第三章 多维随机变量及其分布
n （元）维随机变量（向量）
称同一个样本空间?上的 n 个随机变量
X1,X2,…,Xn 构成的 n维 向量 (X1,X2,…,Xn)
为? 上的 n维随机 变量 (向量 )。
注,一维随机变量即为上一节介绍的随机变量，
二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量,
分布函数
n元实函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn}(x1,x2,…,xn)∈R n
称为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的 分布函数 。
特别,二维随机向量 (X,Y)的 分布函数 为
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R 2
注意,X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn 均表示事件,
{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}表示这几个事件同时发生,
或称为 X与 Y的 联合分布函数第 3.1节 二维随机变量
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
一、二维离散型随机变量
⒈ 二维离散型随机变量的概念如果二维随机变量（ X,Y）的全部取值 (数对）为有限个或无限可列个，则称随机变量（ X,Y）为 离散型的 。
易见，二维随机变量 (X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与
Y 分别都是一维离散型的。
⒉概率分布及其性质称 pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)为 (X,Y)的 概率分布 (分布律）,
其中 {(xi,yj),i,j=1,2,...}为 (X,Y)的取值集合,表格形式如下,
X
x1
x2
…
x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p 1j …
p21 p22 … p 2j …
… … … … …
pi1 pi2 … p i j …
… … … … …
Y
(2)∑∑p ij = 1;
(3)P{(X,Y)∈ D } =
yyxx
ij
ji
p
,
概率分布性质,
(1) pij≥0 ;i,j=1,2,…
(4)F(x,y)=
Dyx
ij
ji
p
),(
例 3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷 4次,X表示正面向上的次数,Y表示反面朝上次数,求 (X,Y)的概率分布,
解,X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为 0,1,2,3,4,
因为 X+Y=4,所以 (X,Y)概率非零的数值对为,
X Y
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
P{X=0,Y=4}=
314 5.05.0C
P{X=2,Y=2}= 222
4 5.05.0C
=1/4
=6/16
P{X=3,Y=1}= 133
4 5.05.0C
=1/4
P{X=4,Y=0}= 0.54=1/16
X
0
1
2
3
4
Y 0 1 2 3 4
联合概率分布表为,
0 0 0 0 1/16
0 0 0 1/4 0
0 0 6/16 0 0
0 1/4 0 0 0
1/16 0 0 0 0
P{X=1,Y=3}=
0.54=1/16
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法,
1.找出随机变量 X和 Y的所有取值结果,得到 (X,Y)的所有取值数对 ;
2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率 ;
3.列出联合概率分布表,
例 3.1.2.二维随机向量 (X,Y)的概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求,(1)常数 a的取值 ;
(2)P{X≥0,Y≤1};
(3) P{X≤1,Y≤1}
解,(1)由 ∑pij=1得,a=0.1
(2)由 P{(X,Y)∈ D } =?
Dyx
ij
ji
p
)(,
得 P{X≥0,Y≤1}= P{X=0,Y=0}+
P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P{X≤1,Y≤1} =P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}
+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.75
3、离散型随机变量的边缘分布边缘分布列（律）
对于离散型随机变量 (X,Y),分量 X,Y的分布列（律）称为 边缘分布列（律）。
若 (X,Y)的概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P{X=xi}=?
j
ji yYxXP )]}([){(
)}(){( j
j
i yYxXP
j
ji yYxXP },{ j ijp
(i=1,2,...)
同理,
i
ijj pyYP }{
一般地,记,P{X=xi} P{Y=yj}
(j=1,2,...)
分布表如下,
)1(ip )2(jp
X
Y
. jyyy 21
i
x
x
x
2
1
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
.ip
.
.2
.1
i
p
p
p
jp, jppp,2.1.
三、随机变量的相互独立性
1.定义,称随机变量 X,Y相互独立,若对任意的 x,y都有
离散型是相互独立的与随机变量
)2()1(
jiij pppYX
)()(),( yFxFyxF YX?
特别,
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有,aX+b与 cY+d相互独立,
2.性质,
例 3.1.3.设 (X,Y)的联合概率分布表为,
Pi,
0.25
0.40.
