X~P(λ),X~?(λ),X~N(μ,σ2)
用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计,
参数估计
点估计区间估计用某一数值作为参数的近似值
在要求的精度范围内指出参数所在的区间数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体,
推断的基本内容包括两个方面,一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围 ;二是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断,本章先介绍求近似值和近似范围的方法,
第七章 参数估计第 7.1节 点估计
1.定义 总体 X的分布函数为 F(x;θ 1,θ 2,… θ k),θ i为未知参数 (i=1,2,…,k),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,若以函数值 (x1,x2,…,xn)作为 θ i的近似值,则称 为 θ i
的 估计值 (抽样后 ),也称 为 θ i
的 估计量 (抽样前 ).由于估计值 (实数 )与实数轴的点对应,
姑且又称 为 θ i的点估计 (量或值 ).
ii
i
)X,,X,X( n21ii
i
即,选择统计量估计量 带入样本值 估计值
X分布为 F(x;θ)[θ待估 ]
2 点估计方法
( 1 ) 矩估计法将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,
布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数的点估计的方法,
例 7.1.1 设总体 ),0(~?UX,nXXX,,,21? 为取自该总体的样本,
求未知参数? 的矩估计量,
解 因为
2
)(
XE,所以由 X?
2
,可解得 X2,
故未知参数? 的矩估计量为 X2,
矩估计法的步骤设总体 X的分布函数为 ),,,;x(F m21,m21,，,?
为未知参数,
1.求总体 X的 k阶原点矩
,m,,2,1k),X(E),,,(q km21k
2.解方程 (组 )
mm21m
2m212
1m211
A,,,q
A,,,q
A,,,q
得
)A,,A,A(h
)A,,A,A(h
)A,,A,A(h
m21mm
m2122
m2111
3.写出矩估计量 m,,2,1k)A,,A,A(h?
m21kk
注,
n
1i
k
ik Xn
1A 为样本 k阶原点矩例 7.1.2 设总体 ]b,a[U~X,求参数 a,b的矩估计量,
解,
其它0
]b,a[x
ab
1
)x(f~X
2
badx
ab
x)X(E b
a
)baba(31dxab x)X(E 22ba
2
2
解方程组
2
22
1
A
3
baba
A
2
ba 得
2121 AA3Aa
2121 AA3Ab
所求的矩估计量为
n
1i
22
i
2
i
n
1i
2
n
1i
2
i
)XX(
n
1
3Xb?
)XX(
n
1
3XXX
n
1
3Xa?
1) 似然函数 (样本的联合密度函数 )
(1) 设总体 X为 连续型,X～ f(x;θ 1,θ 2,… θ m),θ i为待估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
Xi～ f(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(f),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~E(λ),即
0x0
0xe);x(f~X x则
0x0
0xe);x(f~X
i
i
x
ii
i
n
1i
in21 ),x(f);x,.,,,x,x(L?
其它0
0x,.,.,0x,0xe n21
n
1i
x i
2 最大似然估计法似然函数 (样本的联合分布律 )
（ 2） 设总体 X为 离散型,P{X=x}=P(x;θ 1,…,θ m),θ i为待估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
P{Xi=xi}=P(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合分布律为
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(P),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~P(λ),即 e
!m}mX{P
m
e
!x}xX{P
x
n
1i
in21 ),x(P);x,...,x,x(L
e
!x
);x(P
i
x
i
i
n
1i i
x
e!x
i
2）基本思想甲,乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中,
可以认为,甲射击技术优于乙射击技术,
事件 A发生的概率为 0.1或 0.9,观察一次,事件 A发生了,
可以认为,事件 A发生的概率为 0.9.
实际问题 (医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量检验等 )尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大,
最大似然估计就是通过样本值 等数求得总体的分布参数,使得 取值为 的概率最大,
n1 X,,X?
n1 x,,x?
n1 x,,x?
样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值处的函数值有关,L越大,样本观察值越可能出现,所以若似然函数 在取到最大值,则称 分别为 的最大似然估计,
),.,,,,;x,.,,,x,x(L m21n21 m21,...,,
m21,...,,
m21,...,,
最大似然估计定义为,
3）方法与步骤设总体的分布密度 (或概率密度 )
其中 是待估参数,
),,;x(f m1
m1,,
（ 1）写出似然函数 (即样本的联合密度函数 )
n
1i
m1im1n1 ),,;x(f),,;x,,x(LL
（ 2）写出对数似然函数 (对似然函数求导 )
n
1i
m1i ),,;x(flnLln?
（ 3）写出似然方程
m,2,1i,0
i
Lln
（ 4）求解似然方程并写出估计量 m,,3,2,1i,?
i
(只有一个待估参数时求 )
d Llnd
例 7.1.3 求参数 为 p的 0-1分布的最大似然估计,
解,P{X=0}=1-p
P{X=1}=p P{X=m}=p
m(1-p)1-m(m=0,1)
P{X=x}=px(1-p)1-x?
n
1i
x1x ii )p1(p
)p1l n ()xn(pln)x(
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i xnx
)p1(p
0
p1
xn
p
x
n
1i
i
n
1i
i
0)xn(px)p1( n
1i
i
n
1i
i
)p;x,...,x,x(L n21
Lln
dp Llnd
解得?
n
1i
iXn
1p 最大似然估计为
XXn1p
n
1i
i
例 7.1.4.X~N(μ,σ2),求参数 μ,σ2的最大似然估计,
解,
2
2
2
)x(
2 e
2
1),,x(f
2
2
2
)x(
2
e
2
1
n
1i
2
)x(
2
2
2
i
e
2
1 ),;x,...,x,x(L 2
n21?
n
1i
2
i2 )x(2
1
n
2
e)
2
1(
Lln
n
1i
2
i22 )x(2
1)
2
1l n (n
n
1i
2
i2
2 )x(
2
12ln
2
n
0)x(1
n
1i
2
i2
0)x(2 12 n
n
1i
2
i42
Lln
2Lln?
XXn1
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2 )Xx(
n
1)x(
n
1?
