例,检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样 5只,测得使用寿命如下,
A,2000 1500 1000 500 1000; B:1500 1500 1000 1000 1000;
(单位,小时 ),试比较这两批灯泡质量的好坏,
计算得,平均寿命分别为,A:1200,B:1200,
观察得,A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好,
数学期望方差第四章 随机变量的数字特征第 4.1节 数学期望
1.定义 Ⅰ,(离散型 )设离散型随机变量 X的分布律为 P{x=xn}=pn,n=1,2,...,
若级数 绝对收敛,则称该级数的值为 X的数学期望或均值,记为?
n nn
px
EX=?
n nn
px
若?
n nn
px,非绝对收敛,即级数?
n nn
px || 发散,
则称 X的数学期望不存在,
均值例如,X -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
则 EX=?
n nn
px =-1× 0.2+0× 0.1+1× 0.4+2× 0.3=0.8
注意,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均,
例 4.1.1.某种电子元件使用寿命 X~
00
0
1 00 0
1
)(
1 0 0 0
x
xexf
x
规定,使用寿命在 500小时以下为废品,产值为 0元 ;在 500到 1000小时之间为次品,产值为 10元 ;在 1000到 1500小时之间为二等品,产值为
30元 ;1500小时以上为一等品,产值为 40元,求该种产品的平均产值,
分析,平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布,
解,设 Y表示产值,Y取值为 0,10,30,40,
P{Y=0}=P{X<500}?
500 )( dxxf 500
0
1000
1000
1 dxe x=1-e-0.5
P{Y=10}
= P{500≤X<1000} 1000
500
1000
1000
1 dxe x
=e-0.5-e-1
类似可得,P{Y=30}=e-1-e-1.5,P{Y=40}=e-1.5
所以,EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30× ( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5
=15.65(元 )
定义 Ⅱ (连续型 ):设 X是连续型随机变量,X~f(x),若
dxxxf )( 绝对收敛,则称该积分值为 X的数学期望,记为,
EX=
dxxxf )(
否则,称 X的数学期望不存在,
例如,若 X服从 [a,b]区间上的均匀分布,即 X~
其它0
],[1)( baxabxf
则 EX=
dxxxf )(
b
a dxabx
1
a
bx
ab
2
2
11
2
ba
数学期望反映了连续型随机变量的平均取值,
2.数学期望的性质,
(1)E(c)=c;
(2)E(aX)=aE(X);
(3)E(X+Y)=EX+EY
(4) 若 X与 Y是独立的,则 E(XY)=EXEY
证明,(2)
离散型 X x1 x2,.,xn,..
P p1 p2,.,pn,.,
aX ax1 ax2,.,axn,..
P p1 p2,.,pn,.,则
E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+,..+axn pn+...=aE(X)
连续型,X~fX(x),Y=aX,则,Y~ )(
||
1
a
yf
a X
,不妨设 a>0,
EY
= dyyyf Y )( dyayfay X )(1 )()( aydayfaya X
dzzzfa X )( =aEX
令
zay?
3.随机变量函数的数学期望,
定理 4.1.1:设 X是随机变量,Y=g(X),且 E(g(X))存在,则 ;
(1)若 X为离散型,P{X=xn}=pn,n=1,2,...,有
n nn
pxgXgE )())((
(2)若 X为连续型随机变量,X~f(x),则
dxxfxgXgE )()())((
例 4.1.2.设随机变量 X的概率分布为 X 0 1 2
P 1/2 1/4 1/4求 E(X2+2).
(02+2)× 1/2+(12+2)× 1/4+(22+2)× 1/4
=1+3/4+6/4=13/4
解,E(X2+2)=
思考,E(ag(X)+b)=aE(g(X))+b?
例 4.1.3 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5分钟,25分钟和 55分钟从底层起行。假设一游客在早 8 点的第 X分钟到达底层侯机处，且 X在 [0,60]上均匀分布，求该游客等侯时间的数学期望。
解,由题意得,X~
其它0
]60,0[
60
1
)( xxf
设 Y表示旅客候车时间,则
Y=g(X)=
0<X≤5,
5<X≤25,
25<X≤55,
55<X≤60.
E(Y)=E(g(X))=
dxxfxg )()(
600 )(601 dxxg
60
55
55
25
5
0
25
5
])65()55(
)25()5([
60
1
dxxdxx
dxxdxx
)5.374502005.12(601
=11.67(分 )
5-X
25-X
55-X
65-X
i j
ijji pyxgYXgE ),()],([
定理 4.1.2设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
dxdyyxfyxgYXgE ),(),()],([
例 4.1.4.随机变量 (X,Y)~f(x,y)=
其它0
2020)(
8
1
yxyx
求 EX,EY,E(X2),E(XY)
解,应用定理 4.1.2:
dxdyyxxfXE ),()(
dxdyyxfyxgYXgE ),(),()],([
20 20 )(81 d x d yyxx
=7/6
20 20 2 )(81 dxdyyxx
=5/3
同理由对称性,=7/6 EY2=5/3
dxdyyxfxXE ),()( 22
dxdyyxyfYE ),()(
dxdyyxfxyXYE ),()()( 20 20 )(81 dxdyyxxy
=4/3
4.几种重要的离散型分布的数学期望
X 0 1
P 1-p p
(1)、参数为 p的 0-1分布,
EX=p；
(2)、二项分布 EX=np
(3),.Possion分布概率分布为
),,,,2,1,0(!}{ nmemmXP
m
EX=λ
（ 1） 均匀分布
其它0
)(~
1 bxa
xfX ab
5.几种重要的连续型分布的数字特征称随机变量 X服从 [a,b]的均匀分布,记为
X~U(a,b),若
EX=
2
ba?
