第二章 测试装置的基本特性
§ 1 概述
§ 2 测试装置的静态特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述
§ 4 测试装置对任意输入的响应
§ 5 实现不失真测试的条件
§ 6 测试装置动态特性的测试返 回一,对测试装置的基本要求二,线性系统及其主要性质
§ 1 概 述目 录一,线性度二,灵敏度、鉴别力阈、分辨力三,回程误差四,稳定度和漂移
§ 2 测试装置的静态特性目 录一,传递函数二,频率响应函数三,脉冲响应函数四,环节的串联和并联五,一阶、二阶系统的特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述目 录一,系统对任意输入的响应二,系统对单位阶跃输入的响应
§ 4 测试装置对任意输入的响应目 录一,频率响应法二,阶跃响应法
§ 6 测试装置动态特性的测试目 录
§ 1 概 述一、对测试装置的基本要求通常的工程测试问题总是处理输入量 x(t)、装置（系统）的传输特性 h(t)和输出量 y(t)三者之间的关系。如图：
1）如果 x(t),y(t)可以观察 (已知 )，则可推断 h(t)。
2）如果 h(t)已知,y(t)可测，则可推断 x(t)。
3）如果 x(t)和 h(t)已知，则可推断和估计 y(t)。
输入
(激励)
输出
(响应)
系统
x(t)
X(s)
X( ω )
y(t)
Y(s)
Y( ω )
h(t)
H(s)
H( ω )
目 录理想 的测试装置应该 ①输出和输入成线性关系。即具有单值的、确定的输入 -输出关系。
②系统为时不变线性系统。
实际 的测试装置 ①只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足线性要求。
②很多物理系统是时变的。在工程上，常可以以足够的精确度认为系统中的参数是时不变的常数。
上 页目 录时不变线性系统 可用常系数线性微分方程
（ 2-1）
来描述，也称定常线性系统。
式中 t为时间自变量。系统的系数 均为常数。
)(
)(
0
)(
1
)(
1
)(
0
)(
1
)(
1
)(
1
1
1
1
txbbbb
tyaaaa
dt
tdx
dt
txd
mdt
txd
m
dt
tdy
dt
tyd
ndt
tyd
n
m
m
m
m
n
n
n
n
011011,,,,,,,,bbbbaaaa mmnn 和上 页目 录二、线性系统及其主要性质如以 x(t)→ y(t) 表示上述系统的输入、输出的对应关系，则时不变线性系统具有以下一些主要 性质 。
1） 叠加原理 几个输入所产生的总输出是各个输入所产生的输出叠加的结果。即若则
)()( 11 tytx?
)()( 22 tytx?
)()()()( 2121 tytytxtx
上 页目 录符合叠加原理，意味着作用于线性系统的各个输入所产生的输出是互不影响的。
在分析众多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可以先分别分析单个输入（假定其他输入不存在）的效果，然后将这些效果叠加起来以表示总的效果。
2) 比例特性 对于任意常数 a，必有 ax(t) → ay(t)
3) 微分特性 系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即
dt
tdy
dt
tdx )()(?
上 页目 录
4） 积分特性 如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分，即
5） 频率保持性 若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）
信号，
则系统的稳态输出必是、也只是同频率的简谐信号；即输出
y(t)唯一可能解只能是
0 00 0 )()(t t dttydttx
tjeXtx?0)(?