例 7.1.5.设 X服从 [0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求 λ的最大似然估计,
解,由题意得,
其它0
x0
1
);x(f~X
);x,...,x,x(L n21
其它0
x,...,x,x0
1
n21n
d Llnd 0n
1n
无解,基本方法失效,
考虑 L的取值,要使 L取值最大,λ应最小, n21 x,...,x,x0
取 )x,...,x,xm a x (
n21
此时,L取值最大,
所以,所求最大似然估计为 )x,...,x,xm a x (
n21
应用最大似然估计基本思想,L越大,样本观察值越可能出现,
例 7.1.6设总体 X～
其他,0
1,1x0,x)1()x(f
其中 是未知参数,是来自总体的一个容量为 n
的 s.r.s,求 的最大似然估计,
n1 X,,X?
解,由题意得,
);x,...,x,x(L n21
当 时,)n,.,,,2,1i(1x0
i
Lln ]x[)1l n ( n
1i
i
n?
n
1i
ixln)1l n (n
d Llnd 0xln
1
n n
1i
i
所求最大似然估计为?
n
1i
iXln
n1?
其它0
n,.,,,2,1i,1x0x)1( i
n
1i
i
同一个未知参数的矩估计量和最大似然估计量不一定一样 (如正态分布的完全一样,而均匀分布的就不一样 ).
注意,
2.(991) 设总体的概率密度为是取自总体的 s.r.s 。求 的矩估计量、
矩估计量的方差及最大似然估计量。
其他,0
x0),x(
)x(f
3
x6
n1 X,,X
1.(971) 设总体的概率密度为其中 是未知参数,是来自总体的一个容量为 n 的 s.r.s,求 的矩估计量及极大似然估计量,
其他,0
1,1x0,x)1(
)x(f
n1 X,,X?
练习,
3,顺序统计量法直观解释,用样本中位数 Me估计总体中位数,
用样本极差 R估计总体标准差,
注,当总体为连续型且分布密度为对称时,总体中位数即是总体的数学期望,
定理,设 X1,X2,…,X n是来自正态总体 N(?,?2)的样本,Me
是样本中位数,则有
)n()1,0(N)Me(n2 2
可以看出,当 n充分大时 )
n2,(N~M
2
e
因此,可取
eM
例 7.1.7.设某种灯泡寿命 X~N(μ,σ2),随机抽取 7只灯泡测得寿命为 (单位,小时 )
1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950
(1) 用顺序统计量法估计 μ用顺序统计量法估计
(2) 用矩法及最大似然估计法估计 μ
解,(1) 顺序统计量 )X,,X,X( )n()2()1(? 的观测值分别为
1346,1453,1503,1575,1575,1630,1950
所以 1 5 7 5xMe?
)4(
(2) 由前知 1576x
7
1x? 7
1i
i
注,)10n(XXR?
)1()n( (极差估计法 )
第 7.2节 估计量的评价标准容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法找到的点估计可能不同,那么,自然要问,究竟是用哪一个更“好”些呢?这里介绍三个评价标准,
无偏性标准一,
设 为 θ的一个点估计,若则称 为 θ的一个 无偏估计,
,)?(E
注意,无偏估计不是唯一存在,
标准二,有效性 (方差最小性 )
设 和 是 的两个无偏估计,若则称 比 更 有效
2
)?(D)?(D 21 1
1
2
如果)?(E)?(E
若 )?(Elim
,那么 称为 的偏差,
则称 是 θ的 渐进 无偏估计,
例 7.2.1验证,是总体 X方差的一个无偏估计 ; 不是方差的无偏估计,
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S
解,
)]X(nE)X(E[1n 1ES 2
n
1i
2
i
2?
n
1i
2
i )XX(
n
1i
2
i
2
i )XXX2X(
2
n
1i
i
n
1i
2
i XnXX2X
2
n
1i
2
i XnX
)X(E1n nEX1n n 22
])XE(XD)EX(DX[1n n 22
]XDDX[1n n ]nDXDX[1n n =DX
所以,S2为 DX的无偏估计量,
ES2=DX,,S
n
1nS 22
0
故
22
0 ESn
1nES
DXn 1n
所以,不是 DX的无偏估计量,2
0S
例 7.2.2.设 X1,X2,X3为来自总体 X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,验证下列统计量哪个更有效,
32133212211 X3
1X
3
2X
2
1?,X
3
1X
3
1X
3
1?,X
2
1X
2
1
解,
]X21X21[E?E 211
65EX65EX31EX32EX21?E 3213
,EXEX31EX31EX31?E 3212
21 EX2
1EX
2
1 =EX=μ
]X21X21[D?D 211 21 DX41DX41 =DX/2=σ
2/2
同理
,3/DX91DX91DX91?D 23212
21,
为无偏估计量,,DD
21
2?
更有效,
是来自 X的 s.r.s,试证,为的无偏估计,且 比 更有效,
)nk(,X?,X?
k
1i
ik
1
21
)X(E 1 2
n1 X,,X?
例 7.2.3 设总体 X 的方差存在证明,
n
1i
i1 )Xn
1(EXEE?
in E Xn
1
k
1i
i2 )Xk
1(EE?
ik E Xk
1
n
1i
i1 )Xn
1(DXDD?
i2 n D Xn
1?
n
2?
k
1i
i2 )Xk
1(DD?
i2 DXkk
1?
k
2?
,21 DD
样本容量越大,
样本均值估计值越精确,
标准三,相合性 (一致性 )
设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为 n,若对任意
,则称 为 的相合估计,又称一致估计,
1?Plimn
,0
相合性表明,当样本容量充分大时,事件
“相合估计量充分接近被估计未知参数的概率”
接近于 1,换言之,当样本容量充分大时,事件
,相合估计量与被估未知参数偏离较大”的概率接近于零,以后,将概率很小的事件被称为小概率事件,
在实际中,常常以样本均值作为总体均值的点估计,以样本方差作为总体方差的点估计,
3.期望和方差的点估计期望的点估计,
选择估计量?
n
1i
iXn
1X
(1)无偏性
(2)样本容量越大,估计值 越有效方差的点估计,
选择估计量?