（ 2） 指数分布称 r.v.X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~P(λ) (λ>0),
00
0
)(~
x
xe
xfX
x若
EX=
1
证明,EX=
0)( dxxedxxxf
x
0 )(
xexd?
00 dxexe xx 0)1( xx exe
1)1(lim
xx
x exe
1lim
xx e
x
11l i m
xx e?
1?
(分部积分法 )
注意,指数分布常用作各种“寿命”的近似分布,
RxexfX
x
,)(~ 22
2)(
2
1?
（ 3） 正态分布
EX= μ，
1).一般正态分布 X ~N(μ,σ2)
X~N(0,1)2).标准正态分布 EX=0
特别,若 X1,X2,...Xn独立同正态分布 N(μ,σ2),记,
则?
n
i
iXnEXE
1
)1()(?
n
i
iXEn
1
)(1?
n
i
iEXn
1
)(1?nn1
n
i
iXnX
1
,1
例 4.1.5（ 915）一汽车沿一街道行驶，需要通过 三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿 两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。求 X的概率分布 与 E[1/（ 1+X） ]。
解,X的取值为 0,1,2,3
P{X=0}=1/2
P{X=1}=1/2× 1/2=1/4
P{X=2}=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P{X=3}=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
例 4.1.6设
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfX a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解,EZ=E(1/Y)=
dyyfy )(
1
0
2
2
2
21
dyea a
y
0 )||2(2
21
dyea a
y
0
)
||2
(
2 )||2(||2
1 2
a
ydea
a
a
y
||2 a
yu?令 EZ
02
2||2 due
a
a u
2
||2
2
a
a?
||2
2
a
例 4.1.7,设 X与 Y同分布,X的概率密度为
其他,0
20,)( 283 xxxf
⑴ 已知事件 A={X>α}和 B={Y>α}独立,且 P(A+B)=3/4.求常数 α； ⑵
求 E(1/X2).
解,(1)由已知得,P(A)=P(B),A,B独立,所以
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)]2=3/4
故 P(A)=1/2,0<a<2,
P{X>a}=
a dxx2 283 81
3a
=1/2 所以 3 4?a
(2)E(1/X2)=2
0
2
2 4/38
31 dxx
x
,)( 121 2 xxexf?
求 EX和 DX.
例 4.1.9设 X的密度 函数为
2
2
2
2 σ
μ )(x12xx,πσ2 π
解得,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
例 4.1.8已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松 Poisson分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。4
解,EZ=3EX-2=4
例 4.1.10.设一部机器在一天内发生故障的 概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获利润 5万元；
发生两次故障可获利润 0元；发生三次或三次已上故障就要亏损 2万元。求一周内期望利润是多少？
解,设 X表示一周 5天内发生故障的天数,Y表所获利润,则 X~B(5,0.2),
Y=g(X)=
X=0
X=1
X=2
X≥3
10
5
0
-2
P{X=0}=0.85=0.328
P{X=1}=5× 0.2× 0.84=0.410
P{X=2}=5× 0.22× 0.83=0.025
P{X≥3}=1-0.328-0.410-0.025=0.057
所以,EY=5.216(万元 )
即 Y 10 5 0 -2
P 0.328 0.410 0.025 0.057
第 4.2.节 方差
(1)定义 (离差 ):设 X为随机变量,EX存在,称 X-EX为离差 ;
显然,E(X-EX)=0.
定义 (方差 ):设 X为随机变量,EX存在,且 E(X-EX)2存在,则称 E(X-EX)2
为 X的方差,记为,DX= E(X-EX)2
特别,记 σx= DX 为 X的 标准差 (或均方差 ).
注意,方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度,
结合随机变量函数的数学期望可得,
(1)若 P{X=xn}=pn,n=1,2,...,则 DX= E(X-EX)2?
n nn
pEXx 2)(
(2)若 X为连续型,X~f(x),则 DX= E(X-EX)2
dxxfEXx )()( 2
方差的性质,
(1)D(c)=0;
(2)D(aX)=a2D(X)
(3)D(X+b)=DX
(4)DX=EX2-(EX)2
证明,(2)D(aX)=E[aX -E(aX)]2 =E[a(X-EX)]2
=a2E(X-EX)2 =a2D(X)
(4) DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2]
=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2
=EX2-(EX)2
EX2 = DX +(EX)2(常用于计算方差 )
(注,EX是常数 )
(5) 若 X与 Y相互独立,则
D(X+Y)=DX+DY
(6) D(X)=0 P{X=E(X)}=1
例 4.2.1.设 X~
其它0
212
10
)( xx
xx
xf,求 EX,DX.