)(0 0)( tjeYty
上 页目 录
§ 2 测试装置的静态特性在静态测量中，定常线性系统的输入 -输出微分方程式变成理想的 定常线性系统，其输出将是输入的单调、线性比例函数，其中斜率 S是灵敏度，应是常数。
实际的 测量装置并非理想的定常线性系统，其微分方程式的系数并非常数。
测试装置的静态特性就是在静态测试情况下描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
下面来讨论一些重要的静态特性。
Sxxy ab 00
上 页目 录一、线性度线性度：校准曲线接近拟合直线的程度。
线性误差 =B/A*100%
B为校准曲线与拟合直线的最大偏差。
A为装置的标称输出范围。
上 页目 录
B
A
二、灵敏度、鉴别力阈、分辨力当装置的输入 x有一个变化量?x，它引起输出 y发生相应的变化量?y，则定义 灵敏度对于理想的定常线性系统，灵敏度应当是但是，一般的测试装置总不是理想定常线性系统,用拟合直线的斜率来作为该装置的灵敏度。
灵敏度有量纲，其单位取决于输入、输出量的单位。
常数 00abxyxyS
x
ys
上 页目 录通常，把引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的最小被测量变化值称为 鉴别力阈 （也称为灵敏阈或灵敏限）。
它用来描述装置对输入微小变化的响应能力。
分辨力 是指指示装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。
上 页目 录三、回程误差理想装置 的输出、输入有完全单调的一一对应的关系。
实际装置 在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小时，对于同一输入量所得到的两个输出量却往往存在着差值。
把在全测量范围内，最大的差值称为 回程误差 或滞后误差。
上 页目 录
h
四、稳定度和漂移稳定度 是指测量装置在规定条件下保持其测量特性恒定不变的能力。
通常在不指明影响量时，稳定度指装置不受时间变化影响的能力。
漂移 是指测量特性随时间的慢变化。
上 页目 录
§ 3 测试装置动态特性的数学描述定常线性系统的测试装置，可用常系数线性微分方程来描述，
但使用时有许多不便。因此，常通过拉普拉斯变换建立其相应的“传递函数”，通过傅立叶变换建立其相应的“频率响应函数”，以便更简便地描述装置或系统的特性。
上 页目 录
h(t)
H(s) H( ω )
S=j ω
拉氏变换傅立叶变换拉氏反变换傅立叶反变换设 X(s)和 Y(s)分别为输入 x(t)、输出 y(t)的拉普拉斯变换。
对式（ 2-1）取拉普拉斯变化得：
将 H(s)称为系统的传递函数。其中 s为复变量，
是与输入和系统初始条件有关的。
若初始条件全为零，则因有
)()()()( sGsXsHsY h; js
)(sGh
,0)(?sGh
一、传递函数
)(
)(
)(
sX
sY
sH?
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
上 页目 录传递函数的 特点,
1） H(s)与输入 x(t)及系统的初始状态无关，它只表达了系统的传输特性。
2） H(s)只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构。
3）,等系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出的量纲而异。
4） H(s)中的分母取决于系统的结构。
na mb
上 页目 录二、频率响应函数频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。
与传递函数相比较,频率响应的物理概念明确，也易通过实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
上 页目 录
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性：
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为 A(ω)。
相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为 φ(ω)。
jeAH?
XA YAA
XY
上 页目 录实验求得频率响应函数的原理,
对某个,有一组 和,全部的和,便可表达系统的频率响应函数。
也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入 x(t)和输出 y(t),
由其傅立叶变换 X(ω)和 Y(ω)求得频率响应函数
XYH?)(
（二）频率响应函数的求法
1）在系统的传递函数已知的情况下，只要令 H(s)中 s=jω便可求得。
2）通过实验来求得。
X Y0i 0i系统激励 输出
i
ii
X