0.35
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
p.j 0.25 0.5 0.25
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解,(1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05
P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2
P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}
同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P{X+Y=3}=0.05
例 3.1.4.(X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2) P{X=0,Y=0}=0.3 P{X=0}P{Y=0} =0.35
}0{}0{}0,0{ YPXPYXP X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
3.甲,乙二人独立地各进行两次射击,假设甲,乙的命中率分别为 0.2,0.5,
以 X,Y表示甲,乙的命中次数,求 X,Y的联合概率分布,
解,X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为,
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
由 X.Y的独立性得 (X,Y)的联合概率分布为
X
0
1
2
Y 0 1 2
0.16 0.32 0.6
0.08 0.16 0.08
001 0.02 0.01
例 3.1.5.若 (X,Y)～
其它,0
0,0,),( )32( yxAeyxf yx
试求,(1)常数 A ;(2)P{ X<2,Y<1}; (3) P{X≤x,Y≤y}.
解,(1)
0 0 )32( dxdyAe yx
0 0
32 d x d yeAe yx
ba dcba dc dyygdxxfdyygxfdx 得据 )()()()(
所以,A=6
0 0 32 dyedxeA yx 0)31(0)21( 32 yx eeA
=A/6 =1
(4)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
X
Y
0
所以,P{ X<2,Y<1}
2
1
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 2 )
1}Y2,{X
y ) d x d yf ( x,
{X<2,Y<1} 2
0
1
0
)32(6 dyedx yx
20 10 326 dyedxe yx
0
1)
3
1(
0
2)
2
1(6 32 yx ee )1)(1( 34 ee
(3)
x X
Y
0
y
所以,当 x≥0,y≥0时,
y}Yx,P { X
x y d t d stsf ),(
x y ts d t d se0 0 )32(6
x y ts dtedse0 0 326 0)31(0)21(6 32 yexe ts )1)(1( 32 yx ee
即,?
其它0
0,0)1)(1(},{ 32 yxeeyYxXP yx
(4)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
3
2 2x+3y=6
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,
63y2x
y ) d x d yf ( x,
X
Y
0
30 )26(3
1
0
)32(6x yx dyedx
3
0
32
0
)26(
3
1
)
3
1
(6 dx
x
ee yx
30 62 )(2 dxee x 671 e
(1)P{(X,Y)∈ D},其中
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域,
X
Y
0
y=-x+1y=x+1
1
1
练习,
P{(X,Y)∈ D}
10 )32(10 6x yx dyedx
1
0
32
0
1
)
3
1(6 dxxee yx
10 32 )(2 dxee xx 32 231 ee
第 3.2节 边缘分布一、边缘分布函数对二维随机变量（ X,Y），称分量 X（或 Y）的分布函数为（ X,Y） 关于 X（或 Y） 的边缘分布函数 。
),(lim),()(
),(lim),()(
yxFyFyF
yxFxFxF
xY
yX
注意,由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。
联合分布可以确定边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布
(2) 边缘分布列（律）
对于离散型随机变量 (X,Y),分量 X,Y的分布列（律）称为 边缘分布列（律）。
若 (X,Y)的概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P{X=xi}=?
j
ji yYxXP )]}([){(
)}(){( j
j
i yYxXP
j
ji yYxXP },{ j ijp
(i=1,2,...)
同理,
i
ijj pyYP }{
一般地,记,P{X=xi} Pi,P{Y=yj} P,j
(j=1,2,...)
分布表如下,
X
Y
. jyyy 21
i
x
x
x
2
1
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
.ip
.
.2
.1
i
p
p
p
jp, jppp,2.1.
三、连续型随机变量的边缘概率密度对于连续型随机变量 (X,Y)～ f(x,y)，分量 X,Y的概率密度称为 (X,Y)关于 X,Y的 边缘概率密度 。已知联合概率密度，容易求出边缘概率密度。
dxyxfyf
dyyxfxf
Y
X
),()(
),()(
事实上,(1) fX(x)≥0,
(2)
1),( dyyxfdx dxxf X )(
所以,fX(x)是 X的概率密度,同理可证 fY(y).
例 3.2.1.设 (X,Y)的联合概率分布表为,
Pi,
0.25
0.40.