解,(1)EX=
dxxxf )(
2
1
1
0 )2( dxxxx d xx
1
2)
3
1(
0
1
3
1 323 xxx =1
(2)E(X2)=
dxxfx )(
2
21 210 3 )2( dxxxdxx =7/6
所以,DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6
例 4.2.2（ 974）设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,σ>0
常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])[(])[()4(
])[(])[()3(
])[(])[()2(
)(])[()1(
22
22
22
222
XECXE
XECXE
XECXE
CXECXE
解,E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
2.（ 955）设
他其,0
10,1
01,1
)(~ xx
xx
xfX 则方差 D(X)=( )。
3,⑴ X~U(1,2),试用两种方法求 E(e2X);
⑵ 设 D(X)>0,Y=[X-E(X)]/[D(X)]1/2,证明,E(Y)=0,D(Y)=1.
课堂练习
1.设 X~
其它0
1x0x2)x(f,求下列 X的函数的数学期望,
(1)2X-1,(2)(X-2)2
4.随机变量 X只取 -1,0,1三个值,且相应概率比为 1:2:2,又 Y=X2,求
(1)EX,(2)DX,(3)EY,(4)DY.
例 4.2.3（ 905） 已知随机变量 X服从二项分布，
且 E（ X） = 2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
例 4.2.4 (951) 设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每 次射中目标的概率为 0.4,则 X2
的数学期望 E（ X2） =( )
②
40
,e)x(f 1x2x1 2
求 EX和 DX.
例 4.2.6（ 871）设 X的密度 函数为
2
2
2
2 σ
μ )(x12xx,πσ2 π
解得,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
例 4.2.5（ 901）已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松 Poisson分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。4
解,EZ=3EX-2=4
例 4.2.7.(964）设一部机器在一天内发生故障的 概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获利润 5万元；
发生两次故障可获利润 0元；发生三次或三次已上故障就要亏损 2万元。求一周内期望利润是多少？
解,设 X表示一周 5天内发生故障的天数,Y表所获利润,则 X~B(5,0.2),
Y=g(X)=
X=0
X=1
X=2
X≥3
10
5
0
-2
P(X=0)=0.85=0.328
P(X=1)=5× 0.2× 0.84=0.410
P(X=2)=5× 0.22× 0.83=0.025
P(X≥3)=1-0.328-0.410-0.025=0.057
所以,EY=5.216(万元 )
即 Y 10 5 0 -2
P 0.328 0.410 0.025 0.057
练习,
1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则 D(2X-Y)=( ).
2.X~N(3,1),Y~N(2,4),X,Y独立,则 X-2Y+1~( ).
3.X~P(2),Y~N(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 EZ2=( ).
解,(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27
(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17
所以,X-2Y+1~N(0,17)
(3)EZ=EX-EY=4,
EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22
或 EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=22
27
N(0,17)
4
22
第 4.3节 协方差及相关系数
1.定义 设两个随机变量 X,Y的期望,方差存在，则称
cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
为 X和 Y的协方差。
2.性质 ① cov(X,Y)=EXY-EXEY
② cov(X,Y)=cov(Y,X)
③ cov(aX,bY)=abcov(X,Y)
④ cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
⑤ 若 X与 Y独立，则 cov(X,Y)=0
⑥ cov(X,X)=DX
⑦ D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
特别 D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)
一、协方差
i j
ijji p)y,x(g)]Y,X(g[E
定理 3.2设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
3.计算
i j
ijji pEYyEXxYX ))((),c o v (
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
d x d yyxfEYyEXxYX ),())((),c o v (
注意 (1)以上公式是在 (X,Y)的联合分布已知情况下应用 ;
(2)一般地,常用计算方法为,
cov(X,Y)=E(XY)-EXEY 其中,EX,EY,EXY由定理计算,
二,随机变量的相关系数及其性质
1.定义 设随机变量 X和 Y的方差为正值,称
DYDXYXXY ),c o v (
为 X与 Y的 相关系数,并且
DYDXE X E YE X Ya XY )()(
2.性质
DYDXYXD )(
不相关与 YX? 0 XY? 0),c o v ( YX
E X E YE X Y
(c )X,Y独立注意,X,Y不相关,不一定有 X,Y独立,
(b) D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)= DX+DY± 2 DYDX?
ρXY ≠0,X,Y为 相关
ρXY=0,X,Y不相关
ρXY>0,X,Y正相关
ρXY<0,X,Y负相关
11}{)( XYbaXYPe?
1||)(?XYd?
DYDXYXXY ),c o v (
a>0时,ρXY=1
a<0时,ρXY=-1
证明 (e),cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)]
=E(X-EX)(aX-aEX) =aE(X-EX)2 =aDX
DY=D(aX+b)=a2DX
DYDX
YX
XY
),c ov (
DXaDX
a D X
2? ||a
a?
01
01
a
a故注意,| ρXY | 的大小反映了 X,Y之间线性关系的密切程度,
ρXY=0时,X,Y不相关,无线性关系 ;
|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系,
例 4.3.1.Z~U(0,2π),X=sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数,求 ρXY.
