第一节 信号的分类与描述第二节 周期信号与离散频谱第三节 非周期信号与连续频谱瞬变第四节 随机信号第一章 信号及其描述回主目录第一节、信号的分类与描述一,信号的分类二,信号的描述
周期信号 是按一定时间间隔周而复始出现,无始无终的信号 。
式中弹簧振子
非周期信号 是确定性信号中不具有周期重复性的信号。 弹簧振子
随机信号 是不能准确预测其未来瞬时值,无法用数学关系式描述的信号 。
,3,2,10 nnTtxtx
周期?0T
第一节、信号的分类与描述一、信号的分类
（ 1）
目 录转 换第一节、信号的分类与描述
（ 2）
目 录
连续信号 是其数学表示式中的独立变量取值是连续的信号 。 若独立变量和幅值取连续的称为模拟信号 。
离散信号 是其数学表示式中的独立变量取值是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散的称为数字信号。
能量有限信号 （能量信号） 当 满足 时，则认为信号的能量是有限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。 弹簧振子
功率有限信号 （功率信号 ）信号在区间的能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，即,
第一节、信号的分类与描述
（ 3）
目 录弹簧振子
时域描述 以时间 t为独立变量的，直接观测或记录到的信号。信号时域描述直观地出信号瞬时值随时间变化的情况 。
频域描述 信号以频率 f为独立变量的，称为信号的。频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。
第一节、信号的分类与描述二、信号的描述实际，两种描述方法可以 相互转换,包含同样的信息目 录
m
k
A x
(
t
)
周期信号功率信号非周期信号能量信号目 录
00 s in?t
m
kxtx
00 s in?tm
kxetx t
m
A
x
(
t
)
c k
动态演示第一节、信号的分类与描述下 节目 录一,傅立叶级数的三角函数展开式二,傅立叶级数的复指数函数展开式三,周期信号的强度表述第二节、周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。
含 义 例题 进入复指数第二节、周期信号与离散频谱
22 nnn baA
n
nn batg
n
n
n a
btg
常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值
0T
周期
0?
圆频率，;2
0
0 T
,3,2,1n
返回三角展开式求右图周期性三角波的傅立叶级数解：在 x(t)的一个周期中可表示为
X(t)
t
t
T
A
A
t
T
A
A
tx
0
0
2
2
020 tT
20
0Tt
常值分量
2
20
0
0
0
1 T
T dttxTa
2
22
2
0
00
0
A
dtt
T
A
A
T
T
返 回小 结
Ⅰ
返 回余弦分量的幅值正弦分量的幅值
na
0
4
2
s i n
4
c os
24
c os
2
222
22
0
2
0
0
2
2 0
0
0
0
0
n
A
n
n
A
t dtnt
T
A
A
T
t dtntx
T
TT
T
,5,3,1n
,6,4,2n
2
2
0
0
0
0
0s i n
2 T
Tn t d tntxTb?
Ⅱ
5,3,1c os
14
2
5c os
5
1
3c os
3
1
c os
4
2
0
1
22
020202
ntn
n
AA
ttt
AA
tx
n
三角波频谱结果：
Ⅲ
二、傅立叶级数的复指数函数展开式一般情况下 是复数定义分析与 共轭，即
nc nc? nnnn cc;
推 导目录依据欧拉公式：
第二节、周期信号与离散频谱例 题傅立叶级数 复指数函数形式
根据欧拉公式：
有式可改写成为
n
n
tjn
enctx,2,1,00
令则或返 回一些分析周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图也可分别以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。
总结,
复指数函数形式的频谱为双边谱（从），三角函数形式的频谱为单边 谱（从）；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即。双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。
负频率的说明第二节、周期信号与离散频谱返 回负频率说明
0
Im A
Re
主要原因角速度按其旋转方向可以为正或负，一个向量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，
而虚部则为虚轴上投影之差。
第二节、周期信号与离散频谱返回把周期函数 X（ t）展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图例题 1-1
画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。
解,根据式子故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称正余弦频谱图
tj
e
tj
ejt
tj
e
tj
et
0
0
0
00
0
2
1
s in
2
1
c os
小结对于例 1-1的小结周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率 分量，
谐波的幅值以的规律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位为均为零。
返 回正弦函数余弦函数的频谱图周期性三角波频谱图周期信号频谱的三大特点
1） 离散性 周期信号的频谱是离散的。
2） 谐波性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。
3） 收敛性 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐拨次数的增高而减少的。因此，
在频谱分析中没必要返 回三、周期信号的强度表述周期信号的强度表述方式有四种：
1）峰值 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即峰 -峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差
2）绝对均值
3）有效值
4）平均功率
px
m a xtxx p?