0.35
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
p.j 0.25 0.5 0.25
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解,(1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05
P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2
P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}
同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P{X+Y=3}=0.05
例 3.2.2.设随机向量 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求 X,Y的边缘密度函数 fX(x)和 fY(y).
解,(1)由题意得,
其它0
11
),(
22 yx
yxf?
dyyxfxf X ),()(
X
Y
-1 1
21 xy
21 xy
当 |x|>1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0
当 |x|≤1时,
2
2 2
2 1
1 1
1 ),(][)( x
x x
xX dyyxfxf
2 211 1xx dy? 212 x 所以,
1||0
1||12
)(
2
x
xx
xf X?
1||0
1||12
)(
2
y
yy
yf Y?
同理,
注意,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布例 3.2.3（ 924）设二维随机变量（ X,Y）的概率密度为
其他,0
0,),( yxeyxf y
⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解,(1)x≤0时,fX(x)=0;
x>0时,fX(x)=
dyyxf ),( dye
x
y xe
ye?
所以,
00
0)(
x
xexf x
X
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
2/10 1 xx y dyedx
2
1
1 21 ee
二维正态分布
]})(2)[(
)1(2
1
e x p {
12
1
),(
2
2
2
2
2
1
12
1
1
22
21
yyxx
yxf
),,,,(~),( 222211NYX
定义,如果 (X,Y)的联合密度函数为其中 σ 1,σ 2为正数,则称 (X,Y)服从参数为 的 二维正态分布,简记为
,,,,222211
性质,
边缘分布分别为 X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
第 3.3节、条件分布一、条件分布律设（ X,Y）是离散型随机变量，对于固定的 j,P{Y=yj}>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
.
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ij
j
ji
ji
为 Y= yj条件下 X的 条件分布律,记为 P{X|Y= yj}
同理，可有 P{Y|X=xi}
1、定义
2、性质
（ 1） P{X|Y= yj}?0
（ 2）
i ji
yYxXP 1}|{
二、条件概率密度设（ X,Y）是二维连续型型随机变量，其概率密度为 f(x,y) 。
对于固定的 y，若 f Y(y)>0,则称
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
为 Y= y条件下 X的条件概率密度。
1、定义
2、性质
（ 1）
1)|(| dxyxf YX
（ 2）
0)|(|?yxf YX
三、条件分布函数定义：
对给定的 y，设对于任意固定的正数?，有 0}{ yYyP
则切对于任意实数 x,若极限
}{
},{}|{ limlim
yYyP
yYyxXPyYyxXP
oo
存在，则称此极限为在 Y=y下 X的条件分布函数，记作
)|(}|{ | yxFyYxXP YX或 类似地可定义 )|(| xyF XY
离散型：
xx j
ij
xx
jijXY
ii p
pyYxXPyYxXPxyF
.
| }|{}|{)|(
连续型,
x x
YX
Y
YX duyufduyf
yufyxF )|(
)(
),()|(
||
第 3.4节、相互独立的随机变量
1.定义,称随机变量 X,Y相互独立,若对任意的 x,y都有
连续型离散型是相互独立的与随机变量
)()(),( 21
..
yfxfyxf
ppp
YX jiij
)()(),( yFxFyxF YX?
特别,
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有,aX+b与 cY+d相互独立,
2.性质,
例 3.4.1.设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y的独立性,
其中,(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
fX(x)=
|x|≤1
11 41 dy 21?
|x|>10
fY(y)=
1||0
1||
2
1
y
y
解,(1)
其它0
1||,1||),( 41 yxyxf
同理,
)()(),( yfxfyxf YX? 所以,X,Y独立,
(2)
其它0
11),( 22 yxyxf
1||0
1||12)( 2
x
xxxf
X
1||0
1||12)( 2
y
yyyf
Y?
),( yxf )()( yfxf YX? 所以,X,Y不独立,
例 3.4.2（ 941）设随机变量 X,Y是相互独立的，
且 X,Y等可能地取 0,1 为值，求随机变量 Z=max(X,Y)
的分布列。
解,X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/4
P{Z=1}= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}
例 3.4.3 已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
.,0;0,0,),(
其他
yxeyxf yx
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X<Y}.
解,(1)
00
0)(
0
)(
x
xedyexf xyx
X?
