第五章 信号处理初步提取有用的特征修正测试系统的某些误差信号处理目的 分离信、噪，提高信噪比内容方法模拟信号处理系统数字信号处理系统专用数字信号处理机
CAT回主目录章 节 结 构一,数字信号处理的基本步骤二,信号数字化出现的问题三,相关分析及其应用四,功率谱分析及其应用回主目录数字信号处理器或计算机预处理预处理
A/D转换
X(t)
X(t)
A/D转换结果显示第一节 数字信号处理的基本步骤
1）电压幅值调理，以适宜采样。
2）滤波，以提高信噪比。
3）隔离信号中的直流分量。
4）调制解调。
模拟信号经采样、量化并转化为二进制第二节 信号数字化出现的问题一、概述设模拟信号的傅立叶变换为，为了利用计算机来计算，必须使变换成有限长的离散时间序列。对进行采样和截断。
采样是用一个等时距的周期脉冲序列去乘。时距称为采样间隔，称为采样频率。
-----本节以计算一个模拟信号的频谱为例来说明出现的相关问题第 二 节 周期信号与离散频谱1,时域采样
2,时域截断
3,频域采样 T
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
步骤 一产生问题相应定理时域采样混叠采样定理步骤 二时域采样采样是把连续时间信号变成离散时间序列的过程，
就是等间距地取点。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连续信号。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积函数的卷积特性 —— 频域作卷积就等于频谱的周期延拓
长度为 T的连续时间信号 x(t),从 t=0点开始采样，得到离散时间序列 x(n)为
ss fnxnTxnx 目 录其中,n=0,1,2,3,……N -1重要参数
snTts txnTx
sss
s
s
Tff
TTNN
T
1
采样频率，
序列长度，
采样间隔；
其中采样间隔的选择是个重要的问题过小过大工作量会很大 丢失有用信息返 回目 录混 叠在频域中，如果平移距离过小，平移后的频谱就会有一部分相互交叠，从而使新合成的频谱与原频谱不一致，因而无法准确地恢复原时域信号，这种现象称为混叠。
一、定义二、原因
（ 1）、采样频率 太低
（ 2）、原模拟信号不是有限带宽的信号，即
sf
hf
目 录三、采取措施
（ 1） 对非有限带宽的模拟信号，在采样之前先通过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信号。这种处理称为抗混叠滤波预处理。
（ 2）满足采样定理，
hs ff 2?
cf
cs ff 4~3? 返 回目 录在实际工作中，考虑实际滤波器不可能有理想的截止特性，在其截止频率 之后总有一定的过滤带，通常取采样定理为了避免混叠以使采样处理后仍有可能准确地恢复其原信号，采样频率 必须大于最高频率 的两倍即,
这就是采样定理。
sf
hf
hs ff 2?
返 回目 录步骤 二产生问题相应措施时域截断泄 漏窗函数步骤 三时 域 截 断截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数，
实际是取有限长的信号，从数学处理上看，就是乘以时域的有限宽矩形窗函数。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积，作卷积时窗函数频谱的旁瓣会引起皱波。
即在时域中乘矩形窗函数，经处理后其时域、
频域的关系是目 录fWfSfXttstx
重要参数
）序列长度（即采样点数采样长度（即窗宽）；
sTTN
T
其中窗函数的合理选择是个 重要 的问题返 回目 录泄 漏一、定义由于矩形窗函数的频谱是一个无限带宽的 sinc
函数。所以即使 x(t)是带限信号，在截断后也仍然成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。
二、原因
（ 1）、窗函数的频谱是无限带宽的。
目 录三、采取措施
（ 1） 采用合适的 窗函数 来对所截取的时域信号进行加权处理。
目 录常 用 的 窗 函 数采用不同形式的窗函数 为了减少或抑制泄漏目 录主瓣宽度窄的主瓣提高频率分辨能力小的旁瓣可以减少泄漏最大旁瓣值与主峰值之比最大旁瓣的倍频程衰减率窗函数评价标准?
Ⅰ,矩形窗
T/20
ω (t)
1
0
1t?
2
2
T
t
T
t
主瓣最窄（高 T，宽 2/T）
旁瓣则较高（主瓣的 20%,
-13dB
旁瓣的率减率为 20dB/10倍频程公 式目 录
Ⅱ,三角窗
T/20
ω (t)
1
0
21 t
Tt?
