第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
1
一 驻波的产生
1 现象第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
2
2 条件 两列振幅相同的相干波相向传播第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
3
3 驻 波 的 形 成第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
4
txA?
π2c o sπ2c o s2?
二 驻波方程
)(π2c o s1
xtAy
正向
)(π2c o s2
xtAy
负向
21 yyy
)(π2c o s)(π2c o s xtAxtA
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
5
txAy π2c o sπ2c o s2?
驻波方程讨论
xπ2c o s
,2,1,0ππ2 kkx
,2,1,0π)
2
1(π2 kkx
1
0
(1)振幅 随 x 而异,与时间无关
xA π2co s2
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
6
0π2c o s?x
当 0A 为波节
)2,1,0(?，k
4)12(
kx ( 的奇数倍 )
4
1π2c o sx
AA 2 为波腹?当 时
( 的偶数倍 )
4
2?kx?
)2,1,0(?，k
4
时第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
7
相邻 波腹（节） 间距 2
4相邻波 腹 和波 节 间距结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大,
4?
x
y
2?
波节波腹 振幅包络图
4
3? 45?4
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
8
(2) 相位分布
tAtxAy c o sc o s)π2c o s2(
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
0π2c o s),4,4( xx
txAy?
c o s)π2c o s2(?
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
9
结论 一波节两侧各点振动相位相反
0π2c o s),43,4( xx
π)c o s ()π2c o s2(c o s)π2c o s2( txAtxAy?
x
y
4? 43? 45?4
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
10
边界条件驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质,
波疏介质,波密介质介质分类第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
11
波密介质
u? 较大波疏介质较小
u?
波疏介质 波密介质第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
12
当波从波疏介质垂直入射到波密介质,
被反射到波疏介质时形成 波节,入射波与反射波在此处的相位时时 相反,即反射波在 分界处 产生 的相位 跃变,相当于出现了半个波长的波程差，称 半波损失,
π
三 相位跃变 （半波损失）
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
13
当波从波密介质垂直入射到波疏介质，
被反射到波密介质时形成 波腹,入射波与反射波在此处的相位时时 相同,即反射波在分界处 不 产生相位 跃变,
波密介质 波疏介质第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
14
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
15
四 驻波的能量
2
k )(d t
yW
2
p )(d x
yW
A B C
波节波腹
x
x
位移最大时平衡位置时第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
16
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无能量的定向传播,
驻波的能量第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
17
五 振动的简正模式两端 固定 的弦线形成 驻 波时，波长和弦线长 应满足 n?
2
nnl
,2,12 nlunn?
l
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
18
,2,12 nnl n?
两端 固定 的弦振动的简正模式
2
1l
2
2 2l
2
3 3l
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
19
一端 固定 一端 自由 的弦振动的简正模式
,2,12)21( nnl n?
4
1l
4
3 2l
4
5 3l
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
20
例 如图,一列沿 x轴正向传播的简谐波方程为 (m) （ 1）
在 1,2两种介质分界面上点 A与坐标原点 O
相距 L=2.25 m.已知介质 2的波阻大于介质 1
的波阻,反射波与入射波的振幅相等,求：
（ 1） 反射波方程 ; （ 2） 驻波方程 ;
（ 3） 在 OA之间波节和波腹的位置坐标,
y
LO A x
1 2
31y 10 c os[ 200 π ( t x / 200) ]
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
21
解 （ 1） 设反射波方程为
（ 2）
由式 （ 1） 得 A点的反射振动方程
（ 3）
])
2 0 0
π(2 0 0c o s [10 032 xty
]π)
200
π(200c o s [10 31 Lty A
y
LO A x
1 2
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
22
由式 （ 2） 得 A点的反射振动方程
（ 4）
由式 （ 3） 和式 （ 4） 得,舍去
])
200
π(200c o s [10 032 Lty A
2
π-4 π- 3,5 πππ2
0 L?
2
π
0
所以反射波方程为：
]
2
π)
200
π(200c o s [10 32 xty
(m)
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
23
（ 2）
)4ππ20 0c o s ()4ππc o s (102 321 txyyy
（ 3） 令 0)
4
ππc o s (x
令
1)
4
ππco s (x
),2,1,0(
4
1 nnx
mm,2,2 5m,1,2 50,2 5m25.2?xx
得波节坐标
≤
得波腹坐标
),2,1(
4
1 nnx
mm,1,7 50,7 5m25.2?xx
≤
第十章 波动物理学第五版
24
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉本章目录选择进入下一节：
10-5 驻波
10-6 多普勒效应
10-7 平面电磁波
10-5 驻波物理学 第五版
1
一 驻波的产生
1 现象第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
2
2 条件 两列振幅相同的相干波相向传播第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
3
3 驻 波 的 形 成第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
4
txA?