00
0)(
0
)(
y
yedxeyf yyx
Y
(2)P{X<Y}=
yx
dxdyyxf ),( x yx dyedx )(0
2
1?
)()(),( yfxfyxf YX? 所以,X,Y独立,
3,n个随机变量独立性的概念与性质离散型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立 等价于 联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。
连续型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立 等价于 联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。
定义,称 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,若对任意
xi( i=1,2,…,n),有
F(x1,x2,…,xn)=
FX1(x1)… FXn(xn)特别,
若 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量 X i1,Xi2,…,X i m也相互独立,
4,随机变量序列独立性的概念定义,称随机变量序列 X1,X2,…,X n,… 为相互独立的,如果它们中任意 n(n=2,3,… )个随机变量都是相互独立的,
特别若每个 X i(i=1,2,… )的分布相同,
则称之为 独立同分布 (i.i.d) 序列 。
例 3.5.1,设随机变量 X1与 X2相互独立,分别服从二项分布
B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
第 3.5节、两个随机变量函数的分布解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此对于 k(k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 与独立性有
kkk
knkk
n
knkk
n
kkk
ppCppC
kXkXPkYP
21
2222
2
1111
1
21
)1()1(
},{}{ 2211
kkk
knnkk
n
k
n ppCC
21
212
2
1
1 )1(
k
nn
kkk
k
n
k
n CCC 21
21
2
2
1
1
由 得
knnkk nn ppC 21
21 )1(
)( kYP?
所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
二项分布的可加性结论,两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
即,若 X,Y独立,X~fX(x),Y~fY(y),Z=X+Y,则
dxxzfxfdyyfyzfzf YXYXZ )()()()()(
卷积公式
1、两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布,
即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
2,推论,有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布,
即,若 Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,实数 a1,a2,...,an不全为零,则
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
例 3.5.2.设 X和 Y独立同标准正态分布 N(0,1),
(1)求 Z=X+Y的概率密度 ;
(2)求 Z=X-Y的概率密度,
解 (1)Z=X+Y~N(0,2),所以
Z=X+Y~FZ(z)= 4
2
2
1 xe?
x
(2)同理可得
Z=X-Y~FZ(z)=
4
2
2
1 xe?
Z=X-Y~N(0,2)
x
例 3.5.3,(921)设随机变量 X与 Y独立,X～ U(0,1),
Y～ E(1).试求
(1)(X,Y)的联合密度函数 ;(2)Z=X+Y的概率密度 函数,
解,
其它0
101)(~ xxfX
X
00
0)(~
y
yeyfY y
Y
(1) (X,Y)~f(x,y)=fX(x)fY(y)=
其它0
0,10 yxe y
dxxzfxfzf YXZ )()()(
z<00
0≤z≤1?
z xz dxe
0
)(
z>1
10 )( dxe xz
(2)
1)1(
101
00
)(
zee
ze
z
zf
z
z
Z
即,
n （元）维随机变量（向量）
称同一个样本空间?上的 n 个随机变量
X1,X2,…,Xn 构成的 n维 向量 (X1,X2,…,Xn)
为? 上的 n维随机 变量 (向量 )。
注,一维随机变量即为上一节介绍的随机变量，
二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量,
分布函数
n元实函数
F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn}(x1,x2,…,xn)∈R n
称为 n维随机变量 (X1,X2,…,Xn)的 分布函数 。
特别,二维随机向量 (X,Y)的 分布函数 为
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R 2
注意,X1≤ x1,X2≤ x2,…,Xn≤ xn 均表示事件,
{X1≤x 1,X2≤x 2,…,Xn≤x n}表示这几个事件同时发生,
或称为 X与 Y的 联合分布函数第 3.1节 二维随机变量
X
Y
x
y
X≤x Y≤y{,}
二维联合分布函数区域演示图,
(x,y)
一、二维离散型随机变量
⒈ 二维离散型随机变量的概念如果二维随机变量（ X,Y）的全部取值 (数对）为有限个或无限可列个，则称随机变量（ X,Y）为 离散型的 。
易见，二维随机变量 (X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与
Y 分别都是一维离散型的。
⒉概率分布及其性质称 pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)为 (X,Y)的 概率分布 (分布律）,
其中 {(xi,yj),i,j=1,2,...}为 (X,Y)的取值集合,表格形式如下,