2
2
Tt
Tt
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低不会出现负值公 式目 录
Ⅲ,汉宁窗
T/20
ω (t)
1
0
2c o s
2
1
2
1
T
t
t
2
2
T
t
T
t
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低（主瓣的 2.4%,
-32dB
旁瓣的率减率为 60dB/10倍程公 式目 录
Ⅳ,指数窗
T/20
ω (t)
1
公 式
0
te
t
0
0
t
t
主瓣很宽无旁瓣非对称窗，起抑制噪声的作用返 回目 录动态演示步骤 三产生问题频域采样栅栏效应量 化 目 录
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
频域采样频域采样是使频率离散化，在频率轴上等间距地取点的过程。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连续频谱。
依据 FT的卷积特性 —— 频域相乘就等于时域做卷积函数的卷积特性 —— 时域作卷积就等于时域波形的周期延拓频域采样和时域采样相似，在频域中用脉冲序列乘信号的频谱函数。
目 录重要参数点）仍为点序列的频谱序列的固有特征，（依据频率采样间隔；
N
ND F T
f
fs
T
Ts
N
N
fs
T
f
1
1
1
返 回目 录栅栏效应一、定义采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，
其效果有如透过栅栏的缝观看外景一样，只有落在缝隙 前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，
视为零。这种现象称为栅栏效应。
二、影响
（不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。不过时域采样对比起来时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个处理失去意义。 目 录三、采取措施
（ 1） 提高频率采样间隔，即提高频率分辨力，则栅栏效应中被挡住的频率成分越少。但同时 Δf=1/T
是 DFT算法固有的特征，在满足满足采样定理的情况下，这往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。
（ 2）对周期信号实行整周期截断。
返 回目 录另 四
—— 有关量化和量化误差时域采样只是把连续信号的时间离散化了。而对于幅值如果用二进制数码组来表示，就是离散信号变成数字信号。这一过程称为量化。量化一般是由 A/D转换器来实现的。
1、定义
2、量化误差分析设 A/D转换器的位数为 b,允许的动态工作范围为 D，
则相邻量化电平之差 （由于实际上字长的第一位常用作符号位），每个量化电平对应一个二进制 12 b
Dx
目 录数码。若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必须含入到相近的一个量化电平上。
一般认为，量化误差 ε(n)
为在之间等概率分布。 则
量化电平实际 nxnxn
x
xx
x
x
29.0
32
0
12
12
0
1
2
2
方差标准差为均方值为均值为概率密度为目 录三、采取措施
（ 1） 提高 A/D转换的为数，既降低了量化误差，
但 A/D转换的位数选择应视信号的具体情况和量化的精度要求而定，位数增多后，成本显著增加，转换速率下降。
（ 2）实际上，和信号获取、处理的其他误差相比，
量化误差通常不大，所以一般可忽略其影响。
下 节返 回目 录一,相关系数二,自相关函数三,互相关函数第 三 节 相关分析及其应用一,两随机变量的相关系数
22
22
yy
xx
yx
yy
xx
yE
xE
yx
Ex
Ex
E
的标准差，随机变量的均值，随机变量的均值，随机变量数学期望；
对于变量之间的相关程度常用相关系数表示之
yx
yx
xy
yxE
意 义 目 录
y
x
x
0
y
0
的标准差，随机变量的均值，随机变量的均值，随机变量数学期望；
yx
yEx
xEx
E
yx
yy
xx
又利用柯西 -许瓦兹不等式
22
22
yy
xx
yE
xE
222 yxyx yExEyxE 目 录
22
22
yy
xx
yE
xE
又利用柯西 -许瓦兹不等式
222 yxyx yExEyxE
1?xy?
接近1,两量的相关性愈好接近于0,两变量之间无关目 录二,信号的自相关函数
1、自相关函数定义过程设 x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录，
是 x(t) 时移后的样本，在任何时刻,从两个样本得到两个量值 和,而且它们具有相同的均值和标准差。同时把简写作，那么有
tx
itt?