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S (无偏估计量 )
标准差的点估计,
选择估计量?
n
1i
2
i )XX(1n
1S
(非无偏估计量 )
注意,?
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S (非无偏估计量 )
点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法,
如,对明年小麦的亩产量作出估计为,
即,若设 X表示明年亩产量,则估计结果为
P{800≤X≤1000}=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计第 7,3 节 区间估计
1,区间估计的定义设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的 s.r.s,
如果能够找到两个统计量,使得随机区间包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的 区间估计,即当 成立时,
称概率 为 置信度或置信水平 ;
称区间 是 的置信度为 的 置信区间 ;
分别称为 置信下限 和 置信上限,
21, ),( 21
,1}{P 21 )10(
1
),( 211
21,
注意,点估计给出的是未知参数的一个近似值 ;
区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,
并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度,
例 7.3.1 总体均值 的 95%置信区间的意义是 ( )?
① 这个区间平均含总体的 95%的值②
这个区间平均含样本的 95%的值③这个区间有 95%的机会含 的真值④这个区间有 95%的机会含样本均值,
3
例 7.3.2 总体分布中未知参数 的 置信区间为,则在下列说法中,正确的说法有 ( )个
),( 21
1
① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5
说法 1,以概率 包含 ;
说法 2,以概率 落入 ;
说法 3,不包含 的概率为 ;
说法 4,以 的概率落在 之外 ;
说法 5,以 估计 所在范围时,所犯错误的概率为
),( 211?
),( 211
),( 21
),( 21
),( 21
2
例 7.3.3.设总体 X~N(μ,σ2),其中 σ2已知,
X1,X2,…,X n为 X 的 一个样本,求一个区间,使之以 1-α的 概率 包含 μ的真值,
解 (1)选择包含 μ的分布已知函数,
n/
XU
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
不妨设 P{|U|<λ}=1-α,则
21
u
]21)u([
21
λ为 U的 100(1-α/2)% 分位数
即
1}un/
Xu{P
2121
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
1)nuXnuX{P
2121
所求 1-α置信区间为 )
nuX,nuX( 2121
α/2α/2
X
φ(x)
1-α
=z1-α/2λ-λ
P{|U|<λ}=1-α
置信区间不是唯一的,对于同一个置信度,
可以有不同的置信区间,置信度相同时,当然置信区间越短越好,一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间,
注意,
2,求置信区间的方法与步骤,
第一步 构造一个含未知参数的分布已知的随机变量 (样本的函数 )U,U中除待估参数外不含其它任何未知参数,一般是从未知参数的点估计着手,再进行 "加工 "来构造 ;
第二步 对给定的置信度,根据 U的分布定出满足 的 a,b(叫 分位数 或 临界点 );
1
1}bUa{P
第三步 利用不等式变形,求出未知参数的 置信区间,1
1.单一正态总体均值与方差的区间估计,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
1)un/
Xu{P
2
1
2
1
n/
XU
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
)
n
uX,
n
uX(
2
1
2
1
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
1） σ2已知,求 μ的置信度为 1-α的置信区间
]
2
1)u([
2
1
第 7.4节 正态总体均值与方差的区间估计例 7.4.1.设总体 X~N(μ,0.92),X1,X2,…,X 9为来自总体的简单随机样本，样本均值为 5，求 μ的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意得,,5.0,9.0,5X 22
这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为
)
n
uX,
n
uX(
2121
其中
n=9
9 7 5.0)u(
21
u0.975=1.96,代入得
n
uX
21
4.412,
n
uX
21
5.588,
所求置信区间为 (4.412,5.588)
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
2） σ2未知,求 μ的置信度为 1-α置信区间：
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
n/S
X~T )1n(t~?
)1n(t 2/1 X
f(x)
α/2α/2 1)}1n(t|T{|P 2/1
1}
n
S
)1n(tX
n
S
)1n(tX{P
2/1
2/1
)nS)1n(tX,nS)1n(tX( 2/12/1
1-α
例 7.4.2用某种仪器间接测量温度,重复测量 5次得温度数据如下 （ 单位：摄氏度 ） 1250,1265,1245,1260，
1275。 假设仪器无系统误差,测量值 X服从正态分布,
试以 95%的置信度估计温度真值的置信区间 。
解：用统计量
n/S
X~T
%5,5n 查 t分布表得 7 7 6.2)4(t)1n(t 975.0
2
a1
经计算 1259)1275124512651250(
5
1x
5.142]1259127512591260125912451259126512591250[41s 222222
置信下限为 18.1 2 4 4
5
5.142776.21 2 5 9
n
s)1n(tx
2
a1
置信上限为 82.1 2 7 3
5
5.142776.21 2 5 9
n
s)1n(tx
2
a1
所求置信区间为（ 1244.18,1273.82）
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
3）求 σ2置信度为 1-α的置信区间：
( 1 ) 总体均值? 已知
2? 的无偏估计为?
n
1i
2
in
12 )X(?,且 )n(~
n 2
2
2
2?
,
对 给定的?,由于
1)}n()n({P 2122
22,
解 不等式 )n()n( 2122
22
,可得
2? 的置信度为1 的置 信区间是,
)n(
)X(
,
)n(
)X(
2
n
1i
2
i
2
1
n
1i
2
i
22
X
f(x)
(a)选择包含 σ2的分布已知函数,
(c)变形得到 σ2的 1-α置信区间,
2
2
2 S)1n(
)1n(~ 2
1}{P 221
α/2α/2
λ1 λ2
)1n(2 2/1)1n(2 2/
1)}1n(
S)1n(
)1n({P
2
2/1
2
2
2
2/
)
)1n(
S)1n(,
)1n(
S)1n((
2
2/
2
2
2/1
2
( 2 ) 总体均值? 未知
(b)构造 的 一个 1-α区间,2?
