 7 证明
( )
22
lim 1 1 0.
x
xx
→∞
+=
证 ∵
22
22
22
() 1 1
11
fx A x x
x
xx
= +=
++?
≤
2
0,,,XxXε
ε
> = >取当 有
∴
22
() 1 1fx A x x ε?= +<
∴
( )
22
lim 1 1 0.
x
xx
→∞
+=
函数极限的性质由于数列极限可以看作是函数极限的一个特殊形式，
故数列极限中的许多性质可以平行地搬到函数极限的性质中．
定理 1(极限的唯一性 ) 如果极限
0
lim ( )(lim ( ),lim )
n
xx x n
f x f xx
→→∞→∞
存在，则极限是唯一的．
定理 2(局部有界性 ) 如果极限 存在,那么在
x
0
的某个空心邻域内，函数 f (x)有界．
0
lim ( )
xx
f x
→
证 设,由定义，对 ε =1，存在 d>0,当
0
lim ( )
xx
f xA
→
=
0
(,),
o
xUxδ∈
() 1,fx A? <
() () 1,fx fx A A A∴ ≤?+<+
即,f (x)在 x
0
的某个空心邻域内有界．
g
局部有界的几何意义
x
y
o
A+1
A-1
A
x
0
- d x
0
+dx
0
y=f (x)
定理 (局部有界性 ) 如果极限 存在,那么存在 X>0，当 |x|>X，函数 f (x)有界．
lim ( )
x
fx
→∞
2
′
定理 3(极限的保号性 ) 如果,则在点
x
0
的某个空心邻域内，使函数 f (x)>0．
0
lim ( ) 0
xx
fx A
→
= >
证 设,由定义，对 ε =A/2，存在 d>0,当
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
0
(,)
o
xUxδ∈
时，有
() 0.
2
A
fx Aε>?=>
g
x
y
o
A
A/2
3A/2
x
0
x
0
+ dx
0
- d
y=f (x)
右图说明保号性的几何意义．
定理 4(函数极限的归并性 ) 设 存在，又设
{x
n
}是函数 f (x)定义域中的一个任意数列,x
n
≠ x
0
，且
0
lim ( )
xx
f x
→
0,
lim
n
n
xx
→∞
=
则相应的函数数列 {f (x
n
)}收敛，且
0
lim ( ) lim ( ).
n
nxx
f xA fx
→∞ →
= =
0
(,),
o
Uxδ
证 设,则存在 当 有
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
0
(,),
o
xUxδ∈
()fx A ε? <
又因 故存在 N，当 n>N时，有
0,
lim
n
n
xx
→∞
=
0
(,),
o
n
xUxδ∈
因而 ()
n
fx A ε? <
即
0
lim ( ) lim ( ).
n
nxx
f xA fx
→∞ →
= =
g
此定理的一个实际意义是：对函数 f (x)，如果能够找到两个不同的子列，是函数收敛到两个不同的值，则说明函数在这一点无极限．
例 8 证明函数 在 x =0 处极限不存在．() sinfx
x
π
=
证令
11
22
22
,,
nn
nn
xy
++
==
则 lim lim 0,0,
nnnn
nn
xyxy
→∞ →
= =∧≠≠
但 lim ( ) 1,lim ( ) 0,
nn
nn
fx fy
→∞ →∞
= =
所以 不存在．
0
lim sin
x
x
π
→
g