itxitx
2
0
1
lim
x
x
T
x
T
x
dttxtx
T
目 录将分子展开并由于有
x
T
T
x
T
T
dttx
T
dttx
T
0
0
1
lim
1
lim
2
0
21
lim
x
T
x
T
x
dttxtx
T
对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数 为
xR
T
Tx
dttxtx
T
R
0
1lim
目 录通过公式可知，和均随而变化，且两者成线性关系。
2
2
x
xx
x
R
2,自相关函数具有的性质：
1）由上是式有 又由于所以
22 xxxxRx
2222 xxxxx R
2）自相关函数在 时为最大值，等于信号的均方值0
目 录
2
0
1lim0
x
T
Tx
dttxtxTR
3）当足够大时或时，随机变量和之间不存在内在联系，彼此无关。
4）自相关函数为偶函数。
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数其幅值与原周期函数的幅值有关，但丢失相位信息例题分析例 5-1求正弦函数的自相关函数，初始相角 φ为一随机变量。
目 录解：
该正弦函数的自相关函数为式中令,则 。于是
dtttx
T
dttxtx
T
R
T
T
T
x
0
0
2
0
0
0
s i ns i n
1
1
lim
2,
00 TT 正弦函数的周期
tddt?
c o s2s i ns i n2 202
0
2
0 xdxR
x
目 录正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在
τ=0时具有最大值，但它不随 τ的增加而衰减至零。
它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息以下有四种典型信号的 自相关函数分析一个实例 -关于某一机械加工表面粗糙度的波形。
3,工程应用
①区别信号类型
②检测混杂在随机信号中的周期成分。
返 回目 录三,信号的互相关函数
1、互相关函数定义过程两个各态历经过程的随机信号 x(t)和 y (t)的互相关函数 定义为
T
Txy
dttytxR 0lim
xyR
当时移 τ足够大或 τ趋于无穷时,x(t)和 y (t)互不相关，
而 的最大变动范围在之间，即
0?xy?
yxxyRxyR yxyx
yxyxxyyxyx R
目 录如果 x(t)和 y (t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的成分，那么即使 τ趋于无穷，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。如两信号含频率不等的周期成分，则两者不相关。就是说 同频相关，不同频不相关。
2,性 质
Ⅰ,不是偶函数
Ⅱ,在 τ时刻取得最大值
Ⅲ,若不含同频周期分量，
Ⅳ,若含同频周期分量，
yxxyxy R 0,
也表现有同频成分 xyR, 目 录例题 5-2设有两个周期信号 x(t)和 y (t)
tyty
txtx
s in
s in
0
0
的相位差与时刻的相位角；相对于式中
tytx
ttx
0
试求其互相关函数
xyR
目 录解：
因为函数是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故
c os
2
1
s i ns i n
1
lim
00
0
0
0
0
yx
dtttx
T
dttytxR
T
T
T
xy
此例可知，两个均值为 0且同频率的信号，其互相关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息目 录例 5-3若两个周期信号的圆频率不等试求其互相关函数
tyty
txtx
20
10
s in
s in
解：因为两信号不具有共同的周期，所以有
T
T
T
T
xy
dtttyx
T
dttytx
T
R
0
2100
0
0
s i ns i n
1
lim
1
lim
根据正余弦函数的正交性，可知
0xyR 目 录例题完互相关函数的性质目 录
xy
R
yxyx
yxyx
yx
0
t
0
（ 1）、相关滤波器
（ 2）、测速
（ 3）、测距
3、应 用
4、相关函数估计
dttytx
T
R
dttxtx
T
R
T
xy
T
x
0
0
1
1
目 录三节完第四节 功率谱分析及其应用功率谱分析从频域 提供相关技术所能提供的信息。，是研究平稳随机过程的重要方法。
一,自功率谱密度函数二,互功率谱密度函数第四节 功率谱分析及其应用一,自功率谱密度函数
1,定义及其物理意义假定 x(t)是零均值的随机过程，又假定中没有周期分量，那么当 τ趋于无穷，自 相关趋于 0，则自相关函数满足傅立叶变换的条件,有自相关函数的傅立叶变换和其逆变换定义 为的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。 包含着 的全部的信息。因为 为实偶函数 也为实偶函数。由此常用在
xR
dR x
deRfS fjxx 2
dfefSR fjxx 2
fSx
fSxxR
fSx
xR
0f
目 录范围内 来表示信号的全部功率谱，并把称为信号 x(t)的单边 功率谱，
fSfG xx 2?