例 7.4.3 设炮弹速度服从正态分布，现抽 9发炮弹做试验，得样本方差 s2=11(m/s)2,分别求炮弹速度方差?2和标准差?的置信度为 90%的置信区间。
解：由题意知 %901,9n
查表得 5 0 7.15)8(,7 3 3.2)8( 2
21
2
2
所以?2的置信下限为 6 75.5
5 07.15
11)19(
)1n(x
s)1n(
2
a1
2
2的置信下限为 1 9 9.327 3 3.2 11)19()1n(x s)1n( 2
2
a
2
故?2的置信区间是（ 5.675,32.199)
的置信区间是（ 2.38,5.67)
2.两个正态总体均值差的区间估计,
设原总体 X~N(μ1,σ12),改变后的总体 Y~ N(μ2,σ22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为 n1,n2的样本,样本均值和样本方差分别记为
.,;,2221 SYSX
1) σ12,σ22已知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)1,0(N~
n/n/
)()YX(U
2
2
21
2
1
21
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知函数,
(2)构造 Z的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
1)uUu{P
2121
)
nn
u)YX(,
nn
u)YX((
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
]21)u([
21
例 7.4.4 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为 80和
70的样本进行测试，算得样本均值和样本方差分别为
5.32和 5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正态分布，其方差分别为 21.82和 1.762，试求改革前后线纱平均断裂强度之差的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意知
222221 76.1,18.2,76.5y,32.5x
%5%,951,70n,80n 21
差正态分布表得
96.1uu 9 7 5.02/1
置信下限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx
07.17076.1802,1 81,9 6-5,7 6-5,3 2
22
置信上限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx
19.07076.1802,1 81,9 65,7 6-5,3 2
22
所以，所求的置信区间为
)19.0,07.1(?
2) σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)2nn(t~
n/1n/1S
)()YX(T
21
21w
21
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知的函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
)
n
1
n
1
S)2nn(t)YX(
,
n
1
n
1
S)2nn(t)YX((
21
w212/1
21
w212/1
1)}2nn(t|T{|P 212/1
例 7.4.5 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现选 20块条件大致相同的地块。 10块不施磷肥，另外 10
块施磷肥，得亩产量（单位,500克）如下：
不施磷肥亩产
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
施磷肥亩产
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都服从正态分布，且方差相同，取置信度为 0.95，试对施磷肥平均亩产和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。
解,设不施磷肥亩产
),(N~X 21
施磷肥亩产 ),(N~Y 22
计算得
2 4 0 0)xx(s)1n(570x
10
1i
2
i
2
11
，
6400)yy(s)1n(600y 10
1i
2
i
2
22
,2221010
6 4 0 02 4 0 0s
w
查表得 1 0 0 9.2)18(t
21
12 的置信下限为
9
10
1
10
1
221 0 0 9.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
12 的置信上限为
51
10
1
10
1
221 0 0 9.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
所求的置信区间是（ 9.51）
例 7.4.6 某工厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,
分别从两条流水线上抽取随机样本,1221,,,XXX?
和 1721,,,YYY?,计算出 6.10?X (克 ),5.9?Y (克 ),
7.4,4.2 2221 SS,假设这两条流水线上听装番茄酱的重量都服从正态分布,其总体均值分别为 1?,2?,
且有相同的总体方差,试求总体均值差 1? - 2? 的区间估计,置信系数为 0.95.
3.两个正态总体方差比 σ12/σ22的 1-α置信区间,
(1)选择包含 σ12/σ22 的分布已知函数,
(2)构造 F的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 σ12/σ22 的 1-α置信区间,
)1n,1n(F~
/S
/S
122
1
2
1
2
2
2
2
)1n,1n(F 12
2
X
f(x)
α/2 α/2
)1n,1n(F 12
21
λ1 λ2
1-α
P{λ1<F< λ2}=1-α
)1n,1n(F
1
212/1
)
S
S
)1n,1n(F
1
,
S
S
)1n,1n(F
1
( 2
2
2
1
21
2
2
2
2
1
21
2
1
2
2
2
1
12
21
2
2
2
1
12
2 S
S)1n,1n(F,
S
S)1n,1n(F
例 7.4.7 两名化验员甲，乙独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10次测定，其测定值的样本方差分别为 0.5419,0.6065，设两总体均服从正态分布，
求总体方差之比的置信度为 95%的置信区间。
解,设甲，乙两人对应总体的方差分别为 2
221,
由题意知 6 0 6 5.0s5 4 1 9.0s 2
221
查表得 03.4)9,9(F)1n,1n(F
975.0212/1
2
2
2
1
的置信下限为 222.0
03.4
1
6 0 65.0
5 4 19.0
)1n,1n(F
1
s
s
21
21
2
2
2
1
2
2
2
1
的置信上限为
601.303.46065.0 5419.0)1n,1n(F 1ss
21
2
2
2
2
1
所求置信区间为 (0.222,3.601)
例 7.4.8 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命而进行一项试验,试验中抽选了由方法一生产的 16 个产品组成一随机样本,其方差为 1200 小时 ; 又抽选了由方法二生产的 21 个产品组成另一随机样本,得出的方差为 800
小时,试以 95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间,
解 设方法一生产的产品的寿命为 ),(~ 211NX,
方法二生产的产品的寿命 ),(~
2
22NY,现在要求
2
2
2
1 / 的置信度为 9 5 % 的置信区间,
实际操作起来,依据样本,按照第三步 求 出的 置信区间,查 出分位数,算 得上下限,最后 写 出数值区间
1
单正态总体参数的区间估计双正态总体区间估计小结,
期望的区间估计方差的区间估计
σ2已知
σ2未知
U
T
均值差的区间估计方差比的区间估计
两个方差都已知两个方差未知但相等
U
T
F
2?