ppx?
dttx
T
T
x
0
0
0
1?
dttx
T
x
T
r m s
0
0
2
0
1
dttx
T
p Tav 0
0
2
0
1 返回第二节进入第三节
非周期信号准周期信号瞬变非周期信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱一,傅立叶变换二,傅立叶变换的性质三,典型信号频谱非周期信号常见示例
X(t)
t0
X(t)
t0
t
X(t)
0
X(t)
t0
指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号 单一脉冲信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目 录一、傅立叶变换对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔,当周期 趋与无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线无限靠近。变量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以 非周期信号的频谱是连续的。
公式分析 例 题
0
0
2
T
0T
第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目 录设有一个周期信号 x(t)在区间 以傅立叶级数表示为式中
2,2 00 TT
n
tjn
n ectx
0?
dtetx
T
c tjn
T
Tn
0
0
0
2
20
1
n
tjntjn
T
T edtetxTtx
00
0
0
2
20
1
将代入上式则得目 录当 趋于无穷 时，频率间隔 成为,
离散谱中相邻的谱线紧靠在一起,成为连续变量,求和符号 就变为积分符号,则
0T
d
n
dedtetx
edtetx
d
tjtj
tjtj
2
1
2
这就是傅立叶积分
tx
目 录
dtetxfX ftj?2
式 1-26称为 的傅立叶变换，称式 1-27为 的傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
txX
Xtx FT
IF T
f 2? 代入式 1-25中，则式 1-26，式 1-27变为
dfefXtx ftj?2
dtetxX tj?
2
1
deXtx tj
目 录关系是 XfX 2?
一般 是实变量 的复函数，可以写成fX f
fjefXfX
式中 为信号 的连续幅值谱,为信号 的连续相位谱。?fX
txf?
tx
公式简化后有返 回目 录例题 1-3 求矩形窗函数的频谱
0
1
t?
2
Tt?
2
Tt?
常称为矩形窗函数，其频谱为
fTjfTj
T
T
ftj
ftj
ee
fj
dte
dtet
2
1
2
2
2
2
)( fW
目 录
Ⅰ
引入式，有
fTjfTj ee
jfT
2
1s i n
fTcT
fT
fTTfW?
s i ns i n
式中 T称为窗宽第三节、瞬变非周期信号与连续频谱频 谱
sincθ
目 录
Ⅱ
傅立叶变换的主要性质熟悉傅立叶变换的性质的重要意义简化作用！！！
目 录
（一）、奇偶虚实性一般 X（ f）是实变量的复变函数,
fXjfXdtetxfX ftj ImRe2
f t d ttxfX?2c o sRe
f t d ttxfX?2s inIm
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
目 录
（二）、对称性若则证明
fXtx?
fxtX
dfefXtx ftj?2
以 -T代替 T得
dfefXtx ftj?2
将 T与 F互换，即得 X（ T）的傅立叶变换为
dtetXfx ftj?2
所以
fxtX 目 录
（三）、时间尺度改变特性窗函数 特性举例若则证明
fXtx?
01
k
k
fX
k
ktx
k
fX
k
ktdektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj 11 22
目 录
（四）、时移与频移特性若则，时域
fXtx?
020 ftjefXttx
频域
02 0 ffXetx tfj
目 录
（五）、卷积特性
fXtx 11?
fXtx 22?
若则
fXfXtxtx 2121
fXfXtxtx 2121
目 录
（六）、微分和积分特性
fXtx?若可得
fXfj
dt
txd
n
n
2?
n
n
n
df
fXdtxtj2 常见信号频谱目 录典型信号的频谱举例分析第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
矩形窗函数的 频谱
函数及其 频谱
正、余弦函数 的 频谱密度函数
周期单位脉冲序列的 频谱
目 录一、矩形窗函数的频谱
0
1
t?