YA
0
0XYi
i? iiA?—
ii —?,2,1?i
上 页目 录图象描述,
1） 曲线 —— 幅频特性曲线曲线 ——相频特性曲线
2） 曲线 ——实频特性曲线曲线 ——虚频特性曲线
A
（三）幅、相频率特性和其图象描述频率响应函数 H(ω)
)()()()()( jeAjQPH
P
Q
上 页目 录
ω
ω
0
0
A( ω )
Φ ( ω )
ω
ω
0
0
P( ω )
Q( ω )
3）伯德图 对自变量 ω或 取对数标尺，幅值比 A(ω)的坐标取分贝数
（ dB)标尺，相角取实数标尺。由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图
（ Bode图）。
4）奈魁斯特图 将 H(ω)的虚部 Q(ω)和实部 P(ω)分别作为纵、横坐标，画出
Q(ω)–P(ω)曲线，并在曲线某些点上分别注明相应的频率，所得的图像称为奈魁斯特图（ Nyquist图）。
2?f
上 页目 录
P
jQ
0
ω
ω
0
20lgA( ω )
(dB)
Φ ( ω )
0
三、脉冲响应函数若输入为单位脉冲，即 x(t)=δ(t),则 X(s)=L[δ(t)]=1。
装置的相应输出是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s),
其时域描述可通过对 Y(s)的拉普拉斯反变换得到
h(t)常称为系统的脉冲响应函数或权函数。
时域 脉冲响应函数 h(t)
系统特性的描述 频域 频率响应函数 H(ω)
复数域 传递函数 H(s)
)()()( 1 thsHLty
上 页目 录四、环节的串联和并联两个传递函数各为 和 的环节，
串联时系统的传递函数 H(s)
在初始条件为零时为：
对几个环节串联组成的系统，有
)(1 sH )(2 sH
)()()( 21)( )()( )()( )( sHsHsH sZ sYsX sZsX sY
n
i
i sHsH
1
)()(
Y(s)
H(s)
X(s) Z(s)
H(s) H(s)1 2
上 页目 录并联时因由 n个环节并联组成的系统，有
)()()( 21 sYsYsY
n
i
i sHsH
1
)()(
H(s)
Y(s)X(s) +
+
H(s)
H(s)
Y(s)
Y(s)
1
1
2
2
sHsH
sH sX sYsX sYsX sY
21
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1)(
上 页目 录同样，令 s=jω代入上式，即可得到 n个环节串联、并联时系统的频率响应函数。
任何分母中 s高于三次（ n>3）的高阶系统都可以看作是若干个一阶环节和二阶环节的并联（也自然可转化为若干一阶环节和二阶环节的串联）。
分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。
上 页目 录五、一阶、二阶系统的特性
（一）一阶系统如图，装置分属于力学、电学范畴，但均属于一阶系统，均可用一阶微分方程来描述。
一般形式的一阶微分方程为改写为式中 为时间常数 ； 为系统灵敏度，是一个常数。
00 abS?01 aa
txtydt tdy
txbtyaa dt tdy 001
tSxtydt tdy
R
Cx(t) y(t)
k
c
y(t)
(位移）
x(t)
(力）
上 页目 录令 S=1，即传递函数频率响应函数其中负号表示输出信号滞后于输入信号。
一阶系统的奈魁斯特图
a r c t a n
1
1
2
1
1
A
jH j
11 ssH?
上 页目 录一阶系统的 特点,
1）当 时,; 当 时,。
2）在 处,A(ω)为 0.707（ -3db),相角滞后 -45o。
3）一阶系统的伯德图可用一条折线来近似描述。这条折线在段为 A(ω)=1,在 段为一 -20db/10倍频斜率的直线。
点称转折频率。
1?
1?
1
1?
0A 1 1A 1
上 页目 录
（二）二阶系统传递函数频率响应函数
R
Cu x u y
L
\
k
c
y(t)
x(t)
m
22
2
2 nn
n
ss
sH
nn
j
jH
21
1
2
2
2
22
41
1
nn
A
2
1
2
a r c t a n
n
n
上 页目 录二阶系统的 特点,
1）当 时,；当 时,。
2）二阶系统的伯德图可用折线来近似。在 段,A(ω)
可用 0dB水平线近似。在 段，可用斜率为 -40dB/10
倍频的直线来近似。
n 1H n 0H
n 2?
n 5.0?
上 页目 录
3) 在 段,φ(ω)甚小，且和频率近似成正比增加。在段,φ(ω)趋近于 180o，即输出信号几乎和输入反相。
在 ω靠近 区间,φ(ω)随频率的变化而剧烈变化，而且 ζ越小，
这种变化越剧烈。
n
n
n?
4）
7.0~65.0 上 页目 录影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。
一般取
n 8.0~6.0?