X
x1
x2
…
x i
…
y1 y2 … y j …
p11 p12 … p 1j …
p21 p22 … p 2j …
… … … … …
pi1 pi2 … p i j …
… … … … …
Y
(2)∑∑p ij = 1;
(3)P{(X,Y)∈ D } =
yyxx
ij
ji
p
,
概率分布性质,
(1) pij≥0 ;i,j=1,2,…
(4)F(x,y)=
Dyx
ij
ji
p
),(
例 3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷 4次,X表示正面向上的次数,Y表示反面朝上次数,求 (X,Y)的概率分布,
解,X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为 0,1,2,3,4,
因为 X+Y=4,所以 (X,Y)概率非零的数值对为,
X Y
0 4
1 3
2 2
3 1
4 0
P{X=0,Y=4}=
314 5.05.0C
P{X=2,Y=2}= 222
4 5.05.0C
=1/4
=6/16
P{X=3,Y=1}= 133
4 5.05.0C
=1/4
P{X=4,Y=0}= 0.54=1/16
X
0
1
2
3
4
Y 0 1 2 3 4
联合概率分布表为,
0 0 0 0 1/16
0 0 0 1/4 0
0 0 6/16 0 0
0 1/4 0 0 0
1/16 0 0 0 0
P{X=1,Y=3}=
0.54=1/16
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法,
1.找出随机变量 X和 Y的所有取值结果,得到 (X,Y)的所有取值数对 ;
2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率 ;
3.列出联合概率分布表,
例 3.1.2.二维随机向量 (X,Y)的概率分布为,
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
a 0.2 0.05
求,(1)常数 a的取值 ;
(2)P{X≥0,Y≤1};
(3) P{X≤1,Y≤1}
解,(1)由 ∑pij=1得,a=0.1
(2)由 P{(X,Y)∈ D } =?
Dyx
ij
ji
p
)(,
得 P{X≥0,Y≤1}= P{X=0,Y=0}+
P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6
(3)P{X≤1,Y≤1} =P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}
+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.75
3、离散型随机变量的边缘分布边缘分布列（律）
对于离散型随机变量 (X,Y),分量 X,Y的分布列（律）称为 边缘分布列（律）。
若 (X,Y)的概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P{X=xi}=?
j
ji yYxXP )]}([){(
)}(){( j
j
i yYxXP
j
ji yYxXP },{ j ijp
(i=1,2,...)
同理,
i
ijj pyYP }{
一般地,记,P{X=xi} P{Y=yj}
(j=1,2,...)
分布表如下,
)1(ip )2(jp
X
Y
. jyyy 21
i
x
x
x
2
1
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
.ip
.
.2
.1
i
p
p
p
jp, jppp,2.1.
三、随机变量的相互独立性
1.定义,称随机变量 X,Y相互独立,若对任意的 x,y都有
离散型是相互独立的与随机变量
)2()1(
jiij pppYX
)()(),( yFxFyxF YX?
特别,
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有,aX+b与 cY+d相互独立,
2.性质,
例 3.1.3.设 (X,Y)的联合概率分布表为,
Pi,
0.25
0.40.
0.35
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
p.j 0.25 0.5 0.25
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解,(1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05
P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2
P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}
同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P{X+Y=3}=0.05
例 3.1.4.(X,Y)的联合概率分布为,
X
0
1
Y 0 1
0.3 0.4
0.2 0.1
(1)求 X,Y的边缘分布 ;
(2)判断 X,Y是否独立,
解,(1)X,Y的概率分布分别为,
X 0 1
P 0.7 0.3
Y 0 1
P 0.5 0.5
(2) P{X=0,Y=0}=0.3 P{X=0}P{Y=0} =0.35
}0{}0{}0,0{ YPXPYXP X,Y不独立,
注意,X,Y独立时,需对所有的 (xi,yj)一一验证,
=0.7× 0.5
3.甲,乙二人独立地各进行两次射击,假设甲,乙的命中率分别为 0.2,0.5,
以 X,Y表示甲,乙的命中次数,求 X,Y的联合概率分布,
解,X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为,
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
由 X.Y的独立性得 (X,Y)的联合概率分布为
X
0
1
2
Y 0 1 2
0.16 0.32 0.6
0.08 0.16 0.08
001 0.02 0.01
例 3.1.5.若 (X,Y)～
其它,0
0,0,),( )32( yxAeyxf yx
试求,(1)常数 A ;(2)P{ X<2,Y<1}; (3) P{X≤x,Y≤y}.