2
2
T
t
T
t
公式：
fTjfTj
ftj
ee
fj
dtetfW
2
1
2
频谱：
频谱目 录一、定义二,函数及其频谱?
在 ε时间内激发一个矩形脉冲,其面积为 1。
当 ε趋于 0时,的极限就称为 δ函数，记做 δ(t)。 δ
函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特点有：
tS
tS?
从面积的角度来看（也称为 δ函数的强度）
dttSdtt 0lim
二,δ函数的采样性质
0,0
0,
t
tt?
频谱目 录三,函数与其他函数的卷积特性?
x(t)函数和 δ函数的卷积的结果，就是在发生 δ
函数的坐标位置上简单地将 x(t)重新构图。
目 录三、正、余弦函数的频谱密度函数一、定义
tfjtfj
tfjtfj
eetf
eejtf
00
00
22
0
22
0
2
1
2c os
2
1
2s in
000
000
2
1
2c o s
2
1
2s in
fffftf
ffffjtf
正余弦函数的傅立叶变换如下：
频谱目 录一、定义等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
s
n
d e f
s nTtTtc o m b
,
整数周期式中 nnT s ;
其傅立叶级数的复指数形式
dteTtc om b
T
c
cTf
ecTtc om b
t
s
s
s
t
s
kfj
T
T s
s
k
kss
nfj
k
k
d e f
s
2
2
2
2
,
1
,/1
,
为系数式中四、周期单位脉冲序列的频谱频谱目 录一、概述随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
第四节、随机信号随机过程平稳过程非平稳过程各态历经随机过程二、随机信号的主要特征参数
（一） 均值、方差和均方值
1、均值为均值表示信号的常值分量。
2、方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值的平方的均值，
即
dttxT T
Tx
01lim?
dttxT xTx 202 lim
3、均方差描述随机信号的强度，它是平方的均值，
即均方值的正平方根称为均方根值均值、方差、和均方值的相互关系是
222
xxx
dttxT T
Tx
0 22 1lim?
rmsx
（二） 概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间内的概率。
当样本函数的记录时间趋于无穷大时,的比值就是幅值落在区间的概率。
定义幅值概率密度函数为概率密度函数 提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一自相关函数和功率谱密度函数 在 第五章 中讲述
x xxtxxPxp r
x?
0
lim
T
Tx
回章目录关于 sincθ
回到原位以 2π为周期并随 θ的增加而做衰减振荡。
Sinθ函数是偶函数，在正整数倍时为零。
连续到离散变换第一节、信号的分类与描述
t?
f?
1
1
0 0t t
t f0 0
sTtco m b,
sffc om b,
1
sT2? s
T/3?
sT sT2sT? sT/1sT/1? sT/3
1
周期信号 是按一定时间间隔周而复始出现,无始无终的信号 。
式中弹簧振子
非周期信号 是确定性信号中不具有周期重复性的信号。 弹簧振子
随机信号 是不能准确预测其未来瞬时值,无法用数学关系式描述的信号 。
,3,2,10 nnTtxtx
周期?0T
第一节、信号的分类与描述一、信号的分类
（ 1）
目 录转 换第一节、信号的分类与描述
（ 2）
目 录
连续信号 是其数学表示式中的独立变量取值是连续的信号 。 若独立变量和幅值取连续的称为模拟信号 。
离散信号 是其数学表示式中的独立变量取值是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散的称为数字信号。
能量有限信号 （能量信号） 当 满足 时，则认为信号的能量是有限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。 弹簧振子
功率有限信号 （功率信号 ）信号在区间的能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，即,
第一节、信号的分类与描述
（ 3）
目 录弹簧振子
时域描述 以时间 t为独立变量的，直接观测或记录到的信号。信号时域描述直观地出信号瞬时值随时间变化的情况 。
频域描述 信号以频率 f为独立变量的，称为信号的。频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。
第一节、信号的分类与描述二、信号的描述实际，两种描述方法可以 相互转换,包含同样的信息目 录
m
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A x
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t
)
周期信号功率信号非周期信号能量信号目 录
00 s in?t
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动态演示第一节、信号的分类与描述下 节目 录一,傅立叶级数的三角函数展开式二,傅立叶级数的复指数函数展开式三,周期信号的强度表述第二节、周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅立叶级数。
含 义 例题 进入复指数第二节、周期信号与离散频谱
22 nnn baA
n
nn batg
n
n
n a
btg
常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值
0T
周期
0?