动态演示二阶系统的奈魁斯特图：
上 页目 录
§ 4 测试装置对任意输入的响应一、系统对任意输入的响应将输入 x(t)分割成众多相邻接的、持续时间为 Δτ的脉冲信号。
在 t时刻系统的输出对 Δτ取极限，得
x(t)和 h(t)的卷积为
t
thxty
0
)(
t dthxty 0
dthxthtx *
目 录 上 页对于当 t<0时,x(t)=0和 h(t)=0的情况，上述积分下限可取为 0，上限则成为 t。
因此,y(t)实际上就是 x(t)和 h(t)的卷积，可记为
y(t)=x(t)*h(t)
从时域看，系统的输出是输入与系统的脉冲响应函数的卷积。
上 页目 录二、系统对单位阶跃输入的响应单位阶跃输入一阶系统对单位阶跃输入的响应：
t=(3~4)τ 时,（ 〈 5%）
一阶装置的时间常数 τ 越小越好。
1
0tx 0?t
0?t
tety 1
1)(?ty
ssX 1?
上 页目 录二阶系统对单位阶跃输入的响应：
2
2
1
2
2
21
a r c t a n,1
1,s in1
nd
d
e tty tn
二阶系统，系统的响应在很大程度上决定于阻尼比 ζ 和固有频率 。 越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和振荡次数。 ζ 选在 0.6~0.8之间。n
n?
上 页目 录三、系统对单位脉冲输入的响应一阶装置脉冲响应函数为其图形为
teth 1)(
目 录 上 页二阶系统脉冲响应函数为其图形为
teth ntn n
2
2
1s i n
1
)(?
10
目 录上 页
§ 5 实现不失真测试的条件测试装置的输出 y(t)和输入 x(t)满足关系认为测试装置实现了不失真测量。其中 和 都是常量。
表明这个装置输出的波形和输入波形精确地一致，只是幅值放大了 倍和在时间上延迟了 而已。
对该式作傅立叶变换当 t<0时,x(t)=0,y(t)=0，有若要求装置的输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满足
00 ttxAty
0A 0t
0A 0t
XeAY jt 00
00 jtXYj eAeAH
0
0
t
AA
常数 上 页目 录实际测量装置无失真动态演示实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足无失真测试条件，即使在某一频率范围内工作，也难以完全理想的实现不失真测试。只能努力把波形失真限制在一定的误差范围内。
因此，首先要选择合适的测试装置。其次，应对输入信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪声。
上 页目 录
§ 6 测试装置动态特性的测试对装置的静态参数测试,以经过校准的“标准”静态量作为输入，求出输出 -输入曲线。根据这条曲线确定其回程误差，
整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。
对装置动态特性的测试：
一、频率响应法通过稳态正弦激励试验求得幅频和相频特性曲线。
上 页目 录一阶装置通过幅频特性 或相频特性直接确定其动态特性参数 τ。
21
1)(
A )a r c t a n ()(
上 页目 录
1
1
1
1? 2?
n?
0
A
k?2
1
k?22
1
a b
对于欠阻尼系统（ ζ〈 1）
令有阻尼比 ζ为有时也可用下式求 ζ：
nn 11 21,
21 22 1 AA
n?
2
12
212
1
0
AA r 上 页目 录二阶装置,动态特性参数为：固有频率 和阻尼比 ζ。
参数可从相频特性曲线直接估计，但相角测量较困难。
通常通过幅频曲线估计其参数。
n?
二、阶跃响应法
(一）由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
①测得一阶装置的阶跃响应，取该输出值达到最终稳态值的
63%所经过的时间作为时间常数 τ。但测量结果的可靠性很差。
上 页目 录
632.0
② 将一阶装置的阶跃响应表达式改写为两边取对数，有根据测得 值作出 曲线，根据其斜率值确定时间常数 τ。
/1 tu ety
tyt u 1ln?
tyu tty u1ln
上 页目 录
（二）由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数在测得 M之后，可按上式求取阻尼比 ζ。
如果测得响应的较长瞬变过程，则可利用任意两个超调量 和来求取其阻尼比。
21?
eM
iM
niM? 上 页目 录
M
n
M
M
ni
i
2
ln
d?