用所获得的样本值去估计参数取值称为参数估计,
参数估计
点估计区间估计用某一数值作为参数的近似值
在要求的精度范围内指出参数所在的区间数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体,
推断的基本内容包括两个方面,一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围 ;二是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断,本章先介绍求近似值和近似范围的方法,
第七章 参数估计第 7.1节 点估计
1.定义 总体 X的分布函数为 F(x;θ 1,θ 2,… θ k),θ i为未知参数 (i=1,2,…,k),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,若以函数值 (x1,x2,…,xn)作为 θ i的近似值,则称 为 θ i
的 估计值 (抽样后 ),也称 为 θ i
的 估计量 (抽样前 ).由于估计值 (实数 )与实数轴的点对应,
姑且又称 为 θ i的点估计 (量或值 ).
ii
i
)X,,X,X( n21ii
i
即,选择统计量估计量 带入样本值 估计值
X分布为 F(x;θ)[θ待估 ]
2 点估计方法
( 1 ) 矩估计法将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,
布列方程或方程组,所得到的解,作为总体未知参数的点估计的方法,
例 7.1.1 设总体 ),0(~?UX,nXXX,,,21? 为取自该总体的样本,
求未知参数? 的矩估计量,
解 因为
2
)(
XE,所以由 X?
2
,可解得 X2,
故未知参数? 的矩估计量为 X2,
矩估计法的步骤设总体 X的分布函数为 ),,,;x(F m21,m21,，,?
为未知参数,
1.求总体 X的 k阶原点矩
,m,,2,1k),X(E),,,(q km21k
2.解方程 (组 )
mm21m
2m212
1m211
A,,,q
A,,,q
A,,,q
得
)A,,A,A(h
)A,,A,A(h
)A,,A,A(h
m21mm
m2122
m2111
3.写出矩估计量 m,,2,1k)A,,A,A(h?
m21kk
注,
n
1i
k
ik Xn
1A 为样本 k阶原点矩例 7.1.2 设总体 ]b,a[U~X,求参数 a,b的矩估计量,
解,
其它0
]b,a[x
ab
1
)x(f~X
2
badx
ab
x)X(E b
a
)baba(31dxab x)X(E 22ba
2
2
解方程组
2
22
1
A
3
baba
A
2
ba 得
2121 AA3Aa
2121 AA3Ab
所求的矩估计量为
n
1i
22
i
2
i
n
1i
2
n
1i
2
i
)XX(
n
1
3Xb?
)XX(
n
1
3XXX
n
1
3Xa?
1) 似然函数 (样本的联合密度函数 )
(1) 设总体 X为 连续型,X～ f(x;θ 1,θ 2,… θ m),θ i为待估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
Xi～ f(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(f),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~E(λ),即
0x0
0xe);x(f~X x则
0x0
0xe);x(f~X
i
i
x
ii
i
n
1i
in21 ),x(f);x,.,,,x,x(L?
其它0
0x,.,.,0x,0xe n21
n
1i
x i
2 最大似然估计法似然函数 (样本的联合分布律 )
（ 2） 设总体 X为 离散型,P{X=x}=P(x;θ 1,…,θ m),θ i为待估参数 (i=1,2,…,m),X1,X2,…,Xn为来自该总体的 s.r.s,则
P{Xi=xi}=P(xi;θ 1,θ 2,… θ m),(i=1,2,…,m)
（ X1,X2,…,Xn）的联合分布律为
n
1i
m21im21n21 ),...,,;x(P),...,,;x,...,x,x(L
(似然函数 )
如 X~P(λ),即 e
!m}mX{P
m
e
!x}xX{P
x
n
1i
in21 ),x(P);x,...,x,x(L
e
!x
);x(P
i
x
i
i
n
1i i
x
e!x
i
2）基本思想甲,乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中,
可以认为,甲射击技术优于乙射击技术,
事件 A发生的概率为 0.1或 0.9,观察一次,事件 A发生了,
可以认为,事件 A发生的概率为 0.9.
实际问题 (医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量检验等 )尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大,
最大似然估计就是通过样本值 等数求得总体的分布参数,使得 取值为 的概率最大,
n1 X,,X?
n1 x,,x?
n1 x,,x?
样本观察值出现可能性的大小跟似然函数在该样本值处的函数值有关,L越大,样本观察值越可能出现,所以若似然函数 在取到最大值,则称 分别为 的最大似然估计,
),.,,,,;x,.,,,x,x(L m21n21 m21,...,,
m21,...,,
m21,...,,
最大似然估计定义为,
3）方法与步骤设总体的分布密度 (或概率密度 )
其中 是待估参数,
),,;x(f m1
m1,,
（ 1）写出似然函数 (即样本的联合密度函数 )
n
1i
m1im1n1 ),,;x(f),,;x,,x(LL
（ 2）写出对数似然函数 (对似然函数求导 )
n
1i
m1i ),,;x(flnLln?
（ 3）写出似然方程
m,2,1i,0
i
Lln
（ 4）求解似然方程并写出估计量 m,,3,2,1i,?
i
(只有一个待估参数时求 )
d Llnd
例 7.1.3 求参数 为 p的 0-1分布的最大似然估计,
解,P{X=0}=1-p
P{X=1}=p P{X=m}=p
m(1-p)1-m(m=0,1)
P{X=x}=px(1-p)1-x?
n
1i
x1x ii )p1(p
)p1l n ()xn(pln)x(
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i xnx
)p1(p
0
p1
xn
p
x
n
1i
i
n
1i
i
0)xn(px)p1( n
1i
i
n
1i
i
)p;x,...,x,x(L n21
Lln
dp Llnd
解得?
n
1i
iXn
1p 最大似然估计为
XXn1p
n
1i
i
例 7.1.4.X~N(μ,σ2),求参数 μ,σ2的最大似然估计,
解,
2
2
2
)x(
2 e
2
1),,x(f
2
2
2
)x(
2
e
2
1
n
1i
2
)x(
2
2
2
i
e
2
1 ),;x,...,x,x(L 2
n21?
n
1i
2
i2 )x(2
1
n
2
e)
2
1(
Lln
n
1i
2
i22 )x(2
1)
2
1l n (n
n
1i
2
i2
2 )x(
2
12ln
2
n
0)x(1
n
1i
2
i2
0)x(2 12 n
n
1i
2
i42
Lln
2Lln?
XXn1
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2 )Xx(
n
1)x(
n
1?