圆频率，;2
0
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,3,2,1n
返回三角展开式求右图周期性三角波的傅立叶级数解：在 x(t)的一个周期中可表示为
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T
A
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A
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Ⅰ
返 回余弦分量的幅值正弦分量的幅值
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ntn
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三角波频谱结果：
Ⅲ
二、傅立叶级数的复指数函数展开式一般情况下 是复数定义分析与 共轭，即
nc nc? nnnn cc;
推 导目录依据欧拉公式：
第二节、周期信号与离散频谱例 题傅立叶级数 复指数函数形式
根据欧拉公式：
有式可改写成为
n
n
tjn
enctx,2,1,00
令则或返 回一些分析周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图也可分别以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图。
总结,
复指数函数形式的频谱为双边谱（从），三角函数形式的频谱为单边 谱（从）；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即。双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。
负频率的说明第二节、周期信号与离散频谱返 回负频率说明
0
Im A
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主要原因角速度按其旋转方向可以为正或负，一个向量的实部可以看成为两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，
而虚部则为虚轴上投影之差。
第二节、周期信号与离散频谱返回把周期函数 X（ t）展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图例题 1-1
画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。
解,根据式子故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称正余弦频谱图
tj
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小结对于例 1-1的小结周期性三角波频谱，其幅频谱只包含常值分量、基波、和奇次谐波的频率 分量，
谐波的幅值以的规律收敛。在其相频谱中基波和各次谐波的初相位为均为零。
返 回正弦函数余弦函数的频谱图周期性三角波频谱图周期信号频谱的三大特点
1） 离散性 周期信号的频谱是离散的。
2） 谐波性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。
3） 收敛性 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐拨次数的增高而减少的。因此，
在频谱分析中没必要返 回三、周期信号的强度表述周期信号的强度表述方式有四种：
1）峰值 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即峰 -峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差
2）绝对均值
3）有效值
4）平均功率
px
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1 返回第二节进入第三节
非周期信号准周期信号瞬变非周期信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱一,傅立叶变换二,傅立叶变换的性质三,典型信号频谱非周期信号常见示例
X(t)
t0
X(t)
t0
t
X(t)
0
X(t)
t0
指数衰减信号矩形脉冲信号衰减振荡信号 单一脉冲信号第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目 录一、傅立叶变换对于非周期信号的理解周期信号频谱谱线的频率间隔,当周期 趋与无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线无限靠近。变量 连续取值以至离散谱线的顶点最后变成一条连续曲线。所以 非周期信号的频谱是连续的。
公式分析 例 题
0
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T
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第三节、瞬变非周期信号与连续频谱目 录设有一个周期信号 x(t)在区间 以傅立叶级数表示为式中
2,2 00 TT
n
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1
将代入上式则得目 录当 趋于无穷 时，频率间隔 成为,
离散谱中相邻的谱线紧靠在一起,成为连续变量,求和符号 就变为积分符号,则
0T
d
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2
1
2
这就是傅立叶积分
tx
目 录
dtetxfX ftj?2
式 1-26称为 的傅立叶变换，称式 1-27为 的傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为
txX
Xtx FT
IF T
f 2? 代入式 1-25中，则式 1-26，式 1-27变为
dfefXtx ftj?2
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2
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deXtx tj
目 录关系是 XfX 2?
一般 是实变量 的复函数，可以写成fX f
fjefXfX
式中 为信号 的连续幅值谱,为信号 的连续相位谱。?fX
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tx
公式简化后有返 回目 录例题 1-3 求矩形窗函数的频谱
0
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常称为矩形窗函数，其频谱为
fTjfTj
T
T
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目 录
Ⅰ
引入式，有
fTjfTj ee
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1s i n
fTcT
fT
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s i ns i n
式中 T称为窗宽第三节、瞬变非周期信号与连续频谱频 谱
sincθ
目 录
Ⅱ
傅立叶变换的主要性质熟悉傅立叶变换的性质的重要意义简化作用！！！
目 录
（一）、奇偶虚实性一般 X（ f）是实变量的复变函数,
fXjfXdtetxfX ftj ImRe2
f t d ttxfX?2c o sRe
f t d ttxfX?2s inIm
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
目 录
（二）、对称性若则证明
fXtx?
fxtX
dfefXtx ftj?2
以 -T代替 T得
dfefXtx ftj?2
将 T与 F互换，即得 X（ T）的傅立叶变换为
dtetXfx ftj?2
所以
fxtX 目 录
（三）、时间尺度改变特性窗函数 特性举例若则证明
fXtx?