M
1M
结 束
§ 1 概述
§ 2 测试装置的静态特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述
§ 4 测试装置对任意输入的响应
§ 5 实现不失真测试的条件
§ 6 测试装置动态特性的测试返 回一,对测试装置的基本要求二,线性系统及其主要性质
§ 1 概 述目 录一,线性度二,灵敏度、鉴别力阈、分辨力三,回程误差四,稳定度和漂移
§ 2 测试装置的静态特性目 录一,传递函数二,频率响应函数三,脉冲响应函数四,环节的串联和并联五,一阶、二阶系统的特性
§ 3 测试装置动态特性的数学描述目 录一,系统对任意输入的响应二,系统对单位阶跃输入的响应
§ 4 测试装置对任意输入的响应目 录一,频率响应法二,阶跃响应法
§ 6 测试装置动态特性的测试目 录
§ 1 概 述一、对测试装置的基本要求通常的工程测试问题总是处理输入量 x(t)、装置（系统）的传输特性 h(t)和输出量 y(t)三者之间的关系。如图：
1）如果 x(t),y(t)可以观察 (已知 )，则可推断 h(t)。
2）如果 h(t)已知,y(t)可测，则可推断 x(t)。
3）如果 x(t)和 h(t)已知，则可推断和估计 y(t)。
输入
(激励)
输出
(响应)
系统
x(t)
X(s)
X( ω )
y(t)
Y(s)
Y( ω )
h(t)
H(s)
H( ω )
目 录理想 的测试装置应该 ①输出和输入成线性关系。即具有单值的、确定的输入 -输出关系。
②系统为时不变线性系统。
实际 的测试装置 ①只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足线性要求。
②很多物理系统是时变的。在工程上，常可以以足够的精确度认为系统中的参数是时不变的常数。
上 页目 录时不变线性系统 可用常系数线性微分方程
（ 2-1）
来描述，也称定常线性系统。
式中 t为时间自变量。系统的系数 均为常数。
)(
)(
0
)(
1
)(
1
)(
0
)(
1
)(
1
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m
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tdy
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tyd
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n
m
m
m
m
n
n
n
n
011011,,,,,,,,bbbbaaaa mmnn 和上 页目 录二、线性系统及其主要性质如以 x(t)→ y(t) 表示上述系统的输入、输出的对应关系，则时不变线性系统具有以下一些主要 性质 。
1） 叠加原理 几个输入所产生的总输出是各个输入所产生的输出叠加的结果。即若则
)()( 11 tytx?
)()( 22 tytx?
)()()()( 2121 tytytxtx
上 页目 录符合叠加原理，意味着作用于线性系统的各个输入所产生的输出是互不影响的。
在分析众多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可以先分别分析单个输入（假定其他输入不存在）的效果，然后将这些效果叠加起来以表示总的效果。
2) 比例特性 对于任意常数 a，必有 ax(t) → ay(t)
3) 微分特性 系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即
dt
tdy
dt
tdx )()(?
上 页目 录
4） 积分特性 如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应等同于对原输入响应的积分，即
5） 频率保持性 若输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）
信号，
则系统的稳态输出必是、也只是同频率的简谐信号；即输出
y(t)唯一可能解只能是
0 00 0 )()(t t dttydttx
tjeXtx?0)(?