分析,欲求 ρXY,需求出 EX,EY,EXY,应用
DYDX
E X E YE X Y
DYDX
YX
XY
),c o v (? 可得,
本题已知随机变量 Z的概率密度,X,Y分别是 Z的随机变量函数,
故应用定理
dxxfxgXgExfX )()()]([),(~ 则若例 4.3.2.随机向量 (X,Y)~f(x,y)=
其它0
2020)(
8
1
yxyx
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解,应用定理
dxdyyxxfXE ),()(
d x d yyxfyxgYXgE ),(),()],([
20 20 )(81 d x d yyxx
=7/6
20 20 2 )(81 d x d yyxx
=5/3
同理由对称性,=7/6 EY2=5/3
d x d yyxfxXE ),()( 22
d x d yyxyfYE ),()(
所以,DX=11/36,DY=11/36
d x d yyxfxyXYE ),()()( 20 20 )(81 d x d yyxxy
=4/3
DYDXEXEYEXYXY )( 11
1
例 4.3.3.(X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y -1 0 1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解,应用定理
i j
ijji pyxgYXgE ),()],([
故
i j
iji pxXE )(
i j
ijji pyxXYE )()(
=0
{或者
i
ii pxXE )(
=0}
同理
i j
iji pxXE
22 )(
=3/4
{或者?
i
ii pxXE
22 )(
=3/4}
EY=EX=0
EY2=EX2=3/4
另一方面
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
所以 Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0
亦即 ρXY=0
一、矩
1.原点矩,对于正整数 k,若 E(Xk)<+∞,称 Exk
k=1,2,...,为 随机变量 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩,
2.中心矩,对于正整数 k,若 E[(X-EX)k]<+∞,称 E(X-EX)k
k=1,2,...,为随机变量 X的 k阶中心矩,
注,EX和 DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩,
第 4.4节 矩、协方差矩阵
3.混合原点矩,对于正整数 k,l,若 E[XkYl]<+∞,称 E[XkYl]
k,l=1,2,...,为 随机变量 X和 Y的 k+l阶混合原点矩。
4.混合中心矩,对于正整数 k,l,若 E[(X-EX)k(Y-Y)l]<+∞,称
E[(X-EX)k(Y-Y)l] 为 随机变量 X和 Y的 k+l阶混合中心矩二,协方差矩阵与相关系数矩阵定义 1.设 (X1,X2,…,X n)的各分量方差存在,称 n阶方阵 V为 协差矩阵,
nnnn
n
n
VVV
VVV
VVV
V
...
............
...
...
21
22221
11211
其中 Vij=cov(Xi,Yj),i,j=1,2,…,
性质 (1)Vij=DXi,Vij=Vji,即 V为对称矩阵,进一步,V为非负定阵 ;
(2)对二维 随机向量 (X,Y)有,
DYYX
YXDX
V
),c ov (
),c ov (
事实上,Vii=cov(Xi,Xi)=E(Xi-EXi) (Xi-EXi) =E (Xi-EXi) 2=DX
Vij=cov(Xi,Xj)= Vji=cov(Xj,Xi),所以,
定义 2,设 (X1,X2,…,X n)的任两个分量 Xi和 Xj的相关系数
ρij存在,(i,j=1,2,… ),称 n阶方阵 R为 n维随机向量的相关矩阵,记为
nnnn
n
n
R
...
............
...
...
21
22221
11211
其中 ρij为 分量 Xi和 Xj的相关系数,
显然,,1),c o v (
i
i
ii
ii
ii DX
DX
DXDX
XX?,),c o v (
ji
ji
ji
ij DXDX
XX 所以性质 (1)相关矩阵 R主对角线元素均为 1,且 R为对称的非负定矩阵 ;
(2)对二维随机向量 (X,Y)有,
1
1
XY
XYR
例 4.4.1.设 X~N(0,1),Y~N(0,1),D(X-Y)=0,求 (X,Y)的协差阵 V.
解,由题意得,DX=DY=1,
D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y) =2-2cov(X,Y) =0
故 Cov(X,Y)=1
所以
DYYX
YXDX
V
),c ov (
),c ov (
11
11
例 4.4.2.设 X,Y的协差阵为
,164 49?
V 求相关阵 R.
解,由题意得,DX=9,DY=16,cov(X,Y)=4,
DYDX
YX
XY
),c ov (
3
1
43
4?
所以,
1
1
XY
XYR
1
3
1
3
1
1
二维正态分布的数字特征
),,,,(~),( 222211NYX
性质,
(1)边缘分布分别为 X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
(2)参数 ρ为随机变量 X和 Y的相关系数,即 ρ= ρXY;
(3)X,Y独立 ρXY=0.
A,2000 1500 1000 500 1000; B:1500 1500 1000 1000 1000;
(单位,小时 ),试比较这两批灯泡质量的好坏,
计算得,平均寿命分别为,A:1200,B:1200,
观察得,A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,
所以,B产品质量较好,
数学期望方差第四章 随机变量的数字特征第 4.1节 数学期望
1.定义 Ⅰ,(离散型 )设离散型随机变量 X的分布律为 P{x=xn}=pn,n=1,2,...,
若级数 绝对收敛,则称该级数的值为 X的数学期望或均值,记为?
n nn
px
EX=?
n nn
px
若?
n nn
px,非绝对收敛,即级数?
n nn
px || 发散,
则称 X的数学期望不存在,
均值例如,X -1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.4 0.3
则 EX=?
n nn
px =-1× 0.2+0× 0.1+1× 0.4+2× 0.3=0.8
注意,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均,
例 4.1.1.某种电子元件使用寿命 X~
00
0
1 00 0
1
)(
1 0 0 0
x
xexf
x
规定,使用寿命在 500小时以下为废品,产值为 0元 ;在 500到 1000小时之间为次品,产值为 10元 ;在 1000到 1500小时之间为二等品,产值为
30元 ;1500小时以上为一等品,产值为 40元,求该种产品的平均产值,
分析,平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布,
解,设 Y表示产值,Y取值为 0,10,30,40,
P{Y=0}=P{X<500}?