01
k
k
fX
k
ktx
k
fX
k
ktdektx
k
dtektx
kt
k
fj
ftj 11 22
目 录
（四）、时移与频移特性若则，时域
fXtx?
020 ftjefXttx
频域
02 0 ffXetx tfj
目 录
（五）、卷积特性
fXtx 11?
fXtx 22?
若则
fXfXtxtx 2121
fXfXtxtx 2121
目 录
（六）、微分和积分特性
fXtx?若可得
fXfj
dt
txd
n
n
2?
n
n
n
df
fXdtxtj2 常见信号频谱目 录典型信号的频谱举例分析第三节、瞬变非周期信号与连续频谱
矩形窗函数的 频谱
函数及其 频谱
正、余弦函数 的 频谱密度函数
周期单位脉冲序列的 频谱
目 录一、矩形窗函数的频谱
0
1
t?
2
2
T
t
T
t
公式：
fTjfTj
ftj
ee
fj
dtetfW
2
1
2
频谱：
频谱目 录一、定义二,函数及其频谱?
在 ε时间内激发一个矩形脉冲,其面积为 1。
当 ε趋于 0时,的极限就称为 δ函数，记做 δ(t)。 δ
函数称为单位脉冲函数。 δ(t)的特点有：
tS
tS?
从面积的角度来看（也称为 δ函数的强度）
dttSdtt 0lim
二,δ函数的采样性质
0,0
0,
t
tt?
频谱目 录三,函数与其他函数的卷积特性?
x(t)函数和 δ函数的卷积的结果，就是在发生 δ
函数的坐标位置上简单地将 x(t)重新构图。
目 录三、正、余弦函数的频谱密度函数一、定义
tfjtfj
tfjtfj
eetf
eejtf
00
00
22
0
22
0
2
1
2c os
2
1
2s in
000
000
2
1
2c o s
2
1
2s in
fffftf
ffffjtf
正余弦函数的傅立叶变换如下：
频谱目 录一、定义等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并用
s
n
d e f
s nTtTtc o m b
,
整数周期式中 nnT s ;
其傅立叶级数的复指数形式
dteTtc om b
T
c
cTf
ecTtc om b
t
s
s
s
t
s
kfj
T
T s
s
k
kss
nfj
k
k
d e f
s
2
2
2
2
,
1
,/1
,
为系数式中四、周期单位脉冲序列的频谱频谱目 录一、概述随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
第四节、随机信号随机过程平稳过程非平稳过程各态历经随机过程二、随机信号的主要特征参数
（一） 均值、方差和均方值
1、均值为均值表示信号的常值分量。
2、方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值的平方的均值，
即
dttxT T
Tx
01lim?
dttxT xTx 202 lim
3、均方差描述随机信号的强度，它是平方的均值，
即均方值的正平方根称为均方根值均值、方差、和均方值的相互关系是
222
xxx
dttxT T
Tx
0 22 1lim?
rmsx
（二） 概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间内的概率。
当样本函数的记录时间趋于无穷大时,的比值就是幅值落在区间的概率。
定义幅值概率密度函数为概率密度函数 提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一自相关函数和功率谱密度函数 在 第五章 中讲述
x xxtxxPxp r
x?
0
lim
T
Tx
回章目录关于 sincθ
回到原位以 2π为周期并随 θ的增加而做衰减振荡。
Sinθ函数是偶函数，在正整数倍时为零。
连续到离散变换第一节、信号的分类与描述
t?
f?
1
1
0 0t t
t f0 0
sTtco m b,
sffc om b,
1
sT2? s
T/3?
sT sT2sT? sT/1sT/1? sT/3
1