π2c o sπ2c o s2?
二 驻波方程
)(π2c o s1
xtAy
正向
)(π2c o s2
xtAy
负向
21 yyy
)(π2c o s)(π2c o s xtAxtA
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
5
txAy π2c o sπ2c o s2?
驻波方程讨论
xπ2c o s
,2,1,0ππ2 kkx
,2,1,0π)
2
1(π2 kkx
1
0
(1)振幅 随 x 而异,与时间无关
xA π2co s2
第十章 波动
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6
0π2c o s?x
当 0A 为波节
)2,1,0(?，k
4)12(
kx ( 的奇数倍 )
4
1π2c o sx
AA 2 为波腹?当 时
( 的偶数倍 )
4
2?kx?
)2,1,0(?，k
4
时第十章 波动
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7
相邻 波腹（节） 间距 2
4相邻波 腹 和波 节 间距结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大,
4?
x
y
2?
波节波腹 振幅包络图
4
3? 45?4
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
8
(2) 相位分布
tAtxAy c o sc o s)π2c o s2(
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
0π2c o s),4,4( xx
txAy?
c o s)π2c o s2(?
第十章 波动
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9
结论 一波节两侧各点振动相位相反
0π2c o s),43,4( xx
π)c o s ()π2c o s2(c o s)π2c o s2( txAtxAy?
x
y
4? 43? 45?4
第十章 波动
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10
边界条件驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质,
波疏介质,波密介质介质分类第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
11
波密介质
u? 较大波疏介质较小
u?
波疏介质 波密介质第十章 波动
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12
当波从波疏介质垂直入射到波密介质,
被反射到波疏介质时形成 波节,入射波与反射波在此处的相位时时 相反,即反射波在 分界处 产生 的相位 跃变,相当于出现了半个波长的波程差，称 半波损失,
π
三 相位跃变 （半波损失）
第十章 波动
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13
当波从波密介质垂直入射到波疏介质，
被反射到波密介质时形成 波腹,入射波与反射波在此处的相位时时 相同,即反射波在分界处 不 产生相位 跃变,
波密介质 波疏介质第十章 波动
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14
第十章 波动
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15
四 驻波的能量
2
k )(d t
yW
2
p )(d x
yW
A B C
波节波腹
x
x
位移最大时平衡位置时第十章 波动
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16
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无能量的定向传播,
驻波的能量第十章 波动
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17
五 振动的简正模式两端 固定 的弦线形成 驻 波时，波长和弦线长 应满足 n?
2
nnl
,2,12 nlunn?
l
第十章 波动
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18
,2,12 nnl n?
两端 固定 的弦振动的简正模式
2
1l
2
2 2l
2
3 3l
第十章 波动
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19
一端 固定 一端 自由 的弦振动的简正模式
,2,12)21( nnl n?
4
1l
4
3 2l
4
5 3l
第十章 波动
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20
例 如图,一列沿 x轴正向传播的简谐波方程为 (m) （ 1）
在 1,2两种介质分界面上点 A与坐标原点 O
相距 L=2.25 m.已知介质 2的波阻大于介质 1
的波阻,反射波与入射波的振幅相等,求：
（ 1） 反射波方程 ; （ 2） 驻波方程 ;
（ 3） 在 OA之间波节和波腹的位置坐标,
y
LO A x
1 2
31y 10 c os[ 200 π ( t x / 200) ]
第十章 波动
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21
解 （ 1） 设反射波方程为
（ 2）
由式 （ 1） 得 A点的反射振动方程
（ 3）
])
2 0 0
π(2 0 0c o s [10 032 xty
]π)
200
π(200c o s [10 31 Lty A
y
LO A x
1 2
第十章 波动
10-5 驻波物理学 第五版
22
由式 （ 2） 得 A点的反射振动方程
（ 4）
由式 （ 3） 和式 （ 4） 得,舍去
])
200
π(200c o s [10 032 Lty A
2
π-4 π- 3,5 πππ2
0 L?
2
π
0
所以反射波方程为：
]
2
π)
200
π(200c o s [10 32 xty
(m)
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23
（ 2）
)4ππ20 0c o s ()4ππc o s (102 321 txyyy
（ 3） 令 0)
4
ππc o s (x
令
1)
4
ππco s (x
),2,1,0(
4
1 nnx
mm,2,2 5m,1,2 50,2 5m25.2?xx
得波节坐标
≤
得波腹坐标
),2,1(
4
1 nnx
mm,1,7 50,7 5m25.2?xx
≤
第十章 波动物理学第五版
24
10-2 平面简谐波的波函数
10-3 波的能量 能流密度
10-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉本章目录选择进入下一节：
10-5 驻波
10-6 多普勒效应
10-7 平面电磁波