解,(1)
0 0 )32( dxdyAe yx
0 0
32 d x d yeAe yx
ba dcba dc dyygdxxfdyygxfdx 得据 )()()()(
所以,A=6
0 0 32 dyedxeA yx 0)31(0)21( 32 yx eeA
=A/6 =1
(4)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
X
Y
0
所以,P{ X<2,Y<1}
2
1
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,( 2 )
1}Y2,{X
y ) d x d yf ( x,
{X<2,Y<1} 2
0
1
0
)32(6 dyedx yx
20 10 326 dyedxe yx
0
1)
3
1(
0
2)
2
1(6 32 yx ee )1)(1( 34 ee
(3)
x X
Y
0
y
所以,当 x≥0,y≥0时,
y}Yx,P { X
x y d t d stsf ),(
x y ts d t d se0 0 )32(6
x y ts dtedse0 0 326 0)31(0)21(6 32 yexe ts )1)(1( 32 yx ee
即,?
其它0
0,0)1)(1(},{ 32 yxeeyYxXP yx
(4)P{(X,Y)∈ D},其中 D为 2x+3y≤6.
3
2 2x+3y=6
D
y ) d x d yf ( x,D}Y)P { ( X,
63y2x
y ) d x d yf ( x,
X
Y
0
30 )26(3
1
0
)32(6x yx dyedx
3
0
32
0
)26(
3
1
)
3
1
(6 dx
x
ee yx
30 62 )(2 dxee x 671 e
(1)P{(X,Y)∈ D},其中
D为 y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域,
X
Y
0
y=-x+1y=x+1
1
1
练习,
P{(X,Y)∈ D}
10 )32(10 6x yx dyedx
1
0
32
0
1
)
3
1(6 dxxee yx
10 32 )(2 dxee xx 32 231 ee
第 3.2节 边缘分布一、边缘分布函数对二维随机变量（ X,Y），称分量 X（或 Y）的分布函数为（ X,Y） 关于 X（或 Y） 的边缘分布函数 。
),(lim),()(
),(lim),()(
yxFyFyF
yxFxFxF
xY
yX
注意,由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。
联合分布可以确定边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布
(2) 边缘分布列（律）
对于离散型随机变量 (X,Y),分量 X,Y的分布列（律）称为 边缘分布列（律）。
若 (X,Y)的概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则
P{X=xi}=?
j
ji yYxXP )]}([){(
)}(){( j
j
i yYxXP
j
ji yYxXP },{ j ijp
(i=1,2,...)
同理,
i
ijj pyYP }{
一般地,记,P{X=xi} Pi,P{Y=yj} P,j
(j=1,2,...)
分布表如下,
X
Y
. jyyy 21
i
x
x
x
2
1
ijii
j
j
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
.ip
.
.2
.1
i
p
p
p
jp, jppp,2.1.
三、连续型随机变量的边缘概率密度对于连续型随机变量 (X,Y)～ f(x,y)，分量 X,Y的概率密度称为 (X,Y)关于 X,Y的 边缘概率密度 。已知联合概率密度，容易求出边缘概率密度。
dxyxfyf
dyyxfxf
Y
X
),()(
),()(
事实上,(1) fX(x)≥0,
(2)
1),( dyyxfdx dxxf X )(
所以,fX(x)是 X的概率密度,同理可证 fY(y).
例 3.2.1.设 (X,Y)的联合概率分布表为,
Pi,
0.25
0.40.
0.35
X
-1
0
1
Y 0 1 2
0.05 0.1 0.1
0.1 0.2 0.1
0.1 0.2 0.05
p.j 0.25 0.5 0.25
求,(1)X,Y的边缘分布 ;
(2)X+Y的概率分布,
解,(1)由分析得,
X -1 0 1
P 0.25 0.4 0.35
Y 0 1 2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为 -1,0,1,2,3,
P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05
P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2
P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}
同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4
X+Y -1 0 1 2 3
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
P{X+Y=3}=0.05
例 3.2.2.设随机向量 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求 X,Y的边缘密度函数 fX(x)和 fY(y).