)(0 0)( tjeYty
上 页目 录
§ 2 测试装置的静态特性在静态测量中，定常线性系统的输入 -输出微分方程式变成理想的 定常线性系统，其输出将是输入的单调、线性比例函数，其中斜率 S是灵敏度，应是常数。
实际的 测量装置并非理想的定常线性系统，其微分方程式的系数并非常数。
测试装置的静态特性就是在静态测试情况下描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
下面来讨论一些重要的静态特性。
Sxxy ab 00
上 页目 录一、线性度线性度：校准曲线接近拟合直线的程度。
线性误差 =B/A*100%
B为校准曲线与拟合直线的最大偏差。
A为装置的标称输出范围。
上 页目 录
B
A
二、灵敏度、鉴别力阈、分辨力当装置的输入 x有一个变化量?x，它引起输出 y发生相应的变化量?y，则定义 灵敏度对于理想的定常线性系统，灵敏度应当是但是，一般的测试装置总不是理想定常线性系统,用拟合直线的斜率来作为该装置的灵敏度。
灵敏度有量纲，其单位取决于输入、输出量的单位。
常数 00abxyxyS
x
ys
上 页目 录通常，把引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的最小被测量变化值称为 鉴别力阈 （也称为灵敏阈或灵敏限）。
它用来描述装置对输入微小变化的响应能力。
分辨力 是指指示装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。
上 页目 录三、回程误差理想装置 的输出、输入有完全单调的一一对应的关系。
实际装置 在同样的测试条件下，当输入量由小增大和由大减小时，对于同一输入量所得到的两个输出量却往往存在着差值。
把在全测量范围内，最大的差值称为 回程误差 或滞后误差。
上 页目 录
h
四、稳定度和漂移稳定度 是指测量装置在规定条件下保持其测量特性恒定不变的能力。
通常在不指明影响量时，稳定度指装置不受时间变化影响的能力。
漂移 是指测量特性随时间的慢变化。
上 页目 录
§ 3 测试装置动态特性的数学描述定常线性系统的测试装置，可用常系数线性微分方程来描述，
但使用时有许多不便。因此，常通过拉普拉斯变换建立其相应的“传递函数”，通过傅立叶变换建立其相应的“频率响应函数”，以便更简便地描述装置或系统的特性。
上 页目 录
h(t)
H(s) H( ω )
S=j ω
拉氏变换傅立叶变换拉氏反变换傅立叶反变换设 X(s)和 Y(s)分别为输入 x(t)、输出 y(t)的拉普拉斯变换。
对式（ 2-1）取拉普拉斯变化得：
将 H(s)称为系统的传递函数。其中 s为复变量，
是与输入和系统初始条件有关的。
若初始条件全为零，则因有
)()()()( sGsXsHsY h; js
)(sGh
,0)(?sGh
一、传递函数
)(
)(
)(
sX
sY
sH?
01
1
1
01
1
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asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
上 页目 录传递函数的 特点,
1） H(s)与输入 x(t)及系统的初始状态无关，它只表达了系统的传输特性。
2） H(s)只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构。
3）,等系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出的量纲而异。
4） H(s)中的分母取决于系统的结构。
na mb
上 页目 录二、频率响应函数频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。
与传递函数相比较,频率响应的物理概念明确，也易通过实验来建立；利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
上 页目 录
（一）幅频特性、相频特性和频率响应函数定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性：
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为 A(ω)。
相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为 φ(ω)。
jeAH?
XA YAA
XY
上 页目 录实验求得频率响应函数的原理,
对某个,有一组 和,全部的和,便可表达系统的频率响应函数。
也可在初始条件全为零的情况下，同时测得输入 x(t)和输出 y(t),
由其傅立叶变换 X(ω)和 Y(ω)求得频率响应函数
XYH?)(
（二）频率响应函数的求法
1）在系统的传递函数已知的情况下，只要令 H(s)中 s=jω便可求得。