fGx
若 τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，可得到
dffSdttxTR xT
Tx
0
21lim0
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率。
2,物理意义目 录
3,巴塞伐尔定理在频域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的总能量，这就是巴塞伐尔定理即
dffSdttx x 22
能量谱密度幅频谱密度
2fS
fS
x
x
推论：
2
22
lim
1
1
limlim
1
fX
T
fS
dffSP
dffX
T
dttx
T
P
T
x
xav
TT
av
目 录
4,功率谱估计
12,1,0
1
1
2
2
NkkX
N
kS
fX
T
fS
x
x
其中单边谱
rRkS
kX
N
kXkXnxtx
kX
N
fG
x
I FF T
x
FFT
x
22
2
1
2
平均模平方计算方法目 录
5,工程应用
（ 1）分析信号的频域结构
FT:X(f)
功率谱,fSx
（ 2）可分析系统的fH
fS
fS
fx
fy
fx
fy
fx
fyfHfHfH
x
y
2
2
2
fx fyfH?
返 回 目 录二、互谱密度函数
1,定义如果自相关函数 满足傅立叶变换的条件,则定义称为信号和的互谱密度函数，简称互谱。根据傅立叶逆变换，有
2、互谱分析的估计对于模拟信号对于数字信号
iixy
iixy
fYfX
T
fS
fYfX
T
fS
1
1
ii
xy
iixy
kYkX
N
kS
kYkX
N
kS
1
1
xyR
deRfS fjxyxy 2
dfefSR fjxyxy 2
目 录
3,工程应用
（ 1）可利用互谱求系统的
（ 2）可在强噪声背景下分析系统的传输特性
fH
fH
f?
fS fSfXfx fXfyfx fyfH
x
xy
X(t)
y(t)
tn
3
系统2
tn
1
系统1
tn
2
目 录
tntntntxty 321
互相关
nxxnxnxxxy RRRRR
321
fS
fS
fS
fS
fH
fSfS
RR
x
xx
x
xy
xxxx
xxxx
排噪功能
目 录
4,相干函数
10 2
2
2
xy
yx
xy
xy fSfS
fS
f
目 录结 束正弦波的自相关函数正弦波 余弦波正弦波加随机噪声的自相关函数正弦加随机 随机信号窄带随机噪声宽带随机噪声返 回
T
s
T
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
CAT回主目录章 节 结 构一,数字信号处理的基本步骤二,信号数字化出现的问题三,相关分析及其应用四,功率谱分析及其应用回主目录数字信号处理器或计算机预处理预处理
A/D转换
X(t)
X(t)
A/D转换结果显示第一节 数字信号处理的基本步骤
1）电压幅值调理，以适宜采样。
2）滤波，以提高信噪比。
3）隔离信号中的直流分量。
4）调制解调。
模拟信号经采样、量化并转化为二进制第二节 信号数字化出现的问题一、概述设模拟信号的傅立叶变换为，为了利用计算机来计算，必须使变换成有限长的离散时间序列。对进行采样和截断。
采样是用一个等时距的周期脉冲序列去乘。时距称为采样间隔，称为采样频率。
-----本节以计算一个模拟信号的频谱为例来说明出现的相关问题第 二 节 周期信号与离散频谱1,时域采样
2,时域截断
3,频域采样 T
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
步骤 一产生问题相应定理时域采样混叠采样定理步骤 二时域采样采样是把连续时间信号变成离散时间序列的过程，
就是等间距地取点。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连续信号。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积函数的卷积特性 —— 频域作卷积就等于频谱的周期延拓
长度为 T的连续时间信号 x(t),从 t=0点开始采样，得到离散时间序列 x(n)为
ss fnxnTxnx 目 录其中,n=0,1,2,3,……N -1重要参数
snTts txnTx
sss
s
s
Tff
TTNN
T
1
采样频率，
序列长度，
采样间隔；
其中采样间隔的选择是个重要的问题过小过大工作量会很大 丢失有用信息返 回目 录混 叠在频域中，如果平移距离过小，平移后的频谱就会有一部分相互交叠，从而使新合成的频谱与原频谱不一致，因而无法准确地恢复原时域信号，这种现象称为混叠。
一、定义二、原因
（ 1）、采样频率 太低
（ 2）、原模拟信号不是有限带宽的信号，即
sf
hf
目 录三、采取措施
（ 1） 对非有限带宽的模拟信号，在采样之前先通过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信号。这种处理称为抗混叠滤波预处理。
（ 2）满足采样定理，
hs ff 2?
cf
cs ff 4~3? 返 回目 录在实际工作中，考虑实际滤波器不可能有理想的截止特性，在其截止频率 之后总有一定的过滤带，通常取采样定理为了避免混叠以使采样处理后仍有可能准确地恢复其原信号，采样频率 必须大于最高频率 的两倍即,
这就是采样定理。
sf
hf
hs ff 2?