500 )( dxxf 500
0
1000
1000
1 dxe x=1-e-0.5
P{Y=10}
= P{500≤X<1000} 1000
500
1000
1000
1 dxe x
=e-0.5-e-1
类似可得,P{Y=30}=e-1-e-1.5,P{Y=40}=e-1.5
所以,EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30× ( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5
=15.65(元 )
定义 Ⅱ (连续型 ):设 X是连续型随机变量,X~f(x),若
dxxxf )( 绝对收敛,则称该积分值为 X的数学期望,记为,
EX=
dxxxf )(
否则,称 X的数学期望不存在,
例如,若 X服从 [a,b]区间上的均匀分布,即 X~
其它0
],[1)( baxabxf
则 EX=
dxxxf )(
b
a dxabx
1
a
bx
ab
2
2
11
2
ba
数学期望反映了连续型随机变量的平均取值,
2.数学期望的性质,
(1)E(c)=c;
(2)E(aX)=aE(X);
(3)E(X+Y)=EX+EY
(4) 若 X与 Y是独立的,则 E(XY)=EXEY
证明,(2)
离散型 X x1 x2,.,xn,..
P p1 p2,.,pn,.,
aX ax1 ax2,.,axn,..
P p1 p2,.,pn,.,则
E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+,..+axn pn+...=aE(X)
连续型,X~fX(x),Y=aX,则,Y~ )(
||
1
a
yf
a X
,不妨设 a>0,
EY
= dyyyf Y )( dyayfay X )(1 )()( aydayfaya X
dzzzfa X )( =aEX
令
zay?
3.随机变量函数的数学期望,
定理 4.1.1:设 X是随机变量,Y=g(X),且 E(g(X))存在,则 ;
(1)若 X为离散型,P{X=xn}=pn,n=1,2,...,有
n nn
pxgXgE )())((
(2)若 X为连续型随机变量,X~f(x),则
dxxfxgXgE )()())((
例 4.1.2.设随机变量 X的概率分布为 X 0 1 2
P 1/2 1/4 1/4求 E(X2+2).
(02+2)× 1/2+(12+2)× 1/4+(22+2)× 1/4
=1+3/4+6/4=13/4
解,E(X2+2)=
思考,E(ag(X)+b)=aE(g(X))+b?
例 4.1.3 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5分钟,25分钟和 55分钟从底层起行。假设一游客在早 8 点的第 X分钟到达底层侯机处，且 X在 [0,60]上均匀分布，求该游客等侯时间的数学期望。
解,由题意得,X~
其它0
]60,0[
60
1
)( xxf
设 Y表示旅客候车时间,则
Y=g(X)=
0<X≤5,
5<X≤25,
25<X≤55,
55<X≤60.
E(Y)=E(g(X))=
dxxfxg )()(
600 )(601 dxxg
60
55
55
25
5
0
25
5
])65()55(
)25()5([
60
1
dxxdxx
dxxdxx
)5.374502005.12(601
=11.67(分 )
5-X
25-X
55-X
65-X
i j
ijji pyxgYXgE ),()],([
定理 4.1.2设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
dxdyyxfyxgYXgE ),(),()],([
例 4.1.4.随机变量 (X,Y)~f(x,y)=
其它0
2020)(
8
1
yxyx
求 EX,EY,E(X2),E(XY)
解,应用定理 4.1.2:
dxdyyxxfXE ),()(
dxdyyxfyxgYXgE ),(),()],([
20 20 )(81 d x d yyxx
=7/6
20 20 2 )(81 dxdyyxx
=5/3
同理由对称性,=7/6 EY2=5/3
dxdyyxfxXE ),()( 22
dxdyyxyfYE ),()(
dxdyyxfxyXYE ),()()( 20 20 )(81 dxdyyxxy
=4/3
4.几种重要的离散型分布的数学期望
X 0 1
P 1-p p
(1)、参数为 p的 0-1分布,
EX=p；
(2)、二项分布 EX=np
(3),.Possion分布概率分布为
),,,,2,1,0(!}{ nmemmXP
m
EX=λ
（ 1） 均匀分布
其它0
)(~
1 bxa
xfX ab
5.几种重要的连续型分布的数字特征称随机变量 X服从 [a,b]的均匀分布,记为
X~U(a,b),若
EX=
2
ba?
（ 2） 指数分布称 r.v.X服从参数为 λ的指数分布,记为 X~P(λ) (λ>0),
00
0
)(~
x
xe
xfX
x若
EX=
1
证明,EX=
0)( dxxedxxxf
x
0 )(
xexd?
00 dxexe xx 0)1( xx exe
1)1(lim
xx
x exe
1lim
xx e
x
11l i m
xx e?
1?
(分部积分法 )
注意,指数分布常用作各种“寿命”的近似分布,
RxexfX
x
,)(~ 22
2)(
2
1?