2）通过实验来求得。
X Y0i 0i系统激励 输出
i
ii
X
YA
0
0XYi
i? iiA?—
ii —?,2,1?i
上 页目 录图象描述,
1） 曲线 —— 幅频特性曲线曲线 ——相频特性曲线
2） 曲线 ——实频特性曲线曲线 ——虚频特性曲线
A
（三）幅、相频率特性和其图象描述频率响应函数 H(ω)
)()()()()( jeAjQPH
P
Q
上 页目 录
ω
ω
0
0
A( ω )
Φ ( ω )
ω
ω
0
0
P( ω )
Q( ω )
3）伯德图 对自变量 ω或 取对数标尺，幅值比 A(ω)的坐标取分贝数
（ dB)标尺，相角取实数标尺。由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图
（ Bode图）。
4）奈魁斯特图 将 H(ω)的虚部 Q(ω)和实部 P(ω)分别作为纵、横坐标，画出
Q(ω)–P(ω)曲线，并在曲线某些点上分别注明相应的频率，所得的图像称为奈魁斯特图（ Nyquist图）。
2?f
上 页目 录
P
jQ
0
ω
ω
0
20lgA( ω )
(dB)
Φ ( ω )
0
三、脉冲响应函数若输入为单位脉冲，即 x(t)=δ(t),则 X(s)=L[δ(t)]=1。
装置的相应输出是 Y(s)=H(s)X(s)=H(s),
其时域描述可通过对 Y(s)的拉普拉斯反变换得到
h(t)常称为系统的脉冲响应函数或权函数。
时域 脉冲响应函数 h(t)
系统特性的描述 频域 频率响应函数 H(ω)
复数域 传递函数 H(s)
)()()( 1 thsHLty
上 页目 录四、环节的串联和并联两个传递函数各为 和 的环节，
串联时系统的传递函数 H(s)
在初始条件为零时为：
对几个环节串联组成的系统，有
)(1 sH )(2 sH
)()()( 21)( )()( )()( )( sHsHsH sZ sYsX sZsX sY
n
i
i sHsH
1
)()(
Y(s)
H(s)
X(s) Z(s)
H(s) H(s)1 2
上 页目 录并联时因由 n个环节并联组成的系统，有
)()()( 21 sYsYsY
n
i
i sHsH
1
)()(
H(s)
Y(s)X(s) +
+
H(s)
H(s)
Y(s)
Y(s)
1
1
2
2
sHsH
sH sX sYsX sYsX sY
21
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1)(
上 页目 录同样，令 s=jω代入上式，即可得到 n个环节串联、并联时系统的频率响应函数。
任何分母中 s高于三次（ n>3）的高阶系统都可以看作是若干个一阶环节和二阶环节的并联（也自然可转化为若干一阶环节和二阶环节的串联）。
分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、复杂系统传输特性的基础。
上 页目 录五、一阶、二阶系统的特性
（一）一阶系统如图，装置分属于力学、电学范畴，但均属于一阶系统，均可用一阶微分方程来描述。
一般形式的一阶微分方程为改写为式中 为时间常数 ； 为系统灵敏度，是一个常数。
00 abS?01 aa
txtydt tdy
txbtyaa dt tdy 001
tSxtydt tdy
R
Cx(t) y(t)
k
c
y(t)
(位移）
x(t)
(力）
上 页目 录令 S=1，即传递函数频率响应函数其中负号表示输出信号滞后于输入信号。
一阶系统的奈魁斯特图
a r c t a n
1
1
2
1
1
A
jH j
11 ssH?
上 页目 录一阶系统的 特点,
1）当 时,; 当 时,。
2）在 处,A(ω)为 0.707（ -3db),相角滞后 -45o。
3）一阶系统的伯德图可用一条折线来近似描述。这条折线在段为 A(ω)=1,在 段为一 -20db/10倍频斜率的直线。
点称转折频率。
1?
1?
1
1?
0A 1 1A 1
上 页目 录
（二）二阶系统传递函数频率响应函数
R
Cu x u y
L
\
k
c
y(t)
x(t)
m
22
2
2 nn
n
ss
sH
nn
j
jH
21
1
2
2
2
22
41
1
nn
A
2
1
2
a r c t a n
n
n
上 页目 录二阶系统的 特点,
1）当 时,；当 时,。
2）二阶系统的伯德图可用折线来近似。在 段,A(ω)
可用 0dB水平线近似。在 段，可用斜率为 -40dB/10
倍频的直线来近似。
n 1H n 0H
n 2?
n 5.0?
上 页目 录
3) 在 段,φ(ω)甚小，且和频率近似成正比增加。在段,φ(ω)趋近于 180o，即输出信号几乎和输入反相。
在 ω靠近 区间,φ(ω)随频率的变化而剧烈变化，而且 ζ越小，
这种变化越剧烈。
n
n
n?
4）
7.0~65.0 上 页目 录影响二阶系统动态特性的参数是固有频率和阻尼比。
一般取
n 8.0~6.0?