返 回目 录步骤 二产生问题相应措施时域截断泄 漏窗函数步骤 三时 域 截 断截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数，
实际是取有限长的信号，从数学处理上看，就是乘以时域的有限宽矩形窗函数。
依据 FT的卷积特性 —— 时域相乘就等于频域做卷积，作卷积时窗函数频谱的旁瓣会引起皱波。
即在时域中乘矩形窗函数，经处理后其时域、
频域的关系是目 录fWfSfXttstx
重要参数
）序列长度（即采样点数采样长度（即窗宽）；
sTTN
T
其中窗函数的合理选择是个 重要 的问题返 回目 录泄 漏一、定义由于矩形窗函数的频谱是一个无限带宽的 sinc
函数。所以即使 x(t)是带限信号，在截断后也仍然成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。
二、原因
（ 1）、窗函数的频谱是无限带宽的。
目 录三、采取措施
（ 1） 采用合适的 窗函数 来对所截取的时域信号进行加权处理。
目 录常 用 的 窗 函 数采用不同形式的窗函数 为了减少或抑制泄漏目 录主瓣宽度窄的主瓣提高频率分辨能力小的旁瓣可以减少泄漏最大旁瓣值与主峰值之比最大旁瓣的倍频程衰减率窗函数评价标准?
Ⅰ,矩形窗
T/20
ω (t)
1
0
1t?
2
2
T
t
T
t
主瓣最窄（高 T，宽 2/T）
旁瓣则较高（主瓣的 20%,
-13dB
旁瓣的率减率为 20dB/10倍频程公 式目 录
Ⅱ,三角窗
T/20
ω (t)
1
0
21 t
Tt?
2
2
Tt
Tt
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低不会出现负值公 式目 录
Ⅲ,汉宁窗
T/20
ω (t)
1
0
2c o s
2
1
2
1
T
t
t
2
2
T
t
T
t
主瓣较宽（高 T/2，宽 4/T）
旁瓣则较低（主瓣的 2.4%,
-32dB
旁瓣的率减率为 60dB/10倍程公 式目 录
Ⅳ,指数窗
T/20
ω (t)
1
公 式
0
te
t
0
0
t
t
主瓣很宽无旁瓣非对称窗，起抑制噪声的作用返 回目 录动态演示步骤 三产生问题频域采样栅栏效应量 化 目 录
sT
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
频域采样频域采样是使频率离散化，在频率轴上等间距地取点的过程。而从数学处理上看，则是用采样函数去乘连续频谱。
依据 FT的卷积特性 —— 频域相乘就等于时域做卷积函数的卷积特性 —— 时域作卷积就等于时域波形的周期延拓频域采样和时域采样相似，在频域中用脉冲序列乘信号的频谱函数。
目 录重要参数点）仍为点序列的频谱序列的固有特征，（依据频率采样间隔；
N
ND F T
f
fs
T
Ts
N
N
fs
T
f
1
1
1
返 回目 录栅栏效应一、定义采样的实质就是摘取采样点上对应的函数值，
其效果有如透过栅栏的缝观看外景一样，只有落在缝隙 前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，
视为零。这种现象称为栅栏效应。
二、影响
（不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。不过时域采样对比起来时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个处理失去意义。 目 录三、采取措施
（ 1） 提高频率采样间隔，即提高频率分辨力，则栅栏效应中被挡住的频率成分越少。但同时 Δf=1/T
是 DFT算法固有的特征，在满足满足采样定理的情况下，这往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。
（ 2）对周期信号实行整周期截断。
返 回目 录另 四
—— 有关量化和量化误差时域采样只是把连续信号的时间离散化了。而对于幅值如果用二进制数码组来表示，就是离散信号变成数字信号。这一过程称为量化。量化一般是由 A/D转换器来实现的。
1、定义
2、量化误差分析设 A/D转换器的位数为 b,允许的动态工作范围为 D，