（ 3） 正态分布
EX= μ，
1).一般正态分布 X ~N(μ,σ2)
X~N(0,1)2).标准正态分布 EX=0
特别,若 X1,X2,...Xn独立同正态分布 N(μ,σ2),记,
则?
n
i
iXnEXE
1
)1()(?
n
i
iXEn
1
)(1?
n
i
iEXn
1
)(1?nn1
n
i
iXnX
1
,1
例 4.1.5（ 915）一汽车沿一街道行驶，需要通过 三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或 绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿 两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。求 X的概率分布 与 E[1/（ 1+X） ]。
解,X的取值为 0,1,2,3
P{X=0}=1/2
P{X=1}=1/2× 1/2=1/4
P{X=2}=1/2× 1/2× 1/2=1/8
P{X=3}=1/2× 1/2× 1/2=1/8
X的概率分布为
X 0 1 2 3
P 1/2 1/4 1/8 1/8
(2)E[1/(X+1)]=1× 1/2
+1/2× 1/4+1/3× 1/8
+1/4× 1/8 =67/96
例 4.1.6设
0,0
0,)(~ 22
2
2
y
yeyfX a
y
a
y
求 Z= 1/Y 的数学期望 E（ Z）,
解,EZ=E(1/Y)=
dyyfy )(
1
0
2
2
2
21
dyea a
y
0 )||2(2
21
dyea a
y
0
)
||2
(
2 )||2(||2
1 2
a
ydea
a
a
y
||2 a
yu?令 EZ
02
2||2 due
a
a u
2
||2
2
a
a?
||2
2
a
例 4.1.7,设 X与 Y同分布,X的概率密度为
其他,0
20,)( 283 xxxf
⑴ 已知事件 A={X>α}和 B={Y>α}独立,且 P(A+B)=3/4.求常数 α； ⑵
求 E(1/X2).
解,(1)由已知得,P(A)=P(B),A,B独立,所以
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)]2=3/4
故 P(A)=1/2,0<a<2,
P{X>a}=
a dxx2 283 81
3a
=1/2 所以 3 4?a
(2)E(1/X2)=2
0
2
2 4/38
31 dxx
x
,)( 121 2 xxexf?
求 EX和 DX.
例 4.1.9设 X的密度 函数为
2
2
2
2 σ
μ )(x12xx,πσ2 π
解得,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
例 4.1.8已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松 Poisson分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。4
解,EZ=3EX-2=4
例 4.1.10.设一部机器在一天内发生故障的 概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获利润 5万元；
发生两次故障可获利润 0元；发生三次或三次已上故障就要亏损 2万元。求一周内期望利润是多少？
解,设 X表示一周 5天内发生故障的天数,Y表所获利润,则 X~B(5,0.2),
Y=g(X)=
X=0
X=1
X=2
X≥3
10
5
0
-2
P{X=0}=0.85=0.328
P{X=1}=5× 0.2× 0.84=0.410
P{X=2}=5× 0.22× 0.83=0.025
P{X≥3}=1-0.328-0.410-0.025=0.057
所以,EY=5.216(万元 )
即 Y 10 5 0 -2
P 0.328 0.410 0.025 0.057
第 4.2.节 方差
(1)定义 (离差 ):设 X为随机变量,EX存在,称 X-EX为离差 ;
显然,E(X-EX)=0.
定义 (方差 ):设 X为随机变量,EX存在,且 E(X-EX)2存在,则称 E(X-EX)2
为 X的方差,记为,DX= E(X-EX)2
特别,记 σx= DX 为 X的 标准差 (或均方差 ).
注意,方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度,
结合随机变量函数的数学期望可得,
(1)若 P{X=xn}=pn,n=1,2,...,则 DX= E(X-EX)2?
n nn
pEXx 2)(
(2)若 X为连续型,X~f(x),则 DX= E(X-EX)2
dxxfEXx )()( 2
方差的性质,
(1)D(c)=0;
(2)D(aX)=a2D(X)
(3)D(X+b)=DX
(4)DX=EX2-(EX)2
证明,(2)D(aX)=E[aX -E(aX)]2 =E[a(X-EX)]2
=a2E(X-EX)2 =a2D(X)
(4) DX= E(X-EX)2 =E[X2-2X(EX)+(EX)2]
=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX)2
=EX2-(EX)2
EX2 = DX +(EX)2(常用于计算方差 )
(注,EX是常数 )
(5) 若 X与 Y相互独立,则
D(X+Y)=DX+DY
(6) D(X)=0 P{X=E(X)}=1
例 4.2.1.设 X~
其它0
212
10
)( xx
xx
xf,求 EX,DX.