解,(1)由题意得,
其它0
11
),(
22 yx
yxf?
dyyxfxf X ),()(
X
Y
-1 1
21 xy
21 xy
当 |x|>1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0
当 |x|≤1时,
2
2 2
2 1
1 1
1 ),(][)( x
x x
xX dyyxfxf
2 211 1xx dy? 212 x 所以,
1||0
1||12
)(
2
x
xx
xf X?
1||0
1||12
)(
2
y
yy
yf Y?
同理,
注意,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布例 3.2.3（ 924）设二维随机变量（ X,Y）的概率密度为
其他,0
0,),( yxeyxf y
⑴ 求随机变量 X的密度函数；
⑵ 求概率 P{X+Y≤1}.
解,(1)x≤0时,fX(x)=0;
x>0时,fX(x)=
dyyxf ),( dye
x
y xe
ye?
所以,
00
0)(
x
xexf x
X
⑵ P{X+Y≤1}=
y=x
x+y=1
1/2
2/10 1 xx y dyedx
2
1
1 21 ee
二维正态分布
]})(2)[(
)1(2
1
e x p {
12
1
),(
2
2
2
2
2
1
12
1
1
22
21
yyxx
yxf
),,,,(~),( 222211NYX
定义,如果 (X,Y)的联合密度函数为其中 σ 1,σ 2为正数,则称 (X,Y)服从参数为 的 二维正态分布,简记为
,,,,222211
性质,
边缘分布分别为 X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
第 3.3节、条件分布一、条件分布律设（ X,Y）是离散型随机变量，对于固定的 j,P{Y=yj}>0,则称
,2,1,}{ },{}|{
.
ippyYP yYxXPyYxXP
j
ij
j
ji
ji
为 Y= yj条件下 X的 条件分布律,记为 P{X|Y= yj}
同理，可有 P{Y|X=xi}
1、定义
2、性质
（ 1） P{X|Y= yj}?0
（ 2）
i ji
yYxXP 1}|{
二、条件概率密度设（ X,Y）是二维连续型型随机变量，其概率密度为 f(x,y) 。
对于固定的 y，若 f Y(y)>0,则称
)(
),()|(
| yf
yxfyxf
Y
YX?
为 Y= y条件下 X的条件概率密度。
1、定义
2、性质
（ 1）
1)|(| dxyxf YX
（ 2）
0)|(|?yxf YX
三、条件分布函数定义：
对给定的 y，设对于任意固定的正数?，有 0}{ yYyP
则切对于任意实数 x,若极限
}{
},{}|{ limlim
yYyP
yYyxXPyYyxXP
oo
存在，则称此极限为在 Y=y下 X的条件分布函数，记作
)|(}|{ | yxFyYxXP YX或 类似地可定义 )|(| xyF XY
离散型：
xx j
ij
xx
jijXY
ii p
pyYxXPyYxXPxyF
.
| }|{}|{)|(
连续型,
x x
YX
Y
YX duyufduyf
yufyxF )|(
)(
),()|(
||
第 3.4节、相互独立的随机变量
1.定义,称随机变量 X,Y相互独立,若对任意的 x,y都有
连续型离散型是相互独立的与随机变量
)()(),( 21
..
yfxfyxf
ppp
YX jiij
)()(),( yFxFyxF YX?
特别,
若 X与 Y相互独立，则它们的连续函数 g(X )与 h(Y)也相互独立。
特别有,aX+b与 cY+d相互独立,
2.性质,
例 3.4.1.设 (X,Y)服从区域 D上的均匀分布,判断 X,Y的独立性,
其中,(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}
fX(x)=
|x|≤1
11 41 dy 21?
|x|>10
fY(y)=
1||0
1||
2
1
y
y
解,(1)
其它0
1||,1||),( 41 yxyxf
同理,
)()(),( yfxfyxf YX? 所以,X,Y独立,
(2)
其它0
11),( 22 yxyxf
1||0
1||12)( 2
x
xxxf
X
1||0
1||12)( 2
y
yyyf
Y?
