第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
1
一 平面简谐波的波函数
tAy O c o s
设有一平面简谐波沿 轴正方向传播，
波速为,坐标原点 处质点的振动方程为
x
u O
y
x
uA
A?
O
P
x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
2
表示质点 在 时刻离开平衡位置的距离,
Oy
y
x
uA
A?
O
P
x
tAy O c o s
tO
考察波线上 点 (坐标 ),点比 点的振动落后,点在 时刻的位移是 点在 时刻的位移，由此得 u
xt
tt Δ?
P x P O
P t O
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
3
φttωAttyy OP Δc o s)Δ(
u
xtA c o s
由于 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，
具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的 平面简谐波的波函数，又称波动方程,
P
x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
4
可得波动方程的几种不同形式：
利用
x
tA
x
T
t
A
u
x
tAy
π2
c os
π2c os
c os
νT π2π2 uT
和第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
5
波函数
])(co s [ uxtAy
质点的振动速度，加速度
])(s in [ uxtAtyv
])(c o s [22
2
uxtAt ya
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
6
二 波函数的物理含义
（波具有时间的周期性） )()( Ttxytxy,,
tAy c o s则
xπ2
令
xtAy π2c o s
O
y
t
1 一定,变化x t
表示 点处质点的振动方程（ 的关系）ty —x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
7
波线上各点的简谐运动图第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
8
Ct令 （定值）
xAy π2c os则
y
o x
xtAy π2c o s2 一定 变化xt
该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移,即 时刻的波形（ 的关系）t
t
xy —
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
9
方程表示在不同时刻各质点的位移，
即不同时刻的波形，体现了波的传播,
y
x
u
O
3,都变x t
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
10
tAy O c o s
y
x
u
A
A?
O
P
x
如图，设 点振动方程为O
u
xt?Δ点振动比 点超前了P O
4 沿 轴方向传播的波动方程x?
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
11
从形式上看,波动是波形的传播,
从实质上看,波动是振动的传播,
对波动方程的各种形式,应着重从物理意义上去理解和把握,
故 点的振动方程（波动方程）为：P
])(c o s [)(
u
xtAttyy
o
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
12
例 1 一平面简谐波沿 轴正方向传播，
已知振幅,,,在时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向运动,求,(2) 波形图；
s0.1?t
(3) 处质点的振动规律并作图,m5.0?x
(1)波动方程；
m0.1?A 0?tm0.2?λs0.2?T
Ox
Oy
解 (1) 写出波动方程的标准式
])(π2c o s [?
x
T
tAy
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
13
2
π 0,0
t
yy v
00 xt
])(π2c o s [?
x
T
tAy
y
A?
O
]
2
π)
0.20.2
(π2c o s [ xty
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
14
(2)求 波形图s0.1?t
]π2πc o s [0.1 xy
波形方程 s0.1?t
0
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0 时刻波形图
s0.1?t
]2π)0.20.2(π2c o s [0.1 xty
xπs in? (m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
15
(3) 处质点的振动规律并作图m5.0?x
]2π)0.20.2(π2c os [0.1 xty
处质点的振动方程m5.0?x
]πc os [π ty (m)
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0O
y
*
*
* *
*
*
处质点的振动曲线m5.0?x
1
2
3
4
1
2
3
4
1.0
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
16
例 2 一平面简谐波以速度沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
-1sm20u
)π4c o s (103 2 ty A
求,(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；
(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点 C,D 的简谐运动方程；
(4)分别求出 BC,CD 两点间的相位差,
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
单位分别为 m,s).y t,; (
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
17
(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10 uTλ
m103 2A s5.0?T 0
])(π2c o s [?
x
T
tAy
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
)
105.0
(π2co s103 2 xty
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
18
ABAB xx π2 10 5π2
π?
π?B?
)ππ4c o s (103 2 ty B
(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程
)π4c o s (103 2 ty A
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
]π)105.0(π2c o s [103 2 xty
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
19
(3)写出传播方向上点 C,D的运动方程点 C 的相位比点 A 超前
)π2π4c o s (103 2?ACty C
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m )π4c o s (103
2 ty A
)π513π4c o s (103 2 t
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
20
点 D 的相位落后于点 A
)π2c o s ( 4 π103 2
λ
ADty
D
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
m10?λ
)π4c o s (103 2 ty A
(m)
)π
5
9c o s ( 4 π103 2 t
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
21
(4)分别求出 BC,CD 两点间的相位差
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
π4.410 22π2π2 DCDC xx
π6.110 8π2π2 CBCB xx
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
m10?λ
第十章 波动物理学第五版
22
10-2 平面简谐波的波函数
10-1 机械波的几个概念
10-3 波的能量 能流密度
10-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉本章目录选择进入下一节：
10-5 驻波
10-6 多普勒效应
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
1
一 平面简谐波的波函数
tAy O c o s
设有一平面简谐波沿 轴正方向传播，
波速为,坐标原点 处质点的振动方程为
x
u O
y
x
uA
A?
O
P
x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
2
表示质点 在 时刻离开平衡位置的距离,
Oy
y
x
uA
A?