解,(1)EX=
dxxxf )(
2
1
1
0 )2( dxxxx d xx
1
2)
3
1(
0
1
3
1 323 xxx =1
(2)E(X2)=
dxxfx )(
2
21 210 3 )2( dxxxdxx =7/6
所以,DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6
例 4.2.2（ 974）设 X是一随机变量,E(X)=μ,D(X)=σ2(μ,σ>0
常数 )，则对任意常数 C，必有（ ）。
])[(])[()4(
])[(])[()3(
])[(])[()2(
)(])[()1(
22
22
22
222
XECXE
XECXE
XECXE
CXECXE
解,E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]
=EX2-E(2CX)+C2
=EX2-2C E( X)+C2
=[(EX)2+DX] -2C E( X)+C2
=μ2+ σ2-2Cμ+C2
= σ2+(μ-C)2
而
E[(X-μ)2]= E(X-EX)2
=DX= σ2
所以,(4)正确,
2.（ 955）设
他其,0
10,1
01,1
)(~ xx
xx
xfX 则方差 D(X)=( )。
3,⑴ X~U(1,2),试用两种方法求 E(e2X);
⑵ 设 D(X)>0,Y=[X-E(X)]/[D(X)]1/2,证明,E(Y)=0,D(Y)=1.
课堂练习
1.设 X~
其它0
1x0x2)x(f,求下列 X的函数的数学期望,
(1)2X-1,(2)(X-2)2
4.随机变量 X只取 -1,0,1三个值,且相应概率比为 1:2:2,又 Y=X2,求
(1)EX,(2)DX,(3)EY,(4)DY.
例 4.2.3（ 905） 已知随机变量 X服从二项分布，
且 E（ X） = 2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数 n,p的值为（ ）
① n=4,p=0.6 ② n=6,p=0.4
③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1
例 4.2.4 (951) 设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数,每 次射中目标的概率为 0.4,则 X2
的数学期望 E（ X2） =( )
②
40
,e)x(f 1x2x1 2
求 EX和 DX.
例 4.2.6（ 871）设 X的密度 函数为
2
2
2
2 σ
μ )(x12xx,πσ2 π
解得,EX=μ=1,DX=σ2=1/2
例 4.2.5（ 901）已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松 Poisson分布，则随机变量 Z=3X-2的数学期望 E（ Z） =（ ）。4
解,EZ=3EX-2=4
例 4.2.7.(964）设一部机器在一天内发生故障的 概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周 5个工作日里无故障，可获利润 10万元；发生一次故障仍可获利润 5万元；
发生两次故障可获利润 0元；发生三次或三次已上故障就要亏损 2万元。求一周内期望利润是多少？
解,设 X表示一周 5天内发生故障的天数,Y表所获利润,则 X~B(5,0.2),
Y=g(X)=
X=0
X=1
X=2
X≥3
10
5
0
-2
P(X=0)=0.85=0.328
P(X=1)=5× 0.2× 0.84=0.410
P(X=2)=5× 0.22× 0.83=0.025
P(X≥3)=1-0.328-0.410-0.025=0.057
所以,EY=5.216(万元 )
即 Y 10 5 0 -2
P 0.328 0.410 0.025 0.057
练习,
1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则 D(2X-Y)=( ).
2.X~N(3,1),Y~N(2,4),X,Y独立,则 X-2Y+1~( ).
3.X~P(2),Y~N(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则 EZ=( );
若 X,Y独立,则 EZ2=( ).
解,(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27
(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17
所以,X-2Y+1~N(0,17)
(3)EZ=EX-EY=4,
EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22
或 EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=22
27
N(0,17)
4
22
第 4.3节 协方差及相关系数
1.定义 设两个随机变量 X,Y的期望,方差存在，则称
cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
为 X和 Y的协方差。
2.性质 ① cov(X,Y)=EXY-EXEY
② cov(X,Y)=cov(Y,X)
③ cov(aX,bY)=abcov(X,Y)
④ cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)
⑤ 若 X与 Y独立，则 cov(X,Y)=0
⑥ cov(X,X)=DX
⑦ D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)
特别 D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)
一、协方差
i j
ijji p)y,x(g)]Y,X(g[E
定理 3.2设 g(X,Y)为随机变量 X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在,
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
d x d y)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
3.计算
i j
ijji pEYyEXxYX ))((),c o v (
(1)若 (X,Y)为离散型随机向量,P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2…),则
(2)若 (X,Y)为连续型随机向量,(X,Y)~f(x,y),则
d x d yyxfEYyEXxYX ),())((),c o v (
注意 (1)以上公式是在 (X,Y)的联合分布已知情况下应用 ;
(2)一般地,常用计算方法为,
cov(X,Y)=E(XY)-EXEY 其中,EX,EY,EXY由定理计算,
二,随机变量的相关系数及其性质
1.定义 设随机变量 X和 Y的方差为正值,称
DYDXYXXY ),c o v (
为 X与 Y的 相关系数,并且
DYDXE X E YE X Ya XY )()(
2.性质
DYDXYXD )(
不相关与 YX? 0 XY? 0),c o v ( YX
E X E YE X Y
(c )X,Y独立注意,X,Y不相关,不一定有 X,Y独立,
(b) D(X± Y)=DX+DY± 2cov(X,Y)= DX+DY± 2 DYDX?
ρXY ≠0,X,Y为 相关
ρXY=0,X,Y不相关
ρXY>0,X,Y正相关
ρXY<0,X,Y负相关
11}{)( XYbaXYPe?
1||)(?XYd?
DYDXYXXY ),c o v (
a>0时,ρXY=1
a<0时,ρXY=-1
证明 (e),cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)[(aX+b)-E(aX+b)]
=E(X-EX)(aX-aEX) =aE(X-EX)2 =aDX
DY=D(aX+b)=a2DX
DYDX
YX
XY
),c ov (
DXaDX
a D X
2? ||a
a?