),( yxf )()( yfxf YX? 所以,X,Y不独立,
例 3.4.2（ 941）设随机变量 X,Y是相互独立的，
且 X,Y等可能地取 0,1 为值，求随机变量 Z=max(X,Y)
的分布列。
解,X 0 1
P 1/2 1/2
Y 0 1
P 1/2 1/2
(X,Y)的取值数对为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
Z=max(X,Y)的取值为,0,1
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/4
P{Z=1}= =3/4
所以,Z的分布列为 Z 0 1
P 1/4 3/4
P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}
例 3.4.3 已知随机向量 (X,Y)的联合密度为
.,0;0,0,),(
其他
yxeyxf yx
(1)问 X与 Y是否独立？ (2)求概率 P{X<Y}.
解,(1)
00
0)(
0
)(
x
xedyexf xyx
X?
00
0)(
0
)(
y
yedxeyf yyx
Y
(2)P{X<Y}=
yx
dxdyyxf ),( x yx dyedx )(0
2
1?
)()(),( yfxfyxf YX? 所以,X,Y独立,
3,n个随机变量独立性的概念与性质离散型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立 等价于 联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。
连续型随机变量 X1,X2,…,X n相互独立 等价于 联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。
定义,称 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,若对任意
xi( i=1,2,…,n),有
F(x1,x2,…,xn)=
FX1(x1)… FXn(xn)特别,
若 n个随机变量 X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意 m(1<m≤n)个随机变量 X i1,Xi2,…,X i m也相互独立,
4,随机变量序列独立性的概念定义,称随机变量序列 X1,X2,…,X n,… 为相互独立的,如果它们中任意 n(n=2,3,… )个随机变量都是相互独立的,
特别若每个 X i(i=1,2,… )的分布相同,
则称之为 独立同分布 (i.i.d) 序列 。
例 3.5.1,设随机变量 X1与 X2相互独立,分别服从二项分布
B(n1,p)和 B(n1,p),求 Y=X1+X2的概率分布,
第 3.5节、两个随机变量函数的分布解 依题知 X+Y的可能取值为 0,1,2,...,n1+n2,因此对于 k(k= 0,1,2,...,n1+n2)，由 与独立性有
kkk
knkk
n
knkk
n
kkk
ppCppC
kXkXPkYP
21
2222
2
1111
1
21
)1()1(
},{}{ 2211
kkk
knnkk
n
k
n ppCC
21
212
2
1
1 )1(
k
nn
kkk
k
n
k
n CCC 21
21
2
2
1
1
由 得
knnkk nn ppC 21
21 )1(
)( kYP?
所以 Y=X1+X2服从二项分布 B(n1+n2,p)
二项分布的可加性结论,两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量,
即,若 X,Y独立,X~fX(x),Y~fY(y),Z=X+Y,则
dxxzfxfdyyfyzfzf YXYXZ )()()()()(
卷积公式
1、两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布,
即,若 X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22)
正态分布的可加性
2,推论,有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布,
即,若 Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,实数 a1,a2,...,an不全为零,则
),(~
1
22
11
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii aaNXa
例 3.5.2.设 X和 Y独立同标准正态分布 N(0,1),
(1)求 Z=X+Y的概率密度 ;
(2)求 Z=X-Y的概率密度,
解 (1)Z=X+Y~N(0,2),所以
Z=X+Y~FZ(z)= 4
2
2
1 xe?
x
(2)同理可得
Z=X-Y~FZ(z)=
4
2
2
1 xe?
Z=X-Y~N(0,2)
x
例 3.5.3,(921)设随机变量 X与 Y独立,X～ U(0,1),
Y～ E(1).试求
(1)(X,Y)的联合密度函数 ;(2)Z=X+Y的概率密度 函数,
解,
其它0
101)(~ xxfX
X
00
0)(~
y
yeyfY y
Y
(1) (X,Y)~f(x,y)=fX(x)fY(y)=
其它0
0,10 yxe y
dxxzfxfzf YXZ )()()(
z<00
0≤z≤1?
z xz dxe
0
)(
z>1
10 )( dxe xz
(2)
1)1(
101
00
)(
zee
ze
z
zf
z
z
Z
即,