例 7.1.5.设 X服从 [0,λ]区间上的均匀分布,参数
λ>0,求 λ的最大似然估计,
解,由题意得,
其它0
x0
1
);x(f~X
);x,...,x,x(L n21
其它0
x,...,x,x0
1
n21n
d Llnd 0n
1n
无解,基本方法失效,
考虑 L的取值,要使 L取值最大,λ应最小, n21 x,...,x,x0
取 )x,...,x,xm a x (
n21
此时,L取值最大,
所以,所求最大似然估计为 )x,...,x,xm a x (
n21
应用最大似然估计基本思想,L越大,样本观察值越可能出现,
例 7.1.6设总体 X～
其他,0
1,1x0,x)1()x(f
其中 是未知参数,是来自总体的一个容量为 n
的 s.r.s,求 的最大似然估计,
n1 X,,X?
解,由题意得,
);x,...,x,x(L n21
当 时,)n,.,,,2,1i(1x0
i
Lln ]x[)1l n ( n
1i
i
n?
n
1i
ixln)1l n (n
d Llnd 0xln
1
n n
1i
i
所求最大似然估计为?
n
1i
iXln
n1?
其它0
n,.,,,2,1i,1x0x)1( i
n
1i
i
同一个未知参数的矩估计量和最大似然估计量不一定一样 (如正态分布的完全一样,而均匀分布的就不一样 ).
注意,
2.(991) 设总体的概率密度为是取自总体的 s.r.s 。求 的矩估计量、
矩估计量的方差及最大似然估计量。
其他,0
x0),x(
)x(f
3
x6
n1 X,,X
1.(971) 设总体的概率密度为其中 是未知参数,是来自总体的一个容量为 n 的 s.r.s,求 的矩估计量及极大似然估计量,
其他,0
1,1x0,x)1(
)x(f
n1 X,,X?
练习,
3,顺序统计量法直观解释,用样本中位数 Me估计总体中位数,
用样本极差 R估计总体标准差,
注,当总体为连续型且分布密度为对称时,总体中位数即是总体的数学期望,
定理,设 X1,X2,…,X n是来自正态总体 N(?,?2)的样本,Me
是样本中位数,则有
)n()1,0(N)Me(n2 2
可以看出,当 n充分大时 )
n2,(N~M
2
e
因此,可取
eM
例 7.1.7.设某种灯泡寿命 X~N(μ,σ2),随机抽取 7只灯泡测得寿命为 (单位,小时 )
1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950
(1) 用顺序统计量法估计 μ用顺序统计量法估计
(2) 用矩法及最大似然估计法估计 μ
解,(1) 顺序统计量 )X,,X,X( )n()2()1(? 的观测值分别为
1346,1453,1503,1575,1575,1630,1950
所以 1 5 7 5xMe?
)4(
(2) 由前知 1576x
7
1x? 7
1i
i
注,)10n(XXR?
)1()n( (极差估计法 )
第 7.2节 估计量的评价标准容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法找到的点估计可能不同,那么,自然要问,究竟是用哪一个更“好”些呢?这里介绍三个评价标准,
无偏性标准一,
设 为 θ的一个点估计,若则称 为 θ的一个 无偏估计,
,)?(E
注意,无偏估计不是唯一存在,
标准二,有效性 (方差最小性 )
设 和 是 的两个无偏估计,若则称 比 更 有效
2
)?(D)?(D 21 1
1
2
如果)?(E)?(E
若 )?(Elim
,那么 称为 的偏差,
则称 是 θ的 渐进 无偏估计,
例 7.2.1验证,是总体 X方差的一个无偏估计 ; 不是方差的无偏估计,
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S
解,
)]X(nE)X(E[1n 1ES 2
n
1i
2
i
2?
n
1i
2
i )XX(
n
1i
2
i
2
i )XXX2X(
2
n
1i
i
n
1i
2
i XnXX2X
2
n
1i
2
i XnX
)X(E1n nEX1n n 22
])XE(XD)EX(DX[1n n 22
]XDDX[1n n ]nDXDX[1n n =DX
所以,S2为 DX的无偏估计量,
ES2=DX,,S
n
1nS 22
0
故
22
0 ESn
1nES
DXn 1n
所以,不是 DX的无偏估计量,2
0S
例 7.2.2.设 X1,X2,X3为来自总体 X的简单随机样本,EX=μ,DX=σ2,验证下列统计量哪个更有效,
32133212211 X3
1X
3
2X
2
1?,X
3
1X
3
1X
3
1?,X
2
1X
2
1
解,
]X21X21[E?E 211
65EX65EX31EX32EX21?E 3213
,EXEX31EX31EX31?E 3212
21 EX2
1EX
2
1 =EX=μ
]X21X21[D?D 211 21 DX41DX41 =DX/2=σ
2/2
同理
,3/DX91DX91DX91?D 23212
21,
为无偏估计量,,DD
21
2?
更有效,
是来自 X的 s.r.s,试证,为的无偏估计,且 比 更有效,
)nk(,X?,X?
k
1i
ik
1
21
)X(E 1 2
n1 X,,X?
例 7.2.3 设总体 X 的方差存在证明,
n
1i
i1 )Xn
1(EXEE?
in E Xn
1
k
1i
i2 )Xk
1(EE?
ik E Xk
1
n
1i
i1 )Xn
1(DXDD?
i2 n D Xn
1?
n
2?
k
1i
i2 )Xk
1(DD?
i2 DXkk
1?
k
2?
,21 DD
样本容量越大,
样本均值估计值越精确,
标准三,相合性 (一致性 )
设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为 n,若对任意
,则称 为 的相合估计,又称一致估计,
1?Plimn
,0
相合性表明,当样本容量充分大时,事件
“相合估计量充分接近被估计未知参数的概率”
接近于 1,换言之,当样本容量充分大时,事件
,相合估计量与被估未知参数偏离较大”的概率接近于零,以后,将概率很小的事件被称为小概率事件,
在实际中,常常以样本均值作为总体均值的点估计,以样本方差作为总体方差的点估计,
3.期望和方差的点估计期望的点估计,
选择估计量?
n
1i
iXn
1X
(1)无偏性
(2)样本容量越大,估计值 越有效方差的点估计,
选择估计量?
n
1i
2
i
2 )XX(
1n
1S (无偏估计量 )
标准差的点估计,
选择估计量?
n
1i
2
i )XX(1n
1S
(非无偏估计量 )
注意,?
n
1i
2
i
2
0 )XX(n
1S (非无偏估计量 )
点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法,
如,对明年小麦的亩产量作出估计为,
即,若设 X表示明年亩产量,则估计结果为
P{800≤X≤1000}=80%
明年小麦亩产量八成为 800-1000斤,
区间估计第 7,3 节 区间估计
1,区间估计的定义设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的 s.r.s,
如果能够找到两个统计量,使得随机区间包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的 区间估计,即当 成立时,
称概率 为 置信度或置信水平 ;
称区间 是 的置信度为 的 置信区间 ;
分别称为 置信下限 和 置信上限,
21, ),( 21
,1}{P 21 )10(
1
),( 211
21,
注意,点估计给出的是未知参数的一个近似值 ;
区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,
并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度,
例 7.3.1 总体均值 的 95%置信区间的意义是 ( )?