O
P
x
tAy O c o s
tO
考察波线上 点 (坐标 ),点比 点的振动落后,点在 时刻的位移是 点在 时刻的位移，由此得 u
xt
tt Δ?
P x P O
P t O
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
3
φttωAttyy OP Δc o s)Δ(
u
xtA c o s
由于 为波传播方向上任一点，因此上述方程能描述波传播方向上任一点的振动，
具有一般意义，即为沿 轴正方向传播的 平面简谐波的波函数，又称波动方程,
P
x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
4
可得波动方程的几种不同形式：
利用
x
tA
x
T
t
A
u
x
tAy
π2
c os
π2c os
c os
νT π2π2 uT
和第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
5
波函数
])(co s [ uxtAy
质点的振动速度，加速度
])(s in [ uxtAtyv
])(c o s [22
2
uxtAt ya
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
6
二 波函数的物理含义
（波具有时间的周期性） )()( Ttxytxy,,
tAy c o s则
xπ2
令
xtAy π2c o s
O
y
t
1 一定,变化x t
表示 点处质点的振动方程（ 的关系）ty —x
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
7
波线上各点的简谐运动图第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
8
Ct令 （定值）
xAy π2c os则
y
o x
xtAy π2c o s2 一定 变化xt
该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移,即 时刻的波形（ 的关系）t
t
xy —
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
9
方程表示在不同时刻各质点的位移，
即不同时刻的波形，体现了波的传播,
y
x
u
O
3,都变x t
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
10
tAy O c o s
y
x
u
A
A?
O
P
x
如图，设 点振动方程为O
u
xt?Δ点振动比 点超前了P O
4 沿 轴方向传播的波动方程x?
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
11
从形式上看,波动是波形的传播,
从实质上看,波动是振动的传播,
对波动方程的各种形式,应着重从物理意义上去理解和把握,
故 点的振动方程（波动方程）为：P
])(c o s [)(
u
xtAttyy
o
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
12
例 1 一平面简谐波沿 轴正方向传播，
已知振幅,,,在时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向运动,求,(2) 波形图；
s0.1?t
(3) 处质点的振动规律并作图,m5.0?x
(1)波动方程；
m0.1?A 0?tm0.2?λs0.2?T
Ox
Oy
解 (1) 写出波动方程的标准式
])(π2c o s [?
x
T
tAy
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
13
2
π 0,0
t
yy v
00 xt
])(π2c o s [?
x
T
tAy
y
A?
O
]
2
π)
0.20.2
(π2c o s [ xty
(m)
第十章 波动
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14
(2)求 波形图s0.1?t
]π2πc o s [0.1 xy
波形方程 s0.1?t
0
m/y
m/x2.0
1.0
-1.0 时刻波形图
s0.1?t
]2π)0.20.2(π2c o s [0.1 xty
xπs in? (m)
第十章 波动
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15
(3) 处质点的振动规律并作图m5.0?x
]2π)0.20.2(π2c os [0.1 xty
处质点的振动方程m5.0?x
]πc os [π ty (m)
0
m/y
1.0
-1.0
s/t2.0O
y
*
*
* *
*
*
处质点的振动曲线m5.0?x
1
2
3
4
1
2
3
4
1.0
第十章 波动
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16
例 2 一平面简谐波以速度沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
-1sm20u
)π4c o s (103 2 ty A
求,(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程；
(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
(3)求传播方向上点 C,D 的简谐运动方程；
(4)分别求出 BC,CD 两点间的相位差,
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
单位分别为 m,s).y t,; (
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
17
(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程
m10 uTλ
m103 2A s5.0?T 0
])(π2c o s [?
x
T
tAy
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
)
105.0
(π2co s103 2 xty
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
18
ABAB xx π2 10 5π2
π?
π?B?
)ππ4c o s (103 2 ty B
(2)以 B 为坐标原点，写出波动方程
)π4c o s (103 2 ty A
u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
]π)105.0(π2c o s [103 2 xty
(m)
第十章 波动
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19
(3)写出传播方向上点 C,D的运动方程点 C 的相位比点 A 超前
)π2π4c o s (103 2?ACty C
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m )π4c o s (103
2 ty A
)π513π4c o s (103 2 t
(m)
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
20
点 D 的相位落后于点 A
)π2c o s ( 4 π103 2
λ
ADty
D
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
m10?λ
)π4c o s (103 2 ty A
(m)
)π
5
9c o s ( 4 π103 2 t
第十章 波动
10-2 平面简谐波的波函数物理学 第五版
21
(4)分别求出 BC,CD 两点间的相位差
ty A )sπ4c o s ()m103( 12
π4.410 22π2π2 DCDC xx
π6.110 8π2π2 CBCB xx
m10u
ABC D
5 m 9 m
xo
8 m
m10?λ
第十章 波动物理学第五版
22
10-2 平面简谐波的波函数
10-1 机械波的几个概念
10-3 波的能量 能流密度
10-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉本章目录选择进入下一节：
10-5 驻波
10-6 多普勒效应