则相邻量化电平之差 （由于实际上字长的第一位常用作符号位），每个量化电平对应一个二进制 12 b
Dx
目 录数码。若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必须含入到相近的一个量化电平上。
一般认为，量化误差 ε(n)
为在之间等概率分布。 则
量化电平实际 nxnxn
x
xx
x
x
29.0
32
0
12
12
0
1
2
2
方差标准差为均方值为均值为概率密度为目 录三、采取措施
（ 1） 提高 A/D转换的为数，既降低了量化误差，
但 A/D转换的位数选择应视信号的具体情况和量化的精度要求而定，位数增多后，成本显著增加，转换速率下降。
（ 2）实际上，和信号获取、处理的其他误差相比，
量化误差通常不大，所以一般可忽略其影响。
下 节返 回目 录一,相关系数二,自相关函数三,互相关函数第 三 节 相关分析及其应用一,两随机变量的相关系数
22
22
yy
xx
yx
yy
xx
yE
xE
yx
Ex
Ex
E
的标准差，随机变量的均值，随机变量的均值，随机变量数学期望；
对于变量之间的相关程度常用相关系数表示之
yx
yx
xy
yxE
意 义 目 录
y
x
x
0
y
0
的标准差，随机变量的均值，随机变量的均值，随机变量数学期望；
yx
yEx
xEx
E
yx
yy
xx
又利用柯西 -许瓦兹不等式
22
22
yy
xx
yE
xE
222 yxyx yExEyxE 目 录
22
22
yy
xx
yE
xE
又利用柯西 -许瓦兹不等式
222 yxyx yExEyxE
1?xy?
接近1,两量的相关性愈好接近于0,两变量之间无关目 录二,信号的自相关函数
1、自相关函数定义过程设 x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录，
是 x(t) 时移后的样本，在任何时刻,从两个样本得到两个量值 和,而且它们具有相同的均值和标准差。同时把简写作，那么有
tx
itt?
itxitx
2
0
1
lim
x
x
T
x
T
x
dttxtx
T
目 录将分子展开并由于有
x
T
T
x
T
T
dttx
T
dttx
T
0
0
1
lim
1
lim
2
0
21
lim
x
T
x
T
x
dttxtx
T
对各态历经随机信号及功率信号定义自相关函数 为
xR
T
Tx
dttxtx
T
R
0
1lim
目 录通过公式可知，和均随而变化，且两者成线性关系。
2
2
x
xx
x
R
2,自相关函数具有的性质：
1）由上是式有 又由于所以
22 xxxxRx
2222 xxxxx R
2）自相关函数在 时为最大值，等于信号的均方值0
目 录
2
0
1lim0
x
T
Tx
dttxtxTR
3）当足够大时或时，随机变量和之间不存在内在联系，彼此无关。
4）自相关函数为偶函数。
5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数其幅值与原周期函数的幅值有关，但丢失相位信息例题分析例 5-1求正弦函数的自相关函数，初始相角 φ为一随机变量。
目 录解：
该正弦函数的自相关函数为式中令,则 。于是
dtttx
T
dttxtx
T
R
T
T
T
x
0
0
2
0
0
0
s i ns i n
1
1
lim
2,
00 TT 正弦函数的周期
tddt?
c o s2s i ns i n2 202
0
2
0 xdxR
x
目 录正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在
τ=0时具有最大值，但它不随 τ的增加而衰减至零。
它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息以下有四种典型信号的 自相关函数分析一个实例 -关于某一机械加工表面粗糙度的波形。
3,工程应用
①区别信号类型
②检测混杂在随机信号中的周期成分。
返 回目 录三,信号的互相关函数
1、互相关函数定义过程两个各态历经过程的随机信号 x(t)和 y (t)的互相关函数 定义为
T
Txy
dttytxR 0lim
xyR
当时移 τ足够大或 τ趋于无穷时,x(t)和 y (t)互不相关，
而 的最大变动范围在之间，即
0?xy?