① 这个区间平均含总体的 95%的值②
这个区间平均含样本的 95%的值③这个区间有 95%的机会含 的真值④这个区间有 95%的机会含样本均值,
3
例 7.3.2 总体分布中未知参数 的 置信区间为,则在下列说法中,正确的说法有 ( )个
),( 21
1
① 2 ② 3 ③ 4 ④ 5
说法 1,以概率 包含 ;
说法 2,以概率 落入 ;
说法 3,不包含 的概率为 ;
说法 4,以 的概率落在 之外 ;
说法 5,以 估计 所在范围时,所犯错误的概率为
),( 211?
),( 211
),( 21
),( 21
),( 21
2
例 7.3.3.设总体 X~N(μ,σ2),其中 σ2已知,
X1,X2,…,X n为 X 的 一个样本,求一个区间,使之以 1-α的 概率 包含 μ的真值,
解 (1)选择包含 μ的分布已知函数,
n/
XU
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
不妨设 P{|U|<λ}=1-α,则
21
u
]21)u([
21
λ为 U的 100(1-α/2)% 分位数
即
1}un/
Xu{P
2121
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
1)nuXnuX{P
2121
所求 1-α置信区间为 )
nuX,nuX( 2121
α/2α/2
X
φ(x)
1-α
=z1-α/2λ-λ
P{|U|<λ}=1-α
置信区间不是唯一的,对于同一个置信度,
可以有不同的置信区间,置信度相同时,当然置信区间越短越好,一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间,
注意,
2,求置信区间的方法与步骤,
第一步 构造一个含未知参数的分布已知的随机变量 (样本的函数 )U,U中除待估参数外不含其它任何未知参数,一般是从未知参数的点估计着手,再进行 "加工 "来构造 ;
第二步 对给定的置信度,根据 U的分布定出满足 的 a,b(叫 分位数 或 临界点 );
1
1}bUa{P
第三步 利用不等式变形,求出未知参数的 置信区间,1
1.单一正态总体均值与方差的区间估计,
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 U的 一个 1-α区间,
1)un/
Xu{P
2
1
2
1
n/
XU
)1,0(N~
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
)
n
uX,
n
uX(
2
1
2
1
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
1） σ2已知,求 μ的置信度为 1-α的置信区间
]
2
1)u([
2
1
第 7.4节 正态总体均值与方差的区间估计例 7.4.1.设总体 X~N(μ,0.92),X1,X2,…,X 9为来自总体的简单随机样本，样本均值为 5，求 μ的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意得,,5.0,9.0,5X 22
这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为
)
n
uX,
n
uX(
2121
其中
n=9
9 7 5.0)u(
21
u0.975=1.96,代入得
n
uX
21
4.412,
n
uX
21
5.588,
所求置信区间为 (4.412,5.588)
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
2） σ2未知,求 μ的置信度为 1-α置信区间：
(1)选择包含 μ的分布已知函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ的 1-α置信区间,
n/S
X~T )1n(t~?
)1n(t 2/1 X
f(x)
α/2α/2 1)}1n(t|T{|P 2/1
1}
n
S
)1n(tX
n
S
)1n(tX{P
2/1
2/1
)nS)1n(tX,nS)1n(tX( 2/12/1
1-α
例 7.4.2用某种仪器间接测量温度,重复测量 5次得温度数据如下 （ 单位：摄氏度 ） 1250,1265,1245,1260，
1275。 假设仪器无系统误差,测量值 X服从正态分布,
试以 95%的置信度估计温度真值的置信区间 。
解：用统计量
n/S
X~T
%5,5n 查 t分布表得 7 7 6.2)4(t)1n(t 975.0
2
a1
经计算 1259)1275124512651250(
5
1x
5.142]1259127512591260125912451259126512591250[41s 222222
置信下限为 18.1 2 4 4
5
5.142776.21 2 5 9
n
s)1n(tx
2
a1
置信上限为 82.1 2 7 3
5
5.142776.21 2 5 9
n
s)1n(tx
2
a1
所求置信区间为（ 1244.18,1273.82）
设总体 X~N(μ,σ2),X1,X2,…,X n 为一组样本，
3）求 σ2置信度为 1-α的置信区间：
( 1 ) 总体均值? 已知
2? 的无偏估计为?
n
1i
2
in
12 )X(?,且 )n(~
n 2
2
2
2?
,
对 给定的?,由于
1)}n()n({P 2122
22,
解 不等式 )n()n( 2122
22
,可得
2? 的置信度为1 的置 信区间是,
)n(
)X(
,
)n(
)X(
2
n
1i
2
i
2
1
n
1i
2
i
22
X
f(x)
(a)选择包含 σ2的分布已知函数,
(c)变形得到 σ2的 1-α置信区间,
2
2
2 S)1n(
)1n(~ 2
1}{P 221
α/2α/2
λ1 λ2
)1n(2 2/1)1n(2 2/
1)}1n(
S)1n(
)1n({P
2
2/1
2
2
2
2/
)
)1n(
S)1n(,
)1n(
S)1n((
2
2/
2
2
2/1
2
( 2 ) 总体均值? 未知
(b)构造 的 一个 1-α区间,2?