01
01
a
a故注意,| ρXY | 的大小反映了 X,Y之间线性关系的密切程度,
ρXY=0时,X,Y不相关,无线性关系 ;
|ρXY|=1时,X,Y之间具有线性关系,
例 4.3.1.Z~U(0,2π),X=sinZ,Y=sin(Z+k),k为常数,求 ρXY.
分析,欲求 ρXY,需求出 EX,EY,EXY,应用
DYDX
E X E YE X Y
DYDX
YX
XY
),c o v (? 可得,
本题已知随机变量 Z的概率密度,X,Y分别是 Z的随机变量函数,
故应用定理
dxxfxgXgExfX )()()]([),(~ 则若例 4.3.2.随机向量 (X,Y)~f(x,y)=
其它0
2020)(
8
1
yxyx
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解,应用定理
dxdyyxxfXE ),()(
d x d yyxfyxgYXgE ),(),()],([
20 20 )(81 d x d yyxx
=7/6
20 20 2 )(81 d x d yyxx
=5/3
同理由对称性,=7/6 EY2=5/3
d x d yyxfxXE ),()( 22
d x d yyxyfYE ),()(
所以,DX=11/36,DY=11/36
d x d yyxfxyXYE ),()()( 20 20 )(81 d x d yyxxy
=4/3
DYDXEXEYEXYXY )( 11
1
例 4.3.3.(X,Y)的联合概率分布为,
X
-1
0
1
Y -1 0 1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
求 X,Y的相关系数 ρXY.
解,应用定理
i j
ijji pyxgYXgE ),()],([
故
i j
iji pxXE )(
i j
ijji pyxXYE )()(
=0
{或者
i
ii pxXE )(
=0}
同理
i j
iji pxXE
22 )(
=3/4
{或者?
i
ii pxXE
22 )(
=3/4}
EY=EX=0
EY2=EX2=3/4
另一方面
=1/8-1/8-1/8+1/8 =0
所以 Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0
亦即 ρXY=0
一、矩
1.原点矩,对于正整数 k,若 E(Xk)<+∞,称 Exk
k=1,2,...,为 随机变量 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩,
2.中心矩,对于正整数 k,若 E[(X-EX)k]<+∞,称 E(X-EX)k
k=1,2,...,为随机变量 X的 k阶中心矩,
注,EX和 DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩,
第 4.4节 矩、协方差矩阵
3.混合原点矩,对于正整数 k,l,若 E[XkYl]<+∞,称 E[XkYl]
k,l=1,2,...,为 随机变量 X和 Y的 k+l阶混合原点矩。
4.混合中心矩,对于正整数 k,l,若 E[(X-EX)k(Y-Y)l]<+∞,称
E[(X-EX)k(Y-Y)l] 为 随机变量 X和 Y的 k+l阶混合中心矩二,协方差矩阵与相关系数矩阵定义 1.设 (X1,X2,…,X n)的各分量方差存在,称 n阶方阵 V为 协差矩阵,
nnnn
n
n
VVV
VVV
VVV
V
...
............
...
...
21
22221
11211
其中 Vij=cov(Xi,Yj),i,j=1,2,…,
性质 (1)Vij=DXi,Vij=Vji,即 V为对称矩阵,进一步,V为非负定阵 ;
(2)对二维 随机向量 (X,Y)有,
DYYX
YXDX
V
),c ov (
),c ov (
事实上,Vii=cov(Xi,Xi)=E(Xi-EXi) (Xi-EXi) =E (Xi-EXi) 2=DX
Vij=cov(Xi,Xj)= Vji=cov(Xj,Xi),所以,
定义 2,设 (X1,X2,…,X n)的任两个分量 Xi和 Xj的相关系数
ρij存在,(i,j=1,2,… ),称 n阶方阵 R为 n维随机向量的相关矩阵,记为
nnnn
n
n
R
...
............
...
...
21
22221
11211
其中 ρij为 分量 Xi和 Xj的相关系数,
显然,,1),c o v (
i
i
ii
ii
ii DX
DX
DXDX
XX?,),c o v (
ji
ji
ji
ij DXDX
XX 所以性质 (1)相关矩阵 R主对角线元素均为 1,且 R为对称的非负定矩阵 ;
(2)对二维随机向量 (X,Y)有,
1
1
XY
XYR
例 4.4.1.设 X~N(0,1),Y~N(0,1),D(X-Y)=0,求 (X,Y)的协差阵 V.
解,由题意得,DX=DY=1,
D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y) =2-2cov(X,Y) =0
故 Cov(X,Y)=1
所以
DYYX
YXDX
V
),c ov (
),c ov (
11
11
例 4.4.2.设 X,Y的协差阵为
,164 49?
V 求相关阵 R.
解,由题意得,DX=9,DY=16,cov(X,Y)=4,
DYDX
YX
XY
),c ov (
3
1
43
4?
所以,
1
1
XY
XYR
1
3
1
3
1
1
二维正态分布的数字特征
),,,,(~),( 222211NYX
性质,
(1)边缘分布分别为 X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22);
(2)参数 ρ为随机变量 X和 Y的相关系数,即 ρ= ρXY;
(3)X,Y独立 ρXY=0.