yxxyRxyR yxyx
yxyxxyyxyx R
目 录如果 x(t)和 y (t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的成分，那么即使 τ趋于无穷，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。如两信号含频率不等的周期成分，则两者不相关。就是说 同频相关，不同频不相关。
2,性 质
Ⅰ,不是偶函数
Ⅱ,在 τ时刻取得最大值
Ⅲ,若不含同频周期分量，
Ⅳ,若含同频周期分量，
yxxyxy R 0,
也表现有同频成分 xyR, 目 录例题 5-2设有两个周期信号 x(t)和 y (t)
tyty
txtx
s in
s in
0
0
的相位差与时刻的相位角；相对于式中
tytx
ttx
0
试求其互相关函数
xyR
目 录解：
因为函数是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故
c os
2
1
s i ns i n
1
lim
00
0
0
0
0
yx
dtttx
T
dttytxR
T
T
T
xy
此例可知，两个均值为 0且同频率的信号，其互相关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息目 录例 5-3若两个周期信号的圆频率不等试求其互相关函数
tyty
txtx
20
10
s in
s in
解：因为两信号不具有共同的周期，所以有
T
T
T
T
xy
dtttyx
T
dttytx
T
R
0
2100
0
0
s i ns i n
1
lim
1
lim
根据正余弦函数的正交性，可知
0xyR 目 录例题完互相关函数的性质目 录
xy
R
yxyx
yxyx
yx
0
t
0
（ 1）、相关滤波器
（ 2）、测速
（ 3）、测距
3、应 用
4、相关函数估计
dttytx
T
R
dttxtx
T
R
T
xy
T
x
0
0
1
1
目 录三节完第四节 功率谱分析及其应用功率谱分析从频域 提供相关技术所能提供的信息。，是研究平稳随机过程的重要方法。
一,自功率谱密度函数二,互功率谱密度函数第四节 功率谱分析及其应用一,自功率谱密度函数
1,定义及其物理意义假定 x(t)是零均值的随机过程，又假定中没有周期分量，那么当 τ趋于无穷，自 相关趋于 0，则自相关函数满足傅立叶变换的条件,有自相关函数的傅立叶变换和其逆变换定义 为的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。 包含着 的全部的信息。因为 为实偶函数 也为实偶函数。由此常用在
xR
dR x
deRfS fjxx 2
dfefSR fjxx 2
fSx
fSxxR
fSx
xR
0f
目 录范围内 来表示信号的全部功率谱，并把称为信号 x(t)的单边 功率谱，
fSfG xx 2?
fGx
若 τ=0，则根据自相关函数和自功率谱密度函数的定义，可得到
dffSdttxTR xT
Tx
0
21lim0
可见，自功率谱密度函数的曲线下和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率。
2,物理意义目 录
3,巴塞伐尔定理在频域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的总能量，这就是巴塞伐尔定理即
dffSdttx x 22
能量谱密度幅频谱密度
2fS
fS
x
x
推论：
2
22
lim
1
1
limlim
1
fX
T
fS
dffSP
dffX
T
dttx
T
P
T
x
xav
TT
av
目 录
4,功率谱估计
12,1,0
1
1
2
2
NkkX
N
kS
fX
T
fS
x
x
其中单边谱
rRkS
kX
N
kXkXnxtx
kX
N
fG
x
I FF T
x
FFT
x
22
2
1
2
平均模平方计算方法目 录
5,工程应用
（ 1）分析信号的频域结构
FT:X(f)
功率谱,fSx
（ 2）可分析系统的fH
fS
fS
fx
fy
fx
fy
fx
fyfHfHfH
x
y
2
2
2
fx fyfH?
返 回 目 录二、互谱密度函数
1,定义如果自相关函数 满足傅立叶变换的条件,则定义称为信号和的互谱密度函数，简称互谱。根据傅立叶逆变换，有
2、互谱分析的估计对于模拟信号对于数字信号
iixy
iixy
fYfX
T
fS
fYfX
T
fS
1
1
ii
xy
iixy
kYkX
N
kS
kYkX
N
kS
1
1
xyR
deRfS fjxyxy 2
dfefSR fjxyxy 2
目 录
3,工程应用
（ 1）可利用互谱求系统的
（ 2）可在强噪声背景下分析系统的传输特性
fH
fH
f?
fS fSfXfx fXfyfx fyfH
x
xy
X(t)
y(t)
tn
3
系统2
tn
1
系统1
tn
2
目 录
tntntntxty 321
互相关
nxxnxnxxxy RRRRR
321
fS
fS
fS
fS
fH
fSfS
RR
x
xx
x
xy
xxxx
xxxx
排噪功能
目 录
4,相干函数
10 2
2
2
xy
yx
xy
xy fSfS
fS
f
目 录结 束正弦波的自相关函数正弦波 余弦波正弦波加随机噪声的自相关函数正弦加随机 随机信号窄带随机噪声宽带随机噪声返 回
T
s
T
1 f
[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)