动态演示二阶系统的奈魁斯特图：
上 页目 录
§ 4 测试装置对任意输入的响应一、系统对任意输入的响应将输入 x(t)分割成众多相邻接的、持续时间为 Δτ的脉冲信号。
在 t时刻系统的输出对 Δτ取极限，得
x(t)和 h(t)的卷积为
t
thxty
0
)(
t dthxty 0
dthxthtx *
目 录 上 页对于当 t<0时,x(t)=0和 h(t)=0的情况，上述积分下限可取为 0，上限则成为 t。
因此,y(t)实际上就是 x(t)和 h(t)的卷积，可记为
y(t)=x(t)*h(t)
从时域看，系统的输出是输入与系统的脉冲响应函数的卷积。
上 页目 录二、系统对单位阶跃输入的响应单位阶跃输入一阶系统对单位阶跃输入的响应：
t=(3~4)τ 时,（ 〈 5%）
一阶装置的时间常数 τ 越小越好。
1
0tx 0?t
0?t
tety 1
1)(?ty
ssX 1?
上 页目 录二阶系统对单位阶跃输入的响应：
2
2
1
2
2
21
a r c t a n,1
1,s in1
nd
d
e tty tn
二阶系统，系统的响应在很大程度上决定于阻尼比 ζ 和固有频率 。 越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和振荡次数。 ζ 选在 0.6~0.8之间。n
n?
上 页目 录三、系统对单位脉冲输入的响应一阶装置脉冲响应函数为其图形为
teth 1)(
目 录 上 页二阶系统脉冲响应函数为其图形为
teth ntn n
2
2
1s i n
1
)(?
10
目 录上 页
§ 5 实现不失真测试的条件测试装置的输出 y(t)和输入 x(t)满足关系认为测试装置实现了不失真测量。其中 和 都是常量。
表明这个装置输出的波形和输入波形精确地一致，只是幅值放大了 倍和在时间上延迟了 而已。
对该式作傅立叶变换当 t<0时,x(t)=0,y(t)=0，有若要求装置的输出波形不失真，则其幅频和相频特性应分别满足
00 ttxAty
0A 0t
0A 0t
XeAY jt 00
00 jtXYj eAeAH
0
0
t
AA
常数 上 页目 录实际测量装置无失真动态演示实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足无失真测试条件，即使在某一频率范围内工作，也难以完全理想的实现不失真测试。只能努力把波形失真限制在一定的误差范围内。
因此，首先要选择合适的测试装置。其次，应对输入信号做必要的前置处理，及时滤去非信号频带内的噪声。
上 页目 录
§ 6 测试装置动态特性的测试对装置的静态参数测试,以经过校准的“标准”静态量作为输入，求出输出 -输入曲线。根据这条曲线确定其回程误差，
整理和确定其校准曲线、线性误差和灵敏度。
对装置动态特性的测试：
一、频率响应法通过稳态正弦激励试验求得幅频和相频特性曲线。
上 页目 录一阶装置通过幅频特性 或相频特性直接确定其动态特性参数 τ。
21
1)(
A )a r c t a n ()(
上 页目 录
1
1
1
1? 2?
n?
0
A
k?2
1
k?22
1
a b
对于欠阻尼系统（ ζ〈 1）
令有阻尼比 ζ为有时也可用下式求 ζ：
nn 11 21,
21 22 1 AA
n?
2
12
212
1
0
AA r 上 页目 录二阶装置,动态特性参数为：固有频率 和阻尼比 ζ。
参数可从相频特性曲线直接估计，但相角测量较困难。
通常通过幅频曲线估计其参数。
n?
二、阶跃响应法
(一）由一阶装置的阶跃响应求其动态特性参数
①测得一阶装置的阶跃响应，取该输出值达到最终稳态值的
63%所经过的时间作为时间常数 τ。但测量结果的可靠性很差。
上 页目 录
632.0
② 将一阶装置的阶跃响应表达式改写为两边取对数，有根据测得 值作出 曲线，根据其斜率值确定时间常数 τ。
/1 tu ety
tyt u 1ln?
tyu tty u1ln
上 页目 录
（二）由二阶装置的阶跃响应求其动态特性参数在测得 M之后，可按上式求取阻尼比 ζ。
如果测得响应的较长瞬变过程，则可利用任意两个超调量 和来求取其阻尼比。
21?
eM
iM
niM? 上 页目 录
M
n
M
M
ni
i
2
ln
d?
M
1M
结 束