例 7.4.3 设炮弹速度服从正态分布，现抽 9发炮弹做试验，得样本方差 s2=11(m/s)2,分别求炮弹速度方差?2和标准差?的置信度为 90%的置信区间。
解：由题意知 %901,9n
查表得 5 0 7.15)8(,7 3 3.2)8( 2
21
2
2
所以?2的置信下限为 6 75.5
5 07.15
11)19(
)1n(x
s)1n(
2
a1
2
2的置信下限为 1 9 9.327 3 3.2 11)19()1n(x s)1n( 2
2
a
2
故?2的置信区间是（ 5.675,32.199)
的置信区间是（ 2.38,5.67)
2.两个正态总体均值差的区间估计,
设原总体 X~N(μ1,σ12),改变后的总体 Y~ N(μ2,σ22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为 n1,n2的样本,样本均值和样本方差分别记为
.,;,2221 SYSX
1) σ12,σ22已知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)1,0(N~
n/n/
)()YX(U
2
2
21
2
1
21
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知函数,
(2)构造 Z的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
1)uUu{P
2121
)
nn
u)YX(,
nn
u)YX((
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
]21)u([
21
例 7.4.4 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为 80和
70的样本进行测试，算得样本均值和样本方差分别为
5.32和 5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正态分布，其方差分别为 21.82和 1.762，试求改革前后线纱平均断裂强度之差的置信度为 95%的置信区间。
解,由题意知
222221 76.1,18.2,76.5y,32.5x
%5%,951,70n,80n 21
差正态分布表得
96.1uu 9 7 5.02/1
置信下限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx
07.17076.1802,1 81,9 6-5,7 6-5,3 2
22
置信上限为
2
2
2
1
2
1
21 nn
uyx
19.07076.1802,1 81,9 65,7 6-5,3 2
22
所以，所求的置信区间为
)19.0,07.1(?
2) σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1- μ2的 1-α置信区间,
)2nn(t~
n/1n/1S
)()YX(T
21
21w
21
(1)选择包含 μ1- μ2的分布已知的函数,
(2)构造 T的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 μ1- μ2的 1-α置信区间,
)
n
1
n
1
S)2nn(t)YX(
,
n
1
n
1
S)2nn(t)YX((
21
w212/1
21
w212/1
1)}2nn(t|T{|P 212/1
例 7.4.5 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现选 20块条件大致相同的地块。 10块不施磷肥，另外 10
块施磷肥，得亩产量（单位,500克）如下：
不施磷肥亩产
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
施磷肥亩产
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都服从正态分布，且方差相同，取置信度为 0.95，试对施磷肥平均亩产和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。
解,设不施磷肥亩产
),(N~X 21
施磷肥亩产 ),(N~Y 22
计算得
2 4 0 0)xx(s)1n(570x
10
1i
2
i
2
11
，
6400)yy(s)1n(600y 10
1i
2
i
2
22
,2221010
6 4 0 02 4 0 0s
w
查表得 1 0 0 9.2)18(t
21
12 的置信下限为
9
10
1
10
1
221 0 0 9.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
12 的置信上限为
51
10
1
10
1
221 0 0 9.2570600
n
1
n
1
s)2nn(txy
21
21
2
a
1
所求的置信区间是（ 9.51）
例 7.4.6 某工厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,
分别从两条流水线上抽取随机样本,1221,,,XXX?
和 1721,,,YYY?,计算出 6.10?X (克 ),5.9?Y (克 ),
7.4,4.2 2221 SS,假设这两条流水线上听装番茄酱的重量都服从正态分布,其总体均值分别为 1?,2?,
且有相同的总体方差,试求总体均值差 1? - 2? 的区间估计,置信系数为 0.95.
3.两个正态总体方差比 σ12/σ22的 1-α置信区间,
(1)选择包含 σ12/σ22 的分布已知函数,
(2)构造 F的 一个 1-α区间,
(3)变形得到 σ12/σ22 的 1-α置信区间,
)1n,1n(F~
/S
/S
122
1
2
1
2
2
2
2
)1n,1n(F 12
2
X
f(x)
α/2 α/2
)1n,1n(F 12
21
λ1 λ2
1-α
P{λ1<F< λ2}=1-α
)1n,1n(F
1
212/1
)
S
S
)1n,1n(F
1
,
S
S
)1n,1n(F
1
( 2
2
2
1
21
2
2
2
2
1
21
2
1
2
2
2
1
12
21
2
2
2
1
12
2 S
S)1n,1n(F,
S
S)1n,1n(F
例 7.4.7 两名化验员甲，乙独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了 10次测定，其测定值的样本方差分别为 0.5419,0.6065，设两总体均服从正态分布，
求总体方差之比的置信度为 95%的置信区间。
解,设甲，乙两人对应总体的方差分别为 2
221,
由题意知 6 0 6 5.0s5 4 1 9.0s 2
221
查表得 03.4)9,9(F)1n,1n(F
975.0212/1
2
2
2
1
的置信下限为 222.0
03.4
1
6 0 65.0
5 4 19.0
)1n,1n(F
1
s
s
21
21
2
2
2
1
2
2
2
1
的置信上限为
601.303.46065.0 5419.0)1n,1n(F 1ss
21
2
2
2
2
1
所求置信区间为 (0.222,3.601)
例 7.4.8 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命而进行一项试验,试验中抽选了由方法一生产的 16 个产品组成一随机样本,其方差为 1200 小时 ; 又抽选了由方法二生产的 21 个产品组成另一随机样本,得出的方差为 800
小时,试以 95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间,
解 设方法一生产的产品的寿命为 ),(~ 211NX,
方法二生产的产品的寿命 ),(~
2
22NY,现在要求
2
2
2
1 / 的置信度为 9 5 % 的置信区间,
实际操作起来,依据样本,按照第三步 求 出的 置信区间,查 出分位数,算 得上下限,最后 写 出数值区间
1
单正态总体参数的区间估计双正态总体区间估计小结,
期望的区间估计方差的区间估计
σ2已知
σ2未知
U
T
均值差的区间估计方差比的区间估计
两个方差都已知两个方差未知但相等
U
T
F
2?
